Потапенко Е.М., Казурова А.Е. Основы теории автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
Рисунок 1.9.5.2 – Диаграмма Боде
1.10 Методы повышения точности САУ
Будут рассматриваться следующие методы повышения
точности:
увеличение коэффициента передачи разомкнутой цепи;
повышение степени астатизма;
применение регулирования по производным от ошибки или
с помощью гибких обратных связей (ОС);
применение комбинированного управления;
применение неединичных ОС.
1.10.1 Повышение точности за счёт увеличения
коэффициента передачи разомкнутой цепи
(См. подраздел 1.7 «Передаточные функции замкнутых САУ» и
пункт 1.9.1 «Показатели точности САУ»).
Согласно (1.9.1.7) ошибка статической системы в
установившемся режиме
00
11
1
н
н
уст
f
k
k
g
k
x
, (1.10.1.1)
где
k
– коэффициент передачи разомкнутой цепи,
00
,
н
fg
–
постоянные задающее воздействие и нагрузка. Из (1) видно, что для
повышения точности необходимо увеличить
k
. Однако при
повышении
k
увеличиваются перерегулирование, колебательность,
время переходного процесса и уменьшаются степень устойчивости,
затухание за период, запасы устойчивости по амплитуде и фазе и
система подходит к границе устойчивости. Покажем это.
Пусть передаточная функция прямой цепи
32
2
1
3
0
)(
apapapa
k
pW
, (1.10.1.2)
а система замыкается единичной обратной связью. Тогда
характеристическое уравнение замкнутой системы получится из
равенства
0)(1 pW
и будет иметь вид
0)(
32
2
1
3
0
kapapapa
. (1.10.1.3)
Необходимые и достаточные условия асимптотической
устойчивости замкнутой системы определятся неравенствами
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
71
0)(;0)(,,
3021310
kaaaakaaa
. (1.10.1.4)
Из последнего неравенства в (4) следует, что при увеличении
коэффициента передачи
k
система потеряет устойчивость.
Значение
k
, при котором система выходит на границу
устойчивости, называется критическим коэффициентом передачи
разомкнутой цепи.
1.10.2 Повышение точности за счёт увеличения степени
астатизма
(См. пункт 1.9.1 «Показатели точности САУ»). Увеличение
степени астатизма приводит к тем же изменениям показателей
качества, что и увеличение коэффициента передачи. Поэтому степень
астатизма системы должна быть ограниченной.
Покажем это на простом примере. Пусть управляемая система
описывается уравнением
buxm
, (1.10.2.1)
где
m
– масса,
b
– коэффициент регулятора,
x
– координата,
u
–
управление.
ПД-регулятор задается выражением
)(
31
xkxku
. (1.10.2.2)
В (2)
31
, kk
– постоянные коэффициенты. Характеристическое
уравнение для системы (1), (2) имеет вид
0
13
21
kpkpmb
,
где
p
– оператор дифференцирования. Необходимыми и
достаточными условиями асимптотической устойчивости системы (1),
(2) являются условия
0,0,0
13
1
kkmb
. (1.10.2.3)
ПИД-регулятор задается выражением
)(
3
t
0
21
xkxdtkxku
. (1.10.2.4)
В (4)
321
,, kkk
– постоянные коэффициенты. Характеристическое
уравнение для системы (1), (4) имеет вид
0
21
2
3
31
kpkpkpmb
.
Необходимыми и достаточными условиями асимптотической
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
72
устойчивости системы (1), (4) являются условия
0;0,,
1
23123
1
mbkkkkkmb
. (1.10.2.5)
Как видно из (5), при достаточно большом
2
k
или
m
система (1), (4)
может оказаться неустойчивой.
1.10.3 Повышение точности за счёт введения в закон
управления производной от ошибки или гибкой обратной связи
Сами эти мероприятия не изменяют стационарные
составляющие ошибки системы. Однако они увеличивают запасы
устойчивости, а это, в свою очередь, позволяет увеличить
коэффициент передачи разомкнутой цепи и (или) степень астатизма.
Это приводит к повышению точности.
1.10.4 Повышение точности за счет применения
комбинированного управления (см. пункт 0.1.1)
САУ является инвариантной по отношению к воздействию,
если после завершения переходного процесса, определяемого
начальными условиями, ошибка системы не зависит от этого
воздействия. В частности, астатические системы инвариантны по
отношению к постоянным воздействиям. Основным методом
достижения инвариантности является применение комбинированного
управления. Рассмотрим случай, когда дополнительно к
регулированию по отклонению (по ошибке
x
) используется
регулирование по задающему воздействию (см. рис. 1).
Рисунок 1.10.4.1 – Комбинированное управление по задающему сигналу
Ошибка системы определяется выражением
(p)
W(p)
y
g
x x
–
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
73
ygx
, (1.10.4.1)
передаточная функция всей цепи
)(
)(
)(1
)(
)1)(()(
pg
py
pW
pW
ppФ
. (1.10.4.2)
Для того чтобы система была инвариантной, должно
выполняться условие
1)()()( pФpgpy
. (1.10.4.3)
Задача: найти передаточную функцию
)( p
такую, чтобы в
установившемся режиме ошибка от задающего воздействия была
равна нулю.
Подставляя
)( pФ
из (2) в (3), найдём
)(
1
)(
pW
p
. (1.10.4.4)
В передаточной функции разомкнутой системы
)( pW
степень
полинома знаменателя больше степени полинома числителя, а в
функции
)( p
– наоборот. Поэтому её можно разложить в ряд по
степени
p
.
...)(
2
210
papaap
, (1.10.4.5)
где
210
,, aaa
и т.д. – постоянные коэффициенты, т.е. ряд (5)
состоит из суммы дифференцирующих звеньев различного порядка. В
технических системах обычно собственная частота системы
управления гораздо ниже частоты помех. При дифференцировании
синусоидального сигнала имеет место соотношение
tctcp
cos)sin(
,
т.е. в результате дифференцирования амплитуда сигнала возрастает
пропорционально её частоте. Следовательно, при прохождении
сигнала через звено с передаточной функцией (5) амплитуда помех
становится существенно выше амплитуды полезных сигналов. Это,
при всегда присутствующем ограничении сигналов, может сделать
систему неработоспособной, т.е. при наличии дифференцирования в
системе ухудшается её помехозащищённость. Поэтому в разложении
(5) приходится ограничиваться только первым и, иногда, первым и
вторым членами разложения. Вследствие этого достигается
инвариантность только по отношению к входному сигналу
constg
или
tgg
0
.
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
74
Рассмотрим задачу обеспечения инвариантности по отношению
к нагрузке в системе, изображенной на рис. 2. Будем предполагать,
что нагрузка измеряется.
Рисунок 1.10.4.2 – Комбинированное управление по нагрузке
Задача: найти передаточную функцию компенсатора нагрузки
)( p
, делающую систему инвариантной по отношению к нагрузке
н
f
.
На выходе сумматора 3 в установившемся режиме должно
отсутствовать влияние нагрузки
н
f
, то есть
,0)()()( pWfpWpfy
ннн
откуда
)(
)(
)(
pW
pW
p
н
. (1.10.4.6)
Здесь могут возникнуть те же проблемы в отношении
помехозащищённости в зависимости от вида передаточных функций
н
W
и
W
.
1.10.5 Повышение точности за счет применения
неединичных ОС
Рассмотрим структурную схему, изображенную на рис. 1.
x΄
W(p)
ψ(p)
W
н
(p)
x
y
3
f
н
2
1
–
g
W(p)
g у
q(p)
x
–
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
75
Рисунок 1.10.5.1
Неединичные обратные связи применяются для уменьшения
ошибки, обусловленной задающим воздействием
g
.
Задача: найти передаточную функцию
)( pq
, делающую
систему инвариантной по отношению к задающему воздействию.
Передаточная функция всей системы
1
)(
)(
)()(1
)(
)(
pg
py
pqpW
pW
pФ
. (1.10.5.1)
Из равенства (1) найдём
)(
1
1
)(
1)(
)(
pWpW
pW
pq
. (1.10.5.2)
Сравнивая (2) и (1.10.4.4), видим, что здесь имеются те же
проблемы и ограничения по помехозащищённости.
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
76
2 ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
В настоящее время практически все разрабатываемые САУ
используют в качестве счетно-решающего прибора управляющие
цифровые вычислительные машины (УЦВМ) или микропроцессоры.
Их широкое применение связано с рядом больших преимуществ перед
аналоговыми вычислительными машинами. Это обусловлено
следующим:
1. УЦВМ позволяет очень быстро изменять алгоритмы
управления путём их перепрограммирования в УЦВМ.
2. УЦВМ позволяет решать очень сложные алгоритмы
управления при малых объёмах и весах вычислительной машины.
