Розенберг В.Я. Введение в теорию точности измерительных систем

Подождите немного. Документ загружается.

Если во всех приведенных выражениях вид функционала р' совпа-

дает с видом функционала, измеряемого нуль-индикатором в процессе

измерения при поиске экстремума (рис. 1.1), то алгоритм измерения

можно трактовать как процесс, приводящий к уменьшению погрешности

измерения. Учитывая это замечание, мы далее не будем делать разли-

чия между р и р'.

Заметим, что в качестве погрешности измерения можно принять

любую монотонную функцию ф расстояния (4.10)

4(УП, 0р)=ф[р(Уи, УР)], (4.42)

поскольку в этом случае с1(у

, у

) и р(у

, у

) связаны известной взаим-

но-однозначной зависимостью. При этом, однако, для й(у

, у

), аксиомы

метрики могут не выполняться. В некоторых задачах достаточно потре-

бовать выполнения свойств

0 (

(443>

4(УА, УР) = 0^УИ = УР )

Примером такой функции является

4(У*. УР) / НУ*, УР)ГИ(()СК1 (4.44)

где Р(-)—произвольная монотонная функция; 1(г)—неубывающая

функция г, например, симметричная 1(г)—Ц\г\), причем /(0)—0;

т(1)—весовая функция со свойствами (4.13). Если положить

ДУи. УР) — \ УП—УР1

И Р(й)=й

'Р, то (4.44) вырождается в метрику

(4.12).

Широко используются относительная и приведенная погрешности

измерения, не являющиеся расстояниями. Определения этих величин

введем следующим образом. Предположим, что У— нормированное про-

странство [72]. Тогда, поступая как и при выводе (3.21), имеем

Р(#и, У

) — \\УП—УР\\ (4.45)

и, так как

г/и—г/р!!^!Ы1 + 1Ы1, (4.46)

получим относительную погрешность измерения, опреде-

ляемую выражением

= ТОГО' <

причем, очевидно, для всех у

, у

^У

0^е(г/„, (4.48)

Если погрешность измерения р (у

, у

) мала, то, согласно (4.46),

ЫЫЫи

(и и 1 ~ Р УР

)

(У'- УР) ,л лоч

е (Уя

Ур)

~ 21| уя)') - -ЩШГ- Н.49)

150.

Обозначив с учетом (4.42)

УР)

а р(у

и>

)/2,

яолучим

е / » » 1 - ^ Ур) - ^(Ун. Ур) (А

50]

•У» У»)-

у. || ~ Ц.рП •

Поскольку, аналогично (4.46), справедливо неравенство

I! УИ

—

УР I!

< яир

|| + зирЩ у

|| = 2зир || у

то можно, как это принято в метрологии, определить приведенную

погрешность измерения

-Р ^^ • (4-51)

у&г

Указанный способ определения относительной и приведенной по-

грешностей измерения обладает тем достоинством, что значения этих

погрешностей не могут превышать единицы. В противном случае, т. е.

при произвольном выборе нормирующего значения, погрешность может

вообще не существовать. Например, при измерении характеристик ((х)

относительную погрешность нередко определяют как |/н(**)—

—Ь(

*) 1/Ы**). где

* — текущее значение аргумента. Очевидно, что

в местах пересечения графиком *

(х) оси абсцисс (в нулях этой функ-

ции) относительная погрешность становится бесконечно большой.

Рассмотрим выражения для относительной погрешности, результатов измерений

шести типов (рис. 3.12), основываясь на >(4.47) и (4.49) и полученных .ранее выра-

жениях для абсолютной погрешности результатов измерений этих же типов.

Пример 1. Комплексное измерение. На основании (4.16) и (4.47) мо-

жем записать

5 {Уи

Ур) =

||^(х,

«)||+1тх. а/)Ц <

52)

или, в развернутом виде,

{ {

I П

(х, а/) -

I,-

(х, а/) |Р т (х)

*{УЦ, УР) = ГС гпр—Гг (

)

] ] | и (х, а*) IР к- (х) ах)

,Р

+ )

Iи (х, а/) \Р да (х) 4х\ '

При малых р((", /, а*, а;), используя (4.49), имеем

(г, /, аI, а/)

'(Уи,

2Шх> а/)|

, • (4.54)

Аналогичные выражения легко записать для р(г/и, у?), имеющего вид (4.17),

Пример 2. Принятие решений. Основываясь на (4.18) — (4.21), получаем

из (4.52)

2 {Уи

Ур) =

II ^(х, а*/)|| + |Ш(х,а*/)|[ (

55)

или, при малом р(г, /),

> Я /А сгч

'•(УХ, Ур)**

211!ах>

а*у)ц • (4.56)

151.

Пример 3. Оценка параметров. Используя (4.23), получим

(а;, а/)

= II/,. (х, а,)|| + Ц^(х, а/) || • (

а при I* = /* и малом р (аг, а/)

, .

(аг, а/)

Ур)^2///(*, аг)||^2||Г(х, а/)|| '

Пример 4. Оценка функционала.

Аналогичным образом, используя (4.25), при тех же предположениях получим

*{У*. Ур)-

21^1 ^ 21 /•'р | * (

'°

Пример 5. Воспроизведение характеристик. Этот случай с фор-

мальной точки зрения ничем не отличается от первого. Воспользовавшись (4.27), будем

иметь

\ИР

(УИ, УР)

••

{ (х)

|Р

т (х) ах }'

/р

+ (х)

\Р ш

(х) ах^'

/и (х) - !р (х) \Р т (х) ах)

1/Р

{|| Ы (х) - !

(х) |Р

гю

(х)

2{||,

(х)| Рт(х)0х^'

2Ц|/

(Х)|РШ(Х)ЙХ}

1/Р

В случае параллельного анализа согласно (4.29)

( N »1/р

, . 11 = 1 )

(Уи, Ур) = -7-дг ^ГЩ ру ПТ?" ^

| 2 (хг) |р +1 2

/Р (Хг) |Р Щ |

(И |1/р /• ЛГ \1/р

Ы («) - /р (*о 12

ь м - Ь ^ '

р Г/

| 1/р Г N Ч1/Р

!Ш

(хг) \Р | 2 | 2 1/

(хг)|РГг]

152.

(4.59):

(4.60)

При N=1 отсюда получим для точки х*

а1и

и\ 1МХ*)-МХ*)[ . 1М»*)-Гр(**)1 | Ы (X*) - [р (X*)

[

•(Уш.Ур)- |/

(х*)| + |/

(Х*)| - 2ТМ^Л ^ 21 /р (X*) | • (4-Ы>

что эквивалентно (4.58).

Пример 6. Заданное преобразование. На основании (4.31)

{ р МО -»р(01"ю(0Л }

1/р

(Уи, г/р) == "77

П7= Гр П/Т" =4:

(4.62>

4.3. ПОГРЕШНОСТЬ СИСТЕМЫ И ПОГРЕШНОСТЬ ТИПА СИСТЕМ

Рассмотрим другой крайний случай, когда все вероятностные меха-

низмы находятся в «свободном» состоянии. При этом по-прежнему

управление и и момент времени I' остаются фиксированными.

Физйческий смысл данной ситуации заключается в следующем.

Определяют погрешность типа ИС при исследовании всевозможных объ-

ектов х^Х, проводя измерительные эксперименты с обработкой любых

реализаций х^х при воздействии произвольных внешних возмущений

При этом учитывают множество всевозможных сочетаний пара-

метров с элементов, входящих во все ИС данного типа (например, ука-

занные на принципиальной схеме или чертеже), а также множество

возможных значений образцовых мер, с помощью которых градуируют

и регулируют все экземпляры ИС данного типа.

Из этих замечаний следует, что рассмотренная в предыдущем па-

раграфе погрешность измерения (4.10) — случайная величина, завися-

щая от исхода действия всех вероятностных механизмов. Согласно

(4.2), выходные сигналы идеальной и реальной систем можно предста-

вить соответственно в виде

Уи=А

х(1,

С0ж)

=Уи(о)

);

#р = Лр[с((0с), к(йй)2(ш

)] = *(/, (дх, ®~) =

= г/р(ю

, СОс т, Юг), (4.63)

где сожейд.-, в)~ со

еЙ

, юь&йь, (1)

ей

— элементарные события,

связанные с действием ВМ

, ВМ~, ВМ

, ВМ&, ВМ

соответственно; й

й~,й

, йк, й

— пространства элементарных событий, связанных с дей-

ствием этих вероятностных механизмов (4.3).

Поэтому

Р(У* г/

)=р(со), соей, (4.64)

где со=(со

, а>~, со

, со

)—элементарное событие, т. е. конкретный

исход действия всех вероятностных механизмов в данном эксперименте

(4.4);

Й=Й

Х^

ХЙсХ|ЙЙХЙ

(4.65)

— пространство элементарных событий, связанное с действием всех

вероятностных механизмов (4.5).

Определим полную погрешность типа ИС выражением

ЯД Е р(«)=Е

(г/„, у

), (4.66)

где Е— некоторый оператор (функционал), который мы назовем опе-

ратором расширения, связанный с переходом к погрешности на

всем пространстве й элементарных событий со. Конкретный вид этого

оператора в зависимости от характера имеющейся информации об й

можно определить тремя способами:

1. Если на Й задана вероятностная мера Р(<а) (4.7), (4.9), то 2

совпадает с оператором математического ожидания

К = м{р

(<о)}

= | р (

уар

(<)>)

= $ р [у

К),

Ур

(со)]

ар

(«>)

Л р, (4.67)

т. е. погрешность типа ИС определяется как среднее (по множеству)

значение погрешности измерения.

153.

2. Если О — ограниченное множество (точнее, компакт [72]) и ве-

роятностная мера не задана (существует, но неизвестна), то Е совпа-

дает с точной верхней гранью множества

% = зир р

(<о)

= вир р [у

К), у

(ю)] Л Я,

(4.68)

известно I

\1 О

известно

У'ЛЛ

неизвестно

5 ир{-}

•неизвестно

5 ир{-}

т. е. погрешность типа ИС определяется как наибольшее из возмож-

ных значений погрешности измерения («метод наихудшего случая»),

3. Если известна вероятностная мера не для всех, а лишь для не-

которых из вероятностных механизмов (известны не все сомножители

в (4.9)), то

/? = 2 а 3 Е Е Р [у

К), Ур (ю)] Д Н, (4.69)

где каждый из операторов й определяется

либо как математическое ожидание, либо

как супремум, в зависимости от имеющейся

информации о соответствующем вероятност-

ном механизме, откуда следует, что при

пяти вероятностных механизмах возможны

=32 способа выражения полной погреш-

ности типа ИС (рис. 4.1), включая также

(4.67) и (4.68).

Наибольшую трудность обычно вызыва-

ет задание априорного распределения р(х).

Поэтому, а также чтобы не перегружать

дальнейшее изложение рассмотрением всех

ситуаций, ограничимся случаями, когда рас-

пределение

р(х, к, 2, с\х)=р{х\х)р{к)р(г)р{с\к, ъ)

(4.70)

известно, а априорное распределение р(х)

либо известно, либо неизвестно, чему соответствуют траектории 00000

или 10000 рис. 4.1.

Используя (4.70), а также (4.67) ... (4.69), определим условную

погрешность типа ИС (при фиксированном входном процессе)

Я М = ] р (г/в, УР)

(УР\ УП) йу

Р [Ув

(•*)>

УР (•*>

х, с, к, г)] р(х\х)р (к) р (г) р

<с

| к, г) йх йк йг йс,

(4.71)

а также безусловную погрешность типа ИС, которую можно

выразить двояким образом, в зависимости от того, известка или неиз-

вестна априорная плотность вероятности р(х)

(IЯ

(Уи)

р (х) йх = ] /? (г/и) р

(Уи)

йу

А %

Д = ] - (4.72)

Р Я (г/и) А Я

У я

Если зафиксировать значения с* и к*, то из (4.72) вытекают соот-

ветствующие выражения для условной погрешности ИС (при

154

Рис. 4.1. К классификации сте-

пени полноты априорных дан-

ных.

1Ш>

фиксированном входном процессе)

Ш = ]" Л

р [УИ

(х), у

(Х, х, 2)1 р (х\ х) р (г) с1х (у

, с, к), (4.73)

а также безусловной погрешности ИС

| г (г/и) р (х) йх = [ г (у

) р (г/„) Д г Д # (с, к)

, ~ - (4.74)

§ирг(г/

)Д г Л/? (с, к).

Действительно, эти выражения можно считать частными случаями

предыдущих, поскольку

р{х, х, с, к, 2) =

=р{х, с, к)р(х, г\х, С, к) =

= р(с, к)р(х, х, г]с, к) (4.75)

и усреднение в (4.73) и (4.74) здесь производится по условной вероят-

ностной мере (4.8), имеющей вид р(х, г\х, с, к) и р(х, х, г|с, к) соот-

ветственно.

Наконец, предположив, что все влияющие факторы имеют фикси-

рованные значения, из (4.71) и (4.72) получим выражение для полной

погрешности измерения, рассмотренной в предыдущем параграфе

Р(*/и, Ур)=р[Уи(х),

г/р

(я, X, с, к, 2)] =

= Я(х, х, с, к, г). (4.76)

Забегая вперед, заметим, что при учете пяти вероятностных меха-

низмов возможны, как и в случае различной степени информированно-

сти об априорных распределениях (см. рис. 4.1), 2

= 32 различных

сочетаниях фиксированных и «свободных» значений влияющих факто-

ров, соответственно чему получаются различные выражения для по-

грешностей, рассмотрение которых представляет интерес в задаче ана-

лиза полной погрешности.

Величина г(у

1г

) (4.73) называется также условным риском,

а величины г и г, определенные посредством (4.74) — соответственно

средним риском и максимальным условным риском.

Последний соответствует случаю, когда на вход ИС подается наименее

предпочтительный для нее входной процесс из заданного (допустимого)

множества входных процессов; для всех остальных процессов, входящих

в это множество, условная погрешность будет меньше. Функцию р' на-

зывают расстоянием (в функциональном анализе), полной погрешно-

стью (в измерениях), функцией потерь (в математической статистике).

В тех случаях, когда соответствующие погрешности ИС и типа ИС

можно определить едиными формальными выражениями, мы будем

далее пользоваться общим обозначением Ш для величин г и Я. Так, из

рассмотрения (4.73) ... (4.76) следует, что условную и безусловную

погрешности ИС и типа ИС можно записать соответственно в виде

(Уж)

= / р(г/и, г/р)Р(г/р|Уи)йу

, (4.77)

Л р(г/и, г/р)р(г/и. г/р)йу*йу

$ир ]

(г/и, г/р) Р

(г/р I

г/и) йу

= М,

155.

где у

— результат измерения, полученный с помощью идеальной систе-

мы, определяемый только видом измерения и исходом действия ВМ.

;

УР— результат измерения, полученный с помощью реальной системы,

определяемый исходом действия всех вероятностных механизмов, ока-

зывающих влияние на у

при данном комплексе условий, в которых про-

водится измерительный эксперимент.

Имея в виду это обстоятельство, рассмотрим примеры определения полной без-

условной погрешности (4.78) для шести типов результатов измерения (рис. 3.12),

используя при этом полученные в соответствующих примерах предыдущего парагра-

фа выражения для полной погрешности измерения.

Пример 1. Комплексное измерение. Для этого случая имеем

Р('\ /, а», ау) =

1 ь

'=1 /=» М Л\

(/, а/| I, аг) ^а/ Дй,

я,

(4.79):

Л = 3р(г, /) =

(4.80>

где I, ] являются либо скалярными (4.14), либо векторными (4.15) величинами, в со-

ответствии с чем р(х, /, а*, а,) выражаются либо в виде (4.16), либо в виде (4.17).

Пример 2. Принятие решений. Используя (4.20) или (4.21), получим

ь Л

2 2^'- ЯРМ. I) А«.

< = 1 /=1

5«Р2 Р(*. Д Й.

. ' /=1

Эти выражения можно получить также из (4.79), если положить

Р(

'.У)= | ]" р('\ 1, а г, а/)^(аг, а/)йаг<*а/.

Пример 3. Оценка параметров. Основываясь на (4.23), запишем

| | р (аг, а /) р (аг, а/) йагйа/Д

$ир \ р (аг, а/) /> (а/|аг) йа/ ДЙ.

Л.' ^

(4.81).!

. = 3

(аг, а/) =

(4.82).

Можно считать, что здесь

7 Л/

А г.

Р(аг, а/) =2 2

(<- /) (

;

( =

/=1

И тогда, как и в предыдущем примере, (4.82) вытекает из (4.79).

Пример 4. Оценка функционала. Для погрешности измерения (4.25),

применяя оператор расширения, получим

I ^И - Р;. \Р{Г*. РР) АР

ЙР

|Я

IТ I

(4.84)'

156.

Случай, когда у

, УР суть скалярные величины, как в этом примере, допускает

удобную графическую иллюстрацию выражений для Л и Л (рис. 4.2).

Пример 5. Воспроизведение характеристик. Используя (4.27), по-

лучим

« = Зр[Мх), Ы*)1 =

(Я (11М*)-Ы*)1 р«>(х)ахУ'

Р [Ы (X). и

(х)]

(X)

й/р

(х)

а,

I С

Г С

\Цр - (4.85>

I ГМ ^ И

|?И _ !Р {Х) |Р

(Х)

Р 1!Р {Х) 1 Ы (Х)] А!Р

Двухкратный (для А) и однократный (для А) интегралы, входящие в это-

выражение, являются, вообще говоря, континуальными. При приближенных вычисле-

Рис. 4.2. Пояснение понятий условно-

го, максимального условного и сред-

него рисков при измерении скалярной

величины.

V /

1 \у

Г^ / 1

1 —^

А"

\ / с?

А/ р(у»\ 1

тт Я, У так

ниях их заменяют многократными. В частности, при воспроизведении характеристик,

в дискретных точках, используя ((4.29), имеем

,й = Нр[/и (XI), Ы*'М =

( ( N

1/р

2М

{21

^ ^ - ь

«) |

[ рм

{Х1)

• ^

(Х1) а!р {Х1)

й &'

/ N \ЧР (

486

I 5«р \м N2 (*')-/Й[М«)1/1(«МР(Й)Д^

I /«<*«•> л •••\Ц

причем кратность интеграла и мерность плотности вероятности в этих выражениях

соответствует общему числу дискретных точек идеальной и реальной характеристик.

В практических ситуациях приходится сталкиваться не с вычислением этих вы-

ражений, связанным с существенными трудностями, а с их статистической оценкой.

Поскольку в качестве оценки математического ожидания используется среднее ариф-

метическое, постольку, например, для условного риска, имеем

=-^р[М*)Лр*(*)]- (4.87)-

4=1

Реализация этого алгоритма аппаратурными средствами не вызывает затруднений.

Что касается вычисления континуальных (4.85) и многократных (4.86) интегралов, та

вычислительные трудности обычно преодолеваются путем использования метода Монте-

Карло, реализуемого с помощью ЭВМ.

157.

Часто представляет интерес погрешность воспроизведения «формы» характеристи-

ки, безотносительно к значениям коэффициентов масштабного преобразования. В этом

случае

Л = Зр" (г/

, ур) =

)' Ур(х)\йуъ(х)йур(х)='>

р|™

р' Ы*)]/>[»я(х)|М*)]<1Ых) = л.

(4.88)

Пример 6. Заданное преобразование. Погрешности измерения (4.31)

соответствует погрешность ИС (типа ИС)

Я. = Зр[0„(О. Ур(0] =

| {|| Уп (() - у

т |р а» (0 л}

1/р

/> [*/„ (0, Ур (01

<*у»

(О <*у

(0 = Л.

1 {~

№ |р Л

У"

[ур 1 Ул

{{)=(4 89)

Здесь, как и в (4.85), интегрирование является континуальным. В случае, если

процессы «/и(0 и у

({) взаимно-эргодические, опенку величины 31 (у

) находят путем

усреднения по времени. Например, для среднеквадратического критерия

/ Т -|1/2

•а (Уя) = | -у-1 [у* {() — у

(О!

}" (4.90)

^ о ^

и дело сводится к измерению среднеквадратического значения разности реализаций

процессов.

Наконец, заметим, что погрешность системы, соответствующая погрешности изме-

рения, выражаемой формулой (4.44), будет иметь вид

(Л

[]I (Уи, Ур) V (*) а ] р{Уя, Ур) Луяйур =

зир ^ [ ^ ' (Уи. Ур) ® (0

(Ур\Уи)

йур = Ж,

(4.91)

Особенность этого выражения состоит в том, что функция потерь Р[1(у«, Ур)Х

Хл)(1)сИ], используемая в нем, не является расстоянием.

Рассмотрим также способ определения погрешности системы, осно-

ванный на использовании функции потерь вида

Р(Уп, Ур)=—1пр(у

\у

), (4.92)

также не являющейся расстоянием [25, 34, 38]. Замечая, что

и учитывая условие нормировки

I р(у*\уя)<1ур = и

непосредственно находим

г = М{р(у

1Ь

ур)} =

= —Я \пр(у

\ур)р(у

, ур) йуъйур=/я—/р, (4.93)

158.

где

/и=— /р(г/н) \пр(у„)йу

= — / р(х) \пр(х)ёх = Н{х) (4.94)

— количество информации на выходе идеальной системы, численно

равное энтропии Н(х) «источника» (вероятностного механизма ВМ

)

(3.62), (3.65);

/р=] (р

(У», Ур)

Ш а

Ув

Ур

(4.95)

— количество информации на выходе реальной системы (3.231).

Таким образом, в этом случае идеальную систему можно рассма-

тривать как канал связи (точнее, преобразователь) без шумов, а реаль-

ную— как канал с шумами. Идеальная система, как указывалось в §3.1,

снимает всю имеющуюся априори неопределенность. Погрешность (4.93)

характеризует потерю информации в реальной системе по сравнению

с идеальной за счет действия неконтролируемых возмущений. Свойства

этой оценки хорошо известны из теории информации '[38].

В заключение затронем вопрос о способах определения погреш-

ности меры. В § 1.3 отмечалось, что мера является устройством,

предназначенным для воспроизведения (а не измерения, как ИС) моде-

ли объекта или отдельных его характеристик. Мера имеет выход, но

не имеет входа и поэтому не является, строго говоря, системой в том

понимании, как это было сказано в § 2.3. Тем не менее, поскольку меры

представляют собой важный класс средств измерения, целесообразно

иметь возможность регламентировать их точность. По типам характе-

ристик, воспроизводимых с их помощью, меры можно классифицировать

точно так же, как классифицируются результаты измерений у (см.

рис. 3.12). При этом, однако, процесс у' на выходе меры не обязательно

должен представлять собой саму характеристику; он может являться

процессом, соответствующая характеристика которого является задан-

ной (например, случайный стационарный процесс с заданной диспер-

сией или заданными одномерной плотностью вероятностей и энергети-

ческим спектром). В обоих случаях в состав меры входит ИС, предна-

значенная для измерения регламентируемой характеристики (мера

включает в себя источник процесса, прибор для контроля его характе-

ристики и органы регулировки, обеспечивающие возможность установ-

ки желательных значений параметров).

Пусть у

— желательный вид характеристики, воспроизводимой

с помощью идеальной (на практике — образцовой) меры (для пара-

метров и функционалов это — «номинальное значение меры» [1]);

г/р

—

вид характеристики на выходе реальной меры («действительное значе-

ние меры» [1]). Тогда погрешность меры (типа мер) выражается, как

и в случае ИС (типа ИС) формулами (4.77), (4.78). Отличие состоит

в том, что сравниваются не реализации процессов, на выходах идеаль-

ной и реальней мер, а их характеристики, подлежащие воспроизведе-

нию. Например, если сравнивать образцовый и рабочий генераторы

случайных процессов с заданными одномерными законами распределе-

ния, то одномерное распределение г/

процесса на выходе рабочего ге-

нератора должно совпадать с одномерным распределением у

процесса

на выходе образцового генератора. При этом процессы на выходах этих

генераторов независимы. Сравнение можно производить, например, по

критерию Ь\ («расстояние по вариации» (3.24)).

159.