Ревинская О.Г., Кравченко Н.С. Изучение моделей физических процессов и явлений на компьютере
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ɆɨɞɆ-07 Ⱦɜɢɠɟɧɢɟ ɢɧɟɪɬɧɨɝɨ ɬɟɥɚ ɜ ɝɪɚɜɢɬɚɰɢɨɧɧɨɦ ɩɨɥɟ
111
r
U(r)
Ɏ(r)
r
min
E = const
ɗɧɟɪɝɢɹ
r
max
R
r
U(r)
Ɏ(r)
r
min
E = const
ɗɧɟɪɝɢɹ
ɚ ɛ
Ɋɢɫ. 4
ɉɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɝɪɚɜɢɬɚɰɢɨɧɧɨɝɨ ɜɡɚɢɦɨɞɟɣɫɬɜɢɹ
r
rU
D
)(
ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɚ (
0D
). ȼ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɰɟɧɬɪɨ-
ɛɟɠɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ
2
2
2
M
r
L
ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ
)(rɎ
ɦɨɠɟɬ ɡɚɯɨɞɢɬɶ ɜ ɨɛ-
ɥɚɫɬɶ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɯ ɷɧɟɪɝɢɣ (ɪɢɫ. 4
ɚ) ɢɥɢ ɛɭɞɟɬ ɨɫɬɚɜɚɬɶɫɹ ɜɫɟɝɞɚ ɩɨ-
ɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɣ (ɪɢɫ. 4
ɛ). ȿɫɥɢ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɚɹ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɩɨɥɨ-
ɠɢɬɟɥɶɧɚ, ɬɨ ɛɭɞɟɬ ɧɚɛɥɸɞɚɬɶɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɧɟɡɚɦɤɧɭɬɨɟ ɞɜɢɠɟɧɢɟ (ɝɢɩɟɪ-
ɛɨɥɚ ɢɥɢ ɩɚɪɚɛɨɥɚ) ɫ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɵɦ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɢɟɦ ɤ ɢɫɬɨɱɧɢɤɭ ɩɨɥɹ ɧɚ
ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ
min
r , ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɟ ɬɨɱɤɟ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɩɨɥɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɫ
ɝɪɚɮɢɤɨɦ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ.
ȿɫɥɢ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɡɚɯɨɞɢɬ ɜ ɨɛɥɚɫɬɶ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɯ ɷɧɟɪ-
ɝɢɣ, ɬɨ ɜɨɡɦɨɠɧɨ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɩɨ ɡɚɦɤɧɭɬɨɣ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ (ɷɥɥɢɩɫ ɢɥɢ ɨɤ-
ɪɭɠɧɨɫɬɶ). ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɬɟɥɨ ɬɨ ɩɪɢɛɥɢɠɚɟɬɫɹ ɤ ɢɫɬɨɱɧɢɤɭ ɩɨɥɹ ɧɚ ɪɚɫ-
ɫɬɨɹɧɢɟ
min
r , ɬɨ ɭɞɚɥɹɟɬɫɹ ɨɬ ɧɟɝɨ ɧɚ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ
max
r . ɗɬɢ ɬɨɱɤɢ ɬɚɤɠɟ
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɬ ɬɨɱɤɚɦ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɩɨɥɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɫ ɝɪɚɮɢɤɨɦ ɷɮɮɟɤ-
ɬɢɜɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɢ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɬɨɱɤɚɦɢ ɩɨɜɨɪɨɬɚ. ɉɪɢ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ ɨɤ-
ɪɭɠɧɨɫɬɢ ɬɟɥɨ ɛɭɞɟɬ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨ ɧɚɯɨɞɢɬɶɫɹ ɧɚ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɦ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɢ
R
ɨɬ ɢɫɬɨɱɧɢɤɚ ɩɨɥɹ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɦɢɧɢɦɭɦɭ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɣ
ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ (ɪɢɫ. 4
ɚ).
2. Ɂɚɤɨɧɵ Ʉɟɩɥɟɪɚ
Ɂɚɤɨɧɵ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɟɥɚ ɜ ɝɪɚɜɢɬɚɰɢɨɧɧɨɦ ɩɨɥɟ ɜɩɟɪɜɵɟ ɛɵɥɢ ɭɫ-
ɬɚɧɨɜɥɟɧɵ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨ ɜ 1609–1619 ɝɨɞɭ ɧɟɦɟɰɤɢɦ ɭɱɟɧɵɦ
ɂ. Ʉɟɩɥɟɪɨɦ ɧɚ ɨɫɧɨɜɟ ɚɫɬɪɨɧɨɦɢɱɟɫɤɢɯ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ, ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɵɯ
Ɇɟɯɚɧɢɤɚ
112
Ɍ. Ȼɪɚɝɟ ɜ 1577–1597 ɝɝ. ȼɩɟɪɜɵɟ ɡɚɤɨɧɵ Ʉɟɩɥɟɪɚ ɛɵɥɢ ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚ-
ɧɵ ɞɥɹ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɩɥɚɧɟɬ ɜɨɤɪɭɝ ɋɨɥɧɰɚ, ɚ ɜ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɛɥɚɝɨɞɚɪɹ ɬɟɨ-
ɪɟɬɢɱɟɫɤɢɦ ɜɵɤɥɚɞɤɚɦ ɂ. ɇɶɸɬɨɧɚ ɨɧɢ ɛɵɥɢ ɨɛɨɛɳɟɧɵ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ
ɝɪɚɜɢɬɚɰɢɨɧɧɨɝɨ ɜɡɚɢɦɨɞɟɣɫɬɜɢɹ.
ȼ ɧɚɫɬɨɹɳɟɟ ɜɪɟɦɹ ɩɪɢɧɹɬɵ
ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɤɢ ɡɚɤɨɧɨɜ
Ʉɟɩɥɟɪɚ.
I ɡɚɤɨɧ Ʉɟɩɥɟɪɚ: ɜɫɟ ɬɟɥɚ
ɜɛɥɢɡɢ ɩɥɚɧɟɬ ɞɜɢɠɭɬɫɹ ɩɨ ɨɪɛɢ-
ɬɚɦ ɹɜɥɹɸɳɢɦɫɹ ɤɨɧɢɱɟɫɤɢɦɢ ɫɟ-
ɱɟɧɢɹɦɢ (ɤɪɭɝɨɦ, ɷɥɥɢɩɫɨɦ, ɩɚɪɚ-
ɛɨɥɨɣ, ɝɢɩɟɪɛɨɥɨɣ); ɩɥɚɧɟɬɚ ɧɚɯɨ-
ɞɢɬɫɹ ɜ ɨɞɧɨɦ ɢɡ ɮɨɤɭɫɨɜ ɨɪɛɢɬɵ.
II ɡɚɤɨɧ Ʉɟɩɥɟɪɚ: ɪɚɞɢɭɫ-
ɜɟɤɬɨɪ, ɫɨɟɞɢɧɹɸɳɢɣ ɰɟɧɬɪ ɩɥɚɧɟɬɵ ɫ ɬɟɥɨɦ, «ɡɚɦɟɬɚɟɬ» ɪɚɜɧɵɟ ɩɥɨ-
ɳɚɞɢ ɡɚ ɪɚɜɧɵɟ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɢ ɜɪɟɦɟɧɢ.
III ɡɚɤɨɧ Ʉɟɩɥɟɪɚ: ɩɪɢ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ ɷɥɥɢɩɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɪɛɢɬɚɦ
ɤɜɚɞɪɚɬɵ ɩɟɪɢɨɞɨɜ ɨɛɪɚɳɟɧɢɹ ɨɬɧɨɫɹɬɫɹ ɤɚɤ ɤɭɛɵ ɛɨɥɶɲɢɯ ɩɨɥɭɨɫɟɣ
ɷɥɥɢɩɫɨɜ.
2.1. ɉɟɪɜɵɣ ɡɚɤɨɧ Ʉɟɩɥɟɪɚ
ɉɪɢ ɢɡɭɱɟɧɢɢ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɟɥɚ ɜ ɝɪɚɜɢɬɚɰɢɨɧɧɨɦ ɩɨɥɟ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ
ɩɥɚɧɟɬɵ (ɧɚɩɪɢɦɟɪ, Ɂɟɦɥɢ) ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɢɧɬɟɪɟɫ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɬ ɡɚɦɤɧɭ-
ɬɵɟ ɷɥɥɢɩɬɢɱɟɫɤɢɟ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ (ɨɪɛɢɬɵ). ɗɬɨ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɟ ɞɜɢɠɟɧɢɟ,
ɩɨɜɬɨɪɹɸɳɟɟɫɹ ɜ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ ɢ ɜɨ ɜɪɟɦɟɧɢ.
ȼ ɢɡɭɱɚɟɦɨɣ ɡɚɞɚɱɟ ɮɢɡɢɱɟɫɤɢ ɜɵɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɹ ɧɟ ɫɭ-
ɳɟɫɬɜɭɟɬ, ɧɚɱɚɥɨ ɨɬɫɱɟɬɚ ɩɨɥɹɪɧɨɝɨ ɭɝɥɚ ɦɨɠɧɨ ɜɵɛɪɚɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɦ
ɨɛɪɚɡɨɦ.
ɗɥɥɢɩɬɢɱɟɫɤɚɹ ɨɪɛɢɬɚ ɢɦɟɟɬ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɣ ɮɨɤɚɥɶɧɵɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ
0p
ɢ ɷɤɫɰɟɧɬɪɢɫɢɬɟɬ ɦɟɧɶɲɟ ɟɞɢɧɢɰɵ 10 Hd . Ⱦɥɹ ɭɞɨɛɫɬɜɚ ɡɚɩɢɫɢ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɜɵɛɟɪɟɦ ɧɚɱɚɥɨ ɨɬɫɱɟɬɚ ɩɨɥɹɪɧɨɝɨ ɭɝɥɚ ɬɚɤ, ɱɬɨ-
ɛɵ
S M
min
. Ɍɨɝɞɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɷɥɥɢɩɫɚ ɜ ɜɵɛɪɚɧɧɵɯ ɩɨɥɹɪɧɵɯ ɤɨɨɪɞɢ-
ɧɚɬɚɯ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ
MH
MMH
cos1
||
1)cos(
min
pp
r
.
