Презентация - Андреев В.К. Механика жидкости и газа
Подождите немного. Документ загружается.
Лекция 28
§23. Слабонелинейная теория
Можно более полно описать каскад нелинейных взаимод
ействий, когда нормальная мода
является плоской волной вида
)],(*)(*),()([ zyuetAzyuetAu
xixi
r
r
r
α−α
+ε=
′
.
Тогда образующиеся квадратичные члены будут пропорциональны
2
|| A
и
xixi
eAeA
α−α 2222
,
.
Назовем волновую моду
основной,
а вклад в течение, представленный членами
xi
e
α±2
,
первой
гармоникой
. Основная мода как генерирует первую гармонику, и изменяет средний поток
.
Первая гармоника и изменение среднего потока через квадратичные члены в уравнениях Навье
-
Стокса генерируют члены порядка
3
ε
, пропорциональные
xixi
eAAAeA
α−α
*|| ,||
22
и
xixi
eAeA
α−α 3333
*|| ,||
. Последняя пара членов представляет собой генерацию
второй гармоники
.
Первая пара член
ов резонансно взаимодействует с основной модой и может увеличивать или
уменьшать скорость экспоненциального роста
(это взаимодействие может уравновеши
вать
основную моду)
. В результате образуется стационарная нелинейная волна. В соответствии с
этим механизм
ом слабо неустойчивая нормальная мода малой величины может расти
экспоненциально в течение длительного времени и, генерировать слабую
нелинейность,
подавляющую рост основной моды.
Пример 1. Модельная задача для нелинейного уравнения диффузии.
.,0 при 0
,
Re
1
sin
2
2
π==
∂
∂
=−
∂
∂
zu
z
u
u
t
u
(23.1)
Основное течение:
U
u
=
, где
0
)
(
=
z
U
для всех
z
. Основное течение возмущается
следующим образом: )1( ),( OuouUu
=
′
ε
+
′
ε
+
=
при
0
→
ε
, постоянная
ε
может рассматриваться
как малая амплитуда возмущения.
После подстановки решения в указанном виде в (23.1), в
результате применения линейной теории, получим: основное течение устой
чиво, если
1ReRe
=
<
k
.
Рассмотрим слабо нелинейную стадию развития неустойчивых возмущений, когда
k
ReRe0
−
<
, так, что
основное течение является слабо неустойчивым. Введем медленное время
t
T
2
ε
=
и разложение
...),(),()(),(
2
2
1
+ε+ε+= TzuTzuzUtzu
(23.2)
при
0
→
ε
и фиксированных
T
z
,
, где
2/1
2
)/)Re((Re R
k
−=ε и
2
R не зависит от
Re
.
Используя разложение (23.2), перепишем в терминах
T
полную задачу:
,sin)sin(ReRe
sin)Re(Re)sin(ReReRe
2
22
2
2
uRuu
T
u
uuu
t
u
u
z
u
k
kkk
ε−−+
∂
∂
ε=
=−−−+
∂
∂
=+
∂
∂
Приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях
ε
и решаем возникшую последовательность
линейных задач, определяя по очереди ,...,,Re,
21
uuU
k
0
:
0
=
ε
U
- решение задачи;
,0Re :
1
2
1
2
1
=+
∂
∂
ε u
z
u
k
где
1
u
удовлетворяет граничным условиям из (23.1). Для наиболее неустойчивой моды
имеем .sin)(),( ,1Re
1
zTATzu
k
=
=
Произвольная функция
A
подлежит определению;
,0 :
2
2
2
2
2
=+
∂
∂
ε u
z
u
где
2
u
удовлетворяет граничным условиям из (23.1). Отсюда
0)(
2
=
zu
для всех
z
;
24
3sin
sin
8
:
33
23
2
3
2
3
zA
z
A
AR
dT
dA
u
z
u
−
+−=+
∂
∂
ε , где
3
u
удовлетворяет гранич
ным условиям из (23.1). Для
существования
3
u
и справедливости разложения в ряд по степеням необходимо выполнение
условия
разрешимости
:
.
8
3
2
A
AR
dT
dA
−=
(23.2)
Это – уравнение Ландау, в котором
1
2
±
=
R
в зависимости от того, сверхкритично или докритично
Re
.
Лекция 29. §25. Основные понятия теории фильтрации
Нефть и природные газы заключены в недрах Земли. Их скопления свя
заны с вмещающими
горными породами -
пористыми и проницаемыми образованиями, имеющими непроницаемые кровлю и
подошву. Горные породы которы
е могут служить вместилищами нефти и газа и отдавать их при
разработке, называются коллектора
ми. В свою очередь коллекторы называют пористыми или
трещиноватыми в зависимости от геометрии пустот.
