Презентация - Андреев В.К. Механика жидкости и газа

Подождите немного. Документ загружается.

Здесь и далее индексом «с» обозначены вели

чины, относящиеся к фронту (скачку) насыщенности, а

()

ffs





. Выражение (28.19) задает скорость

распростране

ния фронта насыщенности и известно

как условие на скачке.

Равенство (28.19) имеет простой геометрический смысл: скорость скачка v

. пропорциональная

тангенсу угла наклона к оси s секущей, соединяющей точки кривой f(s), имеющие абсциссы





, с

коэффициентом пропорциональности w/m.

Если насыщенности по обе стороны фронта постоянны (в нашем случае

ssss

−+

, скачок

насыщенности

const

sss

+−

∆=−=

), то уравнение (28.19) можно проин

тегрировать и найти положение

фронта как функцию времени:

wff

xtx

mss



























(28.20)

где x

сo

- положение скачка при t

= 0 (в нашем случае при постоянном начальном распределении

насыщенности x

сo

= 0).

Для фронтальной насыщенности s

, как и для любого значения s, выполняется равенство (2

8.18).

Если s

не меняется со временем, то из (28.18) следует, что

().

dxw

dtm



 (28.21)

Кроме того, скорость скачка определяется равенством (28.19). в котором









Приравняв правые части (28.19) и (28.21). получим уравне

ние для определения фронтальной

насыщенности s

()()

().

fsfs









(28.22)

Заметим, что

()0



при

•

<≤

Уравнение (28.22) означает, что в задаче Бакли-Леверетта скорость распространения скачка v

равна скорости распространения фронтальной насыщенности

()

′

Лекция 34

§29. Особенности фильтрации неньютоновской жидкости

Реологически

е кривые фильтрующихся жидкостей и нелинейные законы фильтрации.

Для ньютоновской жидкости единственным параметром, характери

зующим ее течение, служит

коэффициент динамической вязкости - коэф

фициент пропорциональности в законе вязкого трения

Ньютона:

τη= , (29.1)

где

- касательное напряжение сдвига: dw/dy - градиент скорости в на

правлении, перпендикулярном

направлению течения x.

Зависимость

от dw/dy

выражается в этом случае прямой линией, проходящей через начало

координат.

Жидкости, не подчиняющиеся закону трения (29

.1), называются аномальными или

неньютоновскими. Неньютоновские жидкости подразделяются на три класса.

1. Неньютоновские вязкие жидкости, для которых касательное напря

жение зависит только от

градиента скорости (стационарно реологические жидкости):

()

τ = . (29.2)

2. Жидкости, для которых связь между

и dw/dy зависит от времени действия напряже

ний

(нестационарно реологические жидкости):

(,)

τφ=

3. Вязкоупругие жидкости, т.е. среды, обладающие свойствами как твердого

тела, так и жидкости,

а также способные к частичному восст

ановлению формы после снятия напряжений. Для таких сред

зависимость между касательными напряжениями и градиентом скорости значи

тельно сложнее она

включает производные по времени как напряжений, так и градиента скорости.

Среди неньютоновских жидкостей первого класса, описываемых уравнением (29

.2), можно

выделить три типа.

А. Вязкопластичные жидкости, для которых уравнение (29.2) имеет следующий вид:

ττη=+ , если

; (29.3)

ττ

≤

, если

Графическое представление этой зависимости называется реологи

ческой кривой (или кривой

течения). В равенство (29.3). кроме коэффициента вязкости

входит также постоянная

, назы

ваемая

начальным (или предельным) напряжением сдвига. Считается, что при

ττ

≤

жидкость ведет себя как

твердое тело, и течение отсутствует. Это объясняется наличием у покоящейся вязко-

пластичной

жидкости пространственной жесткой структуры, сопротивляющейся любому напряжению

меньшему

. Когда

становится больше

, структура полно

стью разрушается, и жидкость ведет себя как

ньютоновская среда (при этом «пластические» и «вязкие» напряжения складываются). Если

уменьшается до значения

, то структура опять восстанавливается.