ȿɫɥɢ ɷɤɫɰɟɧɬɪɢɫɢɬɟɬ
H – ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɬɨ ɜ ɜɵɛɪɚɧ-
ɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɨɬɫɱɟɬɚ ɩɟɪɢɝɟɣ (ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨɟ ɭɞɚɥɟɧɢɟ ɨɬ ɩɥɚɧɟɬɵ) ɛɭɞɟɬ
ɷɥɥɢɩɫ
ɝɢɩɟɪɛɨɥɚ
ɤɪɭɝ
ɆɨɞɆ-07 Ⱦɜɢɠɟɧɢɟ ɢɧɟɪɬɧɨɝɨ ɬɟɥɚ ɜ ɝɪɚɜɢɬɚɰɢɨɧɧɨɦ ɩɨɥɟ
113
ɧɚɛɥɸɞɚɬɶɫɹ ɩɪɢ ɭɝɥɟ
0 M , ɚ ɚɩɨɝɟɣ (ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ ɭɞɚɥɟɧɢɟ) – ɩɪɢ
S M
. ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɷɥɥɢɩɫɚ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
MH
cos1
||
p
r
.
10 Hd
2ɚ
2b
|p|
r
min
r
max
x
y
01 dH
2ɚ
2b
|p|
r
min
r
max
x
y
ȿɫɥɢ ɷɤɫɰɟɧɬɪɢɫɢɬɟɬ H – ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɚɹ, ɬɨ, ɧɚɨɛɨɪɨɬ,
ɜ ɜɵɛɪɚɧɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɨɬɫɱɟɬɚ ɩɪɢ ɭɝɥɟ
0 M ɛɭɞɟɬ ɧɚɛɥɸɞɚɬɶɫɹ ɚɩɨɝɟɣ
ɷɥɥɢɩɬɢɱɟɫɤɨɣ ɨɪɛɢɬɵ, ɚ ɩɪɢ
S M
– ɩɟɪɢɝɟɣ. ɋ ɭɱɟɬɨɦ ɡɧɚɤɚ ɷɤɫɰɟɧ-
ɬɪɢɫɢɬɟɬɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɷɥɥɢɩɫɚ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ
MH
cos1
||
p
r
.
Ʉɚɠɞɵɣ ɢɡ ɷɬɢɯ ɫɥɭɱɚɟɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɢɸ ɢɫɬɨɱɧɢɤɚ
ɝɪɚɜɢɬɚɰɢɨɧɧɨɝɨ ɩɨɥɹ (ɩɥɚɧɟɬɵ) ɜ ɞɜɭɯ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɬɨɱɤɚɯ – ɮɨɤɭɫɚɯ ɷɥ-
ɥɢɩɬɢɱɟɫɤɨɣ ɤɪɢɜɨɣ. Ⱦɥɹ ɤɪɭɝɚ (
H = 0) ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɮɨɤɭɫɨɜ ɫɨɜɩɚɞɚɸɬ.
ȼ ɝɟɨɦɟɬɪɢɢ ɷɥɥɢɩɫ ɢɦɟɟɬ ɛɨɥɶɲɭɸ
a ɢ ɦɚɥɭɸ b ɩɨɥɭɨɫɢ. ɍɝɨɥ
S M
min
ɡɚɞɚɟɬ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɟ ɛɨɥɶɲɨɣ ɩɨɥɭɨɫɢ ɷɥɥɢɩɫɚ, ɤɨɬɨɪɚɹ ɫɨɜɩɚ-
ɞɚɟɬ ɫ ɨɫɶɸ OX ɜ ɞɟɤɚɪɬɨɜɨɣ ɫɢɫɬɟɦɨɣ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ.
ɉɪɢ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɦ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɞɥɹ ɨɩɢɫɚɧɢɹ ɷɥ-
ɥɢɩɫɚ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɢɦɟɬɶ ɞɜɟ ɤɨɧɫɬɚɧɬɵ: ɥɢɛɨ
|| p
ɢ _H_, ɥɢɛɨ
a
ɢ
b
, ɥɢɛɨ
min
r ɢ
max
r . ɗɬɢ ɬɪɢ ɩɚɪɵ ɤɨɧɫɬɚɧɬ ɫɜɹɡɚɧɵ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɢ
ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹɦɢ:
)(
2
1
minmax
rra
ɢ
minmax
rrb
,
minmax
minmax
2
||
rr
rr
p
ɢ
minmax
minmax
rr
rr
H
,
2
1
||
H
p
a
ɢ
2
1
||
H
p
b
.
Ɇɟɯɚɧɢɤɚ
114
2.2. ȼɬɨɪɨɣ ɡɚɤɨɧ Ʉɟɩɥɟɪɚ
ȼɬɨɪɨɣ ɡɚɤɨɧ Ʉɟɩɥɟɪɚ ɜɵɬɟɤɚɟɬ ɢɡ ɡɚɤɨɧɚ ɫɨɯɪɚɧɟɧɢɹ ɦɨɦɟɧɬɚ
ɢɦɩɭɥɶɫɚ.
ɉɪɢ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɜ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɦ ɩɨɥɟ ɡɚ ɩɪɨɦɟɠɭɬɨɤ ɜɪɟɦɟɧɢ
dt
ɩɨ-
ɥɹɪɧɵɣ ɭɝɨɥ, ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɳɢɣ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɬɟɥɚ, ɢɡɦɟɧɢɬɫɹ ɧɚ
Md . Ɍɨ-
ɝɞɚ ɩɥɨɳɚɞɶ
dS, «ɡɚɦɟɬɚɟɦɚɹ» ɪɚɞɢɭɫ-ɜɟɤɬɨɪɨɦ r , ɜ ɩɨɥɹɪɧɵɯ ɤɨɨɪɞɢ-
ɧɚɬɚɯ ɪɚɜɧɚ
M drdS
2
2
1
.
