Разумов В.И., Сизиков В.П. Основы теории динамических информационных систем

Подождите немного. Документ загружается.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.3. Для x ∈ T W (6.1) x-путь w

, v

) у

орграфа G от вершин ы v

∈ V до v

∈ V это объединение упоря-

доченных наборов вершин {v

′

, v

′

, . . . , v

′

} ⊆ V (k ≥ 1) и x-ребер

′

i−1

, v

′

) ∈ R

(i = 1, . . . , k), где v

′

совпадает с v

, v

′

– с v

, R

при x ∈ T E (6.1) берется из определения 6.1 и R

= R

∪ R

−1

= R

∪ R

−1

, R

= R

∪ R

. Этот путь обозначают еще

′

→ v

′

→ . . . → v

′

)

. Каждое x-ребро (v

′

i−1

, v

′

) (i = 1, . . . , k)

называется звеном, число k ∈ Z

– длиной, вершины v

, v

–

соответственно началом и концом пути: k = l(w

), v

= b(w

= e(w

). Остальные вершины пути называются внутренни-

ми, и их множество обозначается как Int(w

). Есл и все верши-

ны у x-пути w

, v

) различны, то он называется простым, а

если v

= v

, но остальные вершины различны, то он н азыва ется

x-циклом у G. x-путь, не являющийся ни простым, ни x-циклом,

называется самопересекающимся . Объединение двух различных

x-путей, начало и конец у которых поменяны местами, называется

замкнутым x-путем, а исходные два x-пути – замыкающими друг

друга. Количество различных однозвенных x-путей (x ∈ T W ) в

орграфе G называется его связным простым x-зарядом, обозна-

чаясь как ch

(G) или просто ch

Звенья x-пути при x ∈ (T W \ T E) не имеют направленности;

так, отождествим их с соответствующими парными x-ребрами, и

тогда всякий путь будет орграфом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.4. Обозначим для орграфа G, v, v

∈ V ,

x ∈ T W,

(v) = {w

(v, v

)|v

∈ V },

(v) = {w

, v)|v

∈ V },

(v, v

) = {w

(v, v

)}.

(6.2)

Тогда вершина v ∈ V орграфа G называется x-изолированной, ес-

ли для нее W

(v) ∪ W

(v) = ⊘ в (6.2). Если x ∈ T E и

(v) ∪ W

(v) 6= ⊘, то v ∈ V называется xe-полюсной при

(v) = ⊘ и xb-полюсной при W

(v) = ⊘. Множество всех

x-изолированных, xe-полюсных и xb-полюсных вершин орграфа

обозначаются соответственно через V

, V

, а величины |V |,

|, |V

| называются КТ-простыми m−, xi−, xb−, xe− за-

рядами орграфа, обозначаясь как ch

(G), ch

(G),

(G), или просто ch

, ch

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.5. x-дистанция l

(v, v

) в орграфе G

(x ∈ T W) от v ∈ V до v

∈ V при v 6= v

это

min{l(w)|w ∈ W

(v, v

)} при W

(v, v

) 6= ⊘ (6.2) и ∞ при

(v, v

) = ⊘. l

(v, v

) реализуется на x-пути w ∈ W

(v, v

), если

(v, v

) = l(w), а v, v

называют соответственно началом и концом

(v, v

): v ∈ b(l

), v

∈ e(l

). При v = v

считается l

(v, v

) = 0.

Две x-дистанции l

, v) и l

(v, v

) называются встречными. Если

(v, v

) = 1, то v

называется xe-соседней для v, а v – xb-соседней

для v

в G; если также l

, v) = 1, то v, v

называются просто

x-соседними в G.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.6. Под x-эксцентриситетом e

(v) и сопря-

женным x-эксцентриситетом e

′

(v) вершины v ∈ V в орграфе G

(x ∈ T W) понимаются соответственно max{l

(v, v

) < ∞|v

∈ V }

и min{l

, v) < ∞|v

∈ V }.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.7. Под x-радиусом r

орграфа G

(x ∈ T W ) понимается min{e

(v)|v ∈ V }, а под x-диаметром

– max{e

(v)|v ∈ V }. Сопряженные x-радиус r

′

и x-диаметр d

′

–

min{e

′

(v)|v ∈ V }, max{e

′

(v)|v ∈ V }. Также r

= d

= r

′

= d

′

= 0

при G = ⊘.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.8. x-размерность dim

орграфа G, G 6= ⊘

(x ∈ T W ) – это наибольшее n ∈ Z

, при котором у G есть та-

кие n + 1 вершин и, если n > 0, набор прос тых x-путей между

каждыми двумя из них, что любые 2 из этих x-путей не имеют

общих внутренних элементов. Такой комплекс вершин и x-путей

у орграфа называется его x-опорным симплексом с n + 1-й глав-

ной вершиной, обозначаясь ss

. Считается также dim

x⊘

= −1 и

x⊘

= ⊘.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.9. x-расс тояние ρ

(v, v

) (x ∈ T W ) между

вершинами v, v

∈ V в орграфе G – это полусумма отвечающих

им встречных x-дистанций l

, v), l

(v, v

((x ∈ T W)&({v, v

} ⊆ V )) ⇒ (ρ

(v, v

) = 0.5[l

, v) + l

(v, v

)]).

Замкнутый x-путь у орграфа G, реализующий встречные огра-

ниченные x-дистанции l

, v), l

(v, v

) при v 6= v

, называется

ячейкой x-связности у этого орграфа, порожденной парой v, v

, и

обозначается через cc

(v, v

По определениям 6.3, 6.4 есть 6 типов связных и 10 типов КТ-

простых зарядов:

T W = {d, c, s, dn, cn, sn},

T C = {m, di, db, de, ci, cb, ce, si, sb, se}.

(6.3)

Для любого x ∈ T C (6.3) вполне осмыслены обознач ени я ch

, V

Отметим ряд характерных свойств для введенных П. Ряд ре-

зультатов сопровождаются доказательствами, и признаком окон-

чания доказательства служит знак ♦.

ТЕОРЕМА 6.1. Каждый x-путь, на котором реализуется нену-

левая ограниченная x-дистанция в орграфе G (x ∈ T W), является

простым и

(x ∈ T W) ⇒ (((d

= 0) ⇔ (V

= V ) ⇔ (d

′

= 0))&

&((H ⊆ G) ⇒ ((d

≤ d

)&(d

′

≤ d

′

)))&

&((r

= 0) ⇔ (V

6= ⊘))&((r

′

= 0) ⇔ (V

6= ⊘))&

&((v ∈ V ) ⇒ (((e

(v) = 0) ⇔

⇔ (v ∈ V

))&((e

′

(v) = 0) ⇔ (v ∈ V

))&

&(r

≤ e

(v) ≤ d

≤ min{|V | −|V

| −1, ch

})&

&(r

′

≤ e

′

(v) ≤ d

′

≤ min{|V | −|V

| −1, ch

})))).

(6.4)

ТЕОРЕМА 6.2. Для любого орграфа G

(x ∈ T W) ⇒ ((d

= d

′

)&((x /∈ T E) ⇒ (r

= r

′

))).

Доказательство. V

= V дает d

= d

′

= 0. Если V

6= V ,

> 0, d

′

> 0 и d

реализуется как дл ина x-пут и w

(v, v

), то,

ввиду определения 6.7 и неравенств (6.4), d

≤ e

′

) ≤ d

′

. Также

′

≤ d

, т.е. d

= d

′

. А случай с x /∈ T E очевиден. ♦.

Итак, следует говорить просто об x-диаметре орграфа.

ТЕОРЕМА 6.3. Ячейка x-связн ост и cc

(v, v

) у орграфа G –

это наикратчайший из замкнутых x-путей, проходящих через дан-

ные две вершин ы v, v

∈ V , v 6= v

. А функция ρ

(v, v

) из опре-

деления 6.9 задает метрику на орграфе.

Фактически теорема 6.3 устанавливает, что

′

А-метрика на ор-

графе возможна при выполнении двух условий: 1) функцию рас-

стояния в орграфе исполняют не дистанции, а длины замкнутых

путей как ячеек связности; 2) существует путь от любой одной до

любой другой вершины орграфа во избежание бесконечных значе-

ний. Так, выполнение этих условий есть ни что иное, как фактор

наличия соответствующего типа связности орграфа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.10. Орграф G называется x-связным

(x ∈ T W): G ∈ xC, если |V | > 1 и для любых различных вер-

шин v, v

∈ V есть x-путь w

(v, v

ТЕОРЕМА 6.4. G ∈ xC (x ∈ T W ) в точности тогда, когда

|V | > 1 и для любых дв ух различных вершин v, v

∈ V с ущест ву-

ет проходящий через них замкнутый x-путь. Если G ∈ xC, то :

1) r

= r

′

> 0, dim

> 0 и ch

≥ |V |; 2) V

= V

= ⊘ и

= ch

= 0 при x ∈ T E.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.11. x-Пˆ-К-ячейка с началом v

∈ V и

концом v

∈ V (v

6= v

) у орграфа G (x ∈ T E) – это подграф

H ⊆ p

из таких простых x-путей w

, v

), w

, v

), что

Int(w

) ∩Int(w

) = ⊘, l(w

) > 1, l(w

) > 1. x-Пˆ-К-ячейка H

обозначается как pcc

, v

) или pcc

, а v

, v

– b(H), e(H). Если

есть такой простой x-путь w

, v

), что Int(w

)∩V

= ⊘ и при

любом w

(v, v

) либо w

(v, v

) ⊆ w

, v

), либо

, v

) ⊆ w

(v, v

), то H

′

= H ∪ w

, v

) ⊆ p

называет-

ся x-Аˆ-К-ячейкой у G с базой H и осью Аˆ w

. Здесь H

′

, H, w

обозначают как acc

, v

) или acc

, B(H

′

), o(H

′

) соответствен-

но. x-Пˆ- или x-Аˆ-К-ячейку называют просто x-К-ячейкой, обо-

значая как ccc

, v

) или ccc

. Число различных pcc

, acc

, ccc

(x ∈ T E) называют соответственно x-К- p−, a−, c− зарядом или

xpc−, xac−, xcc− зарядом орграфа G, обозначая как ch

xpc

(G),

xac

(G), ch

xcc

(G) или ch

xpc

, ch

xac

, ch

xcc

. Нижние индексы указы-

вают тип К-заряда, и различают 9 таких типов:

T CC = {dpc, dac, dcc, cpc, cac, ccc, spc, sac, scc}. (6.5)

Для всех П, наделенных типами (6.1), (6.3), (6.5), можно уста-

навливать их сравнения по силе, совместности, _Зˆ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.12. Тип x ∈ T W, или x ∈ T C, или

x ∈ T CC для какого-то П считается сильнее типа y, а y – сла-

бее x: x ≥ y, если у любого оргра фа G всякий пред ставитель по

типу x является представителем по y. Если x ≥ y и хотя бы у

одного орграфа G есть представ ите ль по типу y, не являющийся

представителем по x, то x считается строго сильнее y: x > y, а

y – строго слабее x. Если множества представителей по типам x

и y не имеют общих элементов в любом орграфе G, то т ип ы x и

y считаются несовместными. Если в любом орграфе G нали чие

представителя по одному из типов x и y не сказывается на нали-

чии представителя по другому из них, т о x и y считаются _Зˆ-.

Понятно, например, что d > s, d и c _Зˆ-, а d и dn несовмест-

ны. Эти моменты во многом определяют КЛФ орграфов.

Наконец, к ряду числовых величин, например , к зарядам, к

дистанциям, можно применить обобщение в ранге линейных ком-

бинаций с различными весами или каких-либо других функций.