Б. Псевдопластичные жидкости. Эксперименты показали, что д

ля таких сред связь между

напряжением сдвига и градиентом скорости в логарифмических координатах

оказывается на некотором

участке линейной. Угловой коэффициент соответствующей прямой заключен между О и

1. Поэтому

для описания таких сред предложена степенная зависимость:

(),1

. (29.4)

где k и n - постоянные для данной жидкости: коэффициент k -

мера консистенции жидкости, которая

увеличивается с возрастанием вязкости: показатель n характеризует степень отклонения

данной

жидкости от ньютоновской.

Модель псевдопластичной жидкости применяется, в частности, для описания растворов

расплавов полимеров.

Введем понятия кажущейся вязкости

•

как отношение касательного напряжения к градиенту

скорости:

ητ= .

Для псевдопластичной жидкости, как следует из (29.4),

()

−

= .

и так как n < 1, то

•

убывает с возрастанием градиента скорости.

В. Дилатантные жидкости описываются степенным уравнением (29.4), но при n

> 1. У этих

жидкостей кажущаяся вязкость

•

увеличивается с возрастанием градиента скорости. Модель

дилатантной жидкости хорошо описывает поведение суспензий с большим содержанием твердой фазы.

Рассмотрим наиболее простой случай течения среды с неньютонов- скими

свойствами,

стационарное движение вязкопластичной жидкости (29

.3) в одной поре как в капиллярной трубке

постоянного радиуса. Распределение скоростей в некотором сечении трубки приведено на рис. 29.1

. На

некотором расстоянии r

от оси трубки касательное напряжение

ττ

что выражается равенством

(29.3), где dw/dy=dw/dr, причем dw/dr=0 при r=r0 .

Рис. 29.1. Эпюра скоростей вязкопластичной жидкости при движении в капилляре.

Расстояние r

определяется из условия равновесия жидкого цилиндрического слоя (рис. 29.1):

2 r

=∆

откуда

∆

Предположим, что в (11.5) d

= 2r

=d; при этом найдем наибольший перепад давления (

∆

)

при

котором вязкопластичная жидкость нахо

дится в предельном равновесии, отвечающем полному

прекращению движения в данной поре. Тогда из (29.5)

()

∆

==. (29.6)

Это предельное значение у определяет ту величину градиента давления (

∆

/l)

, по достижении которой

начина

ется движение жидкости. При меньших значениях градиента движение отсутствует. С учетом

того, что характерный размер пор пористой среды d ~

(где k - проницаемость), то из (29.6)

γ :

. (29.7)

Величина

называется предельным (начальным) градиентом. В

пористой среде, состоящей из

множества микрокапилляров различных диаметров, при снижении перепада давления начинается посте-

пенное «закупоривание» капилляров. В соответствии с формулой (29

.6) вначале движение прекращается

в наиболее мелких капиллярах (порах), а по мере снижения давления происходит заку

поривание все

больших и больших капилляров. Чем сильнее разброс размеров пор, тем больше рас

тянут переход к

полному прекращению движения.

Одномерные задачи фильтрации вязкопластичной жидкости. Установившееся течение.

Движение аномальных нефтей в пластах по закону

фильтрации вязкопластической жидкости в

пористой среде приводит к существенным особенностям разработки этих пластов не встречаю

щихся в

случае фильтрации по закону Дарси.

