Розенберг В.Я. Введение в теорию точности измерительных систем

Подождите немного. Документ загружается.

мый объект в точности описывается моделью ано его пара-

метры измеряются с погрешностью Да^, оцениваемой величиной

(г, а.г) (см. (5.103)). Таким образом, случай несогласованного из-

мерения с точным нахождением экстремальных значений параметров

а^ (рис. 5.8,а) сводится к случаю согласованного измерения, но с по-

грешностью Да^ в определении экстремальных значений параметров

(рис. 5.8,6 — пунктирные кривые), если значения (I, а*) одинаковы

в обоих случаях.

Предельное значение интервала неопределенности Аа^ц для 1-я со-

ставляющей векторного параметра

а}к— {й]к( 1), ..., ащц, ..., ащп]))

можно определить, решив уравнение (ср. с (5.103))

Р [//*Я/А (о. •••. а/к 0)

=±=

Да/ </),..., а

!к (

(х, а

!к

)]=§1х («, а«)

(5.105)

относительно Аа^{1 = 17п;).

Интервал неопределенности

Да,

</>

(/, а,) =

Да\% | +1 Да<

>, |. (5.106)

Зона неопределенности Да^(1, а,) параметра определяется со-

вокупностью таких интервалов для всех щ координат.

Мы рассмотрели вопрос о нахождении зоны неопределенности при

фиксированном объекте, характеризуемом «истинной» моделью /,(х, &{).

По множеству таких объектов зону неопределенности можно найти на

основании (5.104) в виде

( I-

2 Р(>) | Да/А

(г,

) р (а

)

йдц

А Да

/А

а/

* = {

г=1 М

_ (5.107)

зир Да;к (г, аг) А Да/*.

,<={ГТ}

Погрешность оценки параметров аг должна быть соизмерима с раз-

мерами зоны неопределенности. Дальнейшее завышение требований

к точности этой оценки приводит к неоправданному расходованию уси-

лий и средств, поскольку оно не приводит к цели.

Алгоритмическая погрешность.

Аналогично предыдущему случаю, основываясь на (5.93), обозна-

чим алгоритмическую погрешность ИС и типа ИС общей записью

Условная алгоритмическая погрешность (при данном х)

Ш* (х) = |р [ук (х), у* (х, л)] р (х

х) йх. (5.108)

Безусловная погрешность

( П

Р [Ук

(•*). Уя(х, Х)] р (х, х) йхйх А

Г » " ~ _ _

(5-Ю9)

зир р [ук (х), у

(х,

Л;)]

р (.ф) йх А М*

200.

Рис. 5.9. Многоугольник составляющих погреш-

ности <Ш*).

характеризует (по множеству х) дополни-

тельную (по сравнению с (5.101)) потерю

точности, связанную, во-первых, с наличием

ограничений, налагаемых на объем резуль-

татов наблюдений, во-вторых, с особенно-

стями конкретного алгоритма Л

обработки

этих результатов наблюдений. Попытаемся

оценить влияние на погрешность ИС этих

двух факторов порознь. Для этого опреде-

лим оптимальную систему А

из условия

аг&пип И (ук, Уи);

вг

= ащттШ{Ук, Ун)-

е{А}

аг§ тт М(у

Ун). '

(5.110)

где Уъ=Ах

; {Л}

— множество операторов, удовлетворяющих тем же огра-

ничениям, в рамках которых находился оператор Величина

(х, х)

=А<х>х

(5.111)

представляет собой выходной процесс оптимальной системы.

С очевидными обозначениями справедливо неравенство треуголь-

ника

и А Ж {ук, уя) < М (ук, уо)+М (уо, Уп) = ( ^

Уа)Уя)

[М(Ук, у,)-\-<Я(у„ Ун).

Величину

( сЯ [ук, Уь)\

Уч)

\ Ш {у к,

назовем статистической погрешностью, а величину

(Ж [у„ Ув\

1".АЙ(?„ Ун)-

{М(У», Ун)

(5.112)

(5.113)

(5.114)

— погрешностью из-за неоптимальности (неэффективно-

сти) алгоритма.

Неравенство (5.112) представлено многоугольником погрешностей

(рис. 5.9). На этом же рисунке показаны составляющие = —

теоретическая погрешность и

— методическая погреш-

ность неоптимальной системы. Составляющая

<Я

{2)

*(У*, У.) (5.115)

погрешность

представляет собой методическую

оптимальной системы. Отношение

(5.116)

2 01

можно назвать коэффициентом оптимальности алгорит-

м а. Это понятие аналогично известному понятию «относительная эф-

фективность» [31]. Для оптимального алгоритма величина к

и равна

единице.

Сравним выражения

= аг§; тт М[А

х, Ах], х^М\ (5.117)

Д(={Л}

= аг§ тт Я[А

х, Ах], х^М; (5.118)

= аг§ тт М[А

, Ах

], х

<=М

аМ, (5.119)

предполагая, что во всех трех случаях множество операторов {Л}

, из

которого выбирается оптимальный оператор, одно и то же (определя-

ется одними и теми же ограничениями).

В первом случае (5.117) оптимальная система А

наиболее близка

к идеальной. Результаты измерения интерпретируются в терминах те-

зауруса М и теоретическая погрешность отсутствует (согласованное

измерение, гипотетический случай).

Во втором случае (5.118), совпадающем с (5.110), оптимальная си-

стема Л02 приближается к квазиидеальной. Результаты измерения ин-

терпретируются в терминах тезауруса М

, хотя на систему воздействуют

сигналы из «расширенного» множества. Последнее обстоятель-

ство учитывается, поскольку в системе предусматривается либо усред-

нение по «мешающим» параметрам (байесовская система), либо она

рассчитывается на наименее благоприятное распределение «мешающих»

параметров (минимаксная система).

Наконец, в третьем случае (5.119) оптимальная система Л

0з

также

приближается к квазиидеальной, но, в отличие от второго случая,

оптимизация производится на подмножестве сигналов х?^)

в то время как оценка погрешности производится на сигналах х(/)еА1

из «расширенного» множества. Иначе говоря, наличие «мешающих»

параметров в алгоритме Л

не учитывается.

Естественно, что операторы Л<и, Л

2 и Л

з в общем случае не совпа-

дают между собой, причем можно показать, что

М[А

х, А

х]<М[А

х, А

х]<М\А

х, А

х], (5.120)

т. е. наилучшим оператором является Л

1, а наихудшим — Лоз- Несмотря

на это, практические соображения (наличие априорных данных, воз-

можность решения задачи синтеза, требование простоты системы) вы-

нуждают прибегать к применению последнего алгоритма и даже, более

того, использовать его неоптимальный вариант (номинальная система).

При ослаблении ограничений все три системы улучшаются и в пре-

деле (на множестве х(1)^М) Л

1 совпадает с Л

; Л

— с А

, а Лоз также

совпадает с А

, но, в отличие от Л

2, только на множестве М

-, совпаде-

ние Л

з с А

на множестве М не гарантируется.

Итак, уменьшить алгоритмическую погрешность можно, используя

оптимальные алгоритмы; для дальнейшего ее уменьшения необходимо

ослабить ограничения (увеличить объем выборки, стоимость и т. п.), что

не всегда возможно. Снизить методическую погрешность можно умень-

202.

шая ее составляющие: теоретическую, статистическую, алгоритмиче-

скую.

Аппаратурная погрешность.

Выпишем вначале выражения для составляющих аппаратурной по-

грешности.

1. Аппаратурная (начальная) погрешность И С — г

( с, к) (5.88)

Учитывая (5.85), найдем вначале условную погрешность

{х, с, к) = ^

[у

(х, х), у

рх

(х, х, с, к)] р (х

х)йх. (5.121)

Безусловная погрешность

г, (с, к) =

х), у

р1

(х, х, с, к )]р(х, х)йхй х^г

(с, к);

вир р[у

и, х), у

г{х, х, с, к)]р(х|х) йхЛгз(с, к).

лсМ

(5.122)

Напомним, что при определении этой составляющей предполагается, что

2. Аппаратурная (дополнительная) погрешность И С (в данный мо-

мент в диапазоне влияющих факторов) —г

(с, к, I). (5.88)

Условная погрешность с учетом (5.85)

г*\х, с, к, I)— Л р[у

1(х, х, с, к), у

Р2

(х, х, с, к, г, *)] X

Хр{х\х)р (г)Охйг. (5.123)

Безусловная погрешность

ЩриМ*. х, с, к), Ург(Х,Х, с, к, 2, *)]Х

. Хр(х, х\ р (г) йхЛхдг Д г

(с, к,

(с, к, г) = _ - _ (5.124)

зир р[у

1(х, х, с, к), у

р2

(х, х, с, к, 2,

?)]

ХР(.

)Р(

) йх&г Д г

(с, к,

3. Аппаратурная (полная, погрешность И С — г

(с, к, I). (5.91)

Согласно неравенствам (5.58) — (5.60)

2л

(х, с, к,

. к) + г

(х, с, к, *); (5.125)

2>4

(С, к, /)<г

(с, к) +г

(с, к, *), (5.126)

где условная погрешность

*(х, с, к,

()

= ^р[Ун(х, х), у

р2

(х, х, с, к, 2, 1)\р (х\х)р(г) йхйг, (5.127)

безусловная погрешность

?[У»(Х, х), у

рг

{х, х, с, к, 2, Г)]р{х,х)Х

X Р(г) йхйх&г Д г

,* (с, к, I);

г.,

(с, к, 0=-! с с ~ ~ (5.128)

8йр Р

[уЯ

(х, X), у

2 (X, X, с, к, 2, 01X

ХР(,

)Р (г) йхйг Д ?

(с, к, 1).

204.

Составляющие аппаратурной погрешности ИС, входящие в правую

часть неравенств (5.125), (5.126), определены выражениями (5.121) ...

... (5.124).

Аналогичные составляющие для аппаратурной погрешности типа

ИС, согласно (5.94), можно записать в следующем виде:

1. Аппаратурная (начальная) погрешность типа ИС— Р

(5.94).

Условная погрешность

Я»

(х) = |ДО

[Ун(х, х),

ург

(х, х, с, к)]р(х\х)р(к)р(с

к) йхАЫс. (5.129)

Безусловная погрешность

Ур1

(

' •^)Р(

)/'(

)Х

X йхйхАЫс Л Р

;

Л =

зир | [|

[уп(х, х), у

р1

(х, х, с,

к)]р(х\х)р(к)р(с |

к) X

130)

х^М " " "

ХйхдкдсДЯ,.

2. Аппаратурная (дополнительная) погрешность типа ИС (в дан-

ный момент в диапазоне влияющих факторов) —(5.94)

р[у

1(х, х, с, к), у

г (х, х, с, к, 2,

{)]•

р (х\х)Х

Хр{к)р{г)р[с{1)\к, 7]йхйЫгйс. (5.131)

Безусловная погрешность

ЯШ р^

ур

эд х

х Р {X,

л:)

р (к) р (г) р [с (I)

к, г] йхйхАЫгйс Д

Ра,

(();

зир р[!/р,(х, х, с, к), у

г(х, х, с, к, г, г)1Х

ХР (х\х)р (к) р (г) р [с

(г) |

к, г] <ШксЫс Д Я* (*).

3. Аппаратурная (полная) погрешность типа И С — (5.97).

Эта погрешность связана со своими составляющими (5.129) ...

... (5.132) неравенствами, аналогичными (5.125), (5.126)

#2,4(*> 1)<Щх)+Щх, 0, (5.133)

/?м(0<#»+'Д4(0. (5.134)

где условная погрешность

Я»,

(х, 0 = ||||

[г/н (х, X),

(х, х, с, к, 20] X

X р

(Зс |

х) р (к) р (г) р [с

(*)

| к, г] й~хШгйс. (5.135)

204.

и безусловная погрешность

Ш И

Ург

' ^

^ ^

X р (к) р (г) р [с (0 | к, г] йхйх&Ыг&с Д

Ц);

Д.. 4(0 =

(5.136)

] зир ((Ц р[г/

(Л, х), у

р2

(х, х, с, к, г, 0] X

ХР (х\х)р (к) р (г) р [с (?)

к, г] йх&ЫгЛс Д

Дальнейший анализ аппаратурной погрешности в рамках рассма-

триваемой модели БС связан с выявлением раздельного и комбиниро-

ванного влияния таких факторов, как погрешность образцовых средств

(действие ВМ&), внешние воздействия (действие ВМ

), технологический

разброс параметров элементов в начальный момент /

при нормальных

условиях 2

(величина Дс(/

, г

, к

), действие ВМ

), а также фактора

старения системы к моменту

Для выявления возможных ситуаций представим операторы Л

, Л

р2

в виде параметрического семейства

= Л

р2

[х, X, с

(^н, 2

, кн)];

Лр1

= Л

р2

[*, X, с(*

, 2

, к)]; (5.137)

Лр

= Лр2 [х, X, с((, 2, к)].

Совместное распределение случайных ве-

личин к, 2, Дс в произвольный момент времени

при всевозможных сочетаниях фиксированных

значений к

, г

, Дс=0 (с=с

) можно пред-

ставить в виде произведения сомножителей,

соответствующих различным путям при движе-

нии по классификационному дереву (рис. 5.10)

в направлениях, указанных стрелками. Из

этого рисунка видно, что только с учетом ука-

занных частных значений к

, 2

, Дс, возмож-

ны г

=16 вариантов состония системы. В ча-

стности, траекториям 1111, 0110, 0000 на

этом дереве соответствуют распределения

р(к, 2, I, с) следующего вида:

6 (к—к

)

(г—2

) 6[с-с

)

];

р(к)6(2-2н)р[с(/н)|к,

2];

р{к)р(г)р[с{1)\к,

]

=р(к!р(г1р[с(Ц\к,г]

Рис. 5.10. Классификация

некоторых возможных ви-

дов распределения

р(к,

с).

и состояния системы (5.137). Из остальных вариантов мы приведем вы-

ражения лишь для составляющих погрешностей ИС, типа ИС, обязан-

ных наличию указанных факторов, действующих порознь.

Погрешность типа ИС, обязанная неидеальности образцовых

средств.

Полагаем

р(к, 2

, с

) =р(к)6(2—2

)6[с—с

(4)],

что соответствует траектории 0111 (см. рис. 5.10).

/5.138)

205.

При этом (5.135) и (5.136) вырождаются в

Як {х) = Л

[у

(X, X),

Ура

(х, X, Сн, к, 2

*н)[

р (х

х) р

(к)

йхШ\

х),

г/

р2

(х,

х, Сн, к, 2н,

/н)]р(х,

х) X

х Р (к) йхйхйк Д йь;

Як = { (-Г ~ ~ (

5Л39

ир р

[у

(X, X), ур

(X,

X, Си, к, 2

, Ш X

Хр(х\х)р (к) йхдк Д Як-

Здесь учтено только влияние ВМ^.

Погрешность ИС (типа ИС) в диапазоне влияющих факторов.

Имеем, согласно траектории 1011,

р{кн, 2, и Си) = 6(к-к

)

р(2)6[с—Сн(/

)]. (5.140)

Выражения (5.123) и (5.131) или (5.127) и (5.135)) при этом при-

мут вид

Мг(х) = Я

р[Ур1(-К,

х, Сн,

кн,), Ург

(х, X, Сн, кн, 2, 4)] X

X р (х

х) р (г) йх&г,

а выражения (5.124) и (5.132) (или (5.128) и (5.136)) — вид

ШР1Ы*. Я С

, кн), Ург(х, X, Сн, кн, 2,

/„)]

X Р (х, х) р (г) йхйхйг Д Мг',

зир

[у

1 (х, х, Сн, кн), Ург{Х, X, Сн, кн, 2,

4)1 X

(5.141)

X р (х

х) р (г) йхАг ЬЖг-

При этом учитывается лишь влияние ВМ

. Эту погрешность иногда

называют д о по л н и т е л ь н о й в отличие от основной погрешности, ко-

торая определяется в нормальных условиях 2 = г

Погрешность ИС (типа ИС) за счет естественного ухода пара-

метров.

Этому случаю соответствует траектория 1101 и распределение

р(кн, 2н, и Сн) =б(к-кн)6(2-2н)б[с-с

(/)]. (5.142)

Пользуясь (5.127) (или (5.135)), получим

1) = |р[Ун(х, х), УР*(Х, х, Сн, кн, 2

, Щр(х\х) йх,

а воспользовавшись (5.128) (или (5.136)), найдем

[Ун (X, X),

Ур

(Х, X, Сн, кн, 2„, 0] X

Яг (0 =

X Р {х, х) йхйх Д Мг (0;

зиф ^р[у„(х, х), Ур

(х, X, Сн, кн, 2н, 01X

Хр (х\х)йх&$1 (0-

(5.14 с)

хе=М

206.

Технологическая погрешность типа ИС.

Этот случай получается при выборе траектории 1110, т. е. распре-

деления

р(кн, 2

, /и, С) = 6(к—к

)6(2—2

)р[с(/н) |к

, 2а]. (5.144)

Условную погрешность найдем, используя (5.135),

Кс(х) = || Р\Уя(Х, х), Утя(х, X, С, кн, 2н, *н)1 X

X р (х

х) р

[С

(*„) | ки, 2н] йхбс,

-а безусловную — основываясь на (5.136),

|||р[Уй(Л, ~х), Ург(Х, X, С, кн, 2н, ^н)]Х

X р (х, х) р [с (*

) | к

, 2

] йхйхАс А Р

ир

[у

(х, х), г/р

(х,\х, с, кн, 2

, ^

)] X

X Р (х\х)р[с (*„) | кн, 2

] йхйс А Р

Рс

(5.145)

Здесь учитывается влияние вероятностного механизма ВМ

, дейст-

вующего изолированно, при прочих нормальных (номинальных, началь-

ных) условиях.

Аналогичным образом легко найти погрешности при совместном

воздействии вероятностных механизмов и фактора времени, а также при

произвольных, но фиксированных значениях указанных факторов.

5.4. РЕЗЮМЕ

1. Анализ полной погрешности (измерения, ИС, типа ИС) необ-

ходим

— для оценки доминирующих составляющих, вносящих наибольший

вклад в погрешность;

— для формулирования «локальных» задач оптимизации, решение

которых имеет целью уменьшение этих доминирующих составляющих.

Хотя относительно смысла и наименований некоторых составляю-

щих полной погрешности имеются упоминания в метрологической лите-

ратуре (см., например, [1]), необходимо располагать регулярными мето-

дами количественного анализа полной погрешности, пригодными для

любого из способов ее выражения, приведенных в гл. 4 (см. рис. 4.3),

поскольку решение указанных задач и оценку целесообразности усилий,

затрачиваемых на оптимизацию ИС и типа ИС, можно получить лишь

на основе количественного подхода. Решению этой проблемы и была

посвящена данная глава.

2. Классификация методов определения, а также источников и со-

ставляющих полной погрешности (рис. 5.11), в дополнение к точке зре-

ния, принятой нами в предыдущей главе, предполагает, что полные по-

207

грешности измерения и ИС представляют собой не случайную величину,

а случайный процесс (погрешность типа ИС — детерминированный про-

цесс), т. е. учитывает фактор времени. Как и любые другие процессы

(см. гл. 2), этот процесс можно представить либо формальной, либо

структурной моделью.

Первый признак классификации учитывает именно эту особенность

модели полной погрешности. Как обычно, структурная модель оказыва-

ется более'информативной, чем формальная, поскольку, в отличие от

последней, она позволяет указать источники погрешностей и тем самым

открывает возможности для управления качеством ИС.

Модель

погрешности.

Источники,

погрешности.

Формальная

Составляющие

Системати Случайная

погрешности

ческая 31-

\СуВ систе-

мы ИС

| \Погресиность

сиВсистемы

(1=1, п)

Управления, ограничений

и возмущения на

этапах эволюции \

7ЩХГ

Управления, ограниче- | I

ния и возмущения на\ 1

. этапах эволюции \ !

| Погрешности |

\ \суВсу6системь\ |

I \Л

1к

(к=1,п

)\ |

\ — и

7ЖТ

РИС. 5.11. Классификация методов определения, источников и составляющих погреш-

ности.

Второй признак связывает возможные источники погрешностей

(рассматриваемые в рамках структурной модели) либо с субсистемами

БС, либо с субсистемами ИС. В первом случае погрешность рассматри-

вается как процесс, развивающийся вначале в дискретном «времени»,

роль которого играют начальные этапе эволюции ИС, а затем, на этапе

эксплуатации, — в непрерывном («физическом») времени. На каждом из

этих этапов источниками погрешности являются соответствующие управ-

ления (принятые технические решения), ограничения, налагаемые на

них, и неконтролируемые возмущения. Во втором случае источниками

погрешности являются отдельные субсистемы (блоки, элементы) ИС,

характеристики которых отличаются от номинальных.

Третий признак связывает с моделями и источниками погрешности

соответствующие составляющие.

3. Анализ формальной модели погрешности ограничен определением

систематической и случайной составляющих погрешности ИС, и типа

ИС, связанных с числовыми характеристиками (функционалами поло-

жения и протяженности) условной плотности вероятности результата

208

измерения в реальной системе. Показано, что различные определения

указанных составляющих, в том числе и известных из литературы, выте-

кают как частные случаи из выражения для условного риска при кон-

кретизации вида функции потерь; из этого же выражения следуют тре-

бования состоятельности и несмещенности, более общие, чем обычно

используемые в теории статистических оценок. Отмечено, что результа-

ты анализа формальной модели погрешности можно использовать для

уменьшения случайной составляющей путем выбора определенного чис-

ла измерений, но, в отличие от результатов анализа структурной моде-

ли, они не могут служить конструктивным инструментом оптимизации

ИС и типа ИС.

Анализ структурной модели проведен с использованием предложен-

ного метода эволюции пространства состояний, в основе которого лежат

определенные предположения о структуре (операторе) БС. Следует за-

метить, что в известном [58, 59] методе пространства состояний систему

рассматривают как нечто, заранее заданное, игнорируя тот факт, что

пространство состояний системы, построенной для достижения опреде-

ленной цели, сформировалось в результате сложного многоэтапного про-

цесса ее создания, в ходе которого это пространство претерпевало опре-

деленную эволюцию. Таким образом, окончательный вид пространства

состояний зависит от управляющих и возмущающих воздействий, имев-

ших место на каждом этапе. На основе применения метода эволюции

к анализу конкретной модели БС получены выражения для составляю-

щих полной погрешности: теоретической, методической, алгоритмиче-

ской, статистической, аппаратурной (начальной), аппаратурной (допол-

нительной) и др., связанных с соответствующими субсистемами БС (эта-

пами эволюции ИС). Разумеется, дальнейшая детализация структуры

БС позволяет, пользуясь указанным методом, выделить дополнительные

составляющие погрешности. Заметим, что «глубина» и достоверность

анализа целиком определяется сложностью и точностью используемой

модели БС.

В задачу анализа структурной модели полной погрешности также

входит определение составляющих, обязанных неидеальности отдельных

субсистем, входящих в ИС. Рассмотрение этого вопроса, связанного

с использованием информации о структуре ИС и применением метода

иерархии, по методическим соображениям перенесено в следующую

главу, в которой будет проанализирована более полная модель БС.

4. Когда речь идет не об ИС, а об изделиях произвольного назначе-

ния, задача теоретического определения и экспериментальной оценки

критерия качества и его компонент составляет предмет квалиме-

трии [79]. Формулы и оценки, полученные в данной главе (при некото-

ром изменении терминологии), пригодны для решения этой задачи.

14—96