Презентация - Андреев В.К. Механика жидкости и газа
Подождите немного. Документ загружается.
Пусть
Σ
– поверхность, ограничивающая (n+1)–мерный объем
Ω
,
ν
– еди
ничный вектор внешней
нормали к
Σ
,
τ
– единичный вектор, ортогональный гиперплоскости t=const,
n
–
вектор нормали к
сечению
Σ
гиперплоскостью t=const (рис.3.1). Для
ν
имеет место соотношение
),sin(),( tntсos
ν
ν
τ
ν
+
=
. (3.2)
Согласно теореме Гаусса – Остроградского
,),cos( Σ⋅=Ω
∂
∂
∫∫
ΣΩ
dtd
t
νϕ
ϕ
,),cos( Σ=Ω
∂
∂
∫∫
ΣΩ
dxVd
x
V
ii
i
i
νϕ
ϕ
Σ=Ω
∂
∂
∫∫
ΣΩ
dxd
x
ii
i
i
),cos(νσ
σ
,
поэтому закон сохранения (3.1) запишется в виде
[
]
{
}
∫∫
ΩΣ
Ω=Σ−+ dgdxxVt
iiii
),cos(),cos(),cos( νσννϕ .
(3.3)
Пусть 0),( =
i
xtF - уравнение поверхности
Σ
. Введем обозначения
2
2
1
2
11
2
2
1
...,...
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
=∇=
∂
∂
++
∂
∂
=∇=
++
n
nn
n
nn
x
F
x
F
t
F
F
x
F
x
F
F δδ ,
тогда
.
1
),cos(,
1
),cos(
1 in
i
in
i
x
F
x
x
F
xn
∂
∂
=
∂
∂
=
+
δ
ν
δ
Так как
),,sin(),(cos1
),cos(
),cos(
2
1
tt
xn
x
n
n
i
i
νν
δ
δν
=−==
+
то соотношение (3.3) принимает вид
Рис. 3.1
[
]
{
}
,),sin(),sin(),cos(
∫∫
ΩΣ
Ω=Σ−+ dgdttVt
nn
νσννϕ (3.4)
(здесь
),cos(,
iinn
xnnVV σσ ==
).
Рассмотрим на гиперповерхности Г произвольную
элементарную площадку dГ. Сместим эту площадку по нормали в
положительную и отрицательную стороны на расстояние h, получим
цилиндр высотой 2h и основанием dГ (рис. 3.2).
В соотношении (3.4) с так построенной замкнутой
гиперповерхностью
Σ
интеграл в левой части разобьется на сумму
трех интегралов – по
321
,, ΣΣΣ ddd (где
21
, ΣΣ dd - площади оснований
цилиндра,
3
Σd - боковая поверхность цилиндра). Обозначим
символом
[
]
12
aaa −=
разность предельных значений на Г какой–либо
величины а, которые существуют с каждой стороны Г. В пределе при
0
→
h интегралы по
1
Σd
и
2
Σd
перейдут в интегралы по разным
сторонам dГ с противоположными направлениями нормалей
21
νν −=
,
интеграл по
3
Σd будет равен нулю. Пусть
ν
- одно из направлений
1
ν
,
2
ν , тогда, переходя к пределу при 0
→
h , из (3.4) получаем уравнение
сильного разрыва:
.0)],sin()),sin(),(cos([ =−+ ttVt
nn
νσννϕ (3.5)
Введем понятие скорости перемещения поверхности разрыва B(t). Рассмотрим положение
поверхности разрыва в моменты времени t и
tt
∆
+
(рис. 3.3).
Возьмем точку
)(tBM
∈
и найдем точку N пересечения нормали в М к B(t) c поверхностью
)( ttB
∆
+
.
Пусть n
∆
есть длина отрезка MN, взятая со знаком «плюс», если вектор MN направлен так же, как орт
нормали
n
к B(t) в точке М, и со знаком «минус», если вектор MN направлен противоположно
n
.
