Презентация - Андреев В.К. Механика жидкости и газа

Подождите немного. Документ загружается.

1212

θδ

==. (30.4)

Экспериментами на образцах горных пород установлена зависимость проницаемости

трещиноватых пород от пластового

давления, более существенная, чем зависимость от давления

проницаемости пористых сред. Из формулы (30.4) зависимость k

(р) мож

но получить следующим

образом. Горное давление, которое можно считать постоянным, урав

новешивается напряжениями в

скелете породы и давлением жидкости в трещинах. При снижении пластового

давления увеличивается

нагрузка на скелет породы и уменьшается раскры

тие трещин (с ростом давления раскрытие трещин

увеличивается). Если считать, что деформации в трещиноватом пласте упругие и ма

лы по величине, то

зависимость раскрытия трещины от давления можно считать линейной:

[1()]

δδβ=−−, (30.5)

где

- параметр трещиноватой среды, зависящий от упругих свойств и геометрии трещин.

Исходя из формул (30.4) и (30.5), можно записать зависимость коэффициента проницаемости k

от

давления следующим образом:

110

[1()]

kkpp

β=−−, (30.6)

где

- коэффициент проницаемости трещиноватой породы при давлении р

Хорошо подтверждается экспериментом экспоненциальная зависи

мость проницаемости от

давления:

()

kke

−−

= , (30.7)

а при малых изменениях давления зависимость можно считать линейной:

110

[1()]

kkpp

α=−−. (30.8)

При рассмотрении установившейся фильтрации в трещиновато-по

ристом пласте обычно считают,

что коэффициент проницаемости трещин k

существенно зависит от давления и определ

яется одной из

формул (30.6) - (30.8), а коэффициент проницаемости пористых блоков k

не зависит от давления и

принимается постоянным. Соотношения для установившихся фильтрационных потоков в трещиновато-

пористой среде получаются суммированием потоков в трещинах и пористых блоках.

В трещиноватых породах, где истинное сечение потока сравнительно мало, а дебиты обычно

велики, особенно вероятно отклонение от закона Дар

си за счет проявления инерционных сил. При этом

обычно используют двучленный закон фильтрации.

Наиболее ярко особенности фильтрации в трещиновато-

пористой среде проявляются в

неустановившихся процессах. Система трещин и система пор представляют собой две среды с разными

масштабами (см. рис. 30.1,6). Средний размер пор составляет 1-100 мкм, протяженность трещин -

от

нескольких сантиметров до десятков метров. Так как коэффициент пористости блоков т

на один-

два

порядка выше, чем коэффициент трещиноватости т

то большая часть жидкости находится в порах.

Чаще всего пористые блоки малопроницаемые (k

« k

) и жид

кость, фильтруясь из них в трещины,

движется в скважины в основном по трещинам, проводимость которых зна

чительно выше, чем

пористых блоков (см. рис. 30.1,6).

Рассмотрим этот процесс подробнее. Пусть происходит резкое изменение давления на заб

ое

скважины. Если блоки считать непроницаемы

ми, то можно использовать обычную теорию упругого

режима, причем коэффициент пьезопроводности

111

/[)

ж c

χββη

определенный через

характеристики систем трещин, может оказаться очень большим, так как k

велик , а т

мал. Это значит,

что процесс распределения давления в трещинах будет происходить с большой скоростью и в тре

щинах

за сравнительно большое время установится новое распределение давления. Из-

за малой проницаемости

блоков жидкость из них выходит медленно и давление в бло

ках длительное время сохраняет свое

начальное значение. Тем самым между жидкостью, нахо

дящейся в блоке, и жидкостью, его

окружающей, создается разность давлений. В резуль

тате перетока части жидкости из блока в трещины

происходит постепен

ное выравнивание давлений. Этот процесс будет тем длительнее, чем меньше

проницаемость блока k

, больше его размеры, больше пористость т

и сжимаемость жидкости

порового пространства

с2

Таким образом, характеристики движения в блоках и трещинах оказываются различными:

давление в блоках р

больше, чем давление в трещинах р

. скорость фильтрации в блоках w

значительно меньше, чем в трещинах p

. Поэтому трещиновато-пористую среду рассматри

вают как

совмещение двух пористых сред с порами разных масштабов: среда 1 -

укрупненная среда, в которой

роль зерен играют пористые блоки, которые рассматри

ваются как непроницаемые, а роль поровых

каналов-трещины, давление в этой среде р

. скорость фильтрации w

; среда 2-

система пористых блоков,

состоящих из зерен, разделенных мелкими порами, давление в ней р

, скорость фильтрации w

. Таким

образом, p

-среднее давление в трещинах в окрестности данной точки, p

-среднее давле

ние в блоках и

аналогично для скоростей фильтрации.

Важная особенность неустановившейся фильтрации в трещиновато- пористой среде

интенсивный обмен жидкостью между обеими средами,

т.е. между пористыми блоками н трещинами, обусловленный различием давлений в этих средах р

и р

Обмен

жидкостью происходит при достаточно медленном изменении давлений с течением времени,

поэтому этот про

цесс можно считать квазистационарным, т.е. не зависящим явно от времени. Очевидно,

что при движении слабосжимаемой жидкости масса жидкости, вытекающей и

з блоков в трещины за

единицу времени в единице объема породы (интенсивность перетока q), пропор

циональна разности

давлений p

-p

плотности

(считая, что плотность мало меняется в интервале давлений от р

до p

) и

обратно пропорциональна вязкости

, т.е.

021

()

qpp

=−

, (30.9)

где

- безразмерный коэффициент, зависящий от геометрических характеристик блоков -

проницаемости k

, среднего размера блоков l и безразмерных величин, характеризующих форму блоков;

αα=

Соотношение (30.9) должно быть уточнено для случая, если плот

ность сильно зависит от

давления. Например, при фильтрации совершенного газа интенсивность перетоков из блоков в трещин

представляется в виде

021

()

−

= (30.10)

где p

- фиксированное давление, соответствующее плотности

Вывод дифференциальных уравнений

движения жидкости и газа в трещиноватых и трещиновато

пористых средах.

Вы

ведем дифференциальные уравнения движения жидкости и газа в деформируемой

трещиновато-пористой среде, считая, что в каждой точке имеются два давления (р

- в

системе

трещины, p

- в пористых блоках) и две скорости фильтрации – w

и w

соответственно. Перет

оки между

средами определяются формулами (30.9) или (30.10).

При составлении дифференциальных уравнений записывают два уравнения неразрывности -

одно

для фильтрации в трещинах (среда 1), другое для фильтрации в пористых блоках (среда 2).

Уравнение баланс

а жидкости в трещинах, т. е. уравнение неразрывности отличается от

рассмотренного ранее уравнения только наличием в правой части добавочного члена, представ

ляющего

собой массу жидкости (или газа) q, перетекающей за единицу времени из блоков в трещины в еди

нице

объема среды:

()

() ()()

[]

wwm

xyzt

ρ ρρ

∂

∂ ∂∂

−++=−

∂∂∂∂

, (30.11)

где

- плотность жидкости или газа при давлении р

Для фильтрации в пористых блоках уравнение неразрывности принимает вид

2 22

()

()()

[]

xyzt

ρρ

∂

∂∂

−++=+

∂∂∂∂

, (30.12)

где

- плотность жидкости или газа при давлении р

Для чисто трещиноватого пласта q=0 и остается только уравнение (30.11),

так как в блоках не

содержится жидкости.

Введем функции Лейбензона для системы трещин Р

и для пористых блоков Р

по формулам:

111

()()

()

pkp

PdpC

∫

; (30.13)

222

()()

()

pkp

PdpC

∫

. (30.14)

Будем считать, что выполняется линейный закон

Дарси. Тогда дифференциальные уравнения

движения записываются в виде:

∂

=−

∂

=−

∂

=−

∂

, (30.15)

∂

=−

∂

=−

∂

=−

∂

. (30.16)

Подставив выражения (30.15) и (30.16). а также (30.9) для упругой жидкости или (30.10) для

газа в

уравнения неразрывности (30.11) и (30

.12). получим систему уравнений неустановившейся фильтрации

любого однородного флюида в трещиновато-пористой среде в общем виде:

222

0111

11121

222

[()()][()()]

PPP

pmpfpfp

txyz

∂∂∂

∂

++=−−

∂∂∂∂

; (30.17)

222

22221

222

[()()][()()]

PPP

pmpfpfp

txyz

∂∂∂

∂

++=+−

∂∂∂∂

, (30.18)

где

()

fpp

- для упругой жидкости;

()/(2)

fppP

ρ=

для газа.

Для получения единственного решения при интегрировании этой сис

темы дифференциальных

уравнений в частных производных относительно давлений р

и р

ней необходимо добавить

начальные и граничные условия.