Презентация - Андреев В.К. Механика жидкости и газа
Подождите немного. Документ загружается.
отсюда
π
2
Q
a =
и, следовательно,
=
=
.
2
,ln
2
θ
π
ψ
π
ϕ
Q
r
Q
(Q>0 – для источника,Q<0 – для стока).
Циркуляционное течение
Пусть а – чисто мнимая величина, т.е.
1
iaa = , где
1
a - действительное число. Тогда
.ln,,ln)(
1111
raaraazW =−=+−= ψθϕθ
Теперь по сравнению с предыдущим случаем окружности представля
ют собой линии тока, а
семейство прямых, проходящих через начало коорди
нат, является семейством эквипотенциальных
линий. Поле скоростей определяется составляющими
.
1
,0
1
r
a
r
V
r
V
z
−=
∂
∂
==
∂
∂
=
θ
ϕϕ
θ
Найдем циркуляцию скорости по любой из окружностей (
∫
=Γ dlV ):
.22
1
arV ππ
θ
−==Γ
Отсюда
π
2
1
Γ
−=a и, следовательно,
.ln
2
ln
2
z
i
ziW
ππ
Γ
=
Γ
−=
Скорость движения жидкости
θ
V
обратно пропорциональна расстоянию от центра. В начале
координат располагается особая точка. Поскольку любую линию тока можно считать твердой границей
,
то, принимая в качестве такой границы окружность радиуса
1
rr = и рассматривая течение
вне этой
окружности, получаем чисто циркуляционное обтекание бесконечно длинного круг
лого цилиндра
радиуса
1
r . Направление скоростей определяется знаком циркуляции. Будем считать Г>
0 в случае, когда
вращение жидкости происходит против часовой стрелки.
Диполь
При построении различных течений методом сложения простейших потоков важную роль играет
течение, называемое диполем. Его комплексный потенциал имеет вид
).,)((,
2
)( iyxzizW
z
M
zW +=+== ψϕ
π
Действительную постоянную М называют моментом диполя. Выделим действи
тельную и
мнимую части:
.
22
)(
2222
yx
yM
i
yx
xM
zW
+
−
+
=
ππ
Отсюда
.
2
,
2
2222
yx
yM
yx
xM
+
⋅−=
+
⋅=
π
ψ
π
ϕ
Эквипотенциальные линии (
const
ϕ
=
) и линии тока (
const
ψ
=
) являются окружностями с
центрами, расположенными на осях x и y соответственно (рис. 11.6).
В данном случае жидкость вытекает из центра и вновь возвращается к центру. Подобное течение
можно получить в результате сложения источника и стока при сближении их центров и при
неограниченном возрастании мощности Q и стремлении к нулю расстояния между центрами h
. При
этом .lim
0
MhQ
h
=
→
Отсюда следует, что диполь является по существу сложным движением.
Рис. 11.6
Пользуясь полученными выражениями комплексных потенциалов для простейших течений и
приемом наложения потоков, можно составить ком
плексные потенциалы более сложных движений
жидкости.
Далее будет рассмотрен пример бесциркуляционного обтекания
круглого цилиндра
плоскопараллельным потоком.
Лекция 13
.
Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра
плоскопараллельным потоком
Наложим плоский, параллельный оси Ox, однородный поток со скоростью
∞
V
и комплексным
потенциалом zVW ⋅=
∞1
на скоростное поле диполя с комплексным потенциалом
z
M
W
π2
2
=
. М >0
, что
соответствует вытеканию жидкости навстречу набегающему потоку (рис. 11.7).
Рис. 11.7
Составим комплексный потенциал сложного движения:
.
1
2
21
z
M
zVWWW ⋅+=+=
∞
π
Отсюда
+
⋅−=
+
⋅+=
∞
∞
.
2
,
2
22
22
yx
yM
yV
yx
xM
xV
π
ψ
π
ϕ
Если воспользоваться полярными координатами (
θ
θ
sin,cos ryrx
=
=
), то
).