Скоростью перемещения поверхности разрыва B(t) в направлении нормали называется предел
t
n
D
t
n
∆
∆
=
→∆ 0
lim
. (3.6)
Рис. 3.2
Продифференцируем уравнение 0),( =
i
xtF вдоль поверхности разрыва:
.0=
∂
∂
+
∂
∂
dt
dx
x
F
t
F
i
i
(3.7)
Для точек поверхности разрыва
.
),cos(
i
ni
xn
D
dt
dx
=
Разделив соотношение (3.7) на
1+n
δ
, находим
0
),cos(
),cos(
),cos( =+
n
i
i
D
xn
x
t
ν
ν
или
Рис. 3.3
.0),sin(),cos( =+
n
Dtt νν
В силу этого соотношения уравнение (3.5) можно записать в виде
.0),sin(])([ =−− tDV
nnn
νσϕ
Так как скорость перемещения
n
D поверхности B(t) конечна, то
0),sin(
≠
t
ν
. Окон
чательно
получаем условия совместности на поверхностях разрыва (абстрактное уравнение сильного разрыва)
.0])([ =−−
nnn
DV σϕ (3.8)
Эти соотношения выражают законы сохранения на
поверхностях разрыва. Для идеальных сред
получаем следующее:
Для закона сохранения массы 0, ==
n
σρϕ :
.0)]([ =−
nn
DVρ (3.9)
Для закона сохранения количества движения npV
n
−== σρϕ , :
.0])([ =+− npDVV
nn
ρ (3.10)
Для закона сохранения энергии 0,0 ==
ni
qτ :
.0]))(
2
1
([
2
=+−+
nnn
pVDVVeρ (3.11)
Второе из выписанных соотношений векторное, его удобнее записать в виде двух скалярных:
0)]([ =−
nn
DVV
τ
ρ - проекция на касательную к поверхности разрыва,
0])([ =+− pDVV
nnn
ρ
- проекция на нормаль.
Допустим, что с одной стороны поверхности разрыва все параметры известны (обозначим их
индексом «1»). Исследуем поведение разрыва в зависимости от изменения параметров с другой стороны
разрыва.
На разрыве выполняются 4 скалярных соотношения:
),()()2
),()()1
111
11
nnnn
nnnn
DVVDVV
DVDV
−=−
−=−
ττ
ρρ
ρρ
.))(
2
1
())(
2
1
()4
,)()()3
2
111
2
111
1111
nnnnnn
nnnnnn
pVDVVeVpDVVe
pDVVpDVV
+−+=+−+
+−=+−
ρρ
ρρ
Эта система будет удовлетворена тождественно, если ppDVV
nnn
===
11
, при произвольных
τ
ρ V,
.
Через такой разрыв газ не течет. Такие разрывы называются контактными.
Второй тип разрыва:
ττ
VVDV
nn
=≠
1
,
. Через такой разрыв газ течет. Разрыв этого типа называется
ударной волной.
Рассмотрим некоторые свойства ударных волн.
Введем скорость перемещения ударной волны
относительно среды:
.
nnn
DVU
−
=
После некоторых преобразований уравнения для ударных волн приводятся к виду:
,
,
,
2
1
2
11
1
11
pUpU
UU
UU
nn
nn
+=+
=
=
ρρ
ρ
ρ
ττ
.
,
2
1
2
1
2
1
2
1
ρ
p
eh
hUhU
nn
+=
+=+
(3.12)
Система уравнений (2.25) описывает непрерывное движение идеаль
ной среды. Соотношения
(3.12) связывают изменения параметров на ударных волнах.
Пусть NN – отрезок касательной к фронту ударной волны в окрест
ности произвольной точки
фронта.
Скорость среды изменяется на ударной волне так, что касательная составляющая остается той
же.
Запишем два первых соотношения системы (3.12) через введенные на рис.3.4 углы:
).
sin(
,sin
11
ϑω
ω
−=
=
UU
UU
n
n
При
=
ω
2
π
волна называется прямой ударной волной. Из первого и третьего соотношений (3.12),
исключая
1
U , можно найти выражения для относительных скоростей:
.,
1
11
2
1
1
1
2
1
ρρρ
ρ
ρρρ
ρ
−
−
=
−
−
=
pp
U
pp
U
nn
Учитывая эти соотношения, из четвертого уравнения системы получается уравнение
).,(
),,(
1
),)((
2
1
1
11
Sphh
Sph
hhpphh
p
pp
=
=
+−=−
ρ
(3.13)
Отсюда можно найти функцию S=S(p)
на ударной волне. Если подставить эту зависимость во
второе урав
нение (3.13), то получим зависимость плотности от давления. Подставляя найденные
значения )(),( ppS
ρ
в уравнение I закона термодинамики (4.3), найдем изме
нение энтропии на ударной
волне. Для непрерывных процессов рассматривается уравнение адиабаты Пуассона
.),( constpS
=
ρ
Полученная аналогичная связь для ударной волны назы
вается ударной адиабатой или адиабатой
Гюгонио:
)
11
)((
2
1
1
11
ρρ
−−=− pphh . (3.14)
Исследуем поведение параметров системы в окрестности некоторой точки (
11
,ρp ). Най
дем
производные от функции S по p на ударной волне. Из уравнения (4.3) следует:
.
1
ρ
−=
dp
dh
dp
dS
T
(3.15)
На ударной волне согласно (3.14)
,
)(
2
)
11
(
2
1
1
1
1
dp
dpp
dp
dh
−
−
++=
ρ
ρρ
следовательно,
.0
1
=
dp
dS
Продифференцируем соотношение (3.15) еще раз по р:
.
)(
2
)(
2
12
1
1
2
2
2
2
dp
dpp
dp
d
dp
hd
dp
Sd
T
dp
dS
dp
dT
−−
−
=−=+
ρρ
Отсюда
.0
1
2
2
=
pd
Sd
Еще одно дифференцирование по р приводит к равенству:
.
)(
2
1
1
2
12
1
1
3
3
dp
d
T
dp
Sd
−
=
ρ
Величина скачка давления на ударной волне (
1
pp− ) называется силой разрыва. Разлож
им
энтропию в ряд Тейлора по р в окрестности точки с индексом «1»:
...)(
6
1
)(
2
1
)(
3
1
1
3
3
2
1
1
2
2
1
1
1
+−
+−
+−
+= pp
dp
Sd
pp
dp
Sd
pp
dp
dS
SS
Из полученных выше результатов находим:
.)()(
12
1
4
1
3
1
1
3
3
1
1
ppOpp
dp
hd
T
SS −+−
+= (3.16)
Отсюда следует, что для слабых ударных волн (
1
pp− ) скачок энтропии есть в
еличина третьего
порядка ма
лости относительно силы разрыва, (т.е. для слабой ударной волны ударная адиабата с
точностью до 3-го порядка малости совпадает с адиабатой Пуассона).
ρρρρ
ρ
ρρρ
ρ
∆
∆
≈
∆
∆
∆+
=
−
−
=
pppp
U
n
1
1
1
11
2
(для слабой волны 1
<<
∆
p ).
n
U - скорость распространения слабой вол
ны по движущемуся газу.
Скорость звука а определяется из соотношения
S
p
a
∂
∂
=
ρ
2
. (Подробнее будет рассмотрено в §13.)
Следовательно, для слабых ударных волн
22
aU
n
→ , т.е. слабая ударная волна вырождается в звуковую.
Лекция 4. §4. Элементы термодинамики
Система дифференциальных уравнений (2.22)-
(2.24) является неопределенной, так как количество
неизвестных больше числа уравнений. Требуется привлекать дополнительные соотношения,
которые
характеризуют состояние и термодинамические свойства среды.
