Розенберг В.Я. Введение в теорию точности измерительных систем

Подождите немного. Документ загружается.

Отметим несколько полезных свойств функции (х) при преобразованиях случай-

ных процессов [38].

Пусть т)*(0 = еГ [1Н0] — измеримая функция случайной величины 11(0, тогда

0.232>

где знак равенства имеет место лишь в случае, когда существует однозначное обрат-

ное преобразование *1(/)=<^

-1

['П*(0]. в частности, когда т\*(()=г\(1)+з(1) (где 5(0 —

детерминированный процесс), а также когда т)*(0

П(0

'(0. причем в последнем слу-

чае функция 5(0 «имеет право» обращаться в нуль на множестве точек, не более, чем

множество меры нуль. Таким образом, свойство :(3.232) существенно отличает функцию

^ (т) от корреляционной, что является весьма ценным во многих практических

приложениях.

В случае, когда р^

(х

, х)— нормальная плотность вероятности с функцией

корреляции г (х),

,(-.) = -0,5 1п[1-г* (-с)]. (3-233

Последнее соотношение указывает на полезность рассмотрения удобной для графи-

ческой интерпретации функции

А(х) = ехр[-^ ,(х)]. (3.234)

Рассмотрим теперь функцию

Л* (х) = ехр {-[с -1

, (х)]}, (3.235).

Где с = шах /• (х)—максимальное значение I, (х) (при вариации р. (Хг)) в пределах

ограничений, определяющих допустимое множество {р^ (X])}, в случае, когда максимум

имеет конечное значение.

Определим коэффициент подобия выражением (ср. о(З.ЗЗ))

А (х) = А* (х) [1 (х)] = ехр {-[с -

(х)]> {1 - ехр [-/^ , (х)]}. (3.236)

Из (3.236) видно, что при т=т

коэффициент подобия Л(т

то

)^1. Знак равенства

будет иметь место лишь в случае, когда информационная функция экстремальна

^ увеличением |т—т

|) коэффициент Л(т) будет уменьшаться и в пределе-

Нт Л (х) = 0.

—

т1-

Изложенное выше легко распространить на случай одного алучайного процесса

|(0, рассматривая его значения в различные моменты времени. В этом случае

тах А(т) =А(0). Таким образом, Л(0) характеризует «амплитудную» структуру про-

цесса, т. е. отличие его одномерного распределения от экстремального при заданных

ограничениях. Поведение кривой по обе стороны от этой ординаты характеризует

«временную» структуру процесса, т. е. величину зависимости между значениями КО

и К'+

)

как

функцию интервала т. Пользуясь -кривыми 1, 2, 3, 4 .(рис. 3.36) соответ-

ствующими функциям /(т), 1—А,(т), А,*(т) и Л(т), можно, в частности, определить

интервал независимости, как это сделано в работе [102]. Для процесса, представляю-

щего собой «белый шум» с -распределением р(х), функция Л(т) имеет вид кривой 5

(см. рис. 3.36), т. е. интервал независимости -равен нулю, что соответствует определе-

нию «белого шума» как процесса с независимыми значениями.

Таким образом, одномерная функция Л(т) сохраняет существенные свойства дву-

мерной, но является более «удобообозримой». В случае гауссовского процесса оча

130

однозначно выражается через корреляционную функцию, а интервал независимости —

через -интервал корреляции. В случае негауссовского процесса информационная функ-

ция оказывается в определенном смысле более содержательной, чем корреляционная,

ввиду чего ее применение оказывается предпочтительней.

Переходя, в заключение этого раздела, к общему обсуждению кон-

цепции «синтеза по определению», проиллюстрированной "на ряде при-

меров, заметим, что применение так

называемых оптимальных в стати-

стическом смысле оценок (алгорит-

мов) требует довольно большого

объема априорных данных, к точно-

сти которых система оказывается

обычно весьма чувствительной. Ме-

нее чувствительные (но зато и го-

раздо более сложные) оптимальные

системы с самообучением хорошо

работают при большом объеме на-

блюдений. Из-за отсутствия априор-

ных данных и трудностей математи- •

ческого характера системы широко-

го применения на основе оптималь-

ных алгоритмов, в том числе с само-

обучением, строят сравнительно ред-

ко. Обычно (хотя и в неявной фор-

ме) используют концепцию «синтеза

по определению», последовательное применение которой оказывает су-

щественную помощь эвристическому подходу при отыскании структуры

систем, а в известных случаях приводит к хорошо зарекомендовавшим

себя на практике схемным решениям.

Рис. 3.36. Функции, характеризующие

зависимость между двумя значениями

процесса.

3.3. СОГЛАСОВАННЫЕ И НЕСОГЛАСОВАННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Этот параграф содержит призыв к осторожности в обращении

с термином «идеальная ИС» -в тех случаях, когда проводятся элемен-

тарные измерения, что по существу' затрагивает широкий класс важных

ситуаций. Речь пойдет о том, что «применение» *> идеальных ИС подоб-

ного рода в той интерпретации (3.8), которая имелась в виду в § 3.2,

само по себе не гарантирует правильных выводов (безошибочных ре-

зультатов измерения). Эти выводы достоверны только тогда, когда есть

вполне определенная (и достоверная) априорная информация об ис-

следуемом объекте, которая, в свою очередь, базируется на результатах

других элементарных измерений.

Рассмотрим вначале задачу измерения в общей постановке (1.31).

Из аксиомы тождества (1.26) следует, что оператор, описывающий дей-

стзие ИС, представляет собой некоторую «функию-фиксатор», иденти-

фицируя исследуемый объект л: с единственной тождественной ему мо-

делью т, содержащейся в тезаурусе М. При комплексных изме-

рениях (3.7) имеет место аналогичная ситуация, причем результатом

измерения является модель т*

, характеризуемая полной совокупно-

*> Практически этому случаю соответствуют такие условия измерительного экспе-

римента, при которых можно пренебречь действием всех влияющих факторов, за исклю-

чением неадекватности модели (неполноты тезауруса).

9* 131

стью свойств (признаков, параметров), выделяющей объект, отождест-»

вляемый с моделью т

=т*

, из множества М. При иерархической-

структуре тезауруса (3.41) комплексное измерение включает в себя пол-

ную совокупность «тестов» или «шагов», позволяющих выделить вполне

определенную траекторию (ь (1), ...,

(ц), а^) на классификационном

дереве. Вообще подобную совокупность «-шагов» можно представлять-

себе как некоторую упорядоченную последовательность, такую, что

с каждым л?-м шагом связана последовательность множеств вида (2.11)

и последнему шагу соответствует полная последовательность

{М„, м°1 (,),..., мц;-»,..., м;;^, (зжу

Множество М

. отличается от множества М\ добавлением

еще одного (Г-го) признака ^характеристического свойства) I (V), получен-

ного в результате элементарного измерения, проведенного на у-м шаге,

причем можно считать, что последнее множество М\^

+1)

=т

является

единичным.

Подобная трактовка и использовалась нами при определении поня-

тия «измерительная информация» (3.65). Заметим, что вместо (3.237)

можно использовать эквивалентные формы записи, например,

Р Р Р | Р Рц Р |

М^М^

(1)

... -Г

\ ^... м (3.238)

где

—|—

1) — некоторое невзаимно-однозначное отображение (см.

рис. 2.5, 2.7). Поскольку, согласно (2.9)

К' (3.239)'

пользуясь обозначениями (3.238), можем записать

м. 3 г. (М

) =)... Э р

(м; (м\ (з.240>

т. е. элементы М\ = Р^ (М\ последовательности (3.237) при-

надлежат линейно-упорядоченному множеству, откуда следует, что они

сравнимы (см. § 1.2).

По определению отображения (у= 1, 1) суть операторы, опи-

сывающие элементарные измерения*). При согласованных

элементарных измерениях по существу выносится сужение о наличии

(или отсутствии) определенного дополнительного признака у некоторого

элемента т

Щ и потому оператор ИС, как и в случае комплек-

сного измерения, представляет собой «функцию-фиксатор», позволяющую

выделить подмножество М. с Щ элементов, «отмеченных» этим

признаком. Таким образом, важной особенностью согласованного измере

ния является то, что факт принадлежности элемента т

к множеству

Взаимно-однозначные отображения приводят к эквивалентным моделям, т. е.

