Презентация - Андреев В.К. Механика жидкости и газа

Подождите немного. Документ загружается.

Лекция 1.

§1

. Предмет и методы механики сплошной среды. Основные пределения и аксиомы

Материальная система может быть как дискретной, состоящей из от

дельных материальных

точек, так и сплошной, представляю

щей непрерывные распределения вещества и физических

характеристик его состояния и движе

ния в пространстве. В этом случае систему называют

сплошной средой.

Раздел механики, занимающийся движениями такого рода изменяемых сред, называется

механикой спло

шных сред, а часть ее, относящаяся к жидким и газообразным средам, -

механикой

жидкости и газа.

Кроме основного свойства жидкой и газообразной среды –

ее сплошности, для динамики

существенно второе основное свойство жидкой или газообразной среды –

текучесть,

заключающееся в том, что касательные напряжения (внутре

ннее трение) в среде отличны от нуля

только при относительном движении сдвига между слоями среды.

Математическая модель газовой динамики основывается на осреднен

ном описании движения

молекул и взаимодействия их с другими физическими телами. Наиболее распр

остраненными

являются две математические модели –

газокинетическая и феноменологическая. В кинетической

теории газов используется модель, основанная на статисти

ческом (вероятностном) описании

поведения совокупности молекул. Основную роль в этой модели игра

ет уравнение Больцмана для

функции распределения молекул по их положениям в пространстве и по ско

ростям.

Газокинетическая модель успешно применяется для описания сильно разреженных газов.

В механике сплошных сред используется феноменологическая модель, свя

занная с

представлением о средних величинах, непрерывно распределен

ных по занимаемому газом

(жидкостью) объему.

Классическая гидроаэромеханика основана на трех утверждениях:

1) справедлива классическая механика – механика Ньютона; 2) справедлива классиче

ская

термодинамика; 3) справедлива гипотеза сплошности.

§2

. Интегральные законы сохранения. Непрерывные движения

Понятие элементарной частицы

Далее под жидкостью будем понимать текучую сплошную среду. Под элементарной

жидкой

частицей понимают такой выдел

енный объем жидкости, размеры которого пренебрежимо малы по

сравнению с характерными размерами изучаемого течения; с другой стороны,

размеры частицы

должны быть достаточно велики, чтобы не учитывать молекулярную структуру жидкости.

Плотность

Плотность жидкости (среды) в данной точке определяется как предел:

lim

∂Ω→

∂

∂Ω

. (2.1)

Обратную величину V=

называют удельным объемом.

Плотность движущейся среды зависит от материального состава, от температ

уры и давления, а

также и от характера движения среды. В общем случае плотность представля

ется функцией координат

и времени ),,,( tzyx

и образует скалярное поле, которое может быть как нестационарным, так и

стационарным (не зависящим от времени). Размерность плотности [

]= кг/м3.

Часто используется

производная единица – удельный вес:

, (2.2)

где g - ускорение свободного падения , [y]=

мH .

Объемные и поверхностные силы.

К объемным силам принадлежат, например, силы тяжести, силы инерции, силы действия

магнитного или электрического поля на частицы среды. Объемные силы действуют на элементы

объема сплошной среды. К по

верхностным силам в механике сплошных сред (МСС) относят такие,

которые действуют на элементы поверхно

сти (например, силы давления со стороны потока на

поверхность тела, силы внутреннего трения (вязкости) среды).

В динамике сплошных сред имеют дело не с с

амими силами, а с плотностью распределения их в

пространстве. Так, под объемной силой

в данной точке М

среды понимают предел отношения

главного вектора объемных сил Fδ , действующих в объеме

Ω

, к массе

Ω

ρδ

m при 0

→

Ω

(точка

М находится внутри

Ω

)

Ω

→Ω

ρδ

lim . (2.3)

Размерность

соответствует размерности ускорения,

[

]

F =м/с

Поверхностные силы. Пусть

Pδ -

главный вектор сил, приложенных с одной стороны к

некоторой выделенной в среде малой площадке S

Поверхностные силы задаются напряжением

δ 0

lim

→

= . (2.4)

Уточним определение вектора напряжения. Рассмотрим элементарный тетраэдр МАВС

вырезанный в среде с вершиной в данной точке М, основанием в виде треугольника АВС

, образованного

пересечением наклонной плоскости с тремя коорди

натными плоскостями, и боковыми гранями,

расположенными в координатных плоскостях.