Рассмотрим плоскорадиальный приток несжимаемой вязкопластич

ной жидкости (ВПЖ) к

скважине:

drk

=+>

≤=

. (29.8)

Выведем формулу для дебита скважины в круговом пласте, обоб

щающую формулу Дюпюи. Из

(29.8) имеем:

(),

Qkdpdp

w если

rhdrdr

γγ

πη

==−>

w если

=≤

. (29.9)

Считая заданными постоянные давления на забое скважины и на границе пласта

()

prp

, ()

pRp

) для рассматриваемого случая притока и p

при закачке жидкости в пласт), после

интегрирования (11.14) находим:

Qdr

dpdr

κπ

=+,

откуда

()()ln

prprr

khr

=+−+

;

rrR

≤≤

(29.10)

()

ln(/)

QpR

=∆−

при

∆>

при

∆≤

()

ckc

ppp

∆=−. 9.11)

Формулами (29.10), (29.11) представлены соответственно распределение давления в пласте и дебит скважины. Из

формулы (29.10) видно, что часть разности давлений в виде линейного слагаемого с угловым коэффициентом

теряется

на преодоление градиента давления сдвига. При Q

→

0, как следует из (29.10), давление не постоянно (как в случае

фильтрации по закону Дарси). а меняется по линейному закону. Как видно из (29.10) наличие предельного градиента

давления в пласте ведет к уменьшению дебита скважины при тех же условиях по сравнению с фильтрацией по закону

Дарси (формула Дюпюи).

В рассматриваемом случае индикаторная линия скважины, т. е. зависимость

()

∆

прямолинейна, но не проходит через начало координат, а отсекает на оси депрессий отрезок, равный

Обобщим полученные результаты на случай слоистого пласта. Пусть пропластк

гидродинамически изоли

рованы, т. е. отсутствуют перетоки между слоями с разными проницаемостями.

Тогда для дебита в каждом пропластке справедлива формула (29.11):

()

ln(/)

icik

QpR

=∆−

при

iik

∆>

при

iik

∆≤

(1,)

= . (29.12)

а суммарный дебит Q равен

∑

. (29.13)

В случае, если как и ранее, проницаемости пропластков пронумерованы так, что k1 > k2 > k3

... и,

следовательно,

< ... . Пусть

<∆<

, тогда во всем пласте движение отсутствует и Q

0. Если

к c к

RpR

γγ

<∆<

, то движение будет только в первом пропластке; формулы (29.11). (29.13

)

выполняются при j=1. Пусть теперь

к c к

RpR

γγ

<∆<

, тогда суммарный дебит равен:

121122111222

[()()]

ln(/)

QQQkhkhpkhkhR

γγ

=+=+∆−+ .

Наконец, при

∆>

включается и третий пр

опласток, и т.д. Индикаторная линия

представляется ломаной, выпуклой к оси депрессии для случая трехслойного пласта.

Приведем один из способов определения усредненного значения

из промыслового экспери-

мента. Пусть добывающая нефтяная скважина, работающая на стационарном режиме с давлением рк

на

контуре питания, мгновенно остановлена. Через некоторое время (теоретически при

→∞

) в пласте

установится предельное стационарное распределение давления, имеющее вид линейной зависимости

()

ppRr

=−−

. (29.14)

При этом, как следует из (29.14), давление на забое скважины поднимается не до

(как в случае

фильтрации по закону Дарси), а до значения

кк

ppR

′

=−

. (29.15)

Если теперь закачать в пласт некоторое количество то

й же нефти (обычно меньше, чем отобрано

первона

чально), то начнется движение от скважины. После окончания закачки движение прекратится и

через некоторое время распределение давления станет

()

кк

ppRr

=+−

откуда определим давление на забое скважины:

кк

ppR

′′

. (29.16)

Вычтя (29.15) из (29.16) найдем

′′′

−

= .

Время проведения эксперимента согласно имеющимся оценкам мо

жет составить не более

нескольких ча

сов. Например, для месторождения Грязевая Сопка в Азербайджане при данном способе

определения

= 0.007 МПа/м.

Лекция 35

§30. Движение жидкостей и газов в тещиновато-пористых средах

Особенности фильтрации в трещиноватых и трещиновато-пористых средах.

