Розенберг В.Я. Введение в теорию точности измерительных систем

Подождите немного. Документ загружается.

ботки наблюдений отыскивают путем минимизации некоторого функцио-

нала при наличии ограничений. При ослаблении этих ограничений,

вплоть до их полного снятия, структура оптимальной системы должна

совпадать со структурой идеальной системы. Этот прием можно исполь-

зовать для проверки правильности решения задачи синтеза.

В. Во многих практических случаях объем наблюдений не бывает

жестко регламентирован. В то же время нахождение оптимального

алгоритма часто связано с непреодолимыми трудностями (например,

при некоторых негауссовых процессах и неквадрэтических функциях

потерь). В этих случаях структура идеальной системы служит удобным

отправным пунктом для построения «разумной» системы.

(Принято

говорить, что при малом объеме наблюдений любая, даже оптимальная

система плоха, в то время, как при -большом объеме наблюдений любая

«разумная», даже неоптимальная система хороша.)

2. В главе рассмотрены идеальные системы, предназначенные для

комплексных и некоторых элементарных измерений с нелыо выявления:

— структуры, получающейся при «синтезе по определению» (напри-

мер, путем решения уравнения, определяющего модель, относительно

искомой характеристики);

— смысла понятия «измерительная информация»;

— возможных видов измерений (см. рис. 3.12), вытекающих из

структуры тезауруса, рассмотреннного в предыдущей главе;

— основных закономерностей, возникающих при несогласованном

измерении и приводящих к появлению теоретической погрешности, точ-

ное определение которой будет дано в гл. 5.

3. Для ряда применений в теории и технике измерений представ-

ляет интерес решение вариационной задачи о нахождении класса рас-

пределений, в котором наперед заданное распределение является

экстремальным для энтропии, и основанный на нем энтропийный крите-

рий сравнения законов распределения, применение которого к конкрет-

ным задачам показывает, что наряду с ясным теоретико-информацион-

ным содержанием он в вычислительном отношении не сложнее широко

распространенного среднеквадратического критерия [11, 119, 120].

Рассмотрены также некоторые свойства поверхности неопределен-

ности, позволяющие обосновать выбор вида функции потерь при оценке

параметров.

4. На основе концепции «синтеза по определению» рассмотрены

примеры структур ИС, принимающих решение о типе модели иссле-

дуемого процесса, решающих задачи последовательного анализа широ-

кого класса одномерных характеристик процессов и систем, измерения

функционалов. Основное внимание уделялось унификации алгоритмов

измерения, что имеет важное значение для решения проблемы обеспе-

чения требуемых измерений в условиях быстрого расширения круга

измеряемых величин при ограниченной номенклатуре средств измерения,

для внедрения агрегатного принципа построения ИС.

Например, при измерении функционалов такая унификация дости-

гается за счет введения достаточно универсальных математических

определений (см. табл. 3.6). Структура ИС, предназначенных для изме-

рения характеристик указанных классов, одна и та же. Интересно

отметить, что в некоторых частных случаях при этом были получены

известные результаты и схемные решения, откуда следует, что приме-

няемые на практике ИС нередко создаются с использованием концепции

«синтеза по определению».

Глава 4

РЕАЛЬНАЯ СИСТЕМА. ПОЛНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

В гл. 3 ИС рассматривалась без учета действия влияющих факто-

ров (идеальная ИС). В этой главе мы рассмотрим другой крайний

случай — реальную систему, находящуюся иод воздействием всех влия-

ющих факторов (рис. 1.6). Таким образом, в рассмотрение вовлекаются

все элементы модели процесса измерения, за исключением управления

и, которое здесь предполагается фиксированным, и контроля. Не вда-

ваясь в подробности относительно механизма действия на ИС указан-

ных факторов, мы остановимся на обосновании способов количественной

оценки результата их проявления — полной погрешности (измерения,

ИС, типа ИС). Конечно, наиболее полное представление о точностных

свойствах ИС, как любой другой стохастической системы, согласно

(2.88), дает совместная плотность вероятности р(х, г/

) (или р(уи, Ур)).