не дают новой информации. Поэтому мы их учитывать не будем.

132.

М\известен заранее; иначе говоря, входной исследуемый процесс

ИС удовлетворяет вполне определенной совокупности ограничений, выде-

ляющих допустимый класс входных процессов — априорную модель

Щ (»-1>- Результат данного элементарного измерения констатирует тот

факт, что входной процесс удовлетворяет также некоторому дополни-

тельному ограничению I (V) и в совокупности с уже известными ограни-

чениям и

(1), ..., I (V—1) (априорной моделью) дает представление об

апостериорной модели М\ исследуемого процесса.

Ключевой момент в приведенных рассуждениях — предположение

о справедливости соотношения .(3.239). Перейдем теперь к более обще-

му случаю, соответствующему следующим предположениям:

1. Соотношение (3.239) вообще говоря, может не иметь места, на-

пример, из-за недостоверности априорных данных *), так что М

сМ, где

некоторый произвольный класс исследуемых процессов.

2. Соотношение (3.8) понимается «в буквальном смысле», т. е. за

результат измерения принимают не только те модели, для которых

обеспечивается равенство т

= т*

(таких моделей может не оказаться

в множестве М

), но и модели, для которых достигается минимум

в (3.8), обеспечивающие «сходство», «толерантность» [80]. При этом

указанный алгоритм уже не трактуется как «функция-фиксатор».

Итак, имеем

т*

= аг§ тт

{т

, т

), (3.241)

у^

С1

где т

^М

аМ; М

— некоторое произвольное подмножество М, причем

р (т

, т.*у) ^0. (3.242)

Заметим, что хотя подмножества М

, М

^М, они не являются эле-

ментами упорядоченного множества, поскольку при данном способе

(3.41) организации тезауруса на всем множестве определено лишь от-

ношение частичного порядка**), ввиду чего некоторые элементы могут

оказаться несравнимыми.

Введем некоторые соглашения о терминологии. Измерение, при ко-

тором в (3.241)

= тт

(т

, т

) = 0 т*

— т

(3.243)

ту<=М

(в соответствии с аксиомой тождества (1.26)), назовем согласован-

ным измерением, а соответствующую ИС-—идеальной. Изме-

рение, при котором

р*

= тт р (т

, т

) > 0 т*

ф т

, (3.244)

ТПу(=М

назовем несогласованным измерением, а соответствующую

ИС — квазиидеальной.

Теперь предположим, что

С\М

^0 (3.245)

*> Поскольку последнее, как указывалось, базируются на результатах других эле.

ментарных измерений, это предположение учитывает погрешности, всегда имеющие ме-

сто в реальных ИС.

**> Данная организация обеспечивает получение так называемого «древесного по-

рядка» [80].

133.

и рассмотрим (рис. 3.37) всевозможные подмножества, образующиеся

путем применения различных теоретико-множественных операций к М

и Му. Заметим, что поскольку М

, М

а(М, р), эти подмножества явля-

ются метрическими пространствами. Будем относить к пересечению

(3.245) также те точки М

и М

, которые находятся на его границе *>.

Очевидно следующее:

1. Пересечение М

С[М

, заштрихованное в обоих направлениях,

представляет собой область согласованного измерения для

всех элементов т

, принадлежащих этой области

р*= шш р(т

, т

) = 0 т*

= т

и&

ут

, т

(ЕЕ

При данном априорном множестве М

все результаты измерения

т*

, т. е. конечные состояния меры, входящей в ИС, также будут ле-

жать в этой области.

