Потапенко Е.М., Казурова А.Е. Основы теории автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
Дискретная передаточная функция для всей цепи
)()()}({)}({)}()({)(
212121
zWzWpWZpWZpWpWZzW
.
Пусть дано последовательное соединение звеньев,
изображенное на рис. 4.
Рисунок 2.6.4 – Последовательное соединение звеньев
Для рис. 4 следует считать, что
)()·()()}()·({)(
212121
zWzWzWWpWpWZzW
.
Однако в том случае, когда имеется ключ между звеньями (рис.
5), справедливо соотношение
)()·()(
21
zWzWzW
.
Рисунок 2.6.5 – Последовательное соединение звеньев с разделительным ключом
2.7 Вычисление дискретной передаточной функции звена или
группы звеньев по непрерывной передаточной функции
Непрерывную передаточную функцию
)( pW
разлагают на
простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов (см.
(2.4.15), (2.4.16))
)(...)()()(
21
pWpWpWpW
l
. (2.7.1)
Для каждого слагаемого находится функция веса или аналитически по
соответствующему дифференциальному уравнению, или по таблице
(справочники). По этим весовым функциям с помощью формулы z-
преобразования
W
2
(p)
x(t)
y(t)
W
1
(p)
T
0
W
2
(p
)
у(t)
W
1
(p
)
x(t)
T
0
T
0
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
63
0
00
][]}[{)(
n
n
znTwnTwZzW
(2.7.2)
находится дискретная передаточная функция. В результате искомая
передаточная функция находится в виде
n
i
i
zWzW
0
)()(
. (2.7.3)
Существует и более простой метод с помощью таблиц, где для
непрерывных передаточных функций типовых звеньев приведены
соответствующие дискретные передаточные функции. В пакете Matlab
имеются программы пересчета непрерывной передаточной функции в
дискретную и обратно.
2.8 Системы с экстраполятором нулевого порядка
Интерполяция – построение функции в промежутке между
известными её значениями.
Экстраполяция – прогноз функции по её предыдущим
значениям.
Различают экстраполяторы различных порядков (см. рис. 1).
В экстраполяторе нулевого порядка сохраняется значение
импульса до поступления следующего импульса. В экстраполяторе
первого порядка (линейная экстраполяция) вершины предыдущего и
последующего импульсов соединяются прямой, которая продолжается
до следующего импульса. В экстраполяторе второго порядка по трем
последним импульсам строится парабола, которая продолжается до
следующего импульса и т.д. По причине простоты в системах
управления большее распространение получили экстраполяторы
нулевого порядка. Роль экстраполятора выполняет ЦАП (см. рис. 2).
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
64
Рисунок 2.8.1 – Схема экстраполяций различных порядков
Рисунок 2.8.2 – Функциональная схема системы управления с ЦВМ
На рис. 2 АЦП – аналого-цифровой преобразователь;
СРП – счетно-решающий прибор (ЦВМ);
ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь;
ОУ – объект управления.
На рис. 3 показаны входной (1) и выходной (2) сигналы ЦАП.
Рисунок 2.8.3 – Входной и выходной сигналы ЦАП
На рис. 4 представлена структурная схема ЦАП, где
)( pW
ф
–
передаточная функция формирователя.
t
1 поp.
0 поp.
y
0
СРП
g(t) у(t)
АЦП ЦАП
ОУ
u[nT
0
]
u(t)
–
T
0
t
1
2
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
65
Рисунок 2.8.4 – Структурная схема ЦАП
Если формирователь представляет собой экстраполятор
нулевого порядка, то
p
pW
ф
1
)(
.
Тогда импульс с постоянным сигналом на интервале времени
0
T
(см.
рис. 5а) можно сформировать как сумму сигналов, изображенных на
рис. 5б и 5в. Графики можно рассматривать как весовые функции, т.е.
весовая функция импульса длительностью
0
T
может быть
определена выражением
)(1)(1)(
0
Ttttw
ф
. (2.8.1)
Нас будет интересовать передаточная функция формирователя.