Создание новых моделей фильтрации в трещиноватых породах вызвало необходимость более

детального изучения геологического строения и физических свойств этих пород. Одновременно

началось углубленное экспериментальное и теоретическое изучение фильтрацион

ных процессов в

глубокозалегающих трещиноватых породах в нашей стране и за рубежом.

Рис. 30.1. Схемы чисто трещиноватой (а) и трещиновато-пористой (б) сред.

Для понимания особенностей фильтрации жидкости и газа в трещи

новатых породах в

нефтегазовой подземной гидромеханике рассматривают две модели пород -

чисто трещиноватые и

трещиновато-пористые (рис. 30.1). В чисто трещиноватых породах (см. рис. 30.1, а)

блоки породы,

расположенные между трещинами, практи

чески непроницаемы, движение жидкости и газа происходит

только по трещинам (на рисунке показано стрелками), т. е. тре

щины служат и коллекторами, и

проводниками жи

дкости к скважинам. К таким породам относятся сланцы, кристаллические породы,

доломиты, мергели и некоторые известняки. Рассматривая трещиноватую по

роду с жидкостью как

сплошную среду, нужно за элемент породы принимать объем, содержащий большое количество

блоков,

и усреднение фильтрационных характеристик проводить в пределах этого элемента, т. е. мас

штаб

должен быть гораздо большим, чем в пористой среде. Если предста

вить себе блок в виде куба со

стороной а = 0.1 м, то в качестве элементарного объема надо взять куб со стороной порядка 1 м.

Трещиновато-пористая среда представляет собой совокупность по

ристых блоков, отделенных

один от другого развитой системой трещин (см. рис. 30.1, б ).

Жидкость и газ насыщают и проницаемые

блоки и трещины. При этом размеры трещин значительно превосходят характерные размеры пор,

так

что проницаемость системы трещин k

значи

тельно больше, чем проницаемость системы пор в блоках

. В то же время трещины занимают г

ораздо меньший объем, чем поры, так что коэффициент

трещиноватости т

- отношение объема, занятого трещинами, к общему объему породы -

существенно

меньше пористости отдельных блоков m

Трещиновато-пористые коллекторы -

это в основном известняки, иногда песчаники, алевролиты,

доломиты.

Рассмотрим характеристики чис

то трещиноватой породы. Трещина представляет собой узкую

щель, два измерения которой во много раз больше третьего. Коэффициент трещиноватос

ти составляет

обычно доли процента (в то время, как коэффициент пористости зернистой породы составляет 10-

20%).

Коэффициент трешиноватости m

так же, как и коэффициент проницаемости k

определяется густотой и

раскрытием трещин. Густотой трещин Г называется число трещин п, отнесенное к длине нормали L

проведенной к поверхностям, образующим трещины. Для простоты предста

вим себе модель

трещиноватой среды с упорядоченной системой параллельных и равноотстоящих трещин с раскрытием

. Густота трещин Г =n/h (h – толщина слоя), а коэффициент трещиноватоcти

acn

ach

==Γ

Если в пласте имеются две взаимноперпендикулярные системы тре

щин с одинаковыми густотой и

раскрытием, то m

= 2Г

, если три, то m

=3Г

; в общем случае можно считать, что

=Θ

, (30.1)

где

- безразмерный коэффициент, зависящий от геометрии систем трещин в породе.

Движение жидкости или газа в трещине можно представить себе как движение в узкой щели

между двумя параллельными плоскими стенками с расстоянием между ними

: для такого движения

справедлива формула Буссинеска. согласно которой средняя скорость движения жидкости в щели

составляет:

=− . (30.2)

где η - динамические коэффициент вязкости, dp/dx - градиент

давления. Перейдя к скорости

фильтрации w=m

v , получим:

=− . (30.3)

Сопоставив формулу (30.3) с законом Дарcи и использовав соотношение (30.1),

найдем

выражение для коэффициента проницаемости трещиноватой породы: