Потапенко Е.М., Казурова А.Е. Основы теории автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
Рисунок 2.11.1 – Гармоническая решетчатая функция
равно является широкой. Определим, в каком диапазоне частот надо
исследовать частотные характеристики цифровых систем. Для этого в
функции (1) дадим приращение частоты величиной
0
k
, где
k
–
целое число.
).sin(]
2
)sin[(
])sin[(
])sin[(][
1010
0
101
)2(
00101
100102
nTXnT
T
knTX
nTknTX
nTkXnTx
(2.11.3)
Примечание: цифра над равенством указывает на то, что
преобразование осуществлено с использованием формулы (2).
Сравнивая выражения (1) и (3), приходим к выводу, что при
,...2,1k
функции
1
x
и
2
x
совпадают. Отсюда можно
заключить, что для исследования частотных свойств цифровых систем
достаточно рассмотреть диапазон частот от нуля до
0
.
В непрерывных системах для получения частотных
характеристик надо в передаточную функцию сделать подстановку
jp
. В цифровых системах для получения частотных
характеристик надо в передаточную функцию сделать подстановку
00
sincos
0
TjTez
Tj
. (2.11.4)
В результате получим
x[nT
0
]
T
0
T
nT
0
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
73
)(*)(*)(*)(
)(*
0
jVUeAeW
j
Tj
, (2.11.5)
где
)(*);(*
A
– АЧХ и ФЧХ цифровой системы;
)(*);(*
VU
– действительная и мнимая части АФЧХ.
На основании (3), (5) можно заключить, что все частотные
характеристики достаточно рассмотреть в диапазоне частот от нуля до
0
. Построение АФЧХ, АЧХ и ФЧХ производится в функции
частоты
. Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ производится, как правило, в
функции псевдочастот
и
, т.к. при этом сохраняются
асимптотические свойства ЛАЧХ. Для перехода к псевдочастотам
применяется
w
-преобразование по зависимостям
1
1
1
1
z
z
w
w
w
z
. (2.11.6)
(См. аппроксимацию Тастина (2.10.10)). Переходя к частотной
функции заменой (4), получим
j
T
jtg
e
e
w
Tj
Tj
:
2
1
1
0
0
0
, (2.11.7)
где
2
0
T
tg
– относительная псевдочастота.
Для получения абсолютной псевдочастоты используют
зависимость
2
22
0
00
T
tg
TT
. (2.11.8)
При достаточно малом
)(
0
tgT
можно записать
2
2
0
0
T
T
, (2.11.9)
т.е. при достаточно малом
0
T
абсолютная псевдочастота совпадает с
несущей частотой
(с частотой гармонического сигнала), т.е. при
достаточно малом
0
T
частотные характеристики цифровых и
непрерывных систем близки.
2.12 Теорема Котельникова
Эта теорема даёт условия, при выполнении которых цифровую
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
74
систему можно рассматривать как непрерывную. Структурную схему
цифровой САУ можно укрупненно представить в виде рис. 1.
Рисунок 2.12.1 – Укрупненная структурная схема САУ с экстраполