Розенберг В.Я. Введение в теорию точности измерительных систем

Подождите немного. Документ загружается.

4.4. СВОЙСТВА ПОЛНОЙ ПОГРЕШНОСТИ

Установим некоторые свойства полной погрешности *>, существен-

ные для дальнейшего изложения.

Свойство 1. Рассмотрим п-компонентный векторный процесс

у(1, ю)

(у

(1,

СО!), ...,

Уп(1,

«„)),

где

со

= (со1, ..., — элементарное событие; Й —Й1Х ... Хй

(<»г^

еО;, 1=1, п) —пространство элементарных событий.

Предположим, что реализации у%{к) скалярного процесса со*),

представляющего собой г-ю компоненту векторного процесса у(1, со),

с вероятностью 1 (в смысле соответствующей вероятностной меры

Р(т)) принадлежат метрическому пространству (У, р), т. е.

У]{1)~\

= р(сог, со

), I, /е{1,

п}

— расстояние (1.26) между реализациями

различных компонент.

Будем считать скалярные процессы у{(1, сог) А Уг, /=1, п элемента-

ми нового множества — множества процессов

{Уи ..., У„}=У. (4.96)

Тогда (У, г)—также метрическое пространство, в котором рас-

стояние между процессами г(Уг, У

-), г, /=1, п определено посредством

(4.66).

Проверим справедливость этого утверждения применительно

к (4.67), т. е.

7{Уи У/) = М {?(»;, со,)} = | р (ш

шу) с1Р (ш) =

= | Р (®ь ®/) ЛР К, = Л

[УI (0> У/ (01Р (Уь у/) йу1йу1, (4.97)

2,-ХЙ/

где р(уи Уз)—совместный функционал плотности вероятности процес-

сов уг(1, Шг) и у(о,). Для этого необходимо доказать справедливость

аксиом (1.26) метрики.

Неотрицательность г(Уг, сразу следует из того, что р[уг(1),

Уз(()]>о И р{у

Уз)>0.

а. Для доказательства справедливости аксиомы тождества заме-

тим, что

7(У

{

, У,) = |рр(р)^р,

где р рассматривается как скалярная величина, ввиду чего интегриро-

вание производится по числовой оси. Поскольку р^О, то с вероятно-

стью единица

7(Х1, У/)= 0

=»

= 0

у, (0=у

}

{().

Справедливость обратного утверждения уь (0 = у\ (0 г (У,-, У/) = 0

очевидна. Таким образом,

7(У/, У/) = 0 ^ У

= У/, (4.98)

Для конкретности рассматривается полная погрешность ИС, хотя устанавли-

ваемые свойства справедливы и для погрешности типа ИС.

160

где равенство

Уг

= У] следует понимать в смысле стохастической экви-

валентности;

б. Аксиома симметрии имеет вид

г(Уг, У})=Г(У

, У г) (4.99)

или

/ /р'ЫО, У}(*)]р(Уи У})ЛУ^ =

= / /р[Уз(0. УЛ*)]Р(У}, Уг)йу^уг.

Справедливость этого равенства вытекает из симметрии функций

р[уг('0. У Л*)] И р(Уи Уз)\

в. По условию для любых у и у%, уз^У справедливо неравенство

треугольника

р(Уи Уз)<р(Уь уг)+9(уг, Уз)- (4.100)

Поскольку существует совместная плотность вероятности р{уи г/

, г/з),

то, взяв математическое ожидание обеих частей (4.100), получим не-

равенство

/ / /р(Уь Уз) Р (г/1, г/г, Уз)с1у1с1у

с1у

< / / $ Р{Уи Уг)р{Уи Уг, уз)йу^угйу

+ / / / Р Уз)р(Уи г/г, уз)йу*йу2(1уз,

которое можно переписать в виде

/ Р(г/г|г/1, г/з)й?г/г/ /р(г/1, Уз)р(Уи уз)^У^Уз<

<}р(Уз\Уи г/а)

<^Уз

/ / р (г/1, г/г) р (уи уг)<1у4уг +

+ /рЫ^, Уз)йу1\ / р(г/г, г/з) р (г/г, уз)&угйуз.

Используя условие нормировки для условных плотностей вероятностей

Р(уг\уи Уз), Р(г/з|г/1, г/г) и р(г/11г/а, Уз), получим

/ /

(г/1,

Уз)

Р (г/1, уз)йу^йуз^

< / /р(Уь г/г)Р(г/1, у

)йу\^у2 +

+ / / Р (г/г, г/з) р (г/г, Уз)йугЛуг

или в обозначениях (4.97)

Г(У1, У

)<г(У1, У

)+Р(У

, Уз). (4.101)

Выражения (4.98), (4.99) и (4.101), взятые в совокупности, доказы-

вают справедливость высказанного утверждения применительно к по-

грешности, выраженной в виде среднего риска (4.67). Аналогичные

утверждения справедливы для выражений (4.68) и (4.69) (предостав-

ляем читателю убедиться в этом *>).

Итак, справедливы соотношения:

1) г(У{, У

)^0;

2) г.(Уг, У/) = 0 <==> У; = У/, (4.102)

3) г (У и У;)=г(Уз, У,);

4) г(У<, У,-)<г(У<, У

)+г(У

, У,),

*> При доказательстве следует (в необходимых случаях) сделать предположение,

что пространства Й, И

и др. являются компактами [72].

П—ВД 161

которые, совместно с (4.67) ... (4.69), определяют расстояние между

случайными процессами. Это утверждение очевидным образом обоб-

щается для случая векторных процессов.

Отметим, что все отмеченные выше свойства расстояния выполня-

ются и для условной погрешности (4.77). Соответствующие выраже-

ния легко получить, зафиксировав и» = ш*г при или наоборот.

В частности, величину

г(Уп)=г(у

, У

(у

)] (4.103)

можно считать расстоянием между неслучайным процессом у

на выхо-

де идеальной системы и случайным процессом У

(г/

) на выходе реаль-

ной системы при условии, что на входе этих систем действует некото-

рый фиксированный случайный процесс х{1). Наконец, если зафиксиро-

вать ш*г и ©*з, то, согласно (4.67), получим

,г(Уи, Ур)=р[у

(©*), ?р(ю*р)] (4-104)

— расстояние между реализациями случайных процессов (погрешность

измерения (4.10)) и метрика (4.102) вырождается в «обычную» метрику

(1.26)).

Поскольку случайные процессы рассматриваются как множества реализаций

х(1)^х({) и с заданными распределениями, интересно сравнить расстояние

между процессами (4.97) с расстоянием между множествами, определяемым выраже-

нием "(3.247)

р(Л\ У) = Ш р(х, у).

Последнее означает, что если У=г=0, то р(Х, У)=0. При использовании

(4.97) может иметь место ситуация, когда множества X и У совпадают и, тем не

менее г(Х, У)>0. Равенство г(Х, У)=0 справедливо лишь для стохастически эквива-

лентных процессов, т. е. когда с вероятностью единица р(Ж, §0=0, а это значит, что

«почти все» пары реализаций процессов тождественно равны.

Свойство 2. Пусть У-нормированное пространство с нормой

\\Уг(Ц

и естественным определением операций суммирования элемен-

тов и произведения элемента на число Я. Мы можем теперь определить

естественным образом для любых элементов У и У^У их сумму

Уи —

Уг

+ У; и произведение элемента У, на число Я. Тогда функционал,

определяемый соотношением (ср. с (4.67) и (4.68))

||Ъ|| = 2Ц«,(ш/)|| =

( \ \\у;Ы\\ЛРЫ = М {||г/*Ы||}, если Р(ш

;

) —известно,

—

| 5ир || у,: (»,•) ||, если Р(ш

-)—неизвестно

I Ч

есть норма элемента У, (норма случайного процесса уг{1, со,)), а мно-

жество У с нормой || У

г ||

есть нормированное пространство (пространст-

во случайных процессов г/*(/, со,)).

Говоря о том, что «сумма» и «произведение элемента на число» вводятся «есте-

ственным образом», имеют в виду следующее:

1) определим для каждых двух элементов У и Кг^У третий элемент Уз Д. У1-+-

+ У

еУ, называемый их суммой, как множество всех элементов вида

Уг

= У1+Уг\ Уг^-Уг,

162.

где у 1, уг^У и '(по определению линейного пространства) г/зеУ есть сумма у

и г/з.

Таким образом,

ДУ, + К. Д {Уг + Уг} Д {Уг} + {У*}\ (4-106)

2) для любого У^У и любого числа А. определим элемент ХУг^У, называемый

произведением элемента У, на число X, =как множество всех элементов Ху^У линейно-

го пространства У, где у^Уг, т. е.

XVI Д {Хус} Д Л {ус}, уц=У1. (4.107)

Для этих определений можно показать, что У является линейным пространством, так

что справедливы следующие аксиомы: а) (У1+У2) +

Уз

= У1-Н(У2-гУз) (ассоциативность

сложения); б)

У1

+ Уг= У2+У1 (коммутативность сложения); в) в У существует такой

элемент 0, что У<+0=У;; V У;еУ (существование нуля); г) для каждого У,-еУ су-

ществует элемент (—У,), такой, что У;+>(—У0=0 -(существование противоположного

элемента); д) ^Я+Р)

Уг

= /.У

рУ*,

е)

А,(Уг

= ЛУг+Л,У

- (дистрибутивность);

ж) (А,[л) У

=Л(^хУг) (ассоциативность умножения); з) 1-У< —У,.

Далее, основываясь на этих аксиомах линейного пространства и определениях

(4.106), (4.107), можно показать, что выполняются условия

ЦУ/11^0, II Уь II = 0<=фУ( = 0; 1

ру

-||=1М-!1^11; } (4.Ю8)

т. е. ||У,||, введенное посредством (4.105) удовлетворяет аксиомам нормы ([72].

Как известно [72], в нормированном пространстве расстояние между любыми его

элементами У

и У

вводится посредством выражения

г(У*, Ур) = ||Уи-УрИ, (4.109)

совпадающего, как легко видеть, с определениями (4.67) ... (4.69), если расстояние

р(у

, г/р) определено как (4.45) и оператор расширения выбран надлежащим образом.

Таким образом, используя неравенство (4.46), можем, аналогично (4.47), определить

относительную погрешность ИС или типа И С выражением

(4л10)

а зависимости от выбора причем, как и в случае (4.48), 05$; г

(У

, У

)^'1, а при

малых г

|(У

И)

), по аналогии с (4.50),

г (у у

, МУи, Ур)^г(У

, Ур)

г,(Уи, Ур)~ 2

Уи || ^ 2 || Ур || 1

Приведенная погрешность ИС или типа И С определяется, анало-

гично (4.51):

гпр(Уи. Ур)= (4.П2)

Очевидно, что при фиксированном

со

= ш* выражения (4.МО)—(4.112) совпадают

соответственно с (4.47), (4.49), (4.51).

Приведем примеры норм ||У*|| (4.105) (используя соответствующие примеры из

§ 4.2), с помощью которых можно записать выражения для относительной (4.110),

(4.111) и приведенной (4.112) погрешностей ИС и типа ИС.

11* 163

Пример I. Комплексное измерение.

2 |

П(х, Л1)\\Р{1)р{ъ)<1яг,

У/11

||М*. а,-)1|.

(4.113)

Пример 2. Принятие решения.

НМ1 =

2 ||//(X, а/)

]]

Р (;);

1=1 (4.114)

зир ]| и (х, аг) II-

'•<={1.

Пример 3. Оценка параметров.

(X. а)|| Р (а) 4а = || ? (*, а)|Р*х )

Х1р

р (а) 4а;

||Уг11

| зир |Щх,а)Ц = зир П\Пх,ъ)\Р**)

ир

И5)

Пример 3. Оценка функционала.

,1У||,=Я

«лл.

(4Л16)

Пример 5. Воспроизведени"е характеристики

( Г II

(X) II Р и (X)]

(х) = Г { Г I г (х)|Р ах)

1/р

Р и (X)] 4! (х);

|| У/1| = { (4.117)

При параллельном анализе

] Мн

(X/) || Р и (ху)] Щ (XI) I 2 | Р [«*/)]

|| Уг || =

1/=1

^ (4.118)

(К ^ 1/Р

5П

РIIТ (ху)|| = зир {2

Пх/)\Р^Г> •

Щ) Ш,) )

При N = 1

1\\\1(х*)\\р[1 (х*)]4}(х*)=\\1\р(П4П

||Уг1| = Г (4-П9)

| зир II! (х*)|| = зир 111.