Известно, что
0
)()( dtetwpW
pt
фф
. (2.8.2)
Подстановка (1) в (2) даёт
p
e
e
pp
pW
pT
pT
ф
0
0
111
)(
. (2.8.3)
W
ф
(p)
u[nT
0
]
ЦАП
u(t)
T
0
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
66
Рисунок 2.8.5 – Последовательное формирование импульса длительностью T
0
В результате структурную схему, соответствующую
функциональной схеме на рис. 2, можно представить в виде рис. 6.
Для удобства все непрерывные передаточные функции объединяют в
одну передаточную функцию
)( pW
, где
Рисунок 2.8.6 – Структурная схема САУ с экстраполятором нулевого порядка
t
1
0
u
T
0
а)
t
1
0
u
1
б)
T
0
t
-1
0
u
2
в)
g(t)
у(t)
T
0
T
0
АЦП СРП
ЦАП
ОУ
x(t)
u[nT
0
]
u(t)
W
(p)
W
ф
(p)
D(z) W
0
(p)
–
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
67
p
pW
epWpWpW
pT
ф
)(
)1()()()(
0
0
0
. (2.8.4)
Найдём дискретную передаточную функцию для
)( pW
, при
этом будем иметь в виду, что передаточная функция
0
pT
e
соответствует сдвигу вправо на величину
0
T
, т.е.
1
}{
0
zeZ
pT
.
Тогда
}.
)(
{
1
}
)(
{}
)(
{
}
)(
{}
)(
{)}({)(
00
1
0
00
0
p
pW
Z
z
z
p
pW
Zz
p
pW
Z
p
pWe
Z
p
pW
ZpWZzW
pT
Окончательно будем иметь
}.
)(
{
1
)(
0
p
pW
Z
z
z
zW
(2.8.5)
В качестве примера найдем дискретную передаточную функцию
двигателя постоянного тока, управляемого по положению с
экстраполятором нулевого порядка, по его непрерывной передаточной
функции
)1(
)(
0
Tpp
k
pW
.
Решение.
)}.
1
1
({
1
}
)1(
{
1
)(
2
..
2
T
p
T
p
p
T
kZ
z
z
Tpp
k
Z
z
z
zW
метод
коэфнеопр
Для каждого слагаемого в правой части по таблицам можно
найти соответствующие дискретные передаточные функции. В
результате получим
,),
)1(
1
(
1
)(
0
2
0
T
T
ed
dz
Tz
z
zT
z
Tz
k
z
z
zW
где, как и ранее,
0
T
– такт счета.
В результате с гибридной (непрерывно-цифровой) структурной
схемой рисунка 6 можно сопоставить дискретную структурную схему,
представленную на рис. 7.
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
68
Рисунок 2.8.7 – Укрупненная дискретная структурная схема САУ с экстраполятором
нулевого порядка
На рис. 7 z-преобразованные сигналы определены выражениями
.][{)(]},[{)(
]},[{)(]},[{)(
00
00
nTyZzYnTuZzU
nTxZzXnTgZzG
2.9 Передаточные функции замкнутых цифровых САУ
Передаточная функция разомкнутой цепи
)(
)(
)()()(
zX
zY
zWzDzW
. (2.9.1)
Условием замыкания системы будет уравнение
)()()( zYzGzX
. (2.9.2)
Решая совместно уравнения (1) и (2), найдём
,)(
)(1
)(
)( zG
zW
zW
zY
(2.9.3)
.)(
)(1
1
)( zG
zW
zX
(2.9.4)
Из (3) и (4) можно записать
,
)(
)(
)(1
)(
)(
zG
zY
zW
zW
zФ
(2.9.5)
)(
)(
)(1
1
)(
zG
zX
zW
zФ
x
, (2.9.6)
где
)(zФ
– передаточная функция замкнутой САУ (главный
оператор),
)(zФ
x
– передаточная функция замкнутой САУ по ошибке.
2.10 Передаточные функции СРП (регулятора). Формула Тастина
W
(z)
G(z) Y(z)
T
0
X(z)
U(z)
D(z)
–
T
0
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
69
Передаточная функция определяется выражением
)(
)(
...
...
