Потапенко Е.М., Казурова А.Е. Основы теории автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.







, (4.5.14)





vku 

. (4.5.15)

В соответствии с критерием полагаем

0



0,0  uM

0



Из уравнения (14) следует

0



, а из (13) –

0i

. Таким

образом, для системы (11)-(14) можно построить наблюдатель,

который будет оценивать



и фильтровать сигналы



от

высокочастотных составляющих.

4.6 Система управления с динамическими фильтрами

Рассмотрим систему (1), (2)

GfBuAxx 



, (4.6.1)

DvCxy 

. (4.6.2)

Смысл векторов и матриц дан в подразделе 4.5. Пусть с помощью

динамического фильтра получена оценка

вектора

, ошибка

динамического фильтра определена соотношением

xxx 

, откуда

xxx



. (4.6.3)

Сформируем закон управления в виде

)

(

xxPxPu 

. (4.6.4)

Подставив (4) в (1), получим

GfxxBPAxx  )

(



или

[)( GfxBPxBPAx 



(4.6.5)

Выражение в квадратных скобках можно рассматривать как

внешнее воздействие на управляемый объект, причём вследствие

асимптотической устойчивости динамического фильтра величина

или ограничена малой величиной, или даже стремится к нулю.

Решение уравнения (5) складывается из двух слагаемых:

1) вынужденного решения, обусловленного выражением в скобках, и

2) собственного решения, совпадающего с решением уравнения

.)( хBPAx 



(4.6.6)

Уравнение (6) совпадает с уравнением (4.4.4) при

EC 

Поэтому порядок выбора матрицы

совпадает с порядком,

изложенным в подразделе 4.4.

Обобщив результаты подразделов 4.5 и 4.6, констатируем, что

143

параметры динамического фильтра и регулятора могут выбираться

независимо, т.е. действует принцип разделения. Обычно

быстродействие наблюдателя делают на 20-50% больше (время

переходного процесса на 20-50% меньше), чем управляемого с

помощью регулятора объекта.

Функциональная схема системы управления с динамическим

фильтром представлена на рис. 1.

Рисунок 4.6.1 – Функциональная схема системы управления с динамическим

фильтром

На рис. 1

– сигнал, формирующий программу движения,

– вектор измеряемых выходных сигналов.

4.7 Редуцированные наблюдатели

Наблюдатель, изученный в подразделе 4.5, позволяет

восстановить весь вектор состояния, в том числе и измеряемую его

часть, имеет тот же порядок, что и размер вектора состояния

Известно, что при интегрировании системы дифференциальных

уравнений объём математических операций пропорционален квадрату

порядка системы. Поэтому, если бы удалось построить наблюдатель,

который восстанавливает (оценивает) только неизвестную часть

вектора состояния, то удалось бы существенно снизить объём

вычислений для восстановления вектора состояния.

Пусть дана система

BuAxx 



, (4.7.1)

Cxy 

, (4.7.2)

регулятор

объект управления

динамический фильтр

–Р

–

yy 

144

rmn

RyRuRx  ,,

. (4.7.3)

Стоит задача вместо наблюдателя размерности

построить

редуцированный наблюдатель размерностью (

rn 

), тогда объём

вычислений уменьшится в

)]/([ rnn 

раз. Будем полагать, что

путём перестановки строк в уравнении (1) и преобразований удалось

представить вектор состояния в виде















, (4.7.4)

где

– измеряемая часть вектора состояния,

– неизмеряемая часть вектора состояния.

В соответствии с разбиением вектора состояния (4) уравнения

(1) и (2) можно представить в виде

··

2221

1211























































, (4.7.5)















CCy ]·[

, (4.7.6)

где

212122211211

,,,,,,, CCBBAAAA

– матричные элементы

блочных матриц соответствующих размеров.

Запишем уравнение (5) в виде двух векторно-матричных

уравнений

uBwAyAy

11211





, (4.7.7)

)(

22122

uByAwAw 



. (4.7.8)

Уравнение (7) можно представить в виде уравнения измерения.

Для этого введём обозначение

yuByAy  :

111



, (4.7.9)

где в левой части собраны все известные слагаемые. С учётом (9)

уравнение (7) представим в виде

wAy

w 12



. (4.7.10)

Будем рассматривать уравнение (8) как динамическое уравнение

объекта, а уравнение (10) как соответствующее ему измерение и по

стандартной структуре наблюдателя составим уравнение наблюдателя

в виде

)

()(

ˆˆ

22122 ww

yyLuByAwAw 



или с учетом (9)

145

)

()(

ˆˆ

1111222122

uByAywALuByAwAw 



. (4.7.11)

Устраним операцию дифференцирования



в уравнении (11).

Для этого введем обозначение

LyzwLywz 

. (4.7.12)

С учётом (12) уравнение (11) представим в виде

.)(

)()()(

112112221222

uLBB

yLAALyLAAzLAAz







(4.7.13)

После нахождения вектора

по зависимости (12) можно найти

вектор

, являющийся оценкой вектора

. Наблюдатель (13) имеет

порядок (

rn 

При использовании редуцированного наблюдателя закон

управления можно принять в виде

wPyPu 

(4.7.14)

где

, PP

– матрицы коэффициентов закона управления, которые

можно определить аналогично тому, как это было сделано в

подразделе 4.6.

4.8 Наблюдение объектов, подверженных действию возмущений и

погрешностей датчиков (оценка внешних возмущений и

погрешностей датчиков)

На практике объекты управления всегда подвержены внешним

воздействиям. Это нагрузка, ветер, трение и др. воздействия. В

измерительных приборах часто присутствуют смещения нуля

(постоянная погрешность), погрешности с частотой питающей сети и

др. Во многих случаях законы изменения этих воздействий известны,

но не известны их величины. В соответствии с этим объект

управления описывается системой (1), (2)

GfBuAxx 



, (4.8.1)

DvCxy 

, (4.8.2)

где

vfyux ,,,,

– векторы состояния, управления, измерения,

внешних воздействий и погрешностей датчиков соответственно;

CBA ,,

– матрицы объекта, управления и измерения.

Для решения поставленной в названии подраздела задачи надо

внешние воздействия

и погрешности датчиков

описать

системой дифференциальных уравнений.

146

Например, пусть

constf 

, тогда уравнение будет

f



Пусть теперь

tfff



. Введем обозначения

zf 



Тогда

zff 



z



Система уравнений имеет вид

221

 zzz



или в матричной

форме











































zQf 

, где

 

01Q

Пусть

tff



sin



. Введем обозначения

zf 

cos ztff







. Тогда система уравнений будет













или















































zQf 

, где

 

01Q

На основании сказанного можно записать

zQf 

zMz 



. (4.8.3)

qRv 

qNq 



. (4.8.4)

Таким образом, наряду с уравнениями (1) и (2), можно получить

уравнения внешних воздействий на объект в виде

., QzfMzz 



(4.8.5)

Погрешности датчиков можно аналогичным образом описать в

виде системы дифференциальных уравнений

., RqvNqq 



(4.8.6)

Для объединенной системы уравнений (1), (2) и (5), (6)

расширенный вектор состояния примем в таком виде:















. (4.8.7)

Тогда расширенная система (система с расширенным вектором

состояния) будет выглядеть так:



GQA





























 ·

0·

  



, (4.8.8)

147

rCrDRCy



 ]0[

. (4.8.9)

Для оценки вектора

наблюдатель, построенный по

стандартному принципу, имеет вид

)

(

ˆˆ

yrCLuBrAr 





. (4.8.10)

Для того чтобы расширенный наблюдатель (10) был

работоспособен, необходимо и достаточно, чтобы пара матриц (



CA ,

) была полностью наблюдаемой (чтобы система уравнений

(8), (9) была полностью наблюдаемой). В результате решения

уравнения (10) существует оценка вектора состояния

, т.е. оценка

qz,

. Таким образом, оцениваются вектор состояния объекта

управления, внешние воздействия на него и погрешности датчиков. В

результате можно построить закон управления в виде

zSQxPu



. (4.8.11)

Подставим (11) в (1). Получим



GfzQBSxBPAxx



ˆ

. (4.8.12)

Если

GBS 

, то внешнее воздействие будет скомпенсировано. Как

известно, такой принцип управления называется комбинированным

управлением.

4.9 Использование наблюдателей для построения робастных

систем управления

Пусть задан объект управления в виде

GfBuAxx 



(4.9.1)

с измерением

DvCxy 

. (4.9.2)

Система (1), (2) совпадает с системой (4.8.1), (4.8.2), для

которой в подразделе 4.8 даны принятые обозначения. На практике

параметры системы управления (СУ), во-первых, точно не известны,

во-вторых, они могут существенно изменяться как в процессе

хранения, так и в процессе эксплуатации. В частности, в

электроприводе существенно неопределенными могут быть

приведенный момент инерции ротора и сопротивления ротора и

статора. Эти параметры могут меняться в два раза как вверх, так и

вниз. Такие большие изменения параметров делают обычные

классические СУ неработоспособными. Для обеспечения

148

работоспособности в условиях сильной неопределенности

разработаны специальные СУ. Это адаптивные СУ, СУ с переменной

структурой (СПС) (системы со скользящими режимами) и др.