Природные жидкости: нефть, газ, подземные воды и их смеси, находятся в пустотах -
порах и
трещинах коллекторов. Часто находящиеся в пустот
ном пространстве коллектора природные жидкости,
газы и их смеси, обозначаяют общим термином флюид, -
подразумевая под ним любую из них или их
смеси. Флюид, находящийся в коллектор
е, может находиться в состоянии покоя или двигаться.
Движение флюидов через твердые (деформи
руемые или недеформируемые) тела по связанным между
собой порам и/или трещинам называется фильтрацией.
Фильтрация может быть обусловлена
воздействием различных сил: градиентом давления, концентрации, темпе
ратуры, а также
гравитационными, капиллярными, электромолекулярными и другими силами. Поровое простран
ство
осадочных горных пород -
сложная система сообщающихся и не сообщающихся межзернистых пустот,
в которой трудн
о выделить отдельные поровые каналы. Размеры пор в песчаных породах составляют
обычно единицы или десятки микрометров (мкм).
Так как движение флюидов в пласте происходит с очень малыми скоростями, порядка
микрометров в секунду (в гидромеханике движения со
столь малыми скоростями называются
ползущими) и при наличии теплоот
водящих поверхностей большого размера, процесс фильтрации с
высокой степенью точности в большинстве слу
чаев можно считать изотермическим. И в тоже время при
фильтрации в горных породах возникает значительная сила трения, и
основным свойством флюида,
которое влияет на фильтрацию, является вязкость. Так как сила тре
ния распределена по всему объему
коллектора, то Н.Е.Жуковский предложил при описании фильтрации силу трения считать массовой
силой.
П
ри определении физических величин, характеризующих процесс фильтрации, и написании
законов сохранения, будет использоваться гипотеза сплошности.
Рис 25.1. Схематическое представление пористой среды.
1 - поровые каналы, 2 - твердый скелет.
Фильтр
ационное течение пластовых флюидов представляет собой совокупность множества отдельных
микро
движений в неупорядоченной системе поровых каналов (рис. 25.1). Следовательно, истинное
фильтрационное течение не является «сплошным» и при определении физических х
арактеристик
вводятся эффективные (фиктив
ные) величины, которые «размазываются» по всему объему
непрерывным образом. Реальные скорости, давления и т.д., заменяются на эффективные, кото
рые
представляются на рисунке в виде равномерной сетки из квадратов.
Пр
и вычислении физических модельных характеристик в подземной гидромеханике используется
«физиче
ская точка». Под «физической точкой» подразумевается такой объем пористой среды, который
является достаточно большим для того, чтобы вводимая физическая характери
стика не зависела от
объема образца, но доста
точно малым по сравнению со всей областью,в которой вводится эта
характеристика. Объем пористой среды, ко
торый можно принять за физическую точку, называется
элементарным или представительным объемом.
Фильтрационно-
емкостные свойства пористых сред. Коэффициенты пористости и
просветности. Удельная поверхность.
Одной из важнейших характеристик пористой среды является пористость, которую в дальнейшем будем обозна
чать через
m.
Под пористостью однородного пустотного пространства понимают отношение объема пустот V
п
образца пористой среды ко всему объему образца V :
V
V
m
p
= (25.1)
Таким образом определенная пористость постоянна для всех точек пористой среды. В случа
е
не
однородной пористой среды соотношение (25.1) определяет среднее значение пористости в образце.
Значение пористости в физической точке М для неоднородной пористой среды будет опре
деляться
выражением
0
()lim
ПП
V
VdV
mM
VdV
∆→
∆
==
∆
. (25.2)
Следовательно, в общем случае пористость является скалярной функцией точки (физической точки).
Другой важной характеристикой пористой среды является просветность или
поверхностная
пористость, которую в дальнейшем будем обозначать через s.
Под просветностью плоского сечения
однородной пористой среды понимают отношение площади просветов в сечении к площади S
всего
сечения:
()
П
S
sn
S
= . (25.3)
В случае неоднородной пористой среды соотношение (25
.3) определяет среднее значение
просветности в сечении, а значение просветности в физической точке М
будет определяться
выражением:
0
(,)lim
ПП
S
SdS
sM
SdS
∆→
∆
==
∆
n . (25.4)
Значения пористости и просветности могут изменяться в пределах от единицы до нуля.
В соотношениях (25.3) и (25.4) n-
вектор нормали к плоскости сечения. Из приведенных
соотношений сле
дует, что просветность в точке пористой среды зависит не только от точки, но и
ориентации сечения и является скалярной функцией векторного аргумента.