Однако подобная информация, будучи исчерпывающе полной, вместе

с тем чрезмерно громоздка для практических приложений. Поэтому

основное внимание будет уделено определению полной погрешности ИС

и типа ИС с помощью одного числа — некоторого функционала, опре-

деленного на множестве функций {р{у

, г/

)}, обоснованию способов

определения такого функционала и выявлению его свойств.

При чтении материалов этой главы следует обратить внимание на

связь способов выражения погрешности измерения, ИС и типа ИС, на

«сквозной» характер приведенных примеров, а также на метрические

свойства полной погрешности, которые будут широко использоваться

в последующих главах.

4.1. РЕАЛЬНАЯ СИСТЕМА

Качественное описание реальной системы было дано в § 1.4. Здесь

нам необходимо дать ее количественное описание. Поскольку реальная

система, помимо исследуемого процесса х^Х, представленного реализа-

цией х&х, испытывает неконтролируемые возмущения, обусловленные

воздействием различного рода влияющих факторов (рис. 1.6), она явля-

ется стохастической и, согласно § 2.3, может быть описана выражением

{(*, УР) :г/р=4р*> Р(х, г/

)}, (4.1)

где (х, у

) —любая пара «вход-выход» (рис. 3.12).

141.

В соответствии с рис. 1.6 это выражение можно представить в виде

{(*, Ур) -Ур=А

{и, с, к, г, У)х/х,

ие(/, х<=Х, х^х, се С, к^К,

ГеГ, р(х, х, и, с, к, 2, Г)}. (4.2)

В пределах этой главы справедливы следующие предположения:

1. Управление не случайно и фиксировано

и = и*, т. е. выбран

вполне определенный тип ИС, характеризуемый видом измеряемой ха-

рактеристики, проектом, технологией производства, регламентом обслу-

живания.

2. Измерительный эксперимент и оценка погрешности продолжа-

ются на интервале времени V, пренебрежимо малом по сравнению с об-

щим временем Т эксплуатации ИС данного типа, ввиду чего можно

считать, что этот интервал фиксирован, т. е. Считая далее,

что исследуется поведение ИС любого данного типа в любой данный

момент, далее аргументы и и I' не будем указывать.

Допустим, что имеется 5 вероятностных механизмов ВМ,-, опреде-

ляющих исход действия 5 источников влияющих факторов в каждом

конкретном измерительном эксперименте. Указанные источники будем

трактовать как случайные процессы (случайные величины)

<в,):/€=Т\ соге^г, Я,},

= 177, (4.3)

где Т — время наблюдения, равное длительности реализации х(1) иссле-

дуемого процесса;

со»

— элементарное событие, отождествляемое с реа-

лизацией ёг'(0=

&г

( -, СОг) —ИСХОДОМ ДвЙСТВИЯ ВМ*; йг — пространство

элементарных событий, отождествляемое с ансамблем реализаций; Р; —

вероятностная мера (например, функционал вероятности процесса

Ы*. ®г)).

Результат измерения г/

в конкретном измерительном эксперименте

вполне обусловлен исходом действия всех вероятностных механизмов

на интервале наблюдения, поскольку (по определению) их совокуп-

ность учитывает действие всех факторов, оказывающих влияние на у

Обозначим поэтому элементарное событие со, полностью определяющее

результат г/

конкретного измерительного эксперимента, следующим

образом

со=(о)1 м

)ей, (4.4)

где

Й = ... ХЙ

(4.5)

— пространство элементарных событий.

Таким образом, фиксирование со означает «выпадение» набора впол-

не определенных реализаций (г=1, 5) или некоторой реализации

| (?) векторного 5-компонентного процесса

ю) = (&!(*, (01), ..., Ы*, СО,)). (4.6)

*> В некоторых важных задачах, связанных с исследованием конфликтных ситуа-

ций, нередко полагают, что и случайно. В этих случаях отыскивается оптимальное

(в заданном смысле) распределение управнений (стратегия) одной из сторон в зависимо-

сти от распределения управлений другой стороны. Таковы, например, задачи о выборе

площадей и культур для посева при заданых климатических и почвенных условиях,

военные меры, радиолокация п радиопротиводействие, спрос и выпуск приборов и т. л.

Мы, однако, эти задачи рассматривать не будем.

142

Вероятностная мера Р. соответствующая пространству элементарных событий й

(4,5) *> и определяющая процесс <а), (в случае независимых в совокупности веро-

ятностных механизмов) определяется как произведение

1 = 1

Обратно, вероятностная мера определяется через Р следующим образом: вероят-

ность события .,^<€=2; равна

Рс = р и<С2«) = р (2,Х-

•

-ХВГ- .ХЛЙ^+.Х-

•

Х2

), « = ГП- (4.8)

В случае, если исходы действия каких-либо вероятностных механизмов зависи-

мы, необходимо определить условную вероятностную меру, которая вводится следую-

щим образом. Пусть — событие, связанное с исходом действия некоторой вы-

бранной из 5 совокупности к<$ вероятностных механизмов; В'*

-1

) — событие, связан-

ное с исходом действия всех остальных 5—к механизмов. Тогда

РЫтпв^-

))

/>*и<*> !«<*-'>€=в<*-'>)= Я(

2П

В(

-.)) ' (4-9)

Вернемся к рассмотрению выражения (4.2) и рис. 1.6 и выявим ве-

роятностные механизмы, исходы которых зависимы. Отметим вначале,

что, очевидно, ВМ

. ВМ& и ВМ

независимы. Исход ВМ~ зависит от

нехода ВМ

, поскольку представляет собой реализацию именно

процесса х{1), а не какого-либо иного, т. е. выбор реализации произво-

дится от ансамбля реализаций, образующего этот процесс, уже после вы-

бора процесса. Далее, значения параметров (исход действия ВМ

)

зависят не только от управления и = и*, которым определяются номи-

нальные значения этих параметров (указанные, например, на схеме,

на чертеже, в спецификации), и технологического разброса параметров

деталей, но и от значений внешних условий г(/) в момент измерения

(температура, давление, влажность и т. п.), а также (по крайней мере,

для некоторых параметров) от истинного значения конкретного экземп-

ляра рабочей меры, по которой производилась регулировка ИС. По-

этому совместную плотность вероятности влияющих факторов в (4.2)

можно записать в виде

р(х, х, и, с, к, 2, () =

= р(х, х)р(к)р(г)р[с(и. /', к, г)] =

=р(х)р(х\х)р(к)р(2)р(с\и, к, 2). (4.10)

Сомножители, входящие в правую часть этого выражения характе-

ризуют (соответственно порядку, в котором они записаны) свойства

ВМ;, ВМ~ ВМь, ВМ

, ВМ

Элементарное событие со (4.4) естественно назвать состоянием

с и с т е м ы в момент проведения измерительного эксперимента, множе-

ство элементарных событий о (4.5) с заданным на нем распределением

вероятностей (4.10)—пространством состояний системы.

Поскольку исход элементарного события со полностью определяет ре-

зультат измерения у

, пространство состояний системы, как это следует

*> Точнее, определенная на некоторой 0-алгебре Р подмножеств множества 12

<2.21).

143.

из (4.1), представляет собой не что иное, как вероятностное простран-

ство (2.21) для пары \(х, г/

) «вход-выход» системы *).

К сожалению, распределение (4.10) не всегда бывает известно. Не-

которые сомножители, входящие в это выражение, можно оценить в экс-

перименте или исходя из прошлого опыта. Наиболее трудно (а иногда

и невозможно) оценить априорную плотность вероятностей р(х), харак-

теризующую действие основного вероятностного механизма. В связи

с этими обстоятельствами возможен определенный произвол в способах

выражения погрешности, которые обсуждаются в следующих пара-

графах.

4.2. ПОЛНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ

Мы начнем рассмотрение полной погрешности со случая, когда

исходы действия всех вероятностных механизмов (см. рис. 1.6) фикси-

рованы; это означает, что в пространстве О элементарных событий о>

зафиксирована некоторая произвольная точка со=<о*ей, или, что то

же, выбрана конкретная реализация векторного процесса. В этой

ситуации имеет смысл говорить о погрешности конкретного измерения.

Если бы речь шла о комплексных измерениях, для определения по-

грешности необходимо было бы сравнить результат измерения г/

с «истинной моделью» исследуемого процесса х(?). Поскольку, однако,

мы стремимся охватить и случаи элементарных измерений (см.

рис. 3.12), введем идеальную систему, результат измерения у

которой

есть не что иное, как «истинное значение» измеряемой характеристики

процесса х(1), определенной по его «истинной модели». Поскольку иде-

альная и реальная системы имеют одинаковое назначение и идеальная

система определена нами как «система, не имеющая погрешности», ин-

туитивно ясно, что количественно погрешность измерения должна быть

определена как функция, равна нулю, если у-р=уа, и неубывающая, по

мере того, как у

начинает (в смысле заданного критерия) все больше

уклоняться от у

. Таким образом, погрешность измерения должна быть

мерой отличия у

от у

. Для этого необходимо, чтобы, во-первых, у

г/р являлись элементами одного и того же множества и, во-вторых, что-

бы на этом множестве была определена операция сравнения. Первое

требование удовлетворяется, поскольку сделано предположение о том,

что идеальная и реальная системы имеют одинаковое назначение, т. е.

г/и, Ур^У", второе требование удовлетворяется, если операцию сравнения

г/и и ур определить как метрику (1.26), т. е. считать, что для любой пары

{Уш г/р) выходных сигналов идеальной и реальной систем, соответству-

ющей данной реализации х(?), процесса х(?) на их входе, определено

неотрицательное число

Р'(УЛУР) (4.И)

— расстояние между г/

и г/

, которое и представляет собой полную

погрешность измерения. Тем самым мы одновременно опреде-

лили метрическое пространство (У, р').

*) Существует довольно много различных определений понятия «пространство со-

стоянии системы», которые, хотя и не согласуются между собой, эффективно исполь-

зуются авторами при исследовании поставленных ими проблем [58, 59]. Добавление

еще одного определения этого понятия мало изменит общую картину и может быть

оправдано лишь необходимостью последующего изложения.

144

Рассмотрим погрешность -измерения (4.1), для расстояния, определяемого выра-

жением

(где —весовая функция, такая, что

а>(05*0, /ш(0Л=1; (4-13)

I — некоторый параметр), применительно ко всем типам результатов измерений

(рис. 3.12), безотносительно к типу входного процесса х ИС.

Пример 1. Комплексное измерение. Пусть У/ —множество моделей (2.5)

или (2,10), т. е.

'={г

=^(х, а<) :*6={17Т}, а(4.14)

или

а,) :1=(»(-1). .... г(|0),

= 1711, а(4.15)

Подставляя г/

, уре^' в (4.12), получим соответственно

р'(0и,

0р)

= Р'№(*. АГ). Ш*- а/)] = -[||Г«(Х, а;)— /у (х, а/) Ш(Х)ЙХ}

1/Р

= р'(г, а/, а/) (4.16)

или

р'(Г/и, </Р) = р'[(Д1),--,<»)>(/(0, /Ы). а

, а,], (4.17)

где обозначения I и (г(1), ..., »(ц)) относятся к идеальной системе, а / и (/(1), ...

..., /(ц))—к реальной. Функция (4.16) представляет собой многомодальную поверх-

ность, характер которой качественно был описан в § 3.1.

Пример 2. Принятие решений. Пусть теперь У — множество решений.

В соответствии с (4Л4) и (4.15) возможны два случая:

а) принимается решение о том, какое именно значение из Ь возможных имеет

«дискретный параметр» г, имеющий смысл класса модели

,={ГТ}. (4.18)

Этот случай получается из (4.14), если считать, что значения параметров аг^Лг могут

быть (произвольными;

б) принимается решение о том, каковы все или отдельные значения дискретных

составляющих вектора ! в (4.15)

,={(Ц 1), ..., »(|1)), I Ме={17~л,}} (4.19)

при произвольных значениях параметров аАлгоритмы принятия решения рас-

сматривались нами в примерах в § 3.1.

Фиксируя в (4,16) -или (4.17) любые значения а*;, а*^ параметров а*, полу-

чаем р'(г, /, а*;, а*,-) как функцию номероз /={1, Ц: в случае, соответствующем

(4.18),

р' (г, /. а*/, а*/) Д

(г, /), (4.20)

а в случае, соответствующем (4.19),

Р'[(»(!) '(*))• 10(1) /(н0)> а*/, а*/] Д

[(г (1),...,

г"

(р.)), (/(1) / (н-))]-

(4.21)

Необходимо прокомментировать это выражение. По существу, оказывается, что

при принятом способе организации тезауруса каждая, из функций }{(•) и /](•) одно-

значно характеризуется своим -номером (соответственно I и /) — «скалярным» — при

10—96 145

организации списком (4.14) и «векторным» — при иерархической организации (4.15).

При организации списком (см. рис. 2.1) последовательности функций {[,(•) • ., 1ь(-)}

ставится в соответствие последовательность чисел (4.18). При организации иерархией

(см. рис. 2.2) аналогичная последовательность функций или их номеров соответствует

нижнему уровню иерархии, и поскольку к каждой функции («векторному» номеру)

можно придти единственным путем, номера (1(1), ..., 1(ц)) и (/(1), ..., /(м-)) опре-

деляют коды адресов соответствующих функций.

Выражение (4,20), как следует из (4.16) и (4.13), в этом случае можно пере-

писать в виде

?(>, /) = |«-/|. /е{П}.

Что же касается сравнения векторов (4.21), т. е. сравнения различных траекто-

рий на классификационном дереве, то эта операция требует введения дополнительных

предположений, которые будут рассмотрены в следующем примере этого -параграфа.

Пример 3. Оценка параметров. Предположим, что Уз' — множество зна-

чений векторного параметра а*

> А М = {а,-} = {(«„ .... а

1В[

)}. (4.22)

Этот случай соответствует задаче оценки параметра а* в (4.24) или (4.15) при

известном значении I или 1 соответственно.

При произвольных фиксированных I* и /* в (4.16) получим, полагая а,, а

-<=1У,

Р'(«*, /*, а,-, а/)4р(аь а/). (4.23)

Для случая 1*'=1* поверхность неопределенности функций одного класса была

нами исследована (см. (3.36)).

Пример 4. Оценка функционала. В данном случае предполагаем, что

к,'

— множество значений скалярного функционала Р(/) (множество на числовой оси)

IV=К

, (4.24)

Полагая Р

, Рр^У^ и используя условие нормировки (4.13), получим

?'{Уя, Ур) = |\Г

-Р

\Рге(()а( }'

/Р

= |^

;

'р[ (4.25)

для любых р. Аналогичным образом выражается погрешность измерения скалярного

параметра.

Пример 5. Воспроизведение характеристик. Предположим, что У

множество характеристик, воспроизводимых с помощью одноканальных панорамных

анализаторов с последовательным анализом

Уь'={!(х)}. (4.26)

Подобные анализаторы рассмотрены в примере 1 § 3.2.