)(
1
1
0
0
1
1
0
0
zX
zU
zbzbzb
zazaza
kzD
l
l
m
m
. (2.10.1)
Передаточная функция
)(zD
описывает алгоритм переработки
входной последовательности чисел
][
0
nTx
в выходную
последовательность
][
0
nTu
. В соответствии с (1) закон (алгоритм)
управления имеет вид
.][...]1[][
][...]2[]1[
1
][
10
0
21
0
mnxanxanxa
b
k
lnubnubnub
b
nu
m
l
В качестве примера рассмотрим типовые регуляторы: ПИ-, ПД-, ПИД-
регуляторы, которые в непрерывном времени в общем виде выглядят
так:
t
xkxdtkxku
0
321
. (2.10.2)
Операции дифференцирования
dt
dx
u
d
в непрерывном
времени соответствует разность
.
1
][)1(
][]1[][
][
0
1
00
zT
z
nxz
T
nx
T
nxnx
nu
d
Тогда передаточная функция дискретного дифференциатора –
.
1
][
][
)(
0
zT
z
nx
nu
zW
d
d
(2.10.3)
Операции интегрирования
t
i
dxtu
0
)()(
сопоставляется суммирование. По формуле трапеций получим
соответствующее разностное уравнение
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
70
n
i
i
ixixTnu
1
0
])1[][(
2
1
][
. (2.10.4)
Для предыдущего значения
.])2[]1[(
2
1
]1[
1
1
0
n
i
i
ixixTnu
(2.10.5)
Вычитая из (4) (5), получим
]).1[][(
2
1
]1[][
0
nxnxTnunu
ii
(2.10.6)
В отличие от (4) выражение (6) является рекуррентным.
(Рекуррентность – свойство последовательности, заключающееся в
том, что любой ее член может быть вычислен по значениям
предыдущего или нескольких предыдущих членов). Выражение (6), в
отличие от (4), требует запоминания только двух последних значений
входной переменной. В операторном виде выражение (6) будет
выглядеть так:
][)1(
2
)1]([
1
0
1
nxz
T
znu
i
. (2.10.7)
Дискретная передаточная функция интегратора в соответствии с
(7) выглядит следующим образом:
1
1
0
1
1
2][
][
)(
z
zT
nx
nu
zW
i
i
. (2.10.8)
Формула (8) называется формулой Тастина.
Дискретный позиционный сигнал с передаточной функцией
определяются выражениями
1
][
][
)(],[][
nx
nu
zWnxnu
p
pp
. (2.10.9)
Помимо дискретной передаточной функции дифференциатора
(3), полученной с применением конечных разностей, из формулы
Тастина (8) можно получить более точную формулу дифференциатора
.
1
12
)()(
1
1
0
1
z
z
T
zWzW
id
(2.10.10)
ПИД-регулятор в непрерывном времени с его передаточной
функцией описываются выражениями
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
71
pk
p
kkpWxkxdtkxky
t
3213
0
21
1
)(,
. (2.10.11)
ПИД-регулятор в дискретном времени имеет передаточную
функцию, записанную с помощью выражений (8)-(10), в виде
][
][
1
12
1
1
2
)(
1
1
0
3
1
1
0
21
nx
nu
z
z
T
k
z
zT
kkzW
. (2.10.12)
Дискретное уравнение ПИД-регулятора можно получить из
второго равенства в (12), а именно
][][][][
321
nuknuknuknu
dip
. (2.10.13)
2.11 Частотные характеристики цифровых систем
С частотными характеристиками цифровых систем
сталкиваются при рассмотрении установившейся реакции дискретной
цепи на входной сигнал в виде гармонической решетчатой функции, а
также при исследовании устойчивости цифровых систем. Рассмотрим
гармоническую решетчатую функцию вида
)sin(][
10101
nTXnTx
. (2.11.1)
На рис. 1 представлен график функции (1), где приняты следующие
обозначения:
T
– период гармонической функции;
0
T
– такт счёта.
Соответствующие частоты квантования
0
и гармонической
функции
определяются выражениями
TT
2
,
2
0
0
. (2.11.2)
В непрерывных системах для исследования их частотных
свойств теоретически рассматривают диапазон частот от нуля до
бесконечности, а на практике – в рабочей полосе частот, которая всё
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
72