Рис. 2.1

Обозначим площадь треугольника АВС через

Sδ , а площади треугольников ВМС, АМС и АМВ

представляющие проекции треугольника АВС на координатные плоскости, соответственно ,,,

zyx

SSS δδδ .

Справедливы соотношения:

.,,

===

Пусть высота тетраэдра равна h. Тогда его объем .3/

Shδδ =Ω

Рассматривая взятый бесконечно малый тетраэдр как жидкий, напишем уравнение движе

ния центра

инерции (второй закон Ньютона) данной системы частиц, общая масса которых равна

(

3/ρδδ

Shm =

zzyyxxnnnn

SpSpSpSpFShaSh δδδδρδρδ −−−+=

где

- вектор ускорения центра инерции тетраэдра,

- плотность распределения объемных сил,

- векторы напряжений, приложенные к положительным сторонам площадок

,,,,

zyxn

SSSS δδδδ

т.е. с

той стороны, куда направлены векторы

.,,, kjin

Переходя к пределу

→

, получим

zzyyxxn

npnpnpP ++=

(2.5)

Получили формулу Коши, согласно которой напряжения на гранях образуют систему взаимно

уравнове

шенных напряжений. Проектируя векторное уравнение (2.5) на оси координат, получим три

скалярных уравнения:

zzzyyzxxznz

zzyyyyxxyny

zzxyyxxxxnx

npnpnpP

++=

(2.6)

Величины с одинаковыми индексами

zzyyxx

ppp ,,

, представляющие про

екции векторов напряжений

zyx

ppp ,,

на нормали к соответствующим площадкам, называют нормальными напряжениями

, а проекции

,...,,

zxyzxy

ppp

на оси, лежащие в плоскости площадки, – касательными напряжениями.

Система равенств (2.6) показывает, что напряженное состояние в произвольной точке сплошной

среды характеризуется девятью компонентами, образующими тензор второго ранга:













==Ρ

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ppp

. (2.7)

Тензор

называют тензором напряжений:

.Ρ= nP

В первой лекции было введено понятие тензора напряжений

: .Ρ=nP

каждой точке среды

имеется бесчисленное множество векторов напряжений

P , зависящих от вы

бора наклона площадки в

этой точке, но один тензор

, характеризующий напряженность среды в данной точке. Отдельные

компоненты тензора

, образующие

таблицу (2.7), зависят от выбора направлений осей координат, но

тензор в целом представляет физическую величину, выражающую определенное состояние жидкости

или газа – их напряженность, и не зависит от выбора направления осей координат.

Лекция 2. Отметим

некоторые свойства тензора напряжений. Геометрический смысл

компонентов

показан на рис. 2.2.

Рис. 2.2

Теорема

. Тензор напряжений в произвольной точке пространства обладает свойством симметрии

и содержит только шесть независимых компонент.

Доказательство. Рассмотрим вращение жидкой частицы относительно оси

и составим уравнение

вращения. Согласно второму закону механики Ньютона

zzxzyxyyzxyx

pp εδδδδδδ Ι=− )()( . (2.8)

Здесь

ε - угловое ускорение,

Ι - момент инерции жидкого элемента относительно оси z:

.)(

zyxyxz

δδδδδρ +=Ι

Поэтому из (2.8) следует

.)()(

zyxxy

yxpp εδδρ +=−

Отсюда, стягивая жидкую частицу в точку, получаем .

yxxy

pp = Аналогично можно пока

зать, что

yzzyzxxz

pppp == То есть имеем

kiik

pp =

. (2.9)

Рассмотрим случай, когда отсутствуют касательные напряжения, т.е.

p =0, для .ki

≠

Вначале определим понятие вязкости воды

. Вязкость отражает свойство жидкости

сопротивляться относительному перемещению соседних жидких слоев. В

язкость порождает внутреннее

трение, которое выражается величиной касательного напряжения на границах слоев.

По Ньютону величину этого касательного напряжения

в двумерном ламинарном сдвиговом

течении представляют в виде

∂

±= µτ

, (2.10)

где

- коэффициент динамической вязкости; V – скорость жидкости слоя; n –

направление, поперечное

течению; знак выбирается так, чтобы касательное напряжение было положительным. Коэффициент

не зависит от условий течения и является физической характеристикой рассматриваемой жидкости.

В силу (2.10) касательные напряжения отсутствуют,

если: либо жидкость покоится, либо она

движется как твердое тело, либо равна нулю вязкость (

=0).

Итак, согласно (2.6) (при

, если

≠

)

.,,

zzznzyyynyxxxnx

nppnppnpp === (2.11)

Но, с другой стороны,

.:,

znnzynnyxnnnx

nppnppnpipp ==== (2.12)

Сравнивая (2.11) и (2.12), находим

nzzyyxx

pppp === (2.13)

Введем понятие давления

согласно равенствам:

zzyyxxn

ppppp −=−=−=−= . (2.14)

Итак, в случае отсутствия касательных напряжений д

авление в точке является скалярной

величиной.

Законы сохранения массы, импульса и энергии

В феноменологической теории каждый движущийся жидкий объем рассматривается как единое

физическое тело, обладающее следующими физико-механическими характеристиками:

масса

∫

Ω

)(

dρ импульс ,

)(

Ω

∫

Ω

ρ энергия .)

(

)(

Ω+

∫

Ω

deV

ρ .

Здесь

- плотность, V - вектор скорости,

- удельная внутренняя энергия,

)(t

Ω

жидкий объем.

Импульс называется также количеством движения объема )(t

Ω

. Под энергией понимается полная

энергия, равная сумме кинетической и внутренней энергий.

Вывод интегральных законов сохранения основан на следующем принципе отв

ердевания:

изменение массы, импульса и энергии любого движущегося объема

)(t

Ω

в каждый данный момент

времени происходит (за счет действия извне) так же, как для твердого тела, занимающего объем )(t

Ω

имеющего те же самые физико-механические характеристики.

Запишем абстрактный закон сохранения

)()()(

∫∫∫

ΓΩΩ

Γ+Ω=Ω

ddGd

σϕ

(2.15)

где G – плотность распределения объемных сил,

σ - плотность распределения поверхно

стных

воздействий, Г(t) – поверхность, ограничивающая объем

)(t

Ω

Для непрерывных сред можно получить эквивалентную формулировку в виде дифференциальных

уравнений:

gVdiv

t ∂

∂

+=+

∂

)( . (2.15’)

Закон сохранения массы

Масса объема газа (жидкости), состоящего из одних и тех же частиц, в процессе движения не

изменяется ( 0,0, ===

G σρϕ ):

)(

=Ω

∫

Ω t

ρ . (2.16)

Закон изменения количества движения

Изменение количества движения жидкого объема равно векторной сумме всех внешних сил,

приложенных к рассматриваемому объему ( ,Vρϕ= ,

gnp

,τσ +−= -

ускорение свободного

падения, р – давление,

τ - касательные напряжения):

∫∫∫

ΓΩΩ

Γ+−+Ω=Ω

)()()(

)(

dnpdgdV

τρρ . (2.17)

Закон сохранения энергии

Изменение внутренней энергии, сложенной с кинетической энергией жидкого объ

ема среды, в

единицу времени равно работе всех действующих сил и плюс притоки энер

гии от всех возможных

источников ( )

(

Ve += ρϕ , )( Ε+= VgG ρ ,

nnn

qVnp ++−= )( τσ , е – удельная внутренняя энергия,

энергия, которая подводится к единице массы в единицу времени,

q -

поток тепловой энергии через

единичную площадку поверхности Г):

∫∫∫∫∫

ΓΩΓΩΩ

Γ+ΩΕ+Γ+−+Ω=Ω+

)()()()()(

)()

(

dqddnpVdVgdVe

ρτρρ . (2.18)

Балансовые уравнения

Возможен и другой подход к получению исходны

х интегральных законов сохранения, когда

рассматривается изменение во времени массы, импульса и энергии в фиксиро

ванном (не зависящем от

времени) объеме

Ω

. В этом случае основные законы изменения массы, импульса и энергии прини

мают

вид уравнений баланса притока основных физических количеств в да

ный объем.

озможен и другой подход к получению исходных интегральных законов сохранения, когда

рассматривается изменение во времени массы, импульса и энергии в фиксиро

ванном (не зависящем от

времени) объеме

Ω

. В этом случае основные законы изменения массы, импульса и энергии прини

мают

вид уравнений баланса притока основных физических количеств в данный объем.

Пусть А

обозначает некоторую гидродинамическую характеристику (скалярную или векторную).

Согласно принципу баланса имеем: изменение величины А

за единицу времени в контрольном объеме

Ω

может происходить за счет ее притока через поверхность Г, ограничивающую объем

Ω

, за счет

генерирования (уничтожения) рассматриваемой величины внутри объема, за счет

передачи этой

величины внутрь объема на границе области путем различных физических процессов. В интегральной

форме сформулированный принцип записывают в виде

.Γ+Ω+Γ−=Ω

∂

∫∫∫∫

ΩΓΩ

dnAdAdnVAd

(2.19)

Здесь

A – объемный расход величины А, генерируемый источниками (стоками);

–

расход величины

А через поверхность Г

, обусловленный различными физическими процессами. Например, для процессов

диффузии и теплопередачи

AkA ∇=

Переходя от поверхностных интегралов к объемным (с помощью теоремы Гаусса -

Остроградского), получим уравнение баланса в дивергентной (или консервативной) форме:

0)( =Ω













−−+

∂

∫

Ω

ddivAAVAdiv

. (2.20)

Для закона сохранения массы: .0,0, ===

AAA

ρ Для закона сохранения количе

ства движения:

.,,

PAgAVA ===

ρρ

Для закона сохранения энергии:

.)(,)(),(),

(

nng

qVnpnAqVVpAEVgAVeA ++−=++−=+=+=

ΓΓ

ττρρ

Если подынтегральные выражения в (2.20) или (2.15) существуют и непрерывны в

рассматриваемом объеме, то можно перейти от интегральной формулировки законов со

хранения к

дифференциальной:

.)(

+=+

∂

divAAVAdiv

(2.21)

Уравнение сохранения массы (уравнение неразрывности):

.0)( =+

∂

Vdiv

(2.22)

Для несжимаемой жидкости

const

уравнение (2.22) упрощается:

.0=Vdiv (2.23)

Закон сохранения импульса (уравнения количества движения):

)(

pgVV

∂

+∇−=∇+

∂

ρρ

(2.24)

Уравнение энергии:

)( qdiv

Vdiv

EeV

ρρ

∂

+−=∇+

∂

(2.25)

Лекция 3.

§3. Уравнения сильного разрыва

В приложениях возникает необходимость в изучении классов движений, более ши

роких по

сравнению с классом непрерывных движений

. Если в области движения существует некоторая

гиперповерхность

∈

, на которой допускается скачкообразное изменение функций (разрывы

первого рода) и вне которой эти функции непрерывны, то такое движе

ние называется движением с

сильным разрывом, а сечение B(t) гиперповерхности Г гиперплоскостями t=const –

поверхностью

сильного разрыва. Оказывается, что величины разрывов функций не мо

гут быть произвольными, а

удовлетворяют некоторым соотношениям, которые и называются уравнениями сильного разрыва.

Выведем соотношения на сильном разрыве. Вместо

d в пространстве ),...,(

1 n

xxR

введем

элементарный объем в (n+1) пространстве ),...,,(

xxtR

dtdd

⋅

Ω

тогда, интегрируя (2.15)’ по объему

Ω

, получаем

∫

Ω

=Ω

∂

−−

∂

.0)( d

σϕ

(3.1)