Еще одной, часто используемой и важной характеристикой пористой среды, является
удельная
поверхность пор, приходящаяся на единицу объема пористой среды. Под удельной поверхностью
пор
∑
, рассчитанной на единицу объема пористой среды, понимаю
т отношение площади поверхности
пустотного пространства пористой среды S
п
ко всему объему пористой среды V :
П
S
V
Σ= . (25.5)
Как следует из определения (25.5), удельная поверхность пор в отличие от пористости и
просветности, которые, по определению, безразмерны, явля
ется размерной характеристикой с
размерностью м
-1
.
Опыт и закон Дарси.
Обра
тимся теперь к движению жидкости в пористой среде. Первые экспериментальные
наблюдения за движением воды в трубах, заполнен
ных песком, произвели А.Дарси (1856 г.) и Ж.Дюпюи
(1948-1963 гг.). Именем Дарси назван линейный закон фильтрации, который он установи
л будучи мэром
города и создавая первую совершенную систему водоснабжения в г. Дижоне (Франция).
Анри Дарси исследовал течение воды через вертикальные песчаные фильтры. В результате
тщательно проведенных экспериментов был установлен получивший широкую известность закон
12
ФФ
HH
H
QkSkS
LL
−
∆
==, (25.6)
где Q - объемный расход жидкости через песчаный фильтр, длина которого L, а площадь сечения S,
∆
Н
=Н
1
-Н
2
- разность гидравлических напоров воды над фильтром и у его основания, k
ф
-
коэффициент
пропорциональности. Коэффициент пропорциональности в формуле (25.6) называется
коэффициентом
фильтрации
, который зависит как от природы пористой среды, так и свойств фильтрующейся жидкости.
Как уже отмечалось, скорости фильтрации очень малы (порядка 10
-4
-10
-5
м/с и менее), поэтому
скоростными напорами при вычислении гидравлических напоров в равенстве (25.6) пренебрегают:
2
2
vpp
Hzz
ggg
α
ρρ
=++≈+
(25.7)
Коэффициент фильтрации, как следует из равенства (25.6), имеет раз
мерность скорости и
ха
рактеризует скорость потока через единицу площади сечения, перпендикулярного к потоку, под
действием единичного градиента напора.
Лекция 30.
§26. Математические модели однофазной фильтрации. Одномерная фильтрация
Основными законами теории фильтрации являются законы сохранения массы, количества
движения и энер
гии. Для задания свойства конкретных сплошных сред к законам сохранения
добавляются определяющие уравнения и законы, которые задают особенности поведения дан
ной среды.
Закон сохранения массы в пористой среде.
При написании закона сохранения массы в интегральной формулировке воспользуемся
контрольным объемом и вычислим массу флюида в контрольном объеме пористой среды.
Масса жидкости, содержащаяся в бесконечно малом (физическом) объе
ме пористой среды,
очевидно равна
mdV
ρ
. В самом деле, объем пор в эле
ментарном объеме пористой среды равен
п
dVmdV
=
. Умножив его на плотность, получим массу флюида в элементарном объеме порис
той среды
-
П
dMdVmdV
ρρ==.
Проинтегрировав выписанное соотношение по всему контрольному объ
ему, получим массу
флюида в контрольном объеме
V
MmdV
ρ=
∫
.
Можно составить балансовое уравнение
ii
VS
mdVwnds
t
ρρ
∂
=−
∂
∫∫Ñ
, (26.1)
которое читается следующим образом:
изменение массы в контрольном объеме равно притоку флюида
через контрольную поверхность.
Уравнение (26.1) представляет собой интегральную формулировку зако
на сохранения массы
флюида в пористой среде.
0
m
div
t
ρ
ρ
∂
+=
∂
w . (26.2)
Уравнение (26.2) задает закон сохранения массы в пористой среде в дифференциальной форме или
уравнение неразрывности при фильтрации флюида в пористой среде.
Если пористость есть величина постоянная, то ее можно вынести за знак производной и
переписать уравнение неразрывности в виде
0
mdiv
t
ρ
ρ
∂
+=
∂
w
.
Для несжимаемого флюида
const,
ρ
=
поэтому уравнение неразрывности принимает еще бол
ее
простой вид
0
div
=
w .
При выводе как интегрального, так и дифференциального законов со
хранения массы считалось,
что в объе
ме пористой среды нет ни источников, ни стоков флюида, не происходит ни химических
реакций, ни фазовых переходов и так далее. Если же это не так, то в правую часть уравнения (26.2) не
-
обходимо добавить функцию q, которая будет задавать массу флюида, по
ступающего (исчезающего) в
единицу времени в единицу объема:
m
divq
t
ρ
ρ
∂
+=
∂
w .
При этом q будет стоять с минусом, если флюид поступает в объем, и
плюс, если флюид исчезает
из объема.
Дифференциальное уравнение движения флюида.
