Розенберг В.Я. Введение в теорию точности измерительных систем

Подождите немного. Документ загружается.

и используя фильтрующее свойство 6-функции, получим

г— ^ / [г/и, 1р{~

(г/и)] р (г/и) <*</*•

^и&'и

Так как р(у

)с1у

= р(х)с1х, окончательное выражение для среднего риска име-

ет вид

7= 1[Ы(х),{

(х)]р(х)ах. • (6.119;

х^Х

Таким образом, крепление характеристик в данной точке х «взвешивается» с ве-

сом, равным плотности вероятности р(х), или, что то же (в случае эргодического

процесса), с весом, равным относительному времени пребывания сигнала х(1) на дан-

ном уровне х.

Вернемся" к критерию (6.113). Предположим, что характеристика реальной систе-

мы !р{х) выбрана так, что она удовлетворяет (6.Г13) в интересующей нас области

изменения аргумента. Оценим критерий качества для такой системы из (6.119) при

функции потерь вида 1=

{а(х)—^

(х) |р

п Л

= ] 1/и (*)

—

Ь (*)

[Р

р (х) йх < | тРр (х) с1х — тр.

Х(=2Х х^Х

Таким образом, для заданного вида функций потерь полученная величина т?

является верхней границей г, которая может достигаться в наиболее неблагоприятном

случае, когда |/и(

)—/Р(•*) I —

- Использование информации о входном сигнале

(в данном случае — плотности вероятностей р(х)) позволяет уточнить эту оценку.

Например, при квадратичной функции потерь и гармоническом входном сигнале

(6.119) примет вид

—а

Отсюда следует, что наибольший «вес» придается участкам характеристик?:

!р(х), находящимся на краях динамического диапазона.

6.4. ЭТАП ПРОИЗВОДСТВА. МИНИМИЗАЦИЯ

НАЧАЛЬНОЙ АППАРАТУРНОЙ ПОГРЕШНОСТИ

На этапе производства решается задача материального воплоще-

ния спроектированной системы А

(5.76). При этом неизбежно вносится

начальная аппаратурная погрешность (5.122) и управление на этом эта-

пе считается оптимальным, если оно принадлежит множеству допусти-

мых управлений, ограниченному имеющимися ресурсами, и минимизи-

рует указанную погрешность.

Для того, чтобы выявить возможные управления, ограничения и

неконтролируемые возмущения, действующие на этом этапе, и сформу-

лировать задачу оптимизации, попытаемся построить структурную

модель производства. С этой целью нам придется существенным обра-

зом развить и детализировать структуру БС, рассмотренной ранее (см.

рис. 5.5), учитывая иерархический характер структуры ИС, о котором

говорилось при рассмотрении задачи комплексирования.

Представим модель производства выражением (5.76), которое мк

перепишем в виде

=Вз(из, юз)5, (6.120)

250.

где 5 — полная совокупность комплектующих изделий, сырья, материа-

лов, идущих на изготовление системы; 5з(-) —оператор производства,

соответствующий принятому технологическому процессу; — реальная

ИС (готовое изделие); и, ю

— соответственно управления и неконтро-

лируемые возмущения на этапе производства.

В свою очередь оператор В

можно представить в виде последова-

тельности (произведения) операторов

(и

, шз) =В"'(и'", о/")б"(«", со")В'(и', со'), (6.121)

где В'(-), В"(-), В'" (•) — операторы, описывающие соответственно

этапы сборки, регулировки, контроля ИС; и', и", и'" и а', со", со'" —

управления и неконтролируемые возмущения на этих этапах, причем

11з= (и', и", и'"); (6.122)

= (о/, со", со"')- (6.123)

Рассмотрим указанные этапы в отдельности.

1. Этап сборки.

Будем предполагать, что на сборку поступают полные комплекты

8л готовых субсистем Л

рг

- (1= 1, п), входящих в ИС,

5а = {Л

р1

, ..., Л

ри

} (6.124)

(ср. с (6.67)) и операция сборки заключается в соединении этих суб-

систем между собой в соответствии с указаниями о структуре оператора

(6.64), содержащимися в проектной документации. В результате

сборки будет получена реальная ИС

1 = В'(ЛН)5

. (6.125»

Для того, чтобы учесть иерархический характер структуры ИС по-

следнее выражение необходимо рассматривать как операцию сборки,

соответствующую самому верхнему (нулевому) уровню иерархии. Каж-

дую из субсистем с оператором А

г(1—\,п), входящую в состав ИС,

в свою очередь следует рассматривать как результат применения соот-

ветствующей операции сборки (на первом уровне иерархии) к комплек-

ту субсубсистем, входящих в ее состав; далее, аналогичное рассужде-

ние применяется по отношению к каждой из субсубсистем (второй уро-

вень иерархии) и т. д. Сказанное можно представить в виде последова-

тельности соотношений

АН1- 1) .

р>

-1) <

ЛНП

Я 1(1)

Ч.

(6.126)

дФ-1} п'(»-0 1ДЧ*) ••-• д1(ч) 1

•каждое из которых описывает 1(1)-е изделие (г"(/)=1, п[1(1—\)]1-то

уровня иерархии (1—0, рассматриваемое как результат применения

операции сборки ВщЩ-

') к соответствующему комплекту

Ы(1-1) гдЦП дЩ) 1

251.

(ср. с (6.124)) входящих в него субсистем (комплектующих изделий).

При этом первое выражение представляет собой ничто иное, как пере-

писанное в иных очевидных обозначениях выражение (6.125), а послед-

нее— операцию выбора подходящих исходных материалов

(сырья), обладающих требуемыми свойствами, или синтез искусствен-

ных материалов с заданными свойствами (^+1)-й уровень представ-

ляет собой «природу» — запас исходных материалов).

Структура иерархической системы, соответствующей (6.126), схема-

тически показана на рис. 6.12 (ср., например, с рис. 2.2). Стрелки, на-

правленные снизу вверх, показывают направление движения реальных

изделий, стрелки, направленные сверху вниз, — направление движения

потока информации. Последняя представляет собой требования, задан-

ные в форме (6.68), (6.69) для соответствующего уровня иерархии, по-

лученные в результате решения задачи комплексирования по методике,

изложенной в предыдущем параграфе. Как указывалось ранее, предпо-

лагается, что требования, задаваемые на ИС в целом (нулевой уровень

иерархии), получены в форме (6.3) в результате решения задачи ком-

плексирования суперсистемы.

Рассмотрим более подробно структуру операторов , входящих в

(6.126). Если бы изделия на каждом уровне иерархии заведомо удов-

летворяли предъявляемым требованиям, то эти операторы представляли

бы собой лишь операторы сборки. В действительности, однако, каждый

такой оператор является оператором большой системы, структура кото-

рой аналогична исследуемой (см. рис. 5.5), и включает в себя этапы

выбора модели, проектирования,

комплексирования, производства.

^уперсистетг

4»

АЧ

1(2}

-Ш)

Вд

Требования

к А

|—

вШ

Требования

кАцп

Щвбрвания

А цг)

61(1-1)

•

М)

матерш№

Рис. 6.12. Структура иерархической системы

производства.

252.

Как мы видели, на каждом из

этих этапов действуют неконтро-

лируемые возмущения, а также

имеются ограничения, налагае-

мые на допустимые управления.

Следует, кроме того, учитывать

неоптимальность управлений и

приближенный характер реше-

ния задач комплексирования.

По указанным причинам тре-

бования вида (6.3), (6.68) или

(6.69) после завершения опера-

ции сборки не выполняются и

в процессе производства необхо-

димо вводить дополнительные

операции регулировки и контро-

ля. Таким образом, оператор

производства действительно дол-

жен быть представлен в виде

(6.121). Однако и эти меры не

дают гарантии в том, что все

субсистемы, поступающие на сбор-

ку, окажутся годными. Как мы

увидим далее, операции регу-

лировки и контроля прин-

дипиально не могут быть свободными от погрешностей. Однако, оптими-

зируя эти операции, можно существенно повысить точность ИС.

Из сказанного следует, что полную структурную модель данного

производства можно построить лишь учитывая целую цепь моделей

смежных производств материалов и комплектующих изделий на пред-

приятиях-поставщиках (оператор присоединения моделей), ввиду чего

такая модель оказывается весьма сложной.

2. Этап регулировки.

На этом этапе изменяют параметры реальной системы с целью

минимизации аппаратурной погрешности, что можно записать в виде

Лр

=В

р1

(6.127)

или

\п (с*р) = аг§шш Гз [Лр(Ср) х«, Л

(Сн)^к], (6.128)

где г

(-) —аппаратурная погрешность (5.122), изменяющаяся в процес-

се регулировки (управления); Л

(с

) —номинальная система, играющая

роль фиксированной модели-предписания; Л

(с

) —собранная реальная

система, являющаяся управляемым объектом; с

— регулируемые пара-

метры реальной системы. (Заметим, что регулировка проводится, как

правило, в нормальных условиях.)

После окончания процесса регулировки реальная система должна

удовлетворять условию

ГзИрп(С*р)*л, ЛН(С

)*Й]<Д«, (6.129)

где Дз — заданный предел допускаемой аппаратурной (начальной) по-

грешности. На этом основании можно считать, что цель регулировки —

довести аппаратурную погрешность до значения, не превышающего Д

Регулировка включает в себя измерение параметров реальной си-

стемы и сравнение их с номинальными значениями и представляет со-

бой некоторый динамический процесс. Поэтому оператор регулировки

В" (6.127) целесообразно представить в виде произведения трех опе-

раторов

рП

= 5р5„5

Лр1, (6.130)

где В

— оператор идентификации, т. е. измерения параметров реаль-

ной системы; В

— оператор диагностики, т. е. установления параметров

реальной системы, значения которых подлежат изменению; В

— опера-

тор «собственно» регулировки, т. е. изменения значений регулируемых

параметров. Таким образом идентификация и диагностика призваны

дать ответы на вопросы о том, «что можно» и «что нужно» изменить

в процессе «собственно» регулировки реальной системы. Рассмотрим

эти операторы подробней.

Идентификация заключается в отыскании модели Л*

реальной си-

стемы Л

в классе {Л

} структурных моделей, согласно алгоритму

: Л*

(с

) = аг§гаш г [А , (с

) х

, А (с

) х

]. (6.131)

В процессе диагностики полученная модель Л*

сравнивается с но-

минальной системой Л

: г[Л*

(с*м)*

, Л

(СнЫ, (6.132)

253

в результате чего выявляются параметры реальной системы с

, имею-

щие недопустимо большое отклонение от номинальных значений. Далее

.эти параметры отождествляются с некоторыми «вещественными» эле-

ментами реальной системы («параметрами» с

) и собственно регулиров-

ка производится в соответствии с алгоритмом

(

аг

ш1п

ИР

(с

) Хк, А

(с

) Хк] .

(6.133)

Ан

г —>

Гем самым уменьшается различие между реальной и номинальной си-

стемами-

Подставив (6.131), (6.132) в (6.133), получим

(с*) = аг§ гаш г{аг§ тт г [А , (ср) х

, А

(с

) х

\, А

(с

) Хк}- (6.134)

Сравнивая схему регулировки (рис. 6.13) со схемой (см. рис. 1.3,б),

а также соответствующие им выражения (6.134) и (1.36), видим, что

в процессе регулировки решается задача оптимизации. Поскольку в ре-

альной системе имеются элементы, накапливающие энергию, то из-за

искажающего действия переходных процессов

результат идентификации зависит не только

от мгновенных значений параметров реальной

системы, но и от ее «предыстории». Поэтому

допустимая скорость настройки зависит от по-

стоянной времени системы и мсжет оказаться

целесообразным использовать не непрерыв-

ный, а итерационный режим настройки, ана-

логичный (1.37), (1.38).

Важно отметить, что хотя на эта-

пе регулировки уменьшается погрешность

системы, однако это не нарушает «зако-

на накопления погрешности» (4.147), по-

скольку системе сообщается дополнительная

информация (по каналу, минующему этапы комплексирования и сбор-

ки) об операторе Л

в виде образцовой системы, используемой в про-

цессе регулировки и реализующей этот оператор. В результате регули-

ровки уменьшается также погрешность Яз типа ИС, что наглядно иллю-

стрируется деформацией распределения погрешностей г, рассматривае-

мых как случайные величины. Примерные кривые распределения

погрешностей (рис. 6.14) позволяют установить одну интересную особен-

ность процесса регулировки в случае неоптимального алгоритма А

фА

. Эта особенность состоит в том, что за счет технологического раз-

броса параметров с, определяемого действием вероятностного механиз-

ма ВМ

, определенная часть систем будет иметь погрешность, меньшую,

чем- погрешность номинальной системы. Относительная доля этих систем

в общей партии определяется площадью под кривой распределе-

ния, лежащей левее оси

(г—г'

). Поскольку согласно (6.133) эти систе-

мы сравнивают с номинальной системой, постольку в процессе регу-

лировки распределение р(г) будет все больше сосредоточиваться вбли-

зи оси

(г—г

), по мере того, как различие между реальными система-

ми и номинальной уменьшается. При этом системы, обладающие мень-

шей погрешностью, чем номинальная, фактически ухудшаются, хотя,

.254

ис. 6.13. Схема регули-

ровки.

разумеется, уменьшается и доля систем, погрешность которых превы-

шает допустимую величину. Этого недостатка лишен процесс контроля-

(и регулировки) в тех случаях, когда в качестве образцовой берется

оптимальная система, поскольку при любом наиболее благоприятном

стечении значений параметров системы ее погрешность не может ока-

заться меньше погрешности оптимальной системы. Рис. 6.14 имеет оче-

видную связь с многоугольником погрешностей (см. рис. 5.6). При

ослаблении ограничений, имеющихся при проектировании, кри-.

вые сдвигаются влево, сосредоточиваясь вокруг значений г"

<г'

и г"

<С.

типа.

Заметим, что в условиях установившегося серийного производства

однотипных систем процедуры идентификации и диагностики каждой

конкретной системы могут отсутствовать, поскольку вид модели систе-

мы оказывается известным в результате исследования первой опытной

партии систем. В этих случаях в конструкции систем специально пре-

дусматривается минимально необходимое число органов регулировки,

с помощью которых добиваются соответствия системы предъявляемым

требованиям.

Для описания процесса регулировки необходимо, чтобы реальную

систему, ее модель, полученную в результате идентификации, а также

номинальную систему можно было представить единым параметриче-

ским семейством операторов и чтобы при этом были учтены вероятност-

ные механизмы ВМ

, ВМ

Построим указанное семейство в предположении, что факторы г(1)

изменяются настолько медленно, что за время измерения их значения

можно считать постоянными случайными величинами 2, так что опера-

тор реальной системы можно записать в виде

{с

[*, 2(0, к]}=Л

{ф, 2(<), к], А[1, 2, (*)], е[*. 2(*)]}~

«Л

[с(/, 2, к], 2), е(*. 2)]. (6.135)

25.

Здесь составляющие с(-),

(!(•),

е(-) вектора с

(-) разбиты на три

группы, так что с(-) —параметры (основные, квазиноминальные), пре-

дусмотренные проектом и соответствующие (по назначению) пара-

метрам с

номинальной системы;

(•) и е(-)

—паразитные

параметры,

причем наличие параметров {!(•) учитывается, а параметров

е(-)—не

учитывается в процессе идентификации реальной системы.

Выделим значения: — начальный момент времени, соответствую-

щий, например, моменту выпуска системы из производства; 2

— нор-

мальные значения внешних влияющих факторов, соответствующие нор-

мальным условиям применения системы, которые можно выбрать в виде

= М{г}= | гр {г) йг;

(6.136)

—оо

— номинальное значение меры. Тогда, ограничиваясь первыми чле-

нами разложения в ряд Тейлора, получим

сЦ,

г,

к)

2н

, к„)

2а

(г-г

)

+ (к-кн).

(6.137)

Здесь функция с(^, 2

, к

) описывает естественный уход (нестабиль-

ность) основных параметров в нормальных условиях за счет внутренних

причин. Случайные величины

с(*н, 2

, кн)—с

=Ас(^н, 2

, кн) (6.138)

характеризуют уклонения основных параметров от номинальных значе-

ний в начальный момент при нормальных условиях за счет технологиче-

ских причин. Обычно

М{с}=с

так что

УИ{Дс}=0.

Таким образом, три члена в правой части выражения (6.137) учи-

тывают действие ВМ

, ВМ

и ВМ& соответственно. Аналогичные соотно-

шения можно выписать для паразитных параметров, имея в виду, что,

по определению, (1

=0 и е

=0.

Допустим теперь, что, как это и имеет место на практике, весь про-

цесс регулировки производится при

{ — (а

и нормальных значениях 2 = 2

внешних влияющих факторов. В этом случае начальное состояние ре-

альной системы (до регулировки) можно представить выражением

Лр1

= Л[с(/

, 2н, к),

а(*н,

2н),

е(*н,

2н)]. (6.139)

Модель отыскивается в классе операторов (ср. с (6.139))

(с

, йм)=Л[с

(4, 2

, к), а

(2н, 2

), 0], (6.140)

а оператор номинальной системы имеет вид (ср. с (6.140))

(Сн)=Л[сн(^н, гн, к

), 0, 0], (6.141)

где

Ся(/ш 2н,

)=с(^н,

2н, кн|Ас=0). (6.142)

Таким образом, выражения (6.139) ... (6.141) показывают, что опе-

раторы Л

ь Л

, Л

входят в единое параметрическое семейство. Теперь

оператор идентификации мы можем записать в виде

: Л

(с*

, ё*

) = аг§ттг[Л(с, д, е)х

, Л(с

, й

, 0)х

], (6.143)

СмЧм

256.

где с*

, й*

— значения параметров модели, найденные в результате

идентификации, которые «приписываются» реальной системе

(с, й, е)«Л

(с*

, йм). (6Л44)

На основании (6Л32) н (6.141) оператор диагностики можно пред-

ставить выражением

г[Л

(с*

, <!*„)**, Л

(Сн)х

]=гд (с*

, ё*

, с„) >0, (6.145)

которое позволяет установить уклонения [с*

—с

], и

параметров си-

стемы от номинальных значений.

При использовании структурной модели Л

(с

, с!

реальной систе-

мы диагностика позволяет локализовать «физические» элементы систе-

мы, параметры которых уклоняются от номинала. При этом дальнейшей

регулировки подлежат не все параметры, выявленные таким образом,

а лишь те, которые в наибольшей степени уклоняются от номинальных

значений и по отношению к изменению которых система оказывается

наиболее чувствительной. Введем обозначения

с*

=(с*м, с*м); а*

=(сГ*м, <Г*м), (6.146)

где знаком «~» обозначены регулируемые, а знаком «—» — нерегули-

руемые параметры.

Оператор регулировки (6.133) можно записать в виде

д — л /7** "7* л** Н* —

"рП —л м, С м, ч м>

м> с/ —

= аг§гшп г [Л (с*м, с*

, Й*

, — й*м. е)*

л>

Л (с

, 0, 0)**], (6.147)

гГ#

Ь1' « М

где с**

, с5**

— значения регулируемых параметров, доставляющие

экстремум данному функционалу.

Качество отрегулированной системы (если пренебречь погрешностя-

ми регулировки) зависит от полноты используемой при идентификации

модели, т. е. от количества неучитываемых параметров е, а также от

соотношения регулируемых с*

, й*м и нерегулируемых с*

. параме-

тров. Предположим, например, что степень приближения к номинально-

му оператору, полученная в результате регулировки, ограничена лишь

точностью идентификации. При этом высокие требования к точности си-

стемы влекут за собой соответствующие требования к точности модели,

используемой при идентификации. В классе стационарных детерминиро-

ванных систем полнота модели гарантируется в классе операторов Ви-

нера-Вольтерра (2.93) в силу сходимости ряда. Поскольку этот вид опе-

раторов принадлежит к классу формальных моделей, его использование

позволяет достаточно точно оценивать погрешность системы расчетным

путем. Однако процедура диагностики в этом случае оказывается неин-

формативной, не позволяющей локализовать источники доминирующих

погрешностей и воздействовать на них. Что же касается структурных

моделей, то в настоящее время, по-видимому, не могут быть указаны

регулярные (алгоритмические, не эвристические) методы их построения,

обеспечивающие возможность реализовать процедуру идентификации

с наперед заданной точностью.

В процессе регулировки ИС одновременно решается задача гра-

дуировки (калибровки), что обеспечивает выражение результата изме-

17—96 257

рения в значениях принятых единиц физических величин и дает основа-

ния называть реальную систему измерительной. Действительно, смысл

алгоритма регулировки (6.133) состоит в том, что расстояние между по-

казаниями реальной и номинальной (на практике — образцовой) систем,

определяемыми по отсчетным устройствам этих систем, минимизируется

путем подбора определенных положений органов регулировки, имею-

щихся в реальной системе. Поскольку образцовая система проградуиро-

вана в принятых единицах, тем самым осуществляется «привязка» к эта-

лону и регулируемой рабочей ИС, т. е. ее градуировка.

Рис. 6.15. Схемы регулировки по методам «образцового прибора» (а) и «образцового

генератора» (б).

