Розенберг В.Я. Введение в теорию точности измерительных систем

Подождите немного. Документ загружается.

с точки зрения систематизации уже имеющихся результатов, но с точки

зрения выявления новых формулировок, поскольку при такой классифи-

кации неизбежно обнаруживаются «белые пятна», стимулирующие

исследования в новых актуальных направлениях. Подчеркнем также,

что во всех задачах подобного рода чрезвычайно важны доказательст-

ва существования, единственности и устойчивости решения.

Нередко поиск оптимальной системы производят в классе систем

с заданной структурой Л(

•

) и неизвестными параметрами с (параме-

трическая оптимизация). При этом необходимо решить задачу

с*

ор4

= аг^ттг\А

, А{с)х

], (6.61)

се

где с*

р1 — оптимальные значения параметров, приводящие к системе

с оператором Л(с*

р1), удовлетворяющей заданным ограничениям.

Заметим также, что множество {Л}

ДО

п может быть задано в виде

конечного набора (номенклатуры) известных операторов с известными

значениями параметров: {Л}

ДО

п={Л^(с*г)}, г=1, к. Необходимо вы-

брать из них наилучший

«*

ор4

= аг^ттг[А

, Л* (с*;)]. (6.62)

причем Л (с**) — искомый оператор.

Эта задача возникает при выборе ИС из заданной номенклатуры,

а также при синтезе систем из унифицированных субсистем. С этим

вопросом тесно связана проблема установления рациональных параме-

трических рядов (гамм) и номенклатуры изделий.

Заключительная стадия этапа «собственно» проектирования — кон-

троль (экспертиза) решения, в процессе которого сравнивают значение

алгоритмической погрешности с ее предельно допустимым значением

Да по правилу

<Д

гф> вариант принимается 1 (6 63)

г г Дг => вариант отвергается |

Неравенство /г^Аг свидетельствует:

а) в случае (6.60) —о том, что в рамках заданных ограничений

требование г

-<Дг невыполнимо, поскольку значение г

характеризует

предельное (потенциальное) качество системы. Предполагая, что

1яп

г<

)

/-1,

где

Г1

— теоретическая погрешность, приходим к выводу

уГ-^оо

о необходимости увеличить значения Г, т. е. пересмотреть исходные

данные;

б) в случае (6.61) —о необходимости изыскать структуру системы,

для которой требование г

<Д2 удовлетворяется. Если же многократные

попытки такого рода («метод проб и ошибок») не приводят к успеху,

делается попытка решить задачу (6.60) или, как и в предыдущем слу-

чае, ослабляются ограничения;

в) в случае (6.62)—о необходимости расширить номенклатуру го-

товых изделий или создать оригинальную систему на основе (6.60)

или (6.61).

Принятый (утвержденный) вариант — номинальная система Л

—

подлежит последующей технической реализации.

230

Перейдем к рассмотрению задачи комплексирования. Прежде чем

сформулировать эту задачу, определим понятия «су б систем а» и

«иерархическая система», которые будут далее использовать-

ся. Известно, что достаточно сложные системы, как правило, состоят из

отдельных субсистем (агрегатов, блоков, узлов, модулей, элементов,

деталей), определенным образом соединенных между собой. Вообще

говоря, субсистемой можно назвать произвольно выделяемую часть си-

стемы, выполняющую в составе последней определенную функцию

(операцию). Это означает, что совокупность операторов Анг

(г

=1, п)

субсистем, записанная с учетом соединения этих субсистем между со-

бой, совпадает с оператором всей системы

=А

ии

..А

, (6.64)

определенным на этапе «собственно» проектирования.

Например, при последовательном (каскадном) соединении

Ах=А„ ... А

Х, (6.65)

при параллельном соединении

Ах = 2

г=1

при соединении противосвязью

лх

- 1

А,х '

где А\_ — оператор прямой цепи; ,4

— оператор цепи обратной связи. С помощью ком-

бинации соединений указанных трех типов можно представить сколь угодно сложные

соединения субсистем.

Все структурные схемы, приведенные в этой книге, по существу предстазляют

собой те или иные указания на способ соединения субсистем, каждая из кото; ь:х

выполняет некоторое элементарное преобразование.

Способ выделения субсистем (и, стало быть, их число) определяет-

ся, прежде всего, решаемой задачей, затем конструктивными ограниче-

ниями и рядом соображений, связанных с требованиями технологии, кон-

тролепригодности и ремонтопригодности, ' с номенклатурой готовых

изделий, в частности, выбранной элементной базой (унифицированные

узлы, большие интегральные схемы, модули).

