Презентация - Андреев В.К. Механика жидкости и газа

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 10.2

Для определения точки приложения равнодействующей сил давления используется теорема о

моменте равнодействующей (вывод можно найти в цитируемой литературе):

Σ×−=×

∫

dznrgFr

ρ (10.17)

где

r - радиус – вектор центра давления.

Введем новую систему координат

'''

zyx , совместив плоскость

с плоскостью твердой стенки

(рис. 10.1). Связь между старыми и новыми координатами определяется формулами

.,sin

,cos

'''

yyxzxx == θθ

Спроектируем векторное соотношение (10.17) на оси новой системы координат:

'''''

=Σ=Σ=

∫∫

ΣΣ

ДДД

zdzxgFxdzygFy ρρ

или

.0,sin,sin

'2'''''

=Σ=Σ=

∫∫

ΣΣ

ДДД

zdxgFxdxygFy θρθρ

В силу (10.16) имеем

.0,

sin

Σ⋅

∫∫

ΣΣ

dyx

θθ

Учитывая, что ,sin

xz = получим

.0,,

Σ⋅

∫∫

ΣΣ

ydx

x (10.18)

Из этих формул следует, что положение центра давления на площадке не зависит от наклона

последней к горизонту. (Заметим, что интеграл

∫

Σdx

выражает момент инерции площадки

относительно оси Oy, а интеграл

∫

Σydx

есть центробежный момент той же площадки.)

Лекция 11.

Закон Архимеда

Определим силовое воздействие покоящейся жидкости на погруженое в нее тело. В данном случае

поверхность “твердой стенки” замкнута и ограничивает конечный объем

Ω

. Используя теорему Гаусса

–

Остроградского, находим главный вектор сил давления:

∫∫

ΩΣ

Ω∇−=Σ−= dpdnpF . (10.19)

Из уравнения равновесия (10.1)

).(, тяжестисилыускорениявекторggp

−

∇

Следовательно,

,GdgdpF −=Ω−=Ω∇−=

∫∫

ΩΩ

(10.20)

где

- вектор силы веса жидкости в объеме погруженного в нее тела.

Полученный результат носит название закона Архимеда

: главный вектор сил давления жидкости

на поверхность погруженного в него тела равен по величине весу жидк

ости в объеме тела и направлен в

сторону, противоположную силе веса. Вектор

называют архимедовой силой или гидростати

ческой

подъемной силой.

Всякое тело, погруженное в жидкость, теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненная

телом жидкость. С помощью формул для главно

го момента сил давления можно показать, что линия

действия архимедовой силы проходит через центр тяжести вытесненного телом объема жидкости.

Для частично погруженного в жидкость тела значение архимедовой силы опр

еделяется объемом

погружен

ной части тела. Аналогично можно определить архимедову силу при погружении тела в

несколько слоев жидкости различной плотности.

§11. Плоские безвихревые движения несжимаемой жидкости

Движение жидкости называется плоским, если все

частицы, лежащие на одном и том же

перпендикуляре к некоторой неподвижной плоскости, имеют одинаковое движе

ние, параллельное этой

плоскости. В этом случае движение зависит от двух пространственных координат и достаточно

рассмотреть движение в плоскости (x y), принимая за нее ту плоскость, парал

лельно которой

совершается движение.

Функция тока

Из уравнения неразрывности (несжимаемости) в плоском случае

∂

Vdiv (11.1)

следует, что существует функция

),( yx

, тождественно удовлетворяющая уравнению (11.1.) и связанн

ая

с проекциями скорости

равенствами

∂

−=

∂

(11.2)

Функция ),( yx

имеет простой гидродинамический смысл. В случае плоского стацио

нарного

движения уравнения линий тока имеют вид

;

подставляя в него значения проекций скорости из (11.2), получим

∂Ψ∂−

∂Ψ∂

или

.0=

∂

Отсюда следует, что функция

сохраняет п

остоянное значение вдоль линий тока; другими

словами, семейство линий уровня функции

Cyx

),( (11.3)

представляет совокупность линий тока.

В связи с этим функция ),( yx

называется функцией тока. Проведем в плоскости течен

ия (рис.

11.1) контур

MM и вычислим расход жидкости через это сечение.

Рис. 11.1

Пусть

nn , - направляющие косинусы нормали

к элементу

d контура

MM .

,)()]()([)(

∫∫∫∫

−=Γ+Γ=Γ+=Γ=

−==

dxvdyudnvdnudvnundVQ

Гd

в силу (11.2)

).()()(

MMddx

Ψ−Ψ=Ψ=

∂

Ψ∂

∂

Ψ∂

∫∫

(11.4)

Итак, разность значений функций тока в двух каких-

нибудь точках потока равна расходу

жидкости через сечение трубки тока, ограниченной ли

ниями тока, проходящими через выбранные

точки.

По определению вихря скорости

).(

∂

Ψ∂

∂

Ψ∂

−=

∂

−

∂

=ω

Отсюда заключаем, что в случае безвихревого плоского движения функция тока должна

удовлетворять уравнению Лапласа:

∂

Ψ∂

∂

Ψ∂

=∆Ψ

(11.5)

Как уже отмечали, если движение безвихревое (

0=Vrot

), то существует потенциал скорости

такой, что

ϕ∇=V

, или в плоском случае

∂

(11.6)

Для несжимаемой жидкости ( 0=Vdiv ) в силу (11.6) потенциал скорости также оп

ределяется из

решения уравнения Лапласа

∆

(11.7)

В силу соотношений (11.2) и (11.6) получается следующая связь между функцией тока и

потенциалом скорости для несжимаемой жидкости:

xyyx ∂

∂

−=

∂

(11.8)

Эти соотношения называются условиями Коши – Римана.

Перемножив зависимости (11.8) крест-накрест, получим

.0=

∂

yyxx

Как известно, это соотношение определяет условие ортогональности кривых

(,)const

(,)const.

Ψ=

Линии

const

и линии

const

Ψ=

образуют взаимно ортогональную сетку.

Условия Коши – Римана (11.8) означают, что комплексная функция

яв

ляется

аналитической функцией комплексного аргумента

. Эта комплексная функция )(zW

называется

комплексным потенциа

лом. Следовательно, любое потенциальное течение может быть представлено

аналитической функцией одной комплексной переменной и любая комплексная аналитическая функция

определяет некоторое потенциальное течение.

Поскольку значение комплексного потенциала )(zW определяется только положением точки z

, то

и производная от

)(zW

будет определяться положением этой точки, а не тем, по какому направлению

берется эта производная, т.е.

∂

или

.Civu

xzd

=−=

∂

−=

∂

(11.9)

Введем понятия комплексной скорости ivuC

, сопряженной скорости .ivuC −=

Очевидно, что при умножении комплексного потенциала на мниму

ю единицу получается новое

течение, в котором потенциал скорости исходного течения становится функцией тока

, а функция тока

определяет потенциал скорости.

Отметим еще одно важное свойство функции тока и потенциала скорости, состоящее в том, что

если известны указанные функции двух течений (

,ψϕ

), (

,ψϕ

), то их сумма определяет новое

потенциальное течение с комплексным потенциалом

).()()(

2121333

ψψϕϕψϕ +++=+= iizW

Это свойство следует из линейности уравнения Лапласа, которому у

довлетворяют обе

рассматриваемые функции.

Отмеченные свойства показывают возможность широкого использования функций комплексного

переменного для исследования потенциальных течений.

Лекция 12.

Примеры потенциальных течений

Одноднородные плоскопараллельные течения

Пусть комплексный потенциал представляет собой простейшую линейную функцию

),)(()(

yixaiazazW ++==

здесь

a и

a - постоянные. Разделяя действительную и мнимую части, получаем

).()()(

2121

xayaiyaxaizW ++−=+= ψϕ

Следовательно, ).(),(

1221

yaxayaxa

−

Уравнения линий тока и эквипотенциальных линий

const

axay

axayconst

−=

определяют взаимно перпендикулярные линии (рис. 11.3, а),

а составляющие скорости равны

avau −==

При

получается частный случай течения вдоль оси

x, потенциал которого и функция тока соответственно равны (рис. 11.3, б)

yaxa == ψϕ

Такие потоки называются однородными поступательными.

Рис. 11.3

Течение внутри прямого угла

Пусть

)( zazW =

, где а – вещественное число. Тогда

.2),(;2)()()(

22222

yxayxaiyxayxaiyxazW =−=+−=+= ψϕ

Линии тока

2const

axy

есть (равносторонние) гиперболы, для которых координат

ные оси

служат асимптотами (рис.11.4).

Рис. 11.4

А эквипотенциальные линии

()const

xyϕ=−= - равнобочные гиперболы.

Составляющие

скорости находятся по известному потенциалу скорости:

.2,2 ya

vxa

u −=

∂

Так как оси координат являются линиями тока, а любая линия тока мо

жет быть принята за

твердую стенку, то, выделяя один из квандрантов, полу

чим картину течения идеальной жидкости

прямого угла.

Источники и стоки

Рассмотрим течения, определяемые потенциалом zazW ln)(

, где а – действи

тельное число.

Подставим комплексную переменную z в полярной системе координат:

,)sin(cos

reirz

θθ =+=

Тогда

,lnln)( θ

airareazW

+==

Отсюда

.,ln

ara

Эквипотенциальные (изопотенциальные) представляют концентрические окружности

(r=const), линии тока – прямые, проходящие через начало координат (

const

) (рис. 11.5).

Выражение для комплексной скорости имеет вид

Начало координат является особой точкой –

логарифмической для комплексного потенциала и

простым полюсом для комплексной скорости. Картина линий тока соответствуе

т плоскому течению

жидкости из точечного источника (рис. 11.5 а) или стоку (рис. 11.5 б), находящему

ся в начале

координат.

Найдем объемный расход жидкости от источника или стока через замкнутый контур,

охватывающий начало координат:

ard

Q πθ

∂

∫

Рис. 11.5.