При этом не исключено об нар ужение новых О-значимых П и Зˆ.

В любом случае такие варианты могут быть полезны при МЛ

конкретного измерительного прибора (см. гл.5). Не исключено

также появление новых важных П в процессе изучения и

′

Пр

аппарата ТДИС (см. гл.7-11).

6.2. Операции над структурами ДИС

Определимся теперь с минимумом базовых операций над СТ

ДИС. При этом класс всех орграфов условимся обозначать через

OG.

Прежде всего, приняты оп ера ции теорети ко-множественного

характера – объединение и пересечение, использующие знак и ∪,

∩. И нет необходимости их определять.

Далее, в свя зи с ДШ востребованными оказываются опера-

ции – КТ- свертка и композиция, связные свертка и композиция,

обозначаемые соответственно σ

cat

, ⊗

cat

, σ

con

, ⊗

con

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.13.

((G

∈ OG)&(V

= ∪{V

|i ∈ J})&

&((({i, j} ⊆ J)&(i 6= j)) ⇒ (V

\ V

6= ⊘))) ⇒

⇒ ((G = σ

cat

|i ∈ J)) ⇔ ((G ∈ OG)&

(∃α : J → V

)(α(J) = V

)&((({i, j} ⊆ J)&(i 6= j)) ⇒

⇒ (α(i) 6= α(j)))&((x ∈ T BE) ⇒ (((v, v

) ∈ R

) ⇔

⇔ (((i = α

−1

(v))&(j = α

−1

))) ⇒

⇒ ((R

) \V

) ∩V

6= ⊘)))))).

(6.6)

Иногда пишем G = σ

cat/G

. Если в (6.6) x ∈ T E, |J

′

| = |R

= {b(w), e(w)} с неким w ∈ R

при любом i ∈ J

′

и либо

= V

6= ⊘, J = J

′

∪ {0}, либо V

= ⊘, J = J

′

, то операция

cat

называется x-естественной с обозначениями σ

catx

и σ

catx/G

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.14.

(((G

∪ {G

|i ∈ J}) ⊆ OG)&(∃β : V

→ J)

((({v, v

} ⊆ V

)&(v 6= v

)) ⇒ (β(v) 6= β(v

)))) ⇒

⇒ ((G = G

⊗

cat

|i ∈ J)) ⇔

⇔ ((G ∈ OG)&(∀i ∈ J)(∃γ

⊆ G

× G)

((γ

)

∼

)&(G

= σ

cat/G

(γ

)|i ∈ J))))).

(6.7)

Здесь орграфы G

, i ∈ J дают ДШ КТ орграфа G

, называемого

базовым в ⊗

cat

. Иногда пишется G = G

⊗

cat

. Если для x ∈ T E в

(6.7) G

= σ

catx/G

, то операция ⊗

cat

называется x-естественной с

обозначениями ⊗

catx

и G

⊗

catx

В случае с операциями σ

con

, ⊗

con

надо иметь дело с ДШ на-

правленных ребер. Это требует определенных орграфов, имею-

щих аналогич ный фактор, в связи с чем для каждого x ∈ T E

вводится в рассмотрение класс XD x-дипольных орграфов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.15. Пусть x ∈ T E. Тогда

((G ∈ XD) ⇔

⇔ ((G ∈ OG)&(∃!v ∈ V xb)&(∃!u ∈ V

)&(∃w

(v, u))).

(6.8)

Здесь v и u называются соо твет ств енн о началом и концом, вместе

– полюсами x-дипольн ого орграфа G: v = b

(G), u = e

(G), пара

(v, u) – ориентацией орграфа, а x-п уть w

(v, u) – основным для ор-

графа G. Множество всех основных путей x-дипольного орграфа

G обозначается через BW

или просто BW

Иногда x-дипольный орграф (6.8) называется соответственно

ˆВ-, ˆК-, смешанным или d−, c−, s− диполем, просто диполем.

Возможно |BW

| > 1. Примером x-дипольного орграфа служит

x-Пˆ-К-ячейка (см. п.6.1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.16.

((G

∈ OG)&(J

∩ J

= ⊘)&((x ∈ T BE) ⇒

(({H

|j ∈ J

} ⊂ XD)&(∪{H

|j ∈ J

} ⊆ G

&(V

= ∪{V

|j ∈ J

})&(({i, j} ⊆ J

)&(i 6= j)) ⇒

⇒ ({b(H

), e(H

)} 6= {b(H

), e(H

)})))) ⇒

⇒ ((G = σ

con/G

|j ∈ (J

∪ J

))) ⇔ ((G ∈ OG)&

&((v ∈ V

) ⇔ (∃x ∈ T BE)(∃j ∈ J

)(v ∈ {b(H

, e(H

))}))&

&((x ∈ T BE) ⇒ (((v, u) ∈ R

) ⇔

⇔ (∃j ∈ J

)(∃w

(v, u) ∈ BW

)(Int(w

) ∩V

= ⊘))))).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.17.

((G

∈ OG)&(J

∩ J

= ⊘)&((x ∈ T BE) ⇒

⇒ ({H

|j ∈ J

} ⊂ XD))) ⇒

⇒ ((G = G

⊗

con

|j ∈ (J

∪ J

))) ⇔

⇔ ((G ∈ OG)&((x ∈ T BE) ⇒

⇒ (∃β : R

→ J

)((({w, w

} ⊆ R

)&(w 6= w

)) ⇒

⇒ (β(w) 6= β(w

)))&

&(∀j ∈ J

)(∃γ

⊆ H

× G)(γ

)

∼

))&

&(G

= σ

con/G

(γ

)|j ∈ (J

∪ J

))))).

(6.9)

Орграфы H

, j ∈ (J

∪J

) дают ДШ ребер орграфа G

– базового

в ⊗

con

Иногда может писаться G = σ

con/G

и G = G

⊗

con

Заметим, что у операций ⊗

cat

, ⊗

con

результат не однозначен.

Важно наличие в таком результате определенных связей из оргра-

фов γ

), i ∈ J (6.7) или из орграфов γ

), j ∈ (J

∪J

) (6.9) в

согласии с орграфом G

, но не количество таких связей. Роль этих

операций в главном стратегическая. Операция ⊗

con

применима не

к любым орграфам G

; у G

не должно быть изолированных вер-

шин, так как каждая из них обязана быть полюсом хотя бы одного

c− и d− диполя.

Для отражения факт ора различия типов предусматривается

операция инверсии, обозначаемая inv и состоящая в переимено-

вании ти по в ребер у орграфа. Это аналог зеркального отраже-

ния М*. Аналог обратимости В* дает обратимость ИФ-потоков.

Операция конверсии, обозначаемая conv, состоит в обращении на-

правления d-ребер орграфа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.18.

(H ∈ OG) ⇒ ((G = inv(H)) ⇔

⇔ ((G ∈ OG)&(V

= V

)&(R

= R

)&(R

= R

))).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.19.

(H ∈ OG) ⇒ ((G = conv(H)) ⇔

⇔ ((G ∈ OG)&(V

= V

)&(R

= R

−1

)&(R

= R

))).

Фактор связности отражает единство СМ, ее А

′

, определен-

ное безразличие к размерам орграфа. Здесь актуальна операция

шортовки, обозначаемая sh и состоящая в укорачивании путей,

удалении «лишних» вершин.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.20.

(({G

|i ∈ (J ∪{0})} ⊂ OG)&(G

⊃ ∪{G

|i ∈ J})) ⇒

⇒ ((G = sh

|i ∈ J)) ⇔

⇔ ((G ∈ OG)&(V

= ∪{V

|i ∈ J})&

(((x ∈ T BE)&({v, v

} ⊆ V

)) ⇒

⇒ (((v, v

) ∈ R

) ⇔ (((v, v

) ∈ R

)∨

∨((V = V

\ V

6= ⊘)&

&(∃H = w

(v, v

))(V

\ {v, v

} ⊆ V

))))))).

(6.10)

Орграфы {G

|i ∈ J} считаем внутренними, G

– внешним, и пи-

шем G = sh

Доступ для ИСС ИФ-потоков по всем типам ребер позволяет

увязать с портретами оргр афа одноименные операции на множе-

стве всех орграфов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.21. Операция x-портрета для x ∈ T E –

это отображение p

: OG → OG, при котором p

(G) = p

для

каждого G ∈ OG.

Наконец, добавление ос и Аˆ в Пˆ-К-ячейку при вно сит О-ос-

мысленность в КТ Пˆ-К-ячейки с образованием Аˆ-К-ячейки.

Начало К-ячейки обретает возможность получать от ее конца

неискаженную ИФ, т.е. у ДИС расширяется множество потенци-

альных механизмов самосохранения в ранге проявлений феноме-

на решения обратных задач. А удаление оси Аˆ из Аˆ-К-ячейки,

наоборот, означает сужение у ДИС множества потенци аль ных

механизмов самосохранения, снижение ее Аˆ и может привести

к потере О-осмысленности КТ К-ячейки. В связи с этим акту-

альны операции x-Аˆ и x-Пˆ, обозначаемые соответственно act

и pas

и заключающиеся в добавлении или удалении оси Аˆ хо-

тя бы у одной x-К-ячейки в орграфе, x ∈ T E. Очевидно, эти

операции, как и композиции, не имеют однозначно определенных

результатов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.22.

((G ∈ OG)&(x ∈ T E)) ⇒ ((G

= act

(G)) ⇔ ((G

∈ OG)&

&(∃H = pcc

)(∃H

′

= acc

)((H = B(H

′

))&(o(H

′

) \p

6= ⊘)))).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.23.

((G ∈ OG)&(x ∈ T E)) ⇒ ((G

= pas

(G)) ⇔ ((G

∈ OG)&

&(∃H = pcc

)(∃H

′

= acc

)((H = B(H

′

))&(o(H

′

) \p

6= ⊘)))).

Итак, определились 12 разновидностей базовых операций для

орграфов:

∪, ∩, σ

cat

, ⊗

cat

, σ

con

, ⊗

con

, inv, conv, sh, p

, act

, pas

. (6.11)

Эту серию операций можно пополнить операцией копирова-

ния орграфа, обозначаемой copy. Однако как М-ОБ эта опера-

ция интереса не представляет. Важно знать, когда эта операц ия

срабатывает в РО как фактор СМР М*.

6.3. Структурная классификация ДИС

Изучение свойств базовых операций и выявление инвариант-

ных характеристик у орграфов приводит к согл асо ван ной с э тим

КЛФ всех орграфов.

Обратимся, например, к моментам, связанным с операцией sh

(6.10). Фактически при sh происходит А

′

связей между ОБ «кол-

лектива» {G

|i ∈ J} под условия окружающей их среды G

. Так

получается, что КЧ результата операции sh начинает зависеть

от среды лишь по до сти жении определенного условия включения

∈ QM, i ∈ J. Дальнейший рост совершенства ОБ, а вслед

за этим и результата sh требует этог о же и от среды. Тем са-

мым во множестве всех орграфов выявляется класс QM всех КЧ-

моделей. А условие организации измерительного прибора в ранге

КЧ-модели (см. гл.5), по сути, является необходимым для того,

чтобы измерительный прибор позволял выявлять хоть какие-то

СТ-аспекты в ранге элементов совершенства у ОБ ИСС.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.24.

(G ∈ QM) ⇔ ((G ∈ OG)&(R

(V ) = V )&

&(R

−1

(V ) = V )&(R

(V ) = V )).