Воспользовавшись соотношениями (4.18) и (4.12), получим

р' (УК, Ур) ={]\!и (*) - !Р (X) IР

К>

(X) йх}

1/Р

. (4.27)

Если Уь'—множество характеристик /(х), воспроизводимых (в дискретных точ-

ках *{) с помощью /У-канальных панорамных анализаторов с параллельным анализом,

то

( "

Ь = 1

146.

(4.28)

и, пел ожив в (4.27)

»(х) = 2 —х),

1 = 1

где 1Г/ — веса (скалярные величины), обладающие свойствами (ср. с (4.13))

/ = 1

получим

' (у*, Ур) = Н

/я (X) - /р (х) \Р 2 (X - XI) ах

» = 1

Г лг |1/р

= \ 2 1/н(х/)-^р(Х|)|"»

/ V • (4.29)

Ь = 1 }

Например, при р=2, V^=•\|N (N<00)

р' (.'/и, </р) = 5]

{Х1)

!р

При N=1 это выражение превращается в (4.25), если определить Рп(}) ^.М**).

—

М**). где х*—рассматриваемая точка («метод выбранных точек» — см. при-

мер 2 в § 3.2).

Иногда необходимо определить погрешность измерения в виде, инвариантном по

отношению к значениям параметров идеального оператора

р"(|/и> Ур) = *п1п р' [.4

(аи) х, А

х].

Эта величина характеризует отличие вида реального оператора от вида идеаль-

ного. Так, например, если необходимо воспроизвести некоторую характеристику «с точ-

ностью до формы», как это имеет место при визуальном наблюдении функций с по-

мощью панорамных анализаторов, то погрешность воспроизведения формы функции

определяется выражением

?"(Уи.

Ур)

= т\п р' \^ау

су у

(х)

Этот функционал инвариантен по отношению к операторам изменения масштабов

осей абсцисс и ординат, а также к оператору сдвига.

Пример 6. Заданное преобразование. Пусть У в' — множество реализа-

ции у({) случайного процесса на выходе некоторого преобразователя с оператором А

(детерминированным или стохастическим) при действии на его входе случайного про-

цесса х(1)

Примеры некоторых преобразований и задача оценки возникающих искажений

были рассмотрены в § 3.2. В этом случае аргумент ^ в (4.12) имеет смысл времени

и, согласно (4.30),

р'0/и, &>)=•{/(4.31)

Эта величина характеризует искажение реализации у

(() относительно заданного за-

кона преобразования.

10* 147

Необходимо остановиться на вопросе о выборе метрики (вида кри-

терия сравнения) р'(., .) в (4.10). Целесообразно рассмотреть ситуа-

ции, когда либо отсутствует, либо имеется априорная информация о на-

значении ИС, в соответствии с чем следует различать формальные и

структурные способы определения критерия р'(., .).

В первой ситуации (формальный способ) указанная априорная ин-

формация отсутствует; предполагается, что ИС используется автономно

(в «чисто» познавательных целях), ввиду чего вид критерия либо

просто постулируется на основе интуитивных суждений о нежелатель-

ности тех или иных комбинаций у

и у$, либо регламентируется теми

или иными нормативными документами (стандартами, нормалями,

руководящими техническими материалами, методическими указаниями).

В обоих случаях необходимо, чтобы выполнялись условия:

— существования критерия на множестве У

Р' («/и, УР) < оо, УУн, УР 6= У, (4.32)

— удобства вычисления р'(г/

, г/

), ввиду чего, например, при срав-

нении функций в большинстве случаев отдается предпочтение средне-

квадратическому критерию (полагая в (4.12) р = 2), что позволяет,

в частности, использовать эффективные методы (ряды Фурье, метод

наименьших квадратов и др.);

— возможности аппаратурной реализации вычислительного устрой-

ства, предназначенного для определения значения р'(у

, у

), с помощью

аналоговых или цифровых устройств.