^ / (X*)

Пример 6. Заданное преобразование.

(III ус (О IIр

[Уь

(0] йу! (0 = |{|

У1

(01"<и}'

/Р

р Ш (0] % (0;

11Уг|| = {

(С

(4.120)

зир II

(011= зир {

\у1

(?) \Р41 }

У1 '

В верхних формулах (4.147) и (4.120) интегралы являются, вообще говоря, кон-

тинуальными.

164.

Заметим, что относительная и приведенная погрешности при реализации задан-

ного преобразования процесса, полученные при использовании формул (4.120),

(4.110) ... (4.112), трактуются как коэффициенты искажений, вносимых си-

стемой (типом систем).

Свойство 3. Поскольку вид функционала р считается фиксирован-

ным, погрешность г(У

, У

) (4.78) можно рассматривать как функцио-

нал, областью определения которого является множество {р(уп, ур)}

совместных плотностей вероятностей р(у

, выходных сигна-

лов (результатов измерения) идеальной и реальной систем. Предпола-

гая множество {р (со)} Д <5- ограниченным, можно поставить задачу

определения границ Р(У

, У

Нижняя граница Рит, как это следует из (4.98), равна нулю.

Поскольку при этом процессы У

и У

стохастически эквивалентны,

= ащ Ы7(р) =р(х)Ъ (ур - у

), (4.121)

ре^Р

т. е. условная плотность вероятности р{у

\уп), представляющая собой

в этом случае 6-функцию, сосредоточена в точке (на траектории) у и.

Это означает, что оператор реальной системы является детерминиро-

ванным и совпадает с оператором идеальной системы.

Верхнюю границу г

ах можно определить, если ограничить мно-

жество 9" (помимо естественных ограничений р(у

, Ур) и / /р(уп,

)с?уи^Ур= 1) какими-либо дополнительными условиями. Распределе-

ние

р = ах% 5ирг(р), (4.122)

р^З*

на котором эта граница достигается, называется наименее предпочти-

тельным распределением.

Предположим, что априорное распределение р(х) задано. Тогда для нахождения

Ртах следует найти р(ур|у

), на котором условная погрешность г(у

) (4.77) достигает

наибольшего значения.

Рассмотрим для простоты случай измерения скалярной величины (параметра,

функционала) —см. рис. 4:2 и формулу (4.84), полагая для общности

г{Уи)= |р(|</и — Ур\)р(Ур\Уи)йу

, (4.123)

где р(|г|) —неубывающая функция \г\.

Пусть, например,

3* = {р (Ур \Уи)-р (Ур \Уи)^Ьи р (ур | Уи)

2} •

Первое ограничение связано с условием нормировки ^ р (у

| у

) &у

1 >

второе ограни-

чивает множество 3" функциями с интегрируемым квадратом (из-за чего в него не

входят, например, распределения, содержащие б-функции, распределение синусоиды

со случайной фазой).

Применяя к (4. 123) неравенство Коши-Буняковского, найдем, что наименее пред-

почтительное распределение р(г), т. е. распределение, на котором достигается супре-

мум, имеет вид

р(г) = ср (г),

(4.124)

165

где с=сопз1>0. Из условия нормировки получим с—А//р(г)4г или

Р(2)

р(г) =

Но, поскольку р(г) предполагается неубывающей функцией \г\, отсюда следует,

что найденное решение (4.124) имеет смысл лишь для финитных распределений, т. е.

р(г)<=и(а,Ь), (4.125)

где (а, Ь) — ограниченный интервал. При этом

(г)йг

ивж

= .ир7(У..У

)=^—•

(4Л26)

Р&ЗЙ>

Г , > .

]

(г) йг

Итак, наименее предпочтительное распределение в классе (4.125) повторяет по

форме функцию р(г) (4.124) и обеспечивает величину погрешности системы, выра-

жаемую формулой (4Л26).

Например, если р(2) = |е|з, ге(—а, а), то

1 | г\*яйг

-а

„

—

• аЧ

2<?

+ Г

г I чйг

| г »

Замечая, что при этих же условиях

ЯпяуД

8и

(г) = р [зир | г |],

— я. «) г

найдем

^шах= I * !» = <*•

г^ (—о, а)

Сравнивая г

тах

и г

тах

, получаем, что в данном случае

- -

тах -]- 1

тах

и, если 1<;Д<оо, ТО

0,66 >Ттах/7тах> 0,5.

Если же снять ограничение р{г)<^Ь%, то наименее предпочтительное распределе-

ние, очевидно, примет вид

р(г)=&(г—а) (4.127)

я тогда

7тах = ?

тах

. (4.128)

Некоторые из задач данного класса при различного рода других ограничениях

а в более общей постановке рассмотрены в работе [Ш1].

166

Если исключить тривиальный случай (4.127), приводящий к (4.128),

го, очевидно, всегда

г(У„ Ур)<г(У

, Ур). (4.129)

Смысл этого выражения состоит в том, что за отсутствие сведений о ха-

рактере распределения р(х) приходится расплачиваться завышением

оценки погрешности системы.

Положим теперь, что по-прежнему р(г/

, Ур)=р(Уи—Ур) и рассмот-

рим два (в определенном смысле «крайних») случая.

1-й случай. Пусть

Р(УМ, Ур)

— Р

(Ув) б

(г/и—Ур),

(4.130)

где ур=Ах\ А — детерминированный оператор, причем г/

в общем слу-

чае не совпадает с у

, в отличие от случая (4.121). Предположение

(4.130) означает, что у

и у

связаны неслучайной зависимостью, что

имеет место при наличии лишь постоянно действующих, но неизвестных

факторов (так называемые неисключенные остатки систематической по-

грешности). Тогда

(Уи)= / р(Уж—Ур)&(Уи—Лх)с1ур—р(у

—Ах) (4.131)

г= / р(у

—Ах)р(х)йх. (4.132)

2-й случай. Пусть

Р(У* УР) =Р(У*) (УР)> (4.133)

т. е. результат измерения не зависит от истинного значения измеряемой

величины. Практически это соответствует ситуации, когда воздействие

случайных влияющих факторов намного превышает воздействие на ре-

зультат измерения исследуемого процесса.

В этом случае

(Уи) = / Р(Уи—у

)р(ур)Й?Г/

=СОПЗ!, (4.134)

т. е. условная погрешность имеет постоянное значение в пределах шка-

лы. При этом

г = г(у-а) =сопз1=г. (4.135)

Интересно отметить, что результаты рассмотрения этих двух слу-

чаев для полной погрешности, выражаемой с помощью информацион-

ного критерия (4.93), имеют соответственно вид:

1-й случай, г/и и гу

связаны детерминированной зависимостью

(4.130)

г=/

—У

=0, (4.136)

поскольку /

=/р = Я(д:) ;

2-й случай. у

и у

независимы (4.133)

г=Н(х), (4.137)

поскольку —Н(х); /

=0.

Сравнивая (4.132) с (4.136), видим, что информационный критерий

в отличие от критерия среднего риска нечувствителен к наличию си-

стематической погрешности, представляющей существенный интерес

в теории точности и практике измерений. С другой стороны, сравнивая

(4.135) и (4.137), видим, что информационный критерий дает величину,

зависящую только от свойств «источника» (основного вероятностного

механизма ВМ

), в то время как критерий среднего риска дает вели-

167.

чину, зависящую только от свойств самой ИС и не зависящую от

свойств «источника». В обоих случаях критерий среднего риска, как

нам представляется, более точно описывает специфику измерений.

Свойство 4. Пусть

со

=(<01, юг) ей; со^Оь

= при-

чем о>1 и иг в общем случае зависимы. Имеем, согласно (4.69),

г = Ер(щ

, ш

) = ЕЗр (и,, ш

), (4.138)

Й Й, Я

где

(<%, ®г)

есть оператор условного расширения на множество йг (при условии,

что зафиксирован исход элементарного события 001). Поскольку

р((01, (02)

р ((01)р (о)а| (01)

р (0)2)р ((0110)2), (4.139)

то наряду со случаем, когда р(<ои юг) известно, могут встретиться слу-

чаи, когда либо безусловные, либо условные плотности вероятности, либо

и те, и другие вместе неизвестны. Соответственно этому получим раз-

личные выражения для г:

г=М{р((01, (0

)}= / /р(<01, 0)2)р((Ох, (0

)Лй1 с?со

; (4.140)

г = зир М {р (ш

)} = вир ]