Системы управления, работоспособные в условиях большой

неопределенности, получили название робастных СУ (от английского

robust – жесткий, прочный). В данном подразделе будет

рассматриваться комбинированная СУ с наблюдателем

неопределенности, аналогичная системе, изученной в подразделе 4.8.

Будем полагать, что



CCCBBBAAA 

000

, (4.9.3)

где

000

,, CBA

– номинальные матрицы, элементы которых обычно

известны из паспортных данных,



CBA ,,

– неизвестные отклонения от номинальных значений.

Подстановка (3) в (1) и (2) дает

00 

 fGuBxAx



(4.9.4)

0 

 vDxCy

(4.9.5)

где

DvxCvDGfuBxAfG 





– (4.9.6)

векторы неопределенностей. Уравнения (4), (5) по структуре

полностью соответствуют уравнениям (4.8.1), (4.8.2).

Ставится задача: для системы (4), (5) синтезировать

наблюдатель, оценивающий вектор

и векторы неопределенностей.

Как видно из (6), векторы неопределенностей меняются со скоростями

того же порядка, что и векторы

. Поэтому быстродействие

наблюдателя назначим таким, что за время переходного процесса

наблюдателя переменные

изменяются настолько мало, что на

этом интервале времени можно полагать

constfG 



constvD 



или

,0)( 



.0)( 



(4.9.7)

Если система (4), (5), (7) является полностью наблюдаемой, то по

методике, изученной в подразделе 4.8, можно построить наблюдатель,

149

оценивающий вектор состояния и векторы неопределенностей без

погрешностей, вносимых последними. По информации, полученной с

помощью наблюдателя, можно задать комбинированный закон

управления типа (4.8.11), с помощью которого парируется влияние

вектора неопределенности



4.10 Асимптотическое дифференцирование с помощью

наблюдателей

При управлении положением необходимо измерить это

положение. Для качественного управления необходимо также знать

скорость, а иногда и ускорение. Эту информацию можно получить

путем дифференцирования положения. Это становится невозможным

в том случае, когда в измерении положения содержатся

высокочастотные шумы. В этом случае можно построить

асимптотический дифференциатор следующим образом.

Пусть измеряется перемещение



с выходным сигналом

,vy 



(4.10.1)

где

– высокочастотный шум. Необходимо оценить





Введем обозначения

x



x





x





. (4.10.2)

Примем, что

constx 

или

x



. Обозначениям (2) соответствует

система

xx 



xx 



x



. (4.10.3)

С помощью обозначений





























000

100

010

 

001C

(4.10.4)

запишем систему (1), (3) в векторно-матричной форме

Axx 



.vCxy 

(4.10.5)

Для системы (5) запишем наблюдатель в стандартной форме

)

(

yxCLAxx 



. (4.10.6)

Наблюдатель (6) позволяет оценить вектор

, в состав которого

входят перемещение, скорость и ускорение. Поскольку оценка вектора

осуществляется путем интегрирования уравнения (6), то искомые

150

переменные отфильтровываются от высокочастотных помех,

входящих в

. Интересно отметить то, что скорость и ускорение

получаются не путем дифференцирования перемещения, а путем его

интегрирования.

4.11 Заключение раздела 4

Динамические фильтры позволяют:

1. Оценивать весь вектор состояния объекта управления.

2. Отфильтровывать высокочастотные внешние воздействия и

погрешности датчиков.

3. Оценивать внешнее воздействие на объект.

4. Оценивать погрешности датчиков.

5. Строить робастные системы управления.

6. Осуществлять асимптотическое дифференцирование

сигналов.

151

ЛИТЕРАТУРА

1. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического

регулирования и управления. Учебное пособие для втузов. – 2-е изд.,

М.: Наука, 1989. – 301 с.

2. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического

регулирования и управления. Учебное пособие для втузов. – 2-е изд.,

стер. – М.: Наука, 1988. – 255 с.

3. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем

управления: Пер. с англ. – М.: Машиностроение, 1986. – 444 с.

4. Изерман Р. Цифровые системы управления: Пер. с англ. –

М.: Мир, 1984. – 541 с.

5. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие

устройства. – М.: Машиностроение, 1976. – 184 с.

152