Во второй ситуации (структурный способ) в распоряжении иссле-

дователя имеется информация о структуре и критерии качества супер-

системы, составной частью (субсистемой) которой является рассматри-

ваемая ИС, т. е. ИС используется неавтономно. Эти данные позволяют

найти р'(уп, ур) математическим путем, что обеспечивает адекватность

критерия решаемой задаче, иначе говоря, согласованность цели данного

измерения с «суперцелью». Заметим, что возможны ситуации, когда

улучшение ИС по критерию, не согласованному с критерием суперси-

стемы, может привести к ухудшению работы последней: любые усилия,

направленные на совершенствование ИС, оправданы лишь в том случае,

если они приводят к улучшению работы суперсистемы. Правило выбо-

ра критерия при неавтономном применении ИС мы дадим в дальней-

шем. Здесь же, в целях иллюстрации важности согласования критериев,

рассмотрим случай, когда результат измерения, полученного с помощью

одной ИС — некоторая характеристика исследуемого объекта — исполь-

зуется в качестве входного процесса другой ИС, применяемой для даль-

нейшей обработки этой характеристики в целях получения некоторой

дополнительной измерительной информации.

Примером служит преобразование вида

Рг{хи Хг, т)—>-#(т)—>-т

орр,

где рг(Х\, Хг, т) —двумерная плотность вероятности; Я(Х) —корреляционная функция;

Ткорр — интервал корреляции или

р,(х)—(4.33)

где Р1(х) —одномерная плотность вероятности; Б — дисперсия.

Желательно, чтобы критерии, по которым оцениваются результаты

промежуточных преобразований (незавершенных измерений), подчиня-

148

лись критерию, по которому оценивается конечный результат, представ-

ляющий собой число (завершенное измерение). Более точный смысл

этого требования заключается в следующем: пусть /'и, Рр— соответ-

ственно идеальная и реальная числовые характеристики (функционалы)

исследуемого объекта, такие, что

Ри =

Рж(1),

Гр = ?1>и),

(где },

{/}

— множество функций, на котором определен функцио-

нал Р) и

р'ОРи, р»)= р[Р

(П, РА!)] (4.34)

— расстояние между этими характеристиками, т. е. погрешность изме-

рения Р

. Выясним, можно ли считать функционал

л([и,и)=р[р(Ы),р(ш (4.35)

— расстоянием между идеальной /„ и реальной /

характеристиками,

т. е. погрешностью измерения /.

Пусть последовательность преобразований имеет вид (4.33), причем

согласно (4.25)

р' (^,^ =

Аг-Др

= | / х

р (х) йх-Ир |. (4.36)

Тогда

<*'(Ри,

Рр) = I / х

(х)йх— / х

рр{х)йх| =

= 1 ) х

[РЖ(х)— Рр{х)]с1х\.

Проверим справедливость аксиом метрики (1.26):

1. С одной стороны, очевидно,

(х) =р

(х)=> ^(РИ, РР) =0. (4.37)

С другой стороны, соотношение

Л'{р

, Рр)=0=>р

(х)=рр(х) (4.38)

несправедливо, т. е. в целом аксиома тождества

^(Ри, Д>)=0Ф=>р

^Рр(*) (

-39)

не выполняется.

2. Аксиома симметрии

й'{р

, Рр)=а'(Рр, Рп) (4.40)

справедлива, т. к.

| / х

[р

(х)~Рр(х)]с1х= | \ х

[рр{х)—р

(х)](1х.

3. Справедливость аксиомы треугольника доказывается следующим

образом

Й'{р*, РР) = | / х

[рп(х)— Рр{х)}йх\ =

= | / х

[ря {х) — р (х) ] йх— / х

[р (х) —рр (Х) \АХ | <

< I / [Ри(х)-р(х)]ахI + I / Х\р(х)-Рр(х)\йх| =

р)+Л'{р, РР). (4.41)

Таким образом малость й?'(/

,/р) не свидетельствует о малости р'^и.^р).

149