2. Разность ЛГ

\ М

, заштрихованная горизонтальными линиями,

представляет собой область несогласованного измерения

р*= шш р(т

, т

) >04==Ф т*

ф т

т^Му

Чт

^М

\М

причем результаты измерения т*

, соот-

ветствующие элементам т

^М

\ М

сосредоточены на левой границе множе-

ства М

(~\М

.Величина р*, характеризую-

щая сходство (толерантность, близость)

и т*

, в этом случае называется рас-

стоянием р(пг

, М

) между точкой т

множеством М

[72]

= гат р (т

х>

) Л р (т

, М

) (3.246)

у<=

и согласно табл. 3.1

0<р*< зир

(т

, М)йР*

тах

3. Разность М

\ М

, заштрихованная вертикальными линиями,

представляет собой область избыточности ИС. Ей соответствуют

те состояния меры, которые при данном М

не принимают участия в об-

разовании результата измерения. Этой областью можно пожертвовать

(при данном М

) без всякого ущерба для возможностей ИС.

Итак, мы установили, что М

П М

(область согласованного изме-

рения) является в определенном смысле более предпочтительной, чем

множество

А Му А (М

\М

) у (М

\М

) = {М

у М^МВД^),

называемое симметрической разностью множеств М

и М

'[72].

нне множеств М

и М

*> Точнее, будем считать множество (3.245) замкнутым [72].

134.

Остальные возможные случаи следуют из рассмотренного. Так. оче-

видно, если М

П М

= 0 (ср. с (3.245)), то измерение не согласовано,

причем

р* . <о*<р** ,

тт '

шах'

где

Р*шш = р (тх, ту) А р (М

, Му) (3.247)

— расстояние между множествами М

и М

[72];

Р**шах =

5и

Р Р ^

У)

хе

— расстояние между наиболее удаленными точками множеств. Условие

аМ

(или М

\М

ф0) соответствует согласованному избыточному

измерению, а условие М

^>М

как и ранее, — согласованному в области

МжП М

и несогласованному в области М

\ М

. Наконец, при М

= М

ИС полностью согласована.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие случай несогласованного измерения л;;я

шести типов результата измерения, показанных на рис. 3.12.

Пример 1. Комплексное измерение '(3.70).

Дадим интерпретацию несогласованного измерения для случая «неидеального те-

зауруса», с тем чтобы выявить особенности, отличающие этот случай от рассмотрен-

ного в § 3.1.

Предположим, что реальная ситуация, как и ранее, характеризуется одним из

выражений (2.5), (2.10), (2.13), (2.14). Теперь в отличие от (3.2), мы будем предпо-

лагать, что используемый тезаурус М

не является идеальным (М

ФМ), хотя и име-

ет сходную с ним структуру (принцип организации)

= {т: г

); /е={1ТТ,}, й^ЛАФМ. (3.248)

Функция /^(х, а,) — результат невзаимно-однозначного преобразования Р функций

/з (х, л,) (ср. с ((2.55) или '(2.120)) в процессе выбора модели исследуемого объекта.

Поэтому М

«беднее» М, что вполне согласуется со смыслом понятия модели, харак-

теризующей лишь существенные для рассматриваемой задачи черты реальной ситуации.

Пусть, например,

Г(х) = и(х, а и Ы)&М = {т:т = и(х. а;, Ь,-); И={Т7Ъ}, а гб^г, ЬгеЗ;}; (3.249)

Мк= {т-.,п = II (х, ау); /е{17"Ц, а(3.250

Это означает, что в используемых моделях не учитываются параметры Ъ*, как в случае

//(х, а/) = /;(*, а/, 0), у/ = ь а/ = а/, (3.251)

ввиду чего теперь (3.5), вообще говоря, не имеет места. Как и в § 3.1, задача состоит

в том, чтобы данную эмпирическую функцию идентифицировать с функцией

! г'к

(х, а

5к

) ей

к, представляющей сооои результат измерения.

Поскольку априорные сведения при проектировании ограничиваются не (3.249),

а (3.250), использование этих данных приводит к алгоритму, аналогичному (3.7)

/к. а/

= аг2 тт р (х), // (х, а/)] = аг^ р [?"(*)> //к (х, а/

)], (3.252)

рУМ. Ы*, а3-к)]=р*к>0, (3.253)

135

где р(-)—критерий сравнения, т. е. функционал, удовлетворяющий (1.26) и одно-

временно адекватный решаемой задаче.

Здесь значения /

, суть координаты глобального минимума функции

РОЧ*), Ы*. а

)]=р(«, а«, Ьг, I, а,). (3.254)

Этот минимум предполагается единственным. Значение р*

характеризует адекватность

модели. Таким образом, мы приписываем функции /(х) вид и значение параметров

функции (3.251), при которых обеспечиваются условия наилучшего приближения, ха-

рактеризуемые значением р*

, т. е. в математическом плане этот алгоритм описывает

задачу аппроксимации, включая выбор наилучшего вида аппроксимирующей зависи-

мости.

Сравнивая (3.252) и (3.7), приходим к выводу, что схемы, реализующие эти

соотношения, совпадают, за исключением меры (см. рис. 3.1), которая в '(3.7) обеспе-

чивает воспроизведение функций (3.2), а в (3.252)—функций (3.250), соответственно

чему экстремальная система в последнем случае управляет меньшим числом пара-

метров. Кроме того, индикатор экстремума должен быть снабжен шкалой, позволяю-

щей отсчитывать значение р*.

Рассмотрим некоторые особенности несогласованного измерения, отличающие его

от согласованного.

1. Результат измерения при согласованном измерении имеет вид

=А

х(()=!]я(х, а,и, Ь/н) =/((лг, а

, Ь

(

), ,(3.255)

ввиду чего

Р*И = Р [/,я(*, а,п, Ь/и), !г{х, а,-, Ь;)]=0.

При несогласованном измерении

У*=А

х(()=^

(х, гч

)Ф!г(х, л

(

), (3.256)

р*к = р{/

-к(х, а,к), /г(Х-, а

, Ь;)] =

= р(/к. а

-к, »', Ьг)

—

р (/и, а^и, Ь

зн

, /к, а

;

-к)>0, (3.257)

за исключением подмножества

Мь=о={М*, а., 0)}сМ. (3.258)

2. При согласованном измерении результат ;(3.255) не зависит от критерия р на

множестве всех критериев, удовлетворяющих '(1.26). При несогласованном измерении

экстремумы в (3.252) для различных критериев р (по-прежнему, удовлетворяющих

(1.26)), вообще говоря, не совпадают. Поэтому результат (3.256) зависит от критерия,

за исключением подмножества критериев, связанных с данным р произвольной моно-

тонной зависимостью, и подмножества (3.258). Отсюда—требование адекватности кри-

терия решаемой задаче.

3. Предположим, ЧТО /К =/

=г. Тогда, вообще говоря, =^=а,-

=а(. Примерами

исключений, как легко убедиться, являются случаи, когда:

а) справедливо (3.258);

б) в выражении (3.254)

(а

, Ьг, а

)=р1

(а<, а

)р

2к

(Ь;); (3.259)

в)

к = ]/1 [Г(*) - ?! (*. а/)]

йх; (3.260)

( "

М = 1(1 (х, 3.1, Ьг):?г(х, ал Ьг) = ^ (*) + 2

^1т(х),ац^.Л1, Ь/т&ЗЛ;

I 1=1 т=п )

(3.261)

136.

= (х, и (*. а/) = 2

(3.262)

где {<р(-)} — система ортогональных функций.

Поэтому величину (3.262) можно рассматривать как погрешность измерения, свя-

занную с неполнотой тезауруса.

4. Функция (3.254), представляющая собой поверхность отклика при несогласо-

ванном измерении, или '(в более общем, чем (3.250), случае) функция

Рк 1Г(х), Ы*. а,)] = р(», а

;

, /, а,) (3.263)

отличается от функции ,(3.10) тем, что глобальный экстремум (3.263^ при фиксирован-

ных г, .(исключая случай (3.258)) не равен нулю.

Пример 2. Принятие решений (3.71). В классической задаче теории обна-

ружения сигналов в шумах [31 ... 35] предполагается, что наблюдаемая реализация

х(1) образована либо «чистым» шумом, либо смесью сигнала и шума, что и опреде-

ляет характер проверяемых гипотез. Наибольшую популярность приобрели так назы-

ваемые байессовские методы обнаружения, приводящие к формированию отношения

правдоподобия, зависящего от функционалов вероятности шума и смеси сигнала и

шума. Естественно поэтому, что достоверность принимаемых решений (оцениваемая,,

например, средним риском) сильно зависит от априорных данных о вероятностных

характеристиках сигнала и шума. Допустим, что конструктор рассчитал приемник

в предположении, что Х({)=А5(1)+П({), где 5(/) и п(1) —сигнал и шум соответствен-

но; X—константа, принимающая значения ;1 или 0, в зависимости от того, имеется

или' отсутствует сигнал (цель). Предположим далее, что в действительности возможно

наличие произвольного набора сигналов (целей) т. е.