(из,, ш

) р

(со

ев,) йщ\ (4.141)

Я, "

Й,

г — зирМ {р («>!, (В

)} =зир \ р(®

, ш^р^ | ш

) с^со,; (4.142)

я» •>

г = М {зир р ш

)} — зир р (со

) р (со

) йсо

; (4.143)

Й! ^

г = М {зир

(«>!, ш

)} =

зир р((»1, ш

)р(<о

) с/<в

; (4.144)

9.2

г = зир зир

(ев], ш,), (4.145)

причем, если операторы 3 и 5 имеют одинаковый вид, (как) в (4.140) и

в, в,

(4.145)), то они коммутируют, т. е.

з з р (со,, со

)=а а р (ш

Я, Я

Й2 Й!

что легко доказать, в частности, для оператора математического ожи-

дания, основываясь на выражении (4.139).

Коммутативность «смешанных» операторов вида зирУИ

Й!1

{-} иуИ{зир(-)}

Й1 ЯЗ

имеет место при довольно жестких предположениях, которые мы здесь

рассматривать не будем.

Свойство 5. Пусть

Ртш^Р^*

' <о*п) = гагар (а),, ..., со„),

т. е. <о*1, ..., со*п суть координаты минимума функции р(со). Будем счи-

тать эту функцию строго возрастающей по отношению к |м*г—а>г| для

всех (0{(г=1, п). Тогда, очевидно, справедлива система неравенств

0^р((О1, (0*2, ..., (0*п) ^ ...

... <р(о)1, ..., Юг, (0*1+1. К>*„)< ... (4.146)

. . . 5^р((01, . . ., (Огг-1, (0*п) =^р((01, .

•

., 'Си„) .

168.

Применяя оператор Е к этой системе неравенств, получим

0<Ер((О

, ш*

. ..., ш*„)< ... <Е ... Зр(ш„ ..., (О,-,

со*;

+ 1

, ..., «>*„)< ...

0! Й,

... <Е ... Е р(ш

..., Ш*„)< Ер(ш!, ... Ш„)

а, в

или, в очевидных обозначениях,

0<!Г(!)< ... </-(*)< ... </-(«-

)</-(") = г. (4.147)

Это выражение можно назвать законом накопления по-

грешности: действие дополнительных вероятностных механизмов

увеличивает погрешность.

Аналогичным образом можно показать, что к такому же эффекту

приводит действие любых влияющих факторов (детерминированных),

«уводящих» систему из состояния, соответствующего минимальному

значению погрешности. Для этого достаточно считать, что в (4.147)

значения а>гфсо*г фиксированы. Заметим, что для информационного

критерия закон накопления погрешности выражается неравенством

(3.232), выражающим тот факт, что любые преобразования, за исклю-

чением взаимно-однозначных, приводят к потере информации.

Покажем теперь, что увеличение «размаха» влияющих факторов

также увеличивает погрешность. Это означает, что при неизменной

форме распределения р(ю) г есть неубывающая функция меры множе-

ства О.

Сравним величины

Г г — |

Р (со)

р! (ш)

с1и>

И Г

= [

(ю) р

(со)

йт,

531 Й2

где р2(со) =р1 (а/к)/к\ Й

{&Ю1},

т. е. величина к представляет собой

параметр линейного преобразования

= кг\, характеризующий «протя-

женность» распределения р

(ю) по сравнению с (со) при одинаковых

формах этих распределений. После замены переменной имеем

е = г

— г, = | р

(со)

[р (кш) —

р (со)]

йт.

Так как р(со)—монотонная функция, разность, стоящая в скобках под

интегралом, не меняет знака, т. е. неотрицательна при к<

и неполо-

жительна при й> 1. Таким образом, е возрастает с ростом к.

Проверим аналогичное утверждение для г, которое сформулируем

в более общей форме: если Й^Ог. то г\^г

. Действительно, по опреде-

лению

г, = зир

(ш) =

(ш«) < §ир р (со) =г

. (4.148)

4.5. РЕЗЮМЕ

1. В основополагающем документе [1] даны термины и словесные

определения для различного рода погрешностей измерений и средств

измерений. Вместе с тем, развитие теории точности и практические

нужды требуют введения соответствующих количественных определений

(например, для полных погрешностей измерения, ИС и типа ИС), пред-

16»