Результат измерения у

=А

(точнее

г/

бр

= Л

бр*обр) можно рас-

сматривать в качестве образцовой меры. При этом градуировка осуще-

ствляется по одной из схем (рис. 6.15), которые эквивалентны друг дру-

гу. Предполагается, что испытательный сигнал х

(1) (рис. 6.15,0:) описы-

вается требуемой моделью х

(§^М

, однако его параметры на входе

неизвестны и определяются с помощью образцовой системы А

, поль-

зуясь показаниями которой можно устанавливать эти параметры по же-

ланию, путем воздействия на органы регулировки источника сигналов.

Схема, изображенная на рис. 6.15,6 соответствует методу «образцового

генератора» Г

бр, который по существу, представляет собой совокуп-

ность источника сигналов х

(1)^М

и измерительных систем, обеспечи-

вающих возможность регулировки и контроля параметров сигнала х

{1).

В обоих вариантах образцовые средства «привязываются» к эталонам

физических величин с помощью иерархии образцовых средств высших

разрядов, образующих метрологическую цепь (сеть), соответствующую

утвержденной поверочной схеме [1].

Заметим, что иногда градуируют не весь тракт, а лишь ту или иную<

его часть. В этих случаях на вход / + 1-й субсистемы (при последова-

тельном соединении субсистем) подается образцовый сигнал вида (6.80)

и регулируются субсистемы Л

рг+

1, ..., Л

рп

реальной системы, так что

алгоритм регулировки имеет вид (ср. с (6.133))

1ШП г [Л

„ ... Лр/

Л( ((), А

(Л] =

•^РЯ + 1

= гат г[А

рп

...А

1 ...А

Н1

, х

Ц), А

Хкф]. (6.148)

рп + 1

При 1=0 имеет калибровку по входу, что совпадает с (6.133), при

/ = п — по выходу. В первом случае характеристики образцового сигнала-

соответствуют характеристикам номинального входного сигнала систе-

258.

мы и считаются полностью известными. Во втором случае структура сиг-

нала соответствует структуре результата измерения, что существенно

упрощает задачу создания образцового генератора. В данном случае

регулируют лишь отсчетное устройство системы. Однако простота

в этом случае покупается ценой отказа от калибровки всего тракта, ко-

торый может вносить неконтролируемую погрешность.

Остановимся на обсуждении соотношения «чисто измерительных»

и «чисто вычислительных» процедур в алгоритмах измерения, реали-

зуемых аналоговым, цифровым и гибридным (смешанным) методами.

Допустим, что на вход прибора подается реализация х(() непрерывно-

го случайного процесса х(1) и представим алгоритм обработки как цепь

последовательных преобразований сигнала х{1), так что результат

измерения

у(1) =Ах{Ц =А

... А1+М1-1 • • • А 3(1),

где Л;(/=1,п)—операторы звеньев (субсистем). Допустим далее, что

система является гибридной, причем аналого-цифровое преобразование

производится в 1-й субсистеме. При этом процесс

*«_!(*) ... А&(1) (6.149)

на выходе (I—1)-й субсистемы считается процессом с финитным спек-

тром, ограниченным частотой Р

, так что можно использовать аналого-

цифровое преобразование при равномерном квантовании по времени

с интервалом Л/=1/2/

пг

Оператор

... ЛГ (6.150)

описывает работу аналоговой части системы, а оператор

=А

...А

1+1

(6.151)

— цифровой части.

В состав любого аналого-цифрового преобразователя (АЦП) входят

источник эталонного напряжения или тока (например, эталонный гене-

ратор пилообразного напряжения), нуль-орган и схема компенсации, по-

добно тому, что в составе измерительного прибора сравнения (см.

рис. 1.1) имеются соответственно мера, компаратор и управляющее уст-

ройство, осуществляющее «наводку на нуль». Поэтому на основании

(1.6) и (1.12) и с учетом (6.149) работу АЦП можно описать выраже-

нием

х {дМ) = гшп р [х/ _, У), 1 (а) а {дМ)\ =

а (ЧЫ)

= аг§шшр[Лг_

... Лх(^), 1 (а)а{дМ)\, (6.152)

а (ЧМ)

где Д^— интервал временного квантования; д— целое число.

Имея в виду (6.151) и (6.148), можно записать

у'

[*,

\ {а)]=А

... А

^х{дМ) =

— п

... АI

д а

17*

(6.153)

259