Другой универсальный закон сохранения механики -
закон сохранения количества движения
(импульса). В нашем случае в качестве определяющих уравнений выступает закон вязко
го трения
Навье-Стокса, который зада
ет реологию ньютоновской вязкой жидкости. Но так как в подземной
гидромеханике изучается движение осредненное по всему объему пористой среды, то
уравнения
движения вязкой жидкости (уравнения Навье-Стокса) не
обходимо осреднить. В результате осреднения
получается закон Дарси. Рассмотрим вывод, который был произведен Н.Е.Жуковским.
В основу рассуждений Н.Е.Жуковский положил уравнение движения идеальн
ой жидкости Эйлера,
которое известно из курса технической гидро
механики. Для упрощения рассуждений рассмотрим
случай одномерного течения -
vvp
vf
txx
ρρρ
∂∂∂
+=−+
∂∂∂
,
где f - проекция плотности объемных (массовых) сил на направление движения, V - истин
ная средняя
скорость движения.
При течении жидкости в пористой среде возникает сила трения на границе раздела «среда-
жидкость». Поскольку поверхность перовых каналов достаточно велика, то си
лу трения можно считать
объемной силой. Поэтому плотность объемных сил представим в виде
12
fff
=+
,
где
1
f
- проекция плотности объемной силы тяжести, которая для горизон
тального потока равна нулю и
112
sin=(z-z)g/l
fg
α
=
, если ось потока наклонена к горизонтали под углом
α
,
2
f
- проекция объем
ной
силы трения, обусловленной течением в пористой среде.
Далее считая, что среда изотропная и просветность является констан
той, перейдем от истинной
средней скорости к скорости фильтрации
2
wwwp
f
stxx
s
ρ
ρρ
∂∂∂
+=−+
∂∂∂
.
Положим, что изменение скорости по времени малы и пренебрежем членом
V
t
∂
∂
, второе
слагаемое в левой части, представляющее инерци
онный член, при выполнении закона Дарси (малых
скоростях фильтрации) тоже оказывается пренебрежимо малым. Тогда
12
()
p
ff
x
ρ
∂
=+
∂
.
(26.3)
Считая, что сила вязкого трения пропорциональна скорости фильтрации в первой степени
w
ρλ
,
получим следующее выражение
12
zz
p
wg
xl
ρλρ
−
∂
=+
∂
.
Теперь достаточно положить, что
/
k
λµρ
=−
, и получим закон Дарси.
Замыкающие уравнения. Математические модели изотермической фильтрации.
Выпишем полученные законы сохранения: для изотропной пористой среды -
0
m
div
t
ρ
ρ
∂
+=
∂
w
,
()
k
gradp
ρ
µ
=−+
wf
(26.4)
и для анизотропной пористой среды –
0
m
div
t
ρ
ρ
∂
+=
∂
w ,
()
ij
ij
j
k
p
f
x
ρ
µ
∂
=−+
∂
w (26.5)
В результате получено четыре скалярных уравнения (три уравнения задает закон Дарси и одно -
уравнение
неразрывности), которые содержат шесть неизвестных скалярных функций -
три компоненты вектора скорости,
плотность, давление и пористость (в общем случае в число неизвестных функций еще можно добавить проницае
мость и
вязкость). Поэтому системы (26.4) и (26.5) незамкнуты. Для задания свойств конкретной пористой сре
ды и жидкости
необходимо задать уравнения, задающие (определяющие) их свойства (поэтому уравнения обыч
но и называются
определяющими).
В рассматриваемых изотермических фильтрационных течениях опреде
ляющие уравнения обычно
имеют вид зависимости плотности, пористости (проницаемости, вязкости) от давления, например,
(),
p
ρρ
=
и так далее. В этом случае наиболее общий вид замкнутой системы уравнений (матема
-
тической модели) задается так
0
m
div
t
ρ
ρ
∂
+=
∂
w
,
()
k
gradp
ρ
µ
=−+
wf
, (26.6)
()
p
ρρ
=
,
()
mmp
=
,
()
kkp
=
,
()
p
µµ
=
.
При этом вид неизвестных функций от давления, очевидно, подразумевается заданным.
Модель фильтрации несжимаемой вязкой жидкости по закону Дарси в недеформируемом пласте.
Наиболее простая модель изотермической фильтрации получается, ко
гда жидкость считается
несжимаемой, вязкость - постоянной, а пласт - неде
формируемым. В этом случае определяющие
уравнения задаются следующими равенствами:
const
ρ
=
,
mconst
=
,
kconst
=
,
const
µ
=
(26.7)
и замкнутая система уравнений для фильтрации в изотропном пласте имеет вид:
0
div
=
w ,
()
k
gradp
ρ
µ
=−+
wf
. (26.8)