Ɋɚɡɞɟɥɢɜ ɨɛɟ ɱɚɫɬɢ ɧɚ
dt, ɩɨɥɭɱɢɦ M
2
2
1
r
dt
dS
. ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɡɚɤɨɧɭ
ɫɨɯɪɚɧɟɧɢɹ ɦɨɦɟɧɬɚ ɢɦɩɭɥɶɫɚ
const
2
M
MrL . ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ,
const
22
1
2
M
M
L
r
dt
dS
.
Ɂɚ ɥɸɛɵɟ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɢ ɜɪɟɦɟɧɢ
t' ɪɚɞɢɭɫ-ɜɟɤɬɨɪ ɱɚɫɬɢɰɵ «ɡɚɦɟ-
ɬɚɟɬ» ɩɥɨɳɚɞɶ
t
M
L
S ' '
2
.
2.3. Ɍɪɟɬɢɣ ɡɚɤɨɧ Ʉɟɩɥɟɪɚ
ɉɪɢ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ ɡɚɦɤɧɭɬɨɣ (ɷɥɥɢɩɬɢɱɟɫɤɨɣ) ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɬɟɥɨ ɫɨ-
ɜɟɪɲɚɟɬ ɩɨɥɧɵɣ ɨɛɨɪɨɬ ɜɨɤɪɭɝ ɩɥɚɧɟɬɵ ɡɚ ɜɪɟɦɹ
T
, ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɟ ɩɟɪɢɨ-
ɞɨɦ ɨɛɪɚɳɟɧɢɹ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɪɚɞɢɭɫ ɜɟɤɬɨɪ «ɡɚɦɟɬɚɟɬ» ɩɥɨɳɚɞɶ, ɪɚɜɧɭɸ
ɩɥɨɳɚɞɢ ɷɥɥɢɩɫɚ
abS S (a ɢ b – ɩɨɥɭɨɫɢ ɷɥɥɢɩɫɚ). ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɜɬɨɪɨɦɭ
ɡɚɤɨɧɭ Ʉɟɩɥɟɪɚ
abT
M
L
S S
2
.
Ɏɨɤɚɥɶɧɵɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ
p ɫɜɹɡɚɧ ɫ ɦɨɦɟɧɬɨɦ ɢɦɩɭɥɶɫɚ
M
L
p
||
||
2
D
. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, |||| D pML .
ɋ ɞɪɭɝɨɣ ɫɬɨɪɨɧɵ, ɭɱɢɬɵɜɚɹ ɫɜɹɡɶ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɷɥɥɢɩɫɚ
|| p ɢ _H_ ɫ
ɟɝɨ ɩɨɥɭɨɫɹɦɢ
2
1
||
H
p
a
ɢ
2
1
||
H
p
b
, ɥɟɝɤɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ
a
b
p
2
|| .
ȼɵɪɚɡɢɜ
b, ɩɨɥɭɱɢɦ || pab .
ɆɨɞɆ-07 Ⱦɜɢɠɟɧɢɟ ɢɧɟɪɬɧɨɝɨ ɬɟɥɚ ɜ ɝɪɚɜɢɬɚɰɢɨɧɧɨɦ ɩɨɥɟ
115
ɉɨɞɫɬɚɜɢɜ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɞɥɹ
L
ɢ b ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɥɨɳɚɞɢ, ɩɨɥɭɱɢɦ
||
2
||||
paaT
M
pM
S
D
.
ɋɨɤɪɚɬɢɦ ɢ ɜɨɡɜɟɞɟɦ ɜ ɤɜɚɞɪɚɬ:
3
2
2
||
4
a
M
T
D
S
ɢɥɢ
3
2
2
2
4
a
Gm
T
S
(ɩɪɢ
1
mM | ).
Ɉɬɫɸɞɚ ɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɩɨ ɷɥɥɢɩɬɢɱɟɫɤɨɣ ɨɪɛɢɬɟ ɤɜɚɞ-
ɪɚɬ ɩɟɪɢɨɞɚ ɨɛɪɚɳɟɧɢɹ ɩɪɹɦɨ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɟɧ ɤɭɛɭ ɛɨɥɶɲɨɣ ɩɨɥɭɨɫɢ
ɷɥɥɢɩɫɚ. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɩɪɢ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɜɨɤɪɭɝ ɨɞɧɨɣ ɢ ɬɨɣ ɠɟ ɩɥɚɧɟɬɵ
ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɩɟɪɢɨɞɨɜ ɪɚɜɧɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɤɭɛɨɜ ɛɨɥɶɲɢɯ ɩɨɥɭ-
ɨɫɟɣ ɞɜɭɯ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɞɜɢɠɟɧɢɣ.
3. Ɋɚɛɨɱɢɟ ɮɨɪɦɭɥɵ
3.1. ɉɥɨɳɚɞɶ ɫɟɤɬɨɪɚ ɷɥɥɢɩɫɚ
Ⱦɥɹ ɢɡɭɱɟɧɢɹ ɜɬɨɪɨɝɨ ɡɚɤɨɧɚ Ʉɟɩɥɟɪɚ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɜɵɱɢɫɥɹɬɶ
ɩɥɨɳɚɞɶ ɫɟɤɬɨɪɚ ɷɥɥɢɩɫɚ. ɉɭɫɬɶ ɫɟɤɬɨɪ, ɩɥɨɳɚɞɶ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɧɚɞɨ ɜɵɱɢɫ-
ɥɢɬɶ, ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɭɝɥɚɦɢ
1
M ɢ
2
M (
2
M >
1
M ) ɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɦɢ
ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɹɦɢ
1
r ɢ
2
r . Ɍɨɝɞɚ ɩɥɨɳɚɞɶ ɫɟɤɬɨɪɚ ɜ ɩɨɥɹɪɧɵɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɯ
ɪɚɜɧɚ
³
M
M
M
2
1
2
2
1
drS
ɫɟɤ
.
ɉɨɥɭɱɢɦ ɩɥɨɳɚɞɶ ɫɟɤɬɨɪɚ ɷɥ-
ɥɢɩɫɚ, ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɝɨ
S M
min
. Ɍɨ-
ɝɞɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɜ ɩɨ-
ɥɹɪɧɵɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɯ
1cos
||
MH
p
r
.
ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɩɪɚɜɢɥɚɦ ɢɧɬɟ-
ɝɪɚɥɶɧɨɝɨ ɢɫɱɢɫɥɟɧɢɹ ɞɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɩɥɨɳɚɞɢ ɧɭɠɧɨ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɩɟɪ-
ɜɨɨɛɪɚɡɧɭɸ
³³
MH
M
M
2
2
2
)1cos(
22
1 dp
drI
.
Ɍɨɝɞɚ ɩɥɨɳɚɞɶ ɫɟɤɬɨɪɚ ɛɭɞɟɬ ɪɚɜɧɚ ɪɚɡɧɨɫɬɢ ɩɟɪɜɨɨɛɪɚɡɧɵɯ
)()(
12
MM IIS
ɫɟɤ
ɢɥɢ )()(
12
rIrIS
ɫɟɤ
.
O
M
2
M
1
r
2
X
r
1
r
ma
x
Ɇɟɯɚɧɢɤɚ
116
ɍɱɢɬɵɜɚɹ ɫɜɹɡɶ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ
p ɢ H ɫ a, b,
min
r ɢ
max
r ,
ɢɫɤɨɦɭɸ ɩɟɪɜɨɨɛɪɚɡɧɭɸ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
»
¼
º
«
¬
ª
M
³
))((
2
1
2
1
)(
maxmin
max
min
2
rrrr
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rr
arctgabdrrI
.
ȼ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ
0)()(
min
Sr M rII ,
abrII
2
)()0(
max
S
M .
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɩɨɞɵɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɱɟɬɧɚɹ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɭɸ ɮɨɪɦɭɥɭ
ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɪɢɦɟɧɹɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɞɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɩɥɨɳɚɞɢ ɫɟɤɬɨɪɚ, ɨɝɪɚɧɢ-
ɱɟɧɧɨɝɨ ɭɝɥɚɦɢ
1
M ɢ
2
M , ɢɦɟɸɳɢɦɢ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɟ ɡɧɚɤɢ.
ɂɡ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɫɨɨɛɪɚɠɟɧɢɣ ɥɟɝɤɨ ɡɚɦɟɬɢɬɶ, ɱɬɨ
)()(
12
rIrIS
ɫɟɤ
ɩɪɢ 0
1
!M ɢ 0
2
!M ;
)()(
21
rIrIS
ɫɟɤ
ɩɪɢ 0
1
M ɢ 0
2
M ;
)()()]()([)]()([
21max1max2
rIrIabrIrIrIrIS
ɫɟɤ
S
ɩɪɢ
0
1
M
ɢ
0
2
!M
.
3.2. ɉɚɪɚɦɟɬɪɵ ɜɡɚɢɦɨɞɟɣɫɬɜɢɹ
Ⱦɜɢɠɟɧɢɟ ɬɟɥɚ ɜ ɝɪɚɜɢɬɚɰɢɨɧɧɨɦ ɩɨɥɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸ-
ɳɢɦɢ ɮɢɡɢɱɟɫɤɢɦɢ ɤɨɧɫɬɚɧɬɚɦɢ:
x
ɷɧɟɪɝɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ
E
;
x
ɦɨɦɟɧɬ ɢɦɩɭɥɶɫɚ
L
.
Ɂɧɚɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ
p, H ɦɨɠɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɷɬɢ ɤɨɧɫɬɚɧ-
ɬɵ, ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɢɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɞɥɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ
M
L
p
D
2
, E
M
L
2
2
2
1
D
H
ɢ ɫɜɹɡɶ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɫ ɞɥɢɧɨɣ ɩɨɥɭɨɫɟɣ ɷɥɥɢɩɫɚ
a
,
b
:
2
1
||
H
p
a
ɢ
2
1
||
H
p
b
(
a
b
p
2
|| ɢ
a
b
H
2
1 ).
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ
M
L
p
D
2
ɢ
a
b
p
2
|| . ɉɪɢɪɚɜɧɹɜ ɷɬɢ ɞɜɚ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ,
ɩɨɥɭɱɢɦ ɦɨɦɟɧɬ ɢɦɩɭɥɶɫɚ
L
ɆɨɞɆ-07 Ⱦɜɢɠɟɧɢɟ ɢɧɟɪɬɧɨɝɨ ɬɟɥɚ ɜ ɝɪɚɜɢɬɚɰɢɨɧɧɨɦ ɩɨɥɟ
117
a
M
bL
||
22
D
ɢɥɢ
a
M
bL
|| D
.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ
E
M
L
2
2
2
1
D
H
ɢ
a
b
H
2
1 . ȼɨɡɜɟɞɟɦ ɨɛɚ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɜ
ɤɜɚɞɪɚɬ, ɩɨɞɫɬɚɜɢɦ
a
M
bL
||
22
D
ɜ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɞɥɹ ɷɤɫɰɟɧɬɪɢɫɢɬɟɬɚ
E
a
b
E
M
L
||
2
1
2
1
2
2
2
2
D
D
H
2
22
2
||
2
1
a
b
E
a
b
D
H
a
E
2
|| D
.
3.3. ɋɜɹɡɶ ɩɟɪɢɨɞɚ ɨɛɪɚɳɟɧɢɹ ɩɨ ɷɥɥɢɩɬɢɱɟɫɤɨɣ ɨɪɛɢɬɟ
ɫ ɩɨɥɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɟɣ ɫɢɫɬɟɦɵ
ɍɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ ɩɨ ɬɪɟɬɶɟɦɭ ɡɚɤɨɧɭ Ʉɟɩɥɟɪɚ ɩɟɪɢɨɞ ɨɛɪɚɳɟɧɢɹ ɩɨ
ɷɥɥɢɩɬɢɱɟɫɤɨɣ ɨɪɛɢɬɟ ɫɜɹɡɚɧ ɫ ɟɝɨ ɛɨɥɶɲɨɣ ɩɨɥɭɨɫɶɸ
3
2
2
||
4
a
M
T
D
S
,
ɚ ɩɨɥɧɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬ ɞɥɢɧɭ ɩɨɥɭɨɫɢ:
a
E
2
|| D
, ɦɨɠɧɨ
ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɫɜɹɡɶ ɩɟɪɢɨɞɚ ɨɛɪɚɳɟɧɢɹ ɫ ɩɨɥɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɟɣ ɫɢɫɬɟɦɵ
3
32
2
8
||
||
4
E
M
T
D
D
S
ɢɥɢ
3
22
2
1
2
||
E
M
T
DS
.
Ʉɜɚɞɪɚɬ ɩɟɪɢɨɞɚ ɨɛɪɚɬɧɨ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɟɧ ɤɭɛɭ ɩɨɥɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ.
3.4. ɋɜɹɡɶ ɩɥɨɳɚɞɢ, ɨɯɜɚɬɵɜɚɟɦɨɣ ɷɥɥɢɩɬɢɱɟɫɤɨɣ
ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɟɣ, ɫ ɮɢɡɢɱɟɫɤɢɦɢ ɤɨɧɫɬɚɧɬɚɦɢ ɜɡɚɢɦɨɞɟɣɫɬɜɢɹ
Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɞɨɥɠɧɚ ɧɚɛɥɸɞɚɬɶɫɹ ɜɡɚɢɦɨɫɜɹɡɶ ɩɥɨɳɚɞɢ
abS S
ɷɥɥɢɩɬɢɱɟɫɤɨɣ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ ɫ ɮɢɡɢɱɟɫɤɢɦɢ ɤɨɧɫɬɚɧɬɚɦɢ ɜɡɚɢɦɨɞɟɣɫɬɜɢɹ
E
ɢ
L
.
Ɇɟɯɚɧɢɤɚ
118
Ɂɧɚɹ ɫɜɹɡɶ
E
ɢ
L
ɫ ɪɚɡɦɟɪɚɦɢ ɷɥɥɢɩɫɚ a, b:
a
M
bL
|| D
ɢ
a
E
2
|| D
, ɩɨɥɭɱɢɦ
2/3
||
8
||
||
E
L
M
M
a
aLabS
DS
D
S S
.
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ,
2/3
||
8
||
E
L
M
S
DS
.
4. Ɇɨɞɟɥɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨɣ ɭɫɬɚɧɨɜɤɢ
ȼ ɞɚɧɧɨɣ ɪɚɛɨɬɟ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɫɪɟɞɫɬɜ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɧɨɣ ɝɪɚɮɢɤɢ ɦɨ-
ɞɟɥɢɪɭɟɬɫɹ ɩɪɨɰɟɫɫ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɟɥɚ ɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɦɚɫɫɵ ɜɛɥɢɡɢ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ
ɩɥɚɧɟɬɵ (ɧɚɩɪɢɦɟɪ, Ɂɟɦɥɢ). Ɇɚɫɫɚ ɩɥɚɧɟɬɵ ɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɨ ɩɪɟɜɨɫɯɨɞɢɬ
ɦɚɫɫɭ ɬɟɥɚ, ɩɨɷɬɨɦɭ ɩɥɚɧɟɬɭ ɦɨɠɧɨ ɫɱɢɬɚɬɶ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɨɣ. Ⱦɜɢɠɟɧɢɟ
ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɬɨɥɶɤɨ ɩɨɞ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɝɪɚɜɢɬɚɰɢɨɧɧɵɯ ɫɢɥ. Ⱦɥɹ ɢɡɦɟɪɟɧɢɹ
ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɬɟɥɚ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɚɹ ɢ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɚɹ ɥɢɧɟɣɤɢ.
ɆɨɞɆ-07 Ⱦɜɢɠɟɧɢɟ ɢɧɟɪɬɧɨɝɨ ɬɟɥɚ ɜ ɝɪɚɜɢɬɚɰɢɨɧɧɨɦ ɩɨɥɟ
119
Ⱦɥɹ ɢɡɦɟɪɟɧɢɹ ɭɝɥɨɜ ɜ ɩɨɥɹɪɧɵɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɯ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɬɪɚɧɫɩɨɪ-
ɬɢɪ, ɩɨ ɤɨɬɨɪɨɦɭ ɦɨɠɧɨ ɜɵɩɨɥɧɹɬɶ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶ ɞɨ 1 ɝɪɚɞɭɫɚ.
Ɋɚɛɨɬɚ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɧɚ IBM-ɫɨɜɦɟɫɬɢɦɨɦ ɩɟɪɫɨɧɚɥɶɧɨɦ ɤɨɦɩɶɸ-
ɬɟɪɟ ɜ ɜɢɞɟ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨɝɨ Windows-ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɹ. Ⱦɥɹ ɭɞɨɛɫɬɜɚ ɜɵ-
ɩɨɥɧɟɧɢɹ ɪɚɛɨɬɵ ɜ ɩɪɨɝɪɚɦɦɟ ɩɪɟɞɭɫɦɨɬɪɟɧɵ ɬɪɢ ɪɚɡɞɟɥɚ: ɤɪɚɬɤɨɟ ɨɩɢ-
ɫɚɧɢɟ ɪɚɛɨɬɵ; ɩɨɪɹɞɨɤ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɪɚɛɨɬɵ ɢ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ. ɉɟɪɟɤɥɸɱɟ-
ɧɢɟ
ɦɟɠɞɭ ɪɚɡɞɟɥɚɦɢ ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɹɟɬɫɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɤɧɨɩɨɤ «ɏɨɞ ɪɚɛɨɬɵ»
ɢ «ɗɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ». ɇɚɠɚɬɢɟ ɷɬɢɯ ɤɧɨɩɨɤ ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɤɨɧɬɟɤɫɬɚ
ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɥɢɛɨ ɤ ɜɵɡɨɜɭ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɪɚɡɞɟɥɨɜ, ɥɢɛɨ ɤ ɜɨɡɜɪɚɳɟ-
ɧɢɸ ɜ ɪɚɡɞɟɥ ɨɩɢɫɚɧɢɹ.
Ɋɚɡɞɟɥ ɩɪɨɝɪɚɦɦɵ «ɗɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ» ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɪɚɫɤɪɵɜɚɸɳɢɣɫɹ
ɫɩɢɫɨɤ ɞɥɹ ɜɵɛɨɪɚ ɩɥɚɧɟɬɵ, ɛɟɝɭɧɨɤ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ ɞɥɹ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɫɤɨɪɨɫɬɢ
ɢ ɫɱɟɬɱɢɤ ɞɥɹ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɹ ɨɬ
ɬɨɱɤɚ Ⱥ ɞɨ ɰɟɧɬɪɚ ɩɥɚɧɟɬɵ, ɚ
ɬɚɤɠɟ ɤɧɨɩɤɢ, ɩɨɡɜɨɥɹɸɳɢɟ ɭɩɪɚɜɥɹɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɨɦ. ȼ ɬɨɱɤɟ Ⱥ ɫɤɨ-
ɪɨɫɬɶ (ɡɚɞɚɜɚɟɦɚɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɛɟɝɭɧɤɚ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ) ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɚ ɩɟɪɩɟɧ-
ɞɢɤɭɥɹɪɧɨ ɩɪɹɦɨɣ, ɫɨɟɞɢɧɹɸɳɟɣ ɬɨɱɤɭ Ⱥ ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ ɩɥɚɧɟɬɵ. ɉɪɢ ɡɚ-
ɞɚɧɧɨɦ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɬɪɚɧɫɩɨɪɬɢɪɚ ɬɨɱɤɚ A ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɭɝɥɨɦ S ɜ ɩɨ-
ɥɹɪɧɵɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɯ. ȿɫɥɢ ɨɪɛɢɬɚ (ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɹ) ɬɟɥɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɡɚɦɤɧɭ
-
ɬɨɣ, ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɧɚɱɢɧɚɟɬɫɹ ɢɡ ɬɨɱɤɢ Ⱥ. ȿɫɥɢ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɹ ɬɟɥɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟ-
ɡɚɦɤɧɭɬɨɣ, ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɧɚɱɢɧɚɟɬɫɹ ɢɡ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɫɬɢ.
ȼɚɪɢɚɧɬɵ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɪɚɛɨɬɵ
ȼɚɪɢɚɧɬ ɉɥɚɧɟɬɚ ȼɚɪɢɚɧɬ ɉɥɚɧɟɬɚ
1. Ɇɟɪɤɭɪɢɣ 5. ɘɩɢɬɟɪ
2. ȼɟɧɟɪɚ 6. ɋɚɬɭɪɧ
3. Ɂɟɦɥɹ 7. ɍɪɚɧ
4. Ɇɚɪɫ 8. ɇɟɩɬɭɧ
9. ɉɥɭɬɨɧ
5. ɉɨɪɹɞɨɤ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɪɚɛɨɬɵ
5.1. Ʉɪɚɬɤɨɟ ɨɩɢɫɚɧɢɟ ɯɨɞɚ ɪɚɛɨɬɵ
1. ȼɵɛɟɪɢɬɟ ɩɥɚɧɟɬɭ – ɢɫɬɨɱɧɢɤ ɝɪɚɜɢɬɚɰɢɨɧɧɨɝɨ ɩɨɥɹ (ɩɨ ɭɤɚɡɚ-
ɧɢɸ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɹ).
ɍɩɪɚɠɧɟɧɢɟ 1. ɉɟɪɜɵɣ ɡɚɤɨɧ Ʉɟɩɥɟɪɚ.
2. ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨ ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɨɬ ɩɥɚɧɟɬɵ ɞɨ
ɬɨɱɤɢ A ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ.
Ɇɟɯɚɧɢɤɚ
120
3. ɉɨɞɛɟɪɢɬɟ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɭɸ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɬɟɥɚ ɜ ɬɨɱɤɟ A.
4. ɉɨɞɛɟɪɢɬɟ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɭɸ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɬɟɥɚ ɜ ɬɨɱɤɟ A.
5. ɉɨɞɛɟɪɢɬɟ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɭɸ ɞɥɹ ɭɫɥɨɜɢɣ ɞɚɧɧɨɝɨ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ
ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɬɟɥɚ ɜ ɬɨɱɤɟ A.
6. ɉɨɞɛɟɪɢɬɟ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɞɥɹ 5 ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɣ ɨɬ ɩɥɚɧɟɬɵ ɞɨ
ɬɨɱɤɢ A, ɜɤɥɸɱɚɹ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ.
7. ɉɨɫɬɪɨɣɬɟ ɝɪɚɮɢɤɢ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɫɤɨɪɨɫɬɟɣ ɨɬ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɹ ɞɨ
ɩɥɚɧɟɬɵ ɜ ɬɨɱɤɟ
A.
ɍɩɪɚɠɧɟɧɢɟ 2. ȼɬɨɪɨɣ ɡɚɤɨɧ Ʉɟɩɥɟɪɚ.
8. ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨ ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɨɬ ɩɥɚɧɟɬɵ ɞɨ
ɬɨɱɤɢ A ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ.
9. ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɬɟɥɚ ɜ ɬɨɱɤɟ ɪɚɜɧɨɣ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɣ ɞɥɹ ɭɫ-
ɥɨɜɢɣ ɞɚɧɧɨɝɨ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ (ɢɡ ɭɩɪɚɠɧɟɧɢɹ 1).
10. Ɂɚɞɚɣɬɟ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɜɪɟɦɟɧɢ ɞɥɹ ɢɡɦɟɪɟɧɢɹ ɭɝɥɨɜ.
11. ȼɵɩɨɥɧɢɬɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ.
12. ɂɡɦɟɪɶɬɟ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɵɟ ɢ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɵɟ X- ɢ Y-ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ
ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ.
13. ɂɡɦɟɪɶɬɟ ɭɝɥɵ ɞɥɹ 10 ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɵɯ ɩɨɥɨɠɟɧɢɣ ɬɟɥɚ.
14. ɂɡɦɟɧɢɬɟ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɟ
ɞɜɢɠɟɧɢɹ.
15. ɉɨɜɬɨɪɢɬɟ ɨɩɵɬɵ ɞɥɹ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɢ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɣ ɨɬ
ɩɥɚɧɟɬɵ ɞɨ ɬɨɱɤɢ A ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ.
16. Ⱦɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɢɡ ɬɪɟɯ ɨɩɵɬɨɜ ɜɵɱɢɫɥɢɬɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ
ɢ ɩɥɨɳɚɞɢ ɡɚɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɵɯ ɫɟɤɬɨɪɨɜ.
17. ɉɪɨɚɧɚɥɢɡɢɪɭɣɬɟ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ.
ɍɩɪɚɠɧɟɧɢɟ 3. Ɍɪɟɬɢɣ ɡɚɤɨɧ Ʉɟɩɥɟɪɚ.
18. ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨ ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɨɬ ɩɥɚɧɟɬɵ ɞɨ
ɬɨɱɤɢ A ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɢ.
19. ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɬɟɥɚ ɜ ɬɨɱɤɟ ɪɚɜɧɨɣ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɣ ɞɥɹ
ɭɫɥɨɜɢɣ ɞɚɧɧɨɝɨ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ (ɢɡ ɭɩɪɚɠɧɟɧɢɹ 1).
20. ȼɵɩɨɥɧɢɬɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ.
21. ɂɡɦɟɪɶɬɟ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɭɸ ɢ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɭɸ X-ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɪɚ-
ɟɤɬɨɪɢɢ.
22. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɩɨɥɭɨɫɢ ɷɥɥɢɩɫɚ ɢ ɩɟɪɢɨɞ ɨɛɪɚɳɟɧɢɹ ɬɟɥɚ ɜɨɤɪɭɝ
ɩɥɚɧɟɬɵ.
23. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɦɨɦɟɧɬ ɢɦɩɭɥɶɫɚ, ɩɨɥɧɭɸ ɷɧɟɪɝɢɸ ɢ ɩɥɨɳɚɞɶ
ɷɥ-
ɥɢɩɫɚ.
24. ɉɪɨɞɟɥɚɣɬɟ ɫɟɪɢɸ ɨɩɵɬɨɜ ɞɥɹ ɩɹɬɢ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫɤɨɪɨɫɬɢ, ɧɟ ɢɡ-
ɦɟɧɹɹ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɹ ɜ ɬɨɱɤɟ A.