Презентация - Андреев В.К. Механика жидкости и газа
Подождите немного. Документ загружается.
Уравнение энергии для невязкой жидкости при отсутствии потоков тепловой энергии через
границу области и энергии, подводящейся к единице массы примет вид
Vdiv
p
eV
t
e
ρ
−=∇+
∂
∂
)( . (5.5)
Система уравнений (5.3)-(5.5) не замкнута: пять уравнений для шести неизвестных .,,,
i
Vep ρ
Замыкает выписанную систему уравнение состояния:
.0),,(
=
epf
ρ
(5.6)
Из уравнений (5.3) и (5.5) следует
,0)
1
( =+
ρdt
d
p
dt
de
где )( ∇+
∂
∂
= V
t
dt
d
- полная (или субстанциональная) производная. Из первого начала термо
динамики
(4.1) следует, что
,0=
dt
dS
(5.7)
т.е. вместо уравнения энергии (5.5) можно рассматривать уравнение (5.7).
Для идеального газа система уравнений (5.3), (5.4), (5.7) замыкается соотношением (4.7)
)ln(
0
k
v
p
cSS
ρ
=− . (5.8)
Энтропия, вообще говоря, не является постоянной.
Лекция 5.
Несжимаемая жидкость
Уравнение неразрывности (5.3) можно переписать в эквивалентном виде
.0=+ Vdiv
dt
d
ρ
ρ
(5.9)
Отсюда следует, что для несжимаемой жидкости, вообще говоря, неоднородной (плотность
каждой частицы остается постоянной, т.е. 0=
dt
d
ρ
), уравнение сохранения массы принимает вид
0=Vdiv . (5.10)
В реальных условиях плотность жидкости зависит от температуры Т
, концентрации растворенных
веществ
S
C (солености) и давления р
. Для внутренних водоемов зависимостью плотности от давления
обычно пренебрегают.
В этом случае уравнение состояния представляется зависимостью
),(
S
CTρρ = . (5.11)
Уравнения движения:
.
11
)(
i
i
x
pgVV
t
V
∂
∂
+∇−=∇+
∂
∂
τ
ρρ
(5.12)
Система уравнений для несжимаемой жидкости замыкается уравнени
ем теплопроводности и
диффузии растворенных в воде веществ. Эти уравнения получаются из балансовых соотношений (2.20).
Для температуры А=Т,
TTgT
kfATkA ,, =∇=
Γ
- коэффициент теплопроводности,
T
f -
внутренние
источники тепла:
TT
fTkTV
t
T
+∆=∇+
∂
∂
)( (5.13)
(это для случая constk
T
= ,
∆
- оператор Лапласа).
Аналогично получается уравнение, описывающее динамику концентрации различ
ных примесей,
солей
S
C :
.)(
SSSS
S
fCkCV
t
C
+∆=∇+
∂
∂
(5.14)
§6. Кинематика течений жидкости
Для описания сплошной среды возможны два подхода. Один из них называется лагранжевым,
другой – эйлеровым.
Метод Лагранжа. По Лагранжу,
в жидкости выделяется определенная жидкая частица и задается
ее траектория следующей системой уравнений:
),,,,(
),,,,(
),,,,(
3
2
1
tcbafz
tcbafy
tcbafx
=
=
=
(6.1)
где а,в,с –
параметры Лагранжа, характеризующие координаты выделенной частицы в начальный
момент времени ( czbyax ===
000
,, ).
Можно записать (6.1) в векторном виде:
).,,,(
),,,(
321
tcbafr
ffff
=
=
(6.2)
Скорость выделенной частицы выразится через производную радиуса-вектора
.),,,(
dt
rd
tcbaV = (6.3)
Составляющие скорости u,v,w
в направлении декартовых систем координат находятся по
соотношениям
.,,
321
dt
df
dt
dz
w
dt
df
dt
dy
v
dt
df
dt
dx
u ====== (6.4)
Ускорение жидкой частицы равно производной от скорости:
.
),,,(),,,(
),,,(
2
2
dt
tcbard
dt
tcbaVd
tcbaa ==
(6.5)
Так как параметры а, в, с являются постоянными для фиксированной частицы, то
r
и
V
-
функции
только времени, и в этом случае операция дифференцирования
dt
d
тождественно равна операции
t∂
∂
.
Метод Эйлера
В отличие от метода Лагранжа метод Эйлера состоит в том, что задается не траектория
выделенной частицы жидкости, а все поле скоростей в движущейся жидкости ка
к функция координат и
времени. Таким образом, скорость жидкости в различных точках пространства есть функция
четырех
переменных
t
z
y
x
,
,
,
, называемых переменными Эйлера,
),,,,( tzyxfV
э
= (6.6)
а ее дифференциал равняется
.dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
dt
t
V
Vd
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
В движущейся среде приращения dx, dy, dz не являются независимыми, а соответственно равны
,,, dtVdzdtVdydtVdx
zyx
===
поэтому справедливо равенство
,)( VV
t
V
z
V
V
y
V
V
x
V
V
t
V
dt
Vd
zyx
∇+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= (6.7)
где
.)(
,
z
V
y
V
x
VV
k
z
j
y
i
x
zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
(Часто используют для составляющих скорости следующие обозначения:
,
x
Vu =
zy
VwVv == ,
.) Соотношение (6.7)
означает, что полное ускорение
dt
Vd
индивидуальной жидкой частицы, находящейся в момент времени t в точке
пространства (x,y,z), состоит из двух частей: локального ускорения
t
V
∂
∂
, обу
словленного изменением
скорости по времени в данной точке, и конвективного ускорения
,)( VV∇
обусловленного
неоднородностью поля скоростей в окрестности данной точки и связанно
го с этим обстоятельством
конвективного переноса. Производная )( ∇⋅+
∂
∂
= V
t
dt
d
называется
индивидуальной или
субстанциональной производной (или полной производной по времени).
Если ,0=
∂
∂
t
V
то поле скоростей стационарно, если
,0)( =∇⋅ VV
то поле скоростей однородно.
Лекция 6.
Траектория. Линия тока
Траекторией жидкой частицы называется геометрическое место точек пространства, че
рез
которые частица последовательно проходит во времени.
В переменных Лагранжа траекторию определяет уравнение (6.2) ).,,,( tcbafr =
Если задача решена
в переменных Эйлера, то известно поле скоростей ),,,( tzyxV , и тра
ектория находится из решения
дифференциального уравнения (6.3)
),,,,( tzyxV
dt
rd
=
удовлетворяющего начальному условию
0
rr = при .
0
tt =
Линией тока
называется линия, в каждой точке которой в фиксированный момент времени
скорость направлена по касательной к этой линии. В векторной форме условие танген
циальности
потока можно записать в виде
,0=×Vrd (6.8)
или в проекциях на оси координат
.,,
z
x
z
y
x
y
V
V
dz
dx
V
V
dz
dy
V
V
dx
dy
=== (6.9)
Эту систему можно переписать в виде
.
zyx
V
dz
V
dy
V
dx
==
(6.10)
Время t здесь является фиксированным параметром.
Уравнение траектории (6.3) можно переписать в виде
.dt
V
dz
V
dy
V
dx
zyx
===
(6.11)
Для стационарного поля скоростей время не входит явно в уравнения (6.10) и (6.11
), поэтому,
отбрасывая крайний правый член в (6.11), получаем, что в этом случае траекто
рии и линии тока
совпадают.
В нестационарных течениях траектории отличаются от линий тока.
Поверхность, в каждой точке которой в фиксированный момент времени вектор скорости лежит в
касательной плоскости, называется поверхностью тока
. Если провести совокупность линий тока через
замкнутую кривую, то часть жидкости, выделенная поверхностью тока, называется трубкой тока.
Анализ поля скоростей
Пусть жидкая частица, находящаяся в точке
),,,(
0000
zyxr =
имеет скорость
).(
0
rV
Тогда в
окрестности точки
0
r
по формуле Тейлора в линейном приближении выполняется соотношение
...)(])[()()(
000
+∇⋅−+= rVrrrVrV (6.12)
Градиент векторного поля V по вектору (
0
rr−
) характеризуется девятью производными,
,3,2,1,, =
∂
∂
ji
x
V
k
i
образующими тензор второго ранга. С помощью тождественной записи
каждой
производной в виде суммы
)(
2
1
)(
2
1
i
k
k
i
i
k
k
i
k
i
x
V
x
V
x
V
x
V
x
V
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
данный тензор можно представить в виде суммы двух тензоров: симметричного и несимметричного.
Симметричный тензор имеет вид
333231
232221
131211
ΦΦΦ
ΦΦΦ
ΦΦΦ
=Φ
ik
, (6.13)
где ).(
2
1
i
k
k
i
ik
x
V
x
V
∂
∂
+
∂
∂
=Φ Этот тензор (симметричный) второго порядка называется тензо
ром скоростей
деформации (
kiik
Φ=Φ ).
Несимметричный тензор представляется в форме
,
0
0
0
2313
2312
1312
ωω
ωω
ωω
ω
−−
−=
ik
(6.14)
где ).(
2
1
i
k
k
i
ik
x
V
x
V
∂
∂
−
∂
∂
=ω
Таким образом, разложение (6.12) можно представить в виде
).)(()()(
00 ikik
rrrVrV ω+Φ−+=
(6.15)
Пример:
В двумерном течении
jviuV ⋅+⋅=
, тогда
).(
2
1
,0,0
,),(
2
1
,
x
v
y
u
y
v
x
v
y
u
x
u
zyx
yyxyxx
∂
∂
−
∂
∂
===
∂
∂
=Φ
∂
∂
+
∂
∂
=Φ
∂
∂
=Φ
ωωω
Рассмотрим кинематический смысл тензоров
ik
ω и
ik
Φ . Можно пока
зать, что
,)(
2
1
)()(
000
ωω ×−−=×−−=− rrVrotrrrr
ik
где Vrot
2
1
=ω -
угловая скорость вращения, т.е. данное
слагаемое описывает вращение жидкой частицы как вращение твердого тела.
.,
zyx
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
VVV
zyx
kji
Vrot =×
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
Кинематический смысл элементов
тензора
ik
Φ
рассмотрим
на простейшем примере двумерного течения (рис. 6.1).
Обозначим вершины граней пря
моугольника
.,,,
3210
MMMM
Тогда величина xx
x
u
xx
δδ Φ=
∂
∂
характеризует скорость изменения длины горизонт
альной грани.
Аналогично, величина yy
y
V
yy
δδ Φ=
∂
∂
характеризует скорость
изменения длины вертикальной грани. То есть
компоненты
тензора
xx
Φ и
yy
Φ есть скорости
относительно
го
удлинения горизонтального и верт
икального ребер
соответственно.
Рассмотрим компоненту
xy
Φ
.
Величина
x
V
∂
∂
представляет собой (угловую)
скорость вращения
ребра
10
MM относительно точки
0
M , а
величина
∂
∂
−
y
U
выражает (угловую) скорость вращения ребра
30
MM относительно точки
0
M
. (Знак минус соответствует
положительному направлению вращения - против часовой стрелки.).
Рис. 6.1
Полусумма скоростей вращения должна дать скорость угловой деформации .
2
1
∂
∂
+
∂
∂
−
x
V
y
U
Следовательно, компонента
xy
Φ характеризует скорость деформации сдвига.
Аналогичные рассуждения
можно привести и для трехмерного случая.
Таким образом, слагаемое
ik
rr Φ− )(
0
отражает деформационную скорость жид
кой частицы.
Следовательно, можно записать
дефкт
VVrV +=)( , (6.16)
где )(
00
rrVV
кт
−×+= ω - скорость квазитвердого движения жидкой частицы;
ik
деф
rrV Φ−= )(
0
-
скорость
деформационного движения жидкой частицы. Полученный результат представляет содержание
первой
теоремы Гельмгольца.
Лекция 7.
§7. Математическая модель течения вязкой несжимаемой жидкости
.
Уравнения Навье-Стокса
Дифференциальные уравнения движения, баланса энергии и вещества в потока
х жидкости и газа,
выведенные в §2, относились к совершенно произвольным средам, обладающим
двумя достаточно
общими свойствами – сплошностью и текучестью. В последующих параграфах изложена
простейшая
модель сплошной среды: идеальная (лишенная внутреннего т
рения) несжимаемая жидкость. В вязкой
жидкости в отличие от идеальной касательные напряжения
ik
p при ki
≠
отличны от нуля.
Конкретный вид выражений
ik
p при ki
≠
для вязкой жидко
сти основывается на простейшем
случае прямолинейного слоистого (течения) движения, рассмотренном Ньютоном:
n
U
∂
∂
= µτ . (7.1)
Этот реологический закон утверждает наличие пропорциональности между касательными
напряжениями, действующими в плоск
остях соприкасания слоев жидкости и производными от скорости
по направлениям, нор
мальным к этим плоскостям. Формула (7.1) определяет внутреннее трение или,
как говорят, вязкость жидкости по Ньютону. (Под реологическими уравнениями (законами) сред
понимают уравнения, связывающие компоненты тензо
ров напряжений, деформаций и тензора
скоростей деформаций.)
Коэффициент
µ
, который может зависеть только от температуры жидкости, называется
динамическим коэффициентом вязкости (или просто коэффи
циентом вязкости). Часто используется
кинематический коэффициент вязкости
ν
, определяемый соотношением
ρ
µ
ν = . (7.2)
Стокс обобщил простейший закон Ньютона на произвольные пространственные движения
жидкости. Соглас
но обобщенному закону Ньютона тензор напряжений линейно связан с тензором
скоростей деформаций. Жидкости, удовлетворяющие этому закону, называют ньютоновскими.
В случае изотропной ньютоновской вязкой несжимаемой среды (жидкости или газа) обобщенный
закон Ньютона имеет вид
,2
ikikik
pp δµ −Φ= (7.3)
или в развернутой форме
=
∂
∂
+−
≠
∂
∂
+
∂
∂
=
.2
,
kiпри
x
V
p
kiпри
x
V
x
V
p
i
i
i
k
k
i
ik
µ
µ
(7.4)
Равенство (7.3) представляет реологическое уравнение ньютоновской несжимаемой вязкой
жидкости.
В динамике идеальной жидкости было введено понятие давления, оп
ределяемое равенствами
.
332211
pppp −===
Принимается простейшее допущение, что и в ньютоновской несжимаемой вязкой жидкости
выполняется соотношение
( )
.
3
1
332211
pppp =++− (7.5)
Это предположение является дополнительной гипотезой к обобщенному закону Ньютона
.
Справедливость сделанной гипотезы подтверждается практикой.