1
2
1(sin
),
1
2
1(cos
2
2
r
V
M
rV
r
V
M
rVx
⋅−=
⋅+=
∞
∞
∞
∞
π
θψ
π
θ
Обозначим constr
V
M
==
∞
2
0
2π
, получим
).1(sin),1(cos
2
2
0
2
2
0
r
r
rV
r
r
rV −=+=
∞∞
θψθϕ
Линии тока находятся из уравнения
.)1(sin
2
2
0
C
r
r
rV =−
∞
θ
Приравняв постоянную С к нулю, получим уравнение нулевой линии тока
,0)1(sin
2
2
0
=−
∞
r
r
rV θ
которое распадается на два самостоятельных уравнения:
.01,0sin
2
2
0
=−=
r
r
θ
Отсюда следует, что нулевая линия тока представляет собой два отрезка оси x
, между которыми
располагается окружность радиусом
0
rr =
(рис. 11.7). Принимая нулевую линию тока за твердую
обтекаемую поверхность и учитывая, что
∞
=
V
M
r
π2
2
0
, получаем решение задачи о движении жидкости
вокруг произвольного цилиндра, по радиусу которого
0
r определяется момент диполя М
. Поле
скоростей по обе стороны от нулевой линии тока определяется по известной функции
ϕ
:
).1(sin
1
),1(cos
2
2
0
2
2
0
r
r
V
r
V
r
r
V
r
V
r
+−=
∂
∂
=
−=
∂
∂
=
∞
∞
θ
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
Отсюда на поверхности цилиндра
.sin2
,0
0
0
θ
θ ∞
=
=
−=
=
VV
V
rr
rr
r
Таким образом, скорость в точках контура цилиндра имеет величину θsin2
∞
V
. Наибольшее ее
значение
∞
V2 достигается в точках Е и F при .
2
π
θ ±= На рис. 11.7 скорости
θ
V
на цилиндре указаны
стрелками.
В точке А происходит разветвление нулевой линии тока, а в точке В
обе нулевые линии вновь
соединяются. Скорость в этих точках (
π
θ
θ
=
=
,0
) обращается в нуль. Эти точки называют передней
(т.А) и задней (т.В) критическими точками или точками полного торможения потока.
Распределение давления по поверхности цилиндра находится из уравнения Бе
рнулли, записанного
для нулевой линии тока:
.
22
22
∞∞
+=+
VpVp
ρρ
Отсюда, учитывая, что
θ
VV =
, получаем
),1(
2
2
2
2
∞
∞
∞
−=−
V
V
V
pp
θ
ρ
или, переходя к безразмерному коэффициенту давления
p
и подставляя значение скорости
θ
V , находим
.sin411
2
1
2
2
2
2
θ
ρ
θ
−=−=
−
=
∞
∞
∞
V
V
V
pp
p
Видно, что давление одинаково в точках окружности, симметричных относительно оси как Ox
,
так и Oy.
Тогда очевидно, что силы давления, приложенные к элементам обтекаемой окружности,
взаимно уравновешиваются.
Таким образом, безотрывное обтекание цилиндра идеальной жидкостью не дает силы
сопротивления. От
сутствие сопротивления при обтекании тел потоком идеальной несжимаемой
жидкости называют парадоксом Даламбера.
В действительности сопротивление любого т
ела, в том числе цилиндра, не равно нулю. В
реальной жидко
сти в силу наличия внутреннего трения (вязкости) невозможно безотрывное, плавное
обтекание цилиндра. В области за точками Е и F
поток отрывается от стенок, в кормовой части
цилиндра устанавливается вихревой харак
тер течения и давление оказывается значительно меньше, чем
это следует из теоретических расчетов для невяз
кой жидкости. Поэтому при обтекании цилиндра
реальной (вязкой) жидкостью сила сопротивления не равна нулю. (Сила сопротивления X определ
яется
как результирующее давление в направлении оси Ox:
ndSxnpX ,),cos(
∫
−=
- направление внешней нормали, dS – элемент дуги круго
вого контура:
θθ drdSxn
0
,cos),cos( == .)
Обтекание круглого цилиндра при наличии циркулярного течения
Примем циркуляцию положительной (
Γ
>0
). В этом случае складываются плоскопараллельный
поток, диполь и циркулярное течение. В результа
те суммарный потенциал и функция точка будут иметь
вид:
Γ
−−=
Γ
++=
∞
∞
.ln
2
)1(sin
,
2
)1(cos
2
2
0
2
2
0
r
r
r
rV
r
r
rV
π
θψ
θ
π
θϕ
Отсюда
Γ
+−=
∂
∂
=
=
∂
∂
=
∞=
=
.
2
sin2
1
|
,0|
0
0
0
π
θ
θ
ϕ
ϕ
θ
r
V
r
V
r
V
rr
rrr
Добавление
циркуляционного течения изменило распределение скоростей на поверхности
цилиндра и привело к смещению критических точек. Их положение находится из условия:
0
0:2sin0,
2
кр
VV
r
θ
θ
π
∞
Γ
=−+=
т.е. .
4
sin
0
rV
кр
∞
Γ
=
π
θ
Здесь возможны три случая:
− циркуляция скорости
0
4 rV
∞
<Γ π
. Обе критические точки расположены симметрично относительно оси
координат
y
и сдвинуты при выбранном направлении вращения цилиндра кверху от оси
x
(рис 11.8
a
);
−
0
4 rV
∞
=Γ π . В этом случае точки
A
и
B
совпадают (
2
π
θ =
кр
, рис.11.8 б );
0
4 rV
∞
>Γ π
. Критические
точки располагаются не на цилиндре и формируется течение, изображенное на рис. 11.8
в
.