3. УЦВМ позволяет одновременно управлять несколькими
каналами.
4. УЦВМ, помимо расчётов по алгоритмам управления,
позволяет осуществить проверку всей системы управления и
самопроверку, по результатам которых можно осуществить замену
вышедших из строя блоков и приборов на резервные блоки и
приборы.
5. С помощью УЦВМ оператор может легко вносить изменения
в технологический процесс и работу системы управления УЦВМ с
пульта.
6. УЦВМ позволяет анализировать производительность
технологической системы и учитывать количество выпускаемой
продукции.
7. УЦВМ обеспечивает стабильность коэффициентов системы
управления.
К недостаткам относится дискретизация процесса управления,
которая приводит к некоторому ухудшению показателей качества
САУ.
2.1 Функциональная схема САУ и её циклограмма работы
Функциональная схема САУ представлена на рис. 1, где
АЦ
2
П – аналого-цифровой преобразователь (преобразователь
напряжения в код УЦВМ);
Ц
1
Ц
2
П – преобразователь кода датчиков в код УЦВМ;
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
49
Рисунок 2.1.1 – Функциональная схема САУ с УЦВМ
УЦВМ – управляющая цифровая вычислительная машина;
Ц
2
АП – цифро-аналоговый преобразователь (преобразователь
кода УЦВМ в напряжение исполнительных органов);
Ц
2
Ц
3
П – преобразователь кода машины в код исполнительных
органов.
ЦВМ является устройством дискретного действия. Вся
информация в ней представляется в виде цифровых кодов. Процесс
реализации алгоритмов в ЦВМ состоит из последовательно
выполняемых алгоритмов и логических операций по заданной
программе. Каждая такая операция выполняется за конечное, хотя и
маленькое, время, но поскольку операции выполняются
последовательно, то время расчёта по заданному алгоритму находится
суммированием отрезков времени на проведение каждой операции.
Преобразование сигналов в АЦП, ЦЦП и ЦАП также требует
определённого времени. Таким образом, возвращение к выполнению
одной и той же операции в алгоритме управления происходит через
вполне заметный промежуток времени. Простейшая циклограмма
работы представлена на рис. 2, где
r
AAA ...,,,
21
– номера алгоритмов;
r
...,,,
21
– отрезки времени просчёта по
соответствующему алгоритму;
0
T
– такт счёта – это тот промежуток времени, через который
повторяется одна и та же операция.
датчики
1
k
1
l
АЦ
2
П
Ц
1
Ц
2
П
УЦВМ Ц
2
АП
Ц
2
Ц
3
П
1
m
1
n
аналоговые
цифровые
исполнительные
органы
цифровые
аналоговые
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
50
Рисунок 2.1.2 – Циклограмма работы САУ с ЦВМ
2.2 Аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи
В САУ с ЦВМ, как правило, входят АЦП и ЦАП. Процесс
преобразования непрерывного сигнала в дискретный состоит из трёх
этапов:
1) квантование по времени;
2) квантование по уровню;
3) кодирование.
Квантование по времени связано с последовательностью
(очередностью) выполнения математических операций.
Квантование по уровню необходимо для представления
информации в цифровом виде. Это квантование производится
следующим образом: весь диапазон изменения непрерывной
величины
)(tx
разбивается на
N
равных частей
N
xx
minmax
,
где
– шаг квантования по уровню (цена младшего разряда). В
результате сигнал приобретает ступенчатый вид, показанный на рис.
1.
Кодирование представляет собой преобразование входного
сигнала в двоичный параллельный код УЦВМ. Это преобразование
осуществляется с помощью триггеров, механическая модель которых
показана на рис. 2а. Триггер представляет собой устройство с двумя
устойчивыми положениями равновесия. Одному положению
A
1
A
2
A
r
A
1
A
2
A
r
A
1
T
0
t, с
1
2
r
T
0
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
51
Рисунок 2.2.1
присваивается значение 0, другому – значение 1. Каждому разряду
соответствует свой триггер. При перебрасывании триггера из
положения «1» в «0» в старший разряд посылается сигнал на
переключение соответствующего ему триггера и т.д. На рис. 2б
представлена функциональная схема АЦП.
Рисунок 2.2.2 – Функциональная схема преобразователя АЦП
x
g
x(t)
триггер
0 1
а)
u
1
u
oc
u
2
u
α
─
ЦАП
&
ГПИ
двоичный
параллельный
код
Р а з р я д ы
u
x
б)
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
52