Термодинамические свойства газов
При термодинамическом рассмотрении равновесных процессов в газах, наряду с введенными
выше параметрами
e
p
,
,
ρ
, используются еще два основ
ных параметра состояния: абсолютная
температура Т и удельная (отнесенная к единице массы) энтропия S
. В дальнейшем предполагается, что
газ как термодинамическая система - двухпараметрическая среда
, т.е. его состояние вполне
определяется заданием каких-либо двух параметров.
Первый закон термодинамики
Фундаментальное свойство эквивалентности тепловой и механической энергии выражает
ся в виде
первого закона термодинамики:
pdVdeTdS
+
=
, (4.1)
где V =
ρ
1
- удельный объем. Левая часть этого равенства равна количе
ству тепла, сообщаемому единице
массы, а правая – приращению внутренней энергии плюс работа расширения этой порции газа.
Для двухпараметрических сред соотношение (4.1) является определением энтропии S.
Энтальпия (или теплосодержание) h определяется следующим образом:
ρ
p
eh +=
. (4.2)
Переходя в (4.1.) от е к h, получим
dpdhTdS
ρ
1
−= . (4.3)
Отсюда
.
1
,
p
h
S
h
T
∂
∂
=
∂
∂
=
ρ
(4.4)
Следовательно, если задана энтальпия h(p,S) как функция давления и эн
тропии, то соотношения
(4.4) определяют переменные Т и
ρ
.
Идеальный газ
Газ называется идеальным (или совершенным), если для него выполняется уравнение состояния
Клайперона:
,RTP
ρ
=
(4.5)
где R – газовая постоянная,
определяемая химическим (молекулярным) составом газа. Внутренняя
энергия идеального газа зависит только от температуры.
vp
ccR −= - соотношение Майера,
v
c - коэффициент теплоемкости при постоянном объеме,
p
c -
коэффициент теплоемкости при постоянном давле
нии. В общем случае идеальный газ обладает
вязкостью и теплопроводностью. Идеальный газ называется политропным, если е
есть линейная
функция Т, т.е.
(const)
vv
ecTc==. Для политропного газа
TcRTehTce
pv
=+== , . (4.6)
Отношение удельных теплоемкостей
v
p
c
c
обозначим k:
v
p
c
c
k = , k – показатель адиабаты.
Тогда для энтропии получим соотношение
)ln(
0
k
v
p
cSS
ρ
=−
. (4.7)
Для политропного газа
,)(
k
SAp ρ=
(4.8)
где
v
c
SS
eRSA
0
)(
−
⋅= .
v
c
R
R
SA
T ρ
)(
= ,
v
c
SS
eRSA
0
)(
−
⋅= . (4.9)
Модель политропного газа благодаря ее сравнительной аналитаческой простоте и
подтвержденному опытом хорошему приближению к действительности получил
а широкое
распространение в прикладных исследованиях.
§5. Уравнения движения невязких (идеальных) сред
Идеальной называют жидкость, у которой нет трения, т.е. жидкие эле
менты могут свободно
перемещаться в касательном направлении один относительно другого. Для идеальной жидкости
0=
ik
p при
.3,2,1,,
=
≠
ikki
(5.1)
В идеальной жидкости отличны от нуля только нормальные напряжения
.
332211
pppp −===
Тензор напряжений в этом случае записывается в виде
,pp
ikik
δ−=
(5.2)
где
ik
δ - символ Кронекера, ,
,0
,1
≠
=
=
ki
ki
ik
δ р – давление.
Поскольку касательные напряжения связаны с понятием вязкости, то следует, что идеальная
жидкость – это невязкая жидкость.
Уравнение неразрывности для невязкой жидкости имеет вид (2.22)
0)( =+
∂
∂
Vdiv
t
ρ
ρ
. (5.3)
Уравнение количества движения для идеальных сред
pgVV
t
V
∇−=∇+
∂
∂
ρ
1
)( . (5.4)