Субсистемы в свою очередь могут играть роль систем для «субси-

стем», из которых они состоят («субсубсистем») и т. д., так что любую

систему с этой точки зрения можно рассматривать как иерархическую,

для которой можно определить различные уровни иерархии, на-

пример, — « ... — суперсистема — система — субсистема — субсубсисте-

ма —...», причем каждому звену (например, системе) на данном уров-

не иерархии подчинено то или иное число звеньев (например, субси-

стем) на следующем уровне, входящих в состав этого звена и т. д.

Таким образом, иерархическая система с точки зрения ее системного

анализа имеет древовидную структуру, подобно структуре тезауруса,

рассмотренной в гл. 2. Существенно, что цели функционирования (кри-

терии качества) субсистем подчинены цели функционирования системы,

в которую они входят. Ниже мы дадим количественную трактовку этого

требования.

С методической точки зрения при анализе иерархических систем

достаточно рассмотреть два произвольных смежных уровня иерархии;

231.

для других уровней метод исследования окажется аналогичным. Поэто-

му принятый способ разбиения на субсистемы в этом случае не имеет

принципиального значения. В конкретных приложениях метод анализа

должен обеспечивать, с одной стороны, возможность обоснования

исходных данных при проектировании (связь «суперсистема — систе-

ма»), с другой стороны, возможность разработки требований к субси-

стемам, входящим в состав спроектированной системы (6.64) (связь

«система — субсистема»). В обоих случаях приходится иметь дело

с задачей комплексирования, решение которой необходимо для перехо-

да к этапу производства системы (субсистемы).

Формальная постановка задачи комплексирования. Ввведем следую-

щие предположения:

1. В результате решения задачи проектирования получен номи-

нальный оператор Л

, определена номенклатура (перечень) субсистем

и установлен способ соединения этих субсистем между собой, так что

согласно (6.64)

(I) = Л

н1

, ..., А

(/), (6.66)

где Л

г (1=1, п) — известные (номинальные) операторы субсистем;

п — их число; х

(1)^М

— входной процесс номинальной системы;

— множество входных процессов, вид которого получен в результа-

те решения задачи выбора модели (см. § 6.2).

2. Оператор реальной системы можно записать в виде, аналогич-

ном (6.66):

Лр(с)х

(/)=Лр1(с

), ..., Л

„(с„)*

(*), (6.67)

где Л

г (1=1, п)—операторы реальных субсистем (которые должны

являться материальным воплощением операторов соответствующих но-

минальных субсистем Лн;), зависящие от параметров с

(1=1, п),

причем с= (с1, ..., с„). Считается также, что изменение оператора лю-

бой субсистемы не приводит к изменениям операторов других субси-

стем, т. е. субсистемы «развязаны».

3. Требования, предъявляемые к ИС на этапе производства, имеют

вид (ср. с (6.3))

Р{гз[А

, Л

(с)х

]->А

, х

еЕ7И

}<е

;

,[Л

(с)]^Г;,, /'=176',

где г

— аппаратурная (начальная) погрешность ИС в нормальных

условиях

(2=2

)

(5.88); Аз — ее предельно допустимое значение; Л

(с) соответственно операторы номинальной (6.66) и реальной (6.67)

ИС; ез — предельно допустимое значение вероятности Р(

•

) (вероятно-

сти «метрологического отказа»).

4. Требования, предъявляемые к любой субсистеме ИС на этапе

производства, должны быть получены в виде

Р {г

3 [КшХи Лр,-

(С

1)х{\ > А

г, XI е М{} < з'з-,

где индекс г в отличие от (6.68) означает, что соответствующие показа-

тели определяются для любой 1-й субсистемы.

232

(6.68)

(6.69)

Задача комплексирования состоит в том, чтобы определить показа-

тели, входящие в (6.69), для всех п субсистем с таким расчетом, чтобы

вся система, собранная из них в соответствии с (6.67), удовлетворяла

требованию (6.68). В эту задачу входит определение для субси-

стем ИС:

— критериев точности (полных погрешностей) п

, согласованных

с критерием точности Гз всей ИС;

— множеств Мг допустимых процессов

— предельно допустимых значений Д*

погрешностей субсистем,

предельно допустимых значений е

з вероятностей Р(

•

) погрешностей

Рг типов субсистем;

— видов функционалов (ограничений) (

•

) и их предельно до-

пустимых значений Г

Рассмотрим эти вопросы в указанной последовательности.

1. Определение критериев точности субсистем.

Рассмотрим вначале класс систем с последовательно (каскадно)

включенными субсистемами (см. (6.65)) и введем последовательность

систем (рис. 6.4,а), определенную выражением

{Л

га

} = {Л

нп

... Лнг+ИрИр*_1 ... Л

р1

= 0Гл, (6.70)

т. е. такую, что первые субсистемы (от входа до 1-й включительно)

являются реальными (отделены пунктиром), а последующие (от 1-й до

выхода) — номинальными. При этом система Л

) совпадает с номиналь-

ной (6.64), а система А(

)— с реальной (6.67).

Используя неравенство треугольника (1.26) и в соответствии

с определением (5.85) аппаратурной составляющей погрешности изме-

рения, запишем

Рз

[А

(г);

(0] =

[А

„ ... А

а1

{1)\

|Лр,-/4р/_,... А

Р1

Х1(((У,

1=1

Анп ••• А

1А

1 _ \А

I ... АрхХ

(()]

или, в обозначениях (6.70)

Р. = Р[Л

(

.)**(0; Л

(л)

{1)] <2 рИ<о**(0; о**(*)]. (6.71)

1=1

Здесь учтено, что р[Л(щХ

(1), Л(о)Хй(0 ] =0 (аксиома тождества).

Теперь, основываясь на определении (5.88) аппаратурной погреш-

ности ИС, имея в виду, что операторы реальных субсистем являются

случайными, и применяя оператор расширения к обеим частям послед-

него неравенства, найдем

Гг <2 гш1йг';

1 = 1

где

г,/ = В р [Л

(

/, лг

(0; А^^Хк {()]•,

= 0

Х9.~

— погрешность г'-ой субсистемы ИС.

233.

(6.72)

(6.73)

Остановимся на обсуждении физического смысла полученных вы-

ражений. Последовательность (6.70) определяет пространство выход-

ных процессов У(г)=А(1)Хъ{1), 1—0, п (см. рис. 6.4,а). Введем следующие

обозначения

О,- Д Л

« ... Аш

1-, (6.74)

Х1{1)АА-

...А

р1

{(). (6.75)

На рис. 6.4,6 субсистемы, расположенные левее пунктирной линии

I—I, формируют сигнал Хг(1)\ субсистемы, расположенные правее

пунктирной линии II—II, реализуют оператор О*.

(И\

Арг К

А„1

-IН1 + ?

П—I

• • -ЗИ

Л' П ?

- 1' Н*

I -1 г"& у I

А иг | ?

! Рг !

—. А г- / V-

I ''-—Л

Рис. 6.4. К определению погрешности г

,-:

а — последовательность систем б — схема сравнения систем и по критерию р;

в —схема сравнения субсистем Л

н;

и Д

р;

по критерию р

{

Используя обозначения (6.74), (6.75), можем записать

р[А

(П

х*({); А

(

ха^)]Лр10

я1

(^; О

р1

(0] Д

&Р1[А

1Х1((); А

Р1

Х1(()], (6.76)

откуда видно, что субсистемы Л

< и сравниваются в условиях воз-

действия на них одного и того же сигнала Х{(1) по критерию р* (зави-

234

сящему от критерия р и детерминированного оператора Сг), удовлетво-

ряющему, как это легко видеть, аксиомам метрики. Таким образом,

схемы рис. 6.4,6, и в, эквивалентны друг другу.

В определении погрешности (6.73) учитываются характеристики

множества реальных субсистем (от первой до г—1 включительно),

предшествующих рассматриваемой. Это вполне согласуется с требова-

нием удовлетворительной работы субсистемы в составе любой системы

(принцип взаимозаменяемости) при оценке качества типа субсистем.

Однако это же обстоятельство затрудняет контроль и регулировку

конкретных экземпляров субсистем.

Поэтому рассмотрим другой подход к оценке погрешностей субси-

стем, который, кстати, не связан с предположением о последовательном

соединении субсистем и позволяет рассматривать системы с произволь-

ной структурой.

Введем последовательность систем, определяемую выражением

(ср. с (6.70))

{Л<*>} = {Л

н1>

..., Лш-1, Лрг, Ат+и ..., ,4

г}, (3.77)

т. е. такую, в которой все субсистемы, кроме 1-й (реальной), являются

номинальными.

Погрешность г'-й субсистемы определим (ср. с (6.73)) Е виде

1 — г

, (с,-) = Е

[А

Хк {()', АМхьЦ)],

= 0Тп. (6.78)

* х

Очевидно, справедливо неравенство (ср. с (6.72))

г г <2

(6.79)

В частности, при последовательном соединении субсистем входной

процесс сравниваемых субсистем, в отличие от (6.75), имеет вид

... Лнлсо.

(6.80)

т. е. не зависит от характеристик реальных субсистем, предшествующих

рассматриваемой, в то время как критерий сравнения выходных

сигналов аналогичен (6.76). Схемы рис. 6.5,а и б, иллюстрирующие это

(Ц

•*Н1

Л)

I .

Н1

н 1-1

А/

4гИ

Аил

А/

Р(

Рис. 6.5. К определению погрешности г-

а — схема сравнения систем Л('-1) и Л(!'); б — схема сравнения субсистем и .4

р(

235.

обстоятельство (ср. с рис. 6.4,6 и в соответственно), эквивалентны друг

другу. Использование сигнала х

(1) обеспечивает удобство контроля и

регулировки, хотя и ценой определенного загрубления оценки погрешно-

сти— тем меньшего, чем выше точность всей системы.

Используя (6.78), (6.79), найдем соответствующие выражения для

погрешностей типов субсистем, входящих в ИС

Д./= 3 г,* (с,), 1=\Тп (6.81)

вс

и «правило суммирования»

Я.*ДД".. (6.82)

(=1

Рассмотрим также системы с произвольной структурой, критерий

точности которых удовлетворяет лишь условиям (1.8), (1.7)

р(х,у)^0\ р(х, у) =0 =фх=г/,

более слабым, чем совокупность аксиом метрики (1.26). Определим

погрешность типов субсистем выражением (6.81). Совокупность значе-

ний Язг (1=1, я) определяет аппаратурную погрешность системы, вви-

ду чего имеет место функциональная связь

Дз = ф(Дз1, Дзгг)- (6.83)

Предположим, что функция ф имеет частные производные по своим

аргументам. Тогда (6.83) при малых Дз* приближенно можно запи-

сать так

Д,=2

+ о(2 Д.Л (6-84)

1=1 \;=1 /

где

1ш

;

-о.

1=1 1=1

а коэффициенты пока неизвестны. Однако мы так подобрали опреде-

ления Язи что все щ=1 (г=1, п). В самом деле, если только какое-

либо Яц>0, а Язк=^0 {1фк), то в точности Яв=Яз1 и, следовательно,

йг= 1. Впрочем, к определению (6.81) можно придти и непосредственно

из (6.84) при условии, что йг—: постоянные величины. Таким образом,

мы получили соотношение

= ^ Д„ + 0 дЛ (б-

)

/ = 1 \»=1 /

которое можно назвать «правилом суммирования погрешностей субси-

стем». При выбранном способе определения погрешности (6.81) пра-

вило (6.85) обобщает известное правило суммирования допусков пара-

метров систем [144 ... 146].

236

Остановимся теперь на физическом смысле величины о I \ г

<1=1

Эта величина |^более высокого порядка малости, чем Яз^ указывает

на то, что п параметров — погрешностей субсистем, вообще говоря,

недостаточно для точного определения погрешности Яз системы, опи-

сываемой, быть может, значительно большим числом параметров.

В классе критериев р, удовлетворяющих также и неравенству треуголь-

ника, можно показать, что малость о ][] Яз1 по сравнению с Рз озна-

чает малость «искажений продуктов искажений». Таким образом

в определении (6.78) субсистемы с номерами 1фк могут отличаться

(конечно, в обеих сравниваемых системах) от идеальных, но это приве-

дет к изменению Язг на величину более высокого порядка малости, чем

Яз, т. е. о % Я

4=1

2. Определение множества допустимых входных процессов следует

непосредственно из (6.75) или (6.80), а именно

М*=Л

рг

_1 ... А^М

, 1—ТГп, (6.86)

МИ=Л„-1 ... А

, 4=й~п (6.87)

(для последовательного включения субсистем). Для произвольного

включения субсистем множество допустимых входных сигналов опреде-

ляется способом, аналогичным (6.87), с учетом структуры ИС. Таким

образом, безусловные погрешности (6.73) или (6.78) субсистем опреде-

ляются на соответствующих множествах (6.86) или (6.87) входных

процессов этих субсистем.

3. Определение предельно допустимых значений погрешностей суб-

систем, предельно допустимых значений вероятностей «метрологическо-

го отказа» и погрешностей типов субсистем.

Начнем с определения погрешностей (6.81) типов субсистем.

Как видно из выражения (6.82), одно и то же значение Яз можно

получить при бесконечно большом числе сочетаний значений Язг- Одна-

ко от выбранного варианта зависит стоимость всей системы, так как

стоимости и погрешности субсистем связаны между собой. Учет стои-

мости приводит к двум задачам:

— минимизации погрешности системы при заданной допустимой

стоимости;

— минимизации стоимости системы при заданной допустимой по-

грешности.

Как мы видели, определение погрешности Язг 1-й субсистемы суще-

ственно зависит от ее положения в схеме. Однако, стоимость получения

некоторой погрешности Язг нужно выражать через стоимости характе-

ристик субсистемы, не зависящих от этого обстоятельства.

Каждую 1-ю субсистему будем описывать характеристиками

8и,

• •

ёгп

(

I под которыми будем понимать уклонение параметров эле-

ментов системы, основных и паразитных, от номинала.

237.

Считая эти параметры скалярными величинами, свяжем с числами

цц (1=1, п, /=1, Пг) стоимости 'фгз^и), т. е. затраты, необходимые

для достижения заданного значения /-й характеристики *-й субси-

стемы. Относительно функций аргл предположим, что они не возрастают

при увеличении §ц (не убывают при уменьшении §ц) и неотрицатель-

ны. Оправданность таких предположений вполне очевидна. Действи-

тельно, стоимость основных параметров связана с точностью комплек-

тующих элементов, причем чем выше класс точности элементов, тем

выше их стоимость. С другой стороны, значения паразитных параме-

тров зависят от монтажа, конструкции и т. п. и их уменьшение требует

соответствующих затрат.

Будем полагать затраты на достижение §ц независимыми, что по-

зволит стоимость 1-й субсистемы Сг выражать суммой

Сь =2

1=1

Стоимость всей системы С можно тогда записать в виде

С = 2 С, = 2 1 <МЫ> (6-88)

где п — число субсистем.

Погрешность й субсистемы Язг есть функция от §ц

Яч = Ян (ви, ёы)-

Пренебрегая остаточным членом в формуле (6.85), запишем по-

грешность всей системы следующим образом:

я.=2 Яи(еп,

а. Рассмотрим задачу минимизации погрешности системы при огра-

ниченной стоимости. При заданной минимальной стоимости системы

Сг^С

требуется найти погрешности Ям субсистем, минимизирующие

погрешность всей системы, т. е.

= 2 я*и= тш2 К«(еч> Вт.)-

1=1 «И 7=1 '

В соответствии с (6.88) можем записать

Сг = Сг(§г 1, . . .,

Пусть §*ц — значение характеристик, дающее решение задачи. Тогда,

очевидно,

Я*г = ттЯ,(ёп, .. ,§

) (6.89)

при условии, что

С1 (81г е

1п

)=С, (

1и

..., =с*,. (6.90)

238.

В противном случае мы могли бы выбрать §*цф§*ц, дающие Я*з<Я*з

при той же стоимости

С* -V С*,-.

1 = 1

Из (6.89) и (6.90) вытекает, что вместо функции Язг(ё1и ё-

1п

) в

этой задаче можно рассматривать функцию определяемую сле-

дующим образом

Яи (С/) = шш Я*I (дн, ёщ)'

ец

при условии Сг{§ц, ..., ^„.) = Сг = соп.${.

Следовательно, задача видоизменяется: требуется найти погреш-

ности Я*зи минимизирующие погрешность всей системы Я*з, т. е.

Я*

= 2 Я*ч=тЯи(С

{

), (6.91)

/=1

' 1=1

лри условии

ЕС,<С,. (6.92)

(=1

Если ввести вполне оправданное предположение, что с увеличением

Сг (хотя бы для достаточно больших С,) Язг не возрастает, то условие

(6.92) можно заменить равенством

2С, = С

. (6.93)

1 = 1

В самом деле, пусть С*,-— решение задачи и 2 < С

. Тогда,

1 = 1

увеличив любое С*и мы уменьшим погрешность, не нарушив (6.92),

.а это противоречит определению С**.

Основываясь на (6.91) и (6.93), составим уравнение для решения

вариационной задачи

Г = 2 Я„(С,) + Я2

1=1 1=1

тде

А,

— неопределенный множитель Лагранжа. Необходимые условия

экстремума принимают вид

аЯзг(Сг)/с1Сг = —1, 1=1, П. (6.94)

Решение (6.94) имеет вид С**(Я), где % определяется из (6.93):

2С*,(Я) =

С„

(6.95)

1 = 1

и может быть получено графически (рис. 6.6).

б. Заметим, что задача минимизации стоимости при заданной допу-

стимой погрешности решается на основе подобных рассуждений, причем

-аналитические выражения и графическое решение отличаются соответ-

ственно от формул (6.94), (6.95) и рис. 6.6 лишь обозначениями.

239.