Рис. 11.8
Схемы течения показывают, что при наложении циркуляционного те
чения сохраняется симметрия
относительно оси
y
, но симметрия относительно горизонтальной оси
x
нарушается, следовательно, на
цилиндр будет действовать вертикальная сила (
Y
). Найдем ее путем интегрирования сил давления по
поверхности цилиндра.
Распределение давления находится из уравнения Бернулли с учетом соотношения для скорости
θ
VV = :
,)sin2
2
(
22
2
0
22
θ
π
ρρ
+
Γ
−−+=
∞
∞∞
∞
Vr
VV
pp
.sin])
2
sin2(
22
[sin
2
0
2
0
22
0
2
0
0
2
0
0
2
0
θθ
π
θ
ρρ
θθθ
ππππ
d
Vr
VV
prdprdrpdlpY
yy
∫∫∫∫
∞
∞∞
∞
Γ
−−+−=−=−=−=
;,
2
0
2
0
∫∫
−==−=
ππ
dspnRYdsnpR
yy
После интегрирования получим:
.sin
2
0
2
∫
Γ−=
Γ
−=
∞
∞
π
ρθθ
π
ρ
Vd
V
Y (11.10)
Эта формула определяет подъемную силу, действующую на цилиндр, обтекаемый
плоскопараллельным по
током при наличии циркуляционного течения. (Направление действия
подъемной силы получается путем поворота векора скорости
∞
V на 90
% в сторону, противоположную
направлению циркуляции. В примере на рис. 11.8 подъемная сила отрицательна, направлена вниз.)
Имеет место теорема Жуковского о подъемной силе.
При обтекании тела плоскопараллельным безграничным потоком идеальной (вообще го
воря,
сжимаемой) жидкости на тело единичного размаха действует сила, равная произведению плотности,
скорости набегающего потока и циркуляции скорости вокруг обтекаемого тела (единичный размах
–
единичная длина цилиндра – единичная ширина профиля).
Лекция 14
.
§12. Обтекание произвольного контура. Постулат Жуковского
В предыдущем параграфе были рассмотрены п
римеры построения плоских потоков,
соответствующих заданной характеристической функции
)(zW
.
Перейдем теперь к решению задачи в прямой, имеющей непосредственное практическое
применение постановке: требуется определить плоское безвихрево
е течение идеальной несжимаемой
жидкости при заданных твердых границах и условиях набегания потока.
Рассмотрим задачу плоского обтекания крылового профиля. Под кры
ловым профилем понимают
плавный, вытянутый в направлении набегающего на него потока, замкну
тый и самонепересекающийся
геометрический контур с закругленной передней и заостренной задней кромками
. Отрезок прямой,
соединяющий некоторую точ
ку передней кромки с вершиной угла на задней кромке, называют хордой
крылового профиля, а длину хорды – длиной
профиля. Угол, образованный вектором скорости
набегающего потока (
∞
V ) и направлением хорды, носит наименование угла атаки (
viuVviuV −=+=
∞∞
,
).
Набегающий поток зададим комплексным вектором скорости
∞
V
, образующим с осью Ox угол
∞
θ .
Физическая плоскость
z
имеет заштрихованный на рис. 12.1 вырез, что делает ее двухсвязной.
Для определенности задачи необходимо задать еще циркуляцию скорости
Γ
по произ
вольному контуру
1
C .
Рис. 12.1
Первой, чисто геометрической задачей является отображение внешней по отношению к
заштрихованной площади крылового профиля C
в физической плоскости на внешнюю по отношению
к заштрихованному кругу
*
C
область вспомогательной плоскости. Обтекание кругового профиля
комплексного переменного
)(
ζ
fz
=
(12.1)
представляет
искомую функцию, осуществляющую конформное отображение внешней по отношению к
ограниченной контуром C области плоскости комплексного переменного
y
i
x
z
+
=
на внешнюю по
отношению к кругу
*
C
с радиусом
a
и центром в начале координат системы ξη
*
O
часть
вспомогательной плоскости комплексного переменного
η
ξ
ζ
i
+
=
. При наложении на функцию (12.1)
дополнительного условия, согласно которому бесконечно удаленная точка
∞
=
z
переходит при
отображении в бесконечно удаленную точку
∞
=
ξ
, а направление скорости на бесконечности
∞
V
при
переходе из плоскости
z
в плоскость
ζ
сохраняется, преобразование (12.1) яв
ляется единственным
(доказывается в теории функций комплексного переменного, теорема Римана).
Пусть )(zW - искомый комплексный потенциал течения в физической плоскости, а )(
*
ζW
-
комплексный по
тенциал течения во вспомогательной плоскости, описывающий циркулярное обтекание
круглого цилиндра (опр
е
делен в предыдущем параграфе)
,
имеет вид