(6.12)

Итак, работа у СБ становится осмысленной лишь в ранге

дальнейшего роста их совершенствования. В переводе на те му

СМР это озн ачает рост у СБ потребности в более

′

А-восприятии

М*, в ПСМ* и формировании ими достаточно совершенной сре-

ды, которая скоро может оказаться в роли внутренней среды для

единой СМ, являющей ся результатом ИГ СБ как _Зˆ-СМ. При

этом существенно, что наличие совершенства у сре ды обеспечи-

вает такой же уровень совершенства и результату операции sh.

Таким образом, следующий шаг в КЛФ состоит в выделении

в QM (6.12) подклассов DQM , CQM соответственно динамиче-

ских и совершенных КЧ-моделей и приписывании произвольному

орграфу определенного параметра, именуемого уровнем самодо-

статочности N

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.25.

(G ∈ DQM) ⇔ ((G ∈ QM)&(G ∈ dC)). (6.13)

((G ∈ P QM)&(N

= N)) ⇔

⇔ ((G ∈ DQM )&(G ∈ cC)&(N = min{dim

, dim

})).

(G ∈ OG) ⇒ (N

= min{N

|(H ⊆ G)&(H ∈ P QM)}).

(6.14)

С учетом введенных классов вышеприведенные замечания, свя-

занные с операцией sh, приобретают характер теоремы.

ТЕОРЕМА 6.5. Пусть G = sh

|i ∈ J). Тогда:

1) (∀i ∈ J)(G

∈ QM) ⇒ (G ∈ QM);

2) (C ∈ {DQM, P QM}) ⇒ ((G

∈ C) ⇒ (G ∈ C)).

Доказательство. Утверждение 1) очевидно из того, что каж-

дая вершина из G есть вершина некоторого G

∈ QM, i ∈ J, и

условия наличия при ней требуемых согласно (6.12) ребер сбыва-

ются автоматически вне Зˆ от G

. А утверждение 2) следует из

того, что наличие определенного типа пути между вершинами G

обеспечивается наличием соответствующего пути в G

. ♦.

Аналогичные результаты по сохранению совершенст ва КЧ-

модели имеют место и для операций σ

cat

, ⊗

cat

, σ

con

, ⊗

con

, inv,

conv. Так что классам DQM, P QM свойственна инвариантность

по достаточно богатому набору базовых операций на множестве

всех орграфов.

Однако отнести класс P QM к верхушке совершенства КЧ-

моделей было бы серьезной ошибкой, так как при этом наличие

совершенства у среды всегд а бы обеспечивало такой же уровень

совершенства результату операции sh, даже когда по каким-то

причинам СБ {G

|i ∈ J} потеряют свое совершенство. Если такой

феномен хорош с позиций направленной вовне деятельности «кол-

лектива» СБ в целом, то на уровне жизни внутри «коллектива»

он имеет явно негативную окраску, так как здесь игнорируется

учет «здоровья» самих СБ. Естественно полагать, что верхушка

совершенства должна как-то учитывать «здоровье» СБ «коллек-

тива», т. е. результат операции sh, а тогда и сама среда автома-

тически должны терять верхушку совершенства как только эту

верхушку потеряет хотя бы один из СБ. Эту верхушку совер-

шенства уместно охарактеризовать как феномен завершенности,

О*- к полю деятельности СБ, и сформировать класс CQM таких

КЧ-моделей, что наделены данным феноменом. Это будет класс

завершенных КЧ-моделей, а пр оиз вол ьно му орграфу будет еще

приписан параметр N

, именуемый уровнем завершенности.

Ясно, что определяющий признак для КЧ-модели из CQM

должен не столько быть инвариантным О*- базовых операций,

сколько наследоваться каждым орграфом от своих собственных

подграфов. И таким признаком уместно посчитать факт недопу-

стимости в завершенной КЧ-модели парного ˆВ- или ˆК- ребра,

так как парное ребро, с одной стороны, выделяет пару связанных

в цикл КТ из всей КЧ-модели и, с другой стороны, не обеспечива-

ет такой паре КТ О-осмысленности; нали цо элементы патологии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.26.

((G ∈ CQM)&(N

= N)) ⇔ ((G ∈ P QM)&

&(N = N

)&((x ∈ T BE) ⇒ (R

∩ R

−1

= ⊘))).

(G ∈ OG) ⇒ (N

= max{N

|(H ⊆ G)&(H ∈ CQM )}).

(6.15)

В сущности, условие (6.13) выражает факт наличия в ДИС

полной управляемости [102], а (6.14) – еще и полной наблюдае-

мости. А условие (6.15) выражает факты однородности и опти-

мальности в организации СТ ДИС, при которых ДИС обеспе-

чивается возможность Рˆ в ранге энергетической СМ. Поэтому в

целом данная КЛФ высвечив ает стратегии

′

Р РО на СТ-уровне,

а именно, при описании СТ РО следует держать ориентир на то,

чтобы эта СТ явилась в итоге из CQM . Здесь и значально име-

ется некий стартовый орграф G и для него подбирается соответ-

ствующий орграф G

′

, выступающий в КЧ стратегии

′

Р для G.

Отклонения G от G

′

выступают признаками наличия патологии

в СТ РО, и эти патологии надо устранить.

Строго г ово ря, здесь развивается не сам РО, а уровень досту-

па РО для СБ. Четче это прослеживается в варианте, когда СБ

направляет взор на себя, так что незавершенность видимой при

этом СТ-картины означает, по сути, наличие патологи и в СТ са-

мого СБ. С учетом таких моментов можно организовывать более

детальные КЛФ орграфов [103] и изучать их с использованием,

в частности, для медицины.

Остановимся несколько детальнее на примере построения КЧ-

модели, исходя из Т, согласованных с Т СМР, как это имело

место в главе 5.

Началом всегда здесь служит Т указанного типа, которая по-

стулирует или дешифрует некоторое П. Эту Т считаем ДШ уров-

ня 1, а ее КТ нумеруем цифрами 1, 2, 3, исходя из сопоставления

П – 1, СРП – 2, М-А – 3 как в п.5.4. Далее производится ДШ

уровня 2 в форме Т СМР всех или части КТ исходной Т. Но-

вым К Т приписываются уже номера из двух цифр, первая из

которых есть номер исходной ДШ-КТ, а вторая – номер д анн ой

КТ в дешифрующей Т. Если какая-то из исходных КТ не полу-

чила ДШ, то просто в ее предыдущий номер добавляется циф-

ра 1. Затем возможна ДШ уро вня 3 в форме Т СМР всех или

части КТ получившейся КС. Здесь в полной аналогии со случа-

ем уровня 2 в каждый исходный двузначный номер добавляется

еще одна цифра. При этом не исключается ДШ те х КТ, что не

получили ее на уровне 2, правда, в спо минат ь о таком моменте

и прибегать к перестановке цифр в номерах уже нежелатель но.

Указанная процед ура с нумераций КТ может быть продолжена

и далее до любого уровня ДШ. Когда нумерация определилась,

по ней уже однозначно восстана вли ва ются ˆВ- и ˆК- ребра. До-

статочно каждой КТ сопоставить одну из цифр 1, 2, 3 из условия,

что с этой цифрой сравнима по модулю 3 сумма цифр номера дан-

ной КТ. Тогда каждая КТ, получившая в результате этого цифру

1, должна быть соединена ˆВ-ребром с каждой КТ, получившей

цифру 2; эти КТ, в свою очер едь, должны быть соединены ˆВ-

ребром со всеми КТ, получившими цифру 3, а последние – с о

всеми исходными. Но а ˆК-ребра повторяют ˆВ-, только с изме-

нением их направлений на противоположные. В результате этого

всегда получается КЧ-модель из класса CQM.

Однако при любом использовании КЧ-модели в

′

Пр не обой-

тись без обращения к проблемам ФЦ РО.

6.4. Матричное описание функционирования ДИС

Для изучения ФЦ ДИС весьма пол езн о его описание на языке

матриц.

Введя нумерацию вершин орграфа G: V → J = {1, . . . , |V |} из

, представим соответствия r

, q

, λ

, f

(5.1) в виде вектор-

столбцов r

, q

, λ

и квадратных матр иц F

, F

размера |V |, а

Сˆ ДИС S(k) – в виде вектор-столбца S

= (r

, q

)

размера

2|V |. Буква T вверху здесь и далее обозначает транспонирование.

Пусть еще e обозначает вектор-столбец, все элементы у которого

= 1, а e

– все элементы у которого = 0 и только на j-ом месте

стоит 1, прич ем размерность у e и e

не фиксирована, а выбирает-

ся в согласии с контекстом. При этом Inf(G) = e

= const > 0

выражает объем всей имеющейся в ДИС ИФ. Определим диа-

гональные матрицы D

, D

с элементами d

≥ 0, j ∈ J,

равными соответственно 1 −e

e, 1 −e

и d

= 1 или = 0

в Зˆ от того, в ыпол нен о или нет условие e

≥ e

. Тогда акты

ПИФ в (5.1) запишутся как S

k+1

= P

при подходящей мат-

рице P

размера 2|V |. Если расписать P

через блоки P

k11

, P

k12

k21

, P

k22

размера |V |, то они окажутся равными соответственно:

1) P

k11

= D

, P

k12

= 0, P

k21

= F

, P

k22

= I;

2) P

k11

= I, P

k12

= D

, P

k21

= 0, P

k22

= I −D

;

3) P

k11

= D

+ F

, P

k12

= 0, P

k21

= 0, P

k22

= I.

(6.16)

Здесь I и 0 обозначают единичную и нулевую матрицы размера

|V | = |J|.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.27. Матрица P

называется оп ред еля ющей

матрицей для ДИС G (5.1) на шаге k ∈ Z, и это о боз начается

через P

∈ DM(G, k). Типом акта A(k) ПИФ считается номер

x ∈ {1, 2, 3} в согласии с (5.1), и он переносится на матрицу P

(6.16); обозначается это соответственно через A(k) ∈ T

, P

∈ T

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.28. Прямоугольная матрица P = ||p

|| на-

зывается неотрицательной, обозначаясь как P ≥ 0, если все

≥ 0. А запись P ≥ Q означает P − Q ≥ 0. В частности, это

принимается и для векторов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.29. Квадратная матрица P называется сто-

хастической [104 ], обозначаясь как P ∈ SM , если P ≥ 0 и

P = e

. Если также P

∈ SM, то матрица P называется

двояко стохастической: P ∈ T SM. Если P ∈ T SM такова, ч то

каждые ее строка и столбец содержат ровно по одному элемен-

ту = 1, а остальные = 0, то матрица P называется циклической:

P ∈ CSM . Если P ∈ SM представима как P

∈ DM(G, k) для

некоторой ДИС, то тип P

объявляется таким и для P .

ТЕОРЕМА 6.6. С учетом обозначений (5.1), (6.16) и определе-

ний 6.28, 6.29

∈ DM (G, k)) ⇒ ((P

∈ SM )&

&((D

+ F

) ∈ SM)&((D

+ F

) ∈ SM)).

Доказательство. Равенство e

P = e

эквивалентно СМ

P e

= e

для всех возможных j. Учитывая это и опреде-

ление матриц D

, D

, будем иметь:

+ F

= 1 − e

+ e

= 1 = e

;

+ F

= 1 − e

e + e

= 1 − e

+ e

= 1 = e

(6.17)

Далее рассмотрим величины e

отдельно для случаев j ≤ |V |

и j > |V |, сводя все к блокам (6.16) размера |V |. В любом из этих

случаев для каждого из актов величина e

будет соответ -

ственно равна e

+ F

, e

+ F

, т. е. с учетом (6.17) всюду имеем e

. ♦.

ТЕОРЕМА 6.7. Кл асс матриц SM фиксированного размера,

а также каждый из его подклассов T SM, CSM замкнут О*- опе-

рации умножения и содержит I, т. е. эти классы образ уют муль-

типликативные полугруппы с единицей, а класс CSM образует

даже группу, изоморфную группе подстановок на множестве из

|V | элементов. Всякая матрица P ∈ SM допускает неподвижный

вектор S 6= 0, P S = S с условием S ≥ 0. Кроме того, е сли у

матриц размер n > 1, то

(CSM ⊂ T SM ⊂ SM)&((P ∈ SM) ⇒ ((|det P | ≤ 1)&

&((|det P | = 1) ⇔ (P ∈ CSM) ⇔ (∃P

−1

∈ SM ))))&

&(({P

, P

} ⊆ SM) ⇒

⇒ ((P

∈ CSM) ⇔ ({P

, P

} ⊆ CSM))).

(6.18)

Доказательство. Спра вед лив ост ь первого утверждения оче-

видна – если, например, e

P = e

и e

Q = e

, то

P Q = e

Q = e

и e

QP = e

P = e

. О*- P ∈ CSM надо

еще заметить, что P P

= P

P = I. Существование неподвижно-

го вектора во в тор ом утверждении оч евид но из определения 6.29,

в доказательстве нуждается лишь удовлетворение условия S ≥ 0.

Так, пусть S

−

обозначает часть S из всех строго отрицательных

элементов, а e

(1)

– вектор, у которого = 1 элементы с такими

номерами, какие имеют элементы S

−

в S, а остальные эле менты

= 0. Тогда из ср ав нен ия обеих часте й равенства e

(1)T

P S = e

(1)T

с учетом того, что в строке e

(1)T

P все элементы имеют зн ачения

из отрезка [0, 1], заключаем о виде матрицы P , что при ее умноже-

нии на вектор S часть S

−

, во-первых, сама задает неподвижный

вектор для P и, во-вторых, не сказывается на остальных элемен-

тах S. Д остаточно лишь поменять на противоположный знак у

элементов части S

−

, и в результате получится искомый вектор

S ≥ 0. Далее, строгость включений (6.18) при n > 1 доказывает

соответственно пример матрицы, у которой в первом случае все

элементы = 1/n, а во втором – первая строка совпадает с e

, а

остальные элементы = 0. Выводы о |det P | проще всего видны из

Г-смысла определителя как объема параллелепипеда [104] и того,

что каждый столбец у P ∈ SM как ве кто р имеет евкли дов у дли-

ну < 1 всякий раз как не совпадает с одним из век тор ов e

. А из

этих моментов ясно, что обратимость у P ∈ SM возможна лишь

при P ∈ CSM и верно последнее в (6.18) заключение. ♦.

ТЕОРЕМА 6.8. Класс матриц SM любого из типов x ∈ {1, 2, 3}

образует мультипликативную полугруппу с единицей. Такие три

класса в заимн о _Зˆ- в том плане, что отличное от I произве-

дение нескол ьки х матриц из двух таких классов не есть элемент

оставшегося класса. Кроме того:

((M ∈ {T SM, CSM })&(P

∈ T

&(P

∈ T

)&(P

∈ T

)) ⇒

⇒ ((P

∈ M) ⇔ ((P

= P

= I)&(P

∈ M))).

(6.19)

В частности, M ∩ T

= M ∩ T

= {I}.

Доказательство. Рассмотрим сначала с учетом обозначений

(6.16) произведение P

, считая обе матрицы P

, P

одного типа,

чередуя са м тип и обозначая результат и его блоки через P

, P

011

012

, P

021

, P

022

В случае типа 1 будет P

011

= D

, P

021

= F

+ F

012

= 0, P

022

= I, т. е. достаточно убедиться, что F

+ F

годится в роли F

, удовлетворяющей условиям 0 ≤ e

≤ 1 и

= 0 для любого j ∈ J. Учет таких условий для F

и F

= 1, а также определяющих соотношений для D

и теоремы

6.6 дает:

+ F

= e

− I)D

+ e

+ F

= (1 − e

− I)e

+ e

= 1 − (1 −e

)(1 −e

+ F

= 1 − (1 −e

)(1 −e

откуда очевидны и требуемые усл ови я.

В случае типа 2 б удет P

011

= I, P

021

= 0, а также

022

= (I − D

)(I − D

), P

012

= I − P

022

, откуда очевидно, что

матрицы P

012

и P

022

обе диагональные и имеют элементы лишь 0

и 1 вслед за D

и D

, т. е. P

тоже имеет тип 2.

А случай т ип а 3, очевидно, сводится к классу матриц D

который с учетом теоремы 6.6 совпадает с классом всех матриц

SM размера |V |, так что при этом остается лишь воспользоваться

теоремой 6.7.

Наконец, у произведения любого числа матриц SM типов 1 и

3, очевидно, всегда = 0 прав ый верхний блок, чего нет у матриц

SM типа 2, отличных от I. А у произведения матриц SM типов 2

и 3 всегда = 0 левый нижний блок, чего нет у матриц SM типа 1,

отличных от I. Обозначим далее через e

(1)

и e

(2)

векторы с 2|V |

координатами, причем соотв етс твен но первые |V | и последние |V |

координат = 1, а остальные = 0, т.е. e

(1)

+ e

(2)

= e. Индукция

по числу сомножителей дает, что произведение P

отличных от I

матриц SM типов 1 или 2 всегда удовлетворяет условию

(∃j)((1 ≤ j ≤ 2|V |)&(e

(1)

6= 0)&(e

(2)

6= 0)). (6.20)

При одном сомножителе будет P

∈ T

или T

, P

6= I, и выполни-

мость (6.20) очевидна. Если P

= P

и условие (6.20) реализу-

ется дл я P

при j = j

′

, то в роли искомого j для P

годится номер

любого элемента в столбце j

′

из P

, и такой элемент есть ввиду

∈ SM . Остается заметить, что для матриц SM типа 3 условие

(6.20) не сбывается.

Далее, если в (6.19) P

= P

, то с использованием обозна-

чений (6.16) будет

011

= (D

+ F

)(D

+ D

), P

022

= I −D

012

= (D

+ F

, P

021

= (I −D

(6.21)

Отсюда видно, что в условиях (6.19) обязано быть D

= 0, так

как иначе у P

имелась бы строка = 0, а это невозможно ни в

одном из классов T SM, CSM . Но то гда должно быть F

= 0,

= I, так как иначе у P

имелась бы строка, сумма элементов

которой была бы > 1, что тоже н евоз можно ни в одном из классов

T SM, CSM. Случай с M = CSM очевиден также из (6.18). ♦.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.30. Компонент C(k) ПИФ ДИС (5.1) это

Т его актов в порядке 1), 2), 3). ПИФ ДИС, представленный по-

следовательностью реализации его компонентов:

P IF = {C(k)|k ∈ Z}, называется К-организованным.

ТЕОРЕМА 6.9. ПИФ ДИС всегда допускает быть К-органи-

зованным. А нетривиальное сокращение количества актов ПИФ

ведет к утрате СТ-статуса ДИС.

Доказательство. Каждый тип акта допускает, за счет выбора

подходящих ФЦ-параметров, случай отсутствия перераспределе-

ния ИФ, т.е. P

= I. Вставив по мере необходимости акты с таки-

ми случаями в исходную последовательность ПИФ, мы и придем

в итоге к К-организованному ПИФ. Так как произведение мат-

риц из SM с одинаковой СТ расположения элементов 6= 0 почти

всегда имеет иную такую СТ, то верно и второе утверждение. ♦.

Итак, ПИФ ДИС можно считать К-организованным, и всю-

ду, где не оговорено, он понимается именно таким. А теперь при-

ступим к более детальному изучению ФЦ-аспектов ДИС.

6.5. Основные классы предельных режимов

функционирования ДИС

Говоря о предельных РФЦ ДИС, естественно прежде всего

считать ДИС стационарной, т. е. ее ФЦ-параметры одинаковы

для всех компонентов C(k), k ∈ Z (см. п.6.4). В таком случае

ПИФ ДИС уд обн о изучать через последовательность

′

= (r

′

, q

′

)

|k ∈ Z} Сˆ ДИС, п ри ходящихся на концы

компонентов C(k), введя в рассмотрение опр еде ляющ ие матри-

цы P

′

∈ D

′

M(G, k) типа (6.21), синтезирующие сразу Т актов в

C(k). А уж в Зˆ от особенностей спектра собственных значений

матрицы P

′

получаются и основные классы предельных РФЦ

ДИС. Пусть при этом P

′

k11

, P

′

k12

, P

′

k21

, P

′

k22

обозначают соо тве т-

ствующие блоки (6.21) размера |V | в матрице P

′

. Заметим, что

стационарность ДИС вовсе не означает, что матрица P

′

не за -

висит от k, так как могут иметь место задержки, причем В*-,

′

ИФ в некоторых КТ ДИС, т. е. вполне могут претерпевать изме-

нение матрицы D

, а вслед за ними и P

′

. Но а для О-значимости

РФЦ важно заранее предполагать ДИС завершенной, не имею-

щей патологий.

ТЕОРЕМА 6.10. У стационарной ДИС G (5.1) со СТ из клас-

са CQM (6.1 5) возможны следующие предельные РФЦ ДИС:

1) стационарный SR: S

′

→ S

′

∞

= (r

′

∞

, q

′

∞

)

при k → ∞, где

′

∞

6= 0; имеет место, когда, с учетом (6.21), при всех достаточно

больших k

((D

+ F

)(D

+ F

′

∞

= r

′

∞

&((I − D

′

∞

= D

′

∞

= 0).

(6.22)

2) устойчивый стационарный SSR – аналогично SR, но с усло-

вием _Зˆ S

′

∞

от любой перемены Сˆ ДИС на каком-то фиксиро-

ванном шаге; имеет место, когда в (6.22) дополнительно q

′

∞

= 0,

(I − D

′

∞

≥ (I − D

)λ

, так что в целом ситуация эквива-

лентна случаю с λ

= 0, а также выполняется условие простоты

[104] со бств енн ого значения = 1 у матрицы (D

+ F

)(D

+ F

);

3) флуктуаций F R:

(∃n ∈ Z

)(∀h ∈ {1, . . . , n})(∃S

′

h∞

= (r

′

h∞

, q

′

h∞

)

(((m → ∞) ⇒ (S

′

mn+h

→ S

′

h∞

))&

&(∃{h

, h

} ⊆ {1, . . . , n})((h

6= h

)&(S

′

∞

6= S

′

∞

)));

(6.23)

это в озможно, лишь когда при всех достаточно больших m ока-

зываются периодически изменяющимися матрицы D

в последо-

вательности компонентов ПИФ, причем

((D

+ F

)[(D

+ F

′

h∞

+ q

′

h∞

− q

′

(h+1)∞

] =

= r

′

(h+1)∞

)&((I − D

)(F

′

h∞

+ q

′

h∞

) = q

′

(h+1)∞

&((Q

′

= P

′

(m+1)n+h−1

· . . . ·P

′

mn+h

) ⇒ (Q

′

h∞

= S

′

h∞

)),

(6.24)

где r

′

(n+1)∞

, q

′

(n+1)∞

отождествляются с r

′

1∞

, q

′

1∞

и D

своя для

каждого h ∈ {1, . . . , n};

4) ритма RR – аналогично F R, но с условием сохранения (6.23)

и последовательности значений матриц D

после любой перемены

Сˆ ДИС на каком-то фиксированном шаге; при дополнительном

100