1 = 1

где к>\—целое число; 'м — константы, подобные л. Очевидно, что число возможных:

гипотез в этом случаё гораздо больше и -применение приемника, рассчитанного на

х(^), приведет к его неудовлетворительной работе.

Пример 3. Оценка параметров (3.72). Сама формулировка задачи оценки

параметров предполагает, что подлежат измерению неизвестные параметры а квази-

детерминированного процесса (2.50). При этом вид функции считается известным.

Ошибочное заключение о виде функции приводит к несогласованному измерению. На-

пример, измерение амплитуды гармонического сигнала (см. (3.191), (3.-192), (3.195),.

(3.197)) производится с помощью пикового (неселективного) вольтметра. Использова-

ние таких вольтметров в ситуации, когда входной процесс отличен от гармонического,

приводит к тяжелым последствиям. Так, если входной процесс является периодическим

(2.44), погрешность будет зависеть от соотношений амплитуд и фаз гармоник и речь,,

вообще говоря, должна идти о спектральном анализе (2.45). Однако и в этом случае

возможно несогласованное измерение, если не была проверена гипотеза периодичности

процесса (3.59).

Пример 4. Оценка функционала (3.73). В примерах предыдущего пара-

графа мы приводили ограничения, определяющие то или иное множество функций,,

на котором определен тот или иной функционал, а также рассматривали структурные

схемы ИС, предназначенных для измерения функционалов. При подаче на вход не-

которой ИС функции, не принадлежащей к указанному классу, возможно появление

аномальных ошибок. Так, -например, измеритель нелинейных искажений (ИНИ), осно-

ванный на использовании (3.210) *>, оказывается весьма чувствительным к уклонению

*> Подобные ИНИ имеют наиболее широкое распространение в практических при-

менениях.

137.

характера процесса от полигармонического. Область его применения весьма узка — она

ограничивается измерением искажений гармонического сигнала в нелинейных без-

ынерционных системах. С другой стороны, определения (3.204), (3.207), (3.208), являясь

существенно более универсальными, включают в себя (3.210) как частный случай.

Используя их, можно измерять искажения произвольной природы широкого класса

процессов. В «борьбе за точность» ИС подобного типа целесообразно основные усилия

сосредоточить на реализации ИС, связанных с определением (3.204), менее чувстви-

тельных к априорным данным, чем ИНН, основанные на (3.210).

Пример 5. Воспроизведение характеристик (3.74). ИС, предназна-

ченные для измерения вероятностных характеристик случайных процессов, чаще всего

основаны на предположении о стационарности и эргодичности процесса, ввиду чего

распространенным видом оценки является (3.80). Так, например, при измерении плот-

ности вероятности обычно используют алгоритм (3.97), связанный с определением

относительного времени пребывания. Если процесс не является стационарным и эрго-

дичееким, необходимо применять совсем иные алгоритмы [10]. Применение

(3.80) тре-

бует проверки гипотезы эргодичности (3.61). Другим примером несогласованного из-

мерения являются измерения, регламентируемые весьма распространенным методом

нормирования характеристик усилителей, предусматривающим определение амплитуд-

но-частотной, фазочастотной и амплитудной характеристик. Однако совершенно оче-

видно, что если усилитель считается линейной системой, то он полностью характери-

зуется первыми двумя характеристиками и тогда измерение третьей характеристики

излишне. Если же усилитель предполагается нелинейной безынерционной системой, то

он полностью характеризуется третьей характеристикой и измерение первых двух ста-

новится неправомерным. Наконец, если усилитель описывается в виде нелинейной

инерционной системы, то задача нормирования должна решаться в зависимости от

выбранной модели в соответствии с рекомендацией теории идентификации систем.

Таким образом, принятый метод нормирования характеристик усилителей не может

быть признан корректным.

Пример С. Заданное преобразование (3.75). Типичный пример «несо-

гласованного преобразования»—.применение дифференцирующей цепи в условиях, ког-

да на ее вход подается марковский процесс, являющийся, как известно, недифферен-

цируемым.

До сих пор мы рассматривали случай автономного применения ИС,

в рамках которого правомерно было лишь обсуждение вопроса о том,

что можно измерять. Вопрос же о том, что нужно измерять, должен

обсуждаться с учетом неавтономного применения ИС, т. е. с учетом

цели измерения, связанной с использованием его результатов в неко-

торой системе управления. Согласно уравнению оптимизации (1.35),

цель задается в виде фиксированной «модели-предписания» т°, описы-

вающей .конечное (желаемое) состояние объекта, достигаемое

в резуль-

тате управления. Подобно другим моделям, цель т° можно задать

в виде полной или неполной модели (см. § 2.2, 2.3). В последнем случае

речь идет о том, что в результате управления объект должен попасть

в определенную область, т. е. модель, соответствующая состоянию

объекта, достигнутому по окончании процесса управления, должна при-

надлежать некоторому множеству, заданному определенной совокуп-

ностью ограничений. Во всех случаях результат измерения должен быть

согласован со структурой «модели-предписания».

Если отвлечься на некоторое время от функции ИС в задаче управ-

ления, то последнюю можно сформулировать в теоретико-множествен-

ных терминах, позволяющих рассмотреть возможные множества началь-

ных и конечных состояний объекта, совершенно так же, как это было

138

сделано при рассмотрении множеств М

и М

в (3.245) (см. рис. 3.37).

Действительно имеются: множество М всех возможных состояний

объекта, подмножество М

аМ начальных состояний, а также подмно-

жество М

аМ предписанных состояний (целевое множество). Кроме

того, дано допустимое множество отображений таких, что каждое

переводит М

в М. Задача управления заключается в нахождении такого

отображения которое перево-

дит каждый элемент т

^М

в неко-

торый элемент (или в задан-

ную его окрестность). С другой

Рис. 3 38. Возможное расположение мно-

жеств М° и М

. жеств М

, М

и Л1°.

стороны, при некотором фиксированном и (т. е. для данной системы

управления) множество Л!° может быть задано так, что не любые

будут достигаться. В этом случае перед данной системой управ-

ления будут поставлены недостижимые цели. Сравнивая рис. 3.38

с 3.37, можно усмотреть полную аналогию возможных ситуаций. В част-

ности, множество М

П представляет собой область достижимых

целей, М°/М

— область недостижимых целей и т. д. Указанная анало-

гия является следствием сходства (дуальности) задач измерения (1.3!)

и управления (1.35) (ср. также рис. 1.3,а и б).

При учете функции, выполняемой ИС в процессе управления (см.

(1.36) и рис. 1.3,в), имеем три множества: множество М

начальных

состояний объекта, множество М

состояний меры ИС и целевое мно-

жество М

. Достаточно общий случай расположения этих множеств-

(рис. 3.39) можно рассматривать как объединение рис. 3.37 и 3.38. Пре-

доставляем читателю возможность дать интерпретацию всевозможных

подмножеств и показать, что «предпочтительным» является подмножест-

во М^М.ОМ".

В дальнейшем (в § 5.3) с несогласованным измерением, вызванным

неадекватностью модели, мы свяжем так называемую теоретическую

погрешность.

3.4. РЕЗЮМЕ

1. Идеальная ИС представляет собой вырожденный (физически не-

возможный) случай, изучение которого представляет существенный

методологический и практический интерес по следующим причинам:

А. Полная погрешность реальной ИС определяется путем сравне-

ния ее выходного эффекта (результата измерения) с выходным эффек-

том идеальной ИС, которая осуществляет «желаемое преобразование»

исследуемого процесса. Поэтому идеальная ИС служит основой для тео-

ретических расчетов и моделирования погрешности.

Б. В соответствии с теорией оптимальных систем, алгоритм обра

139.

Рис. 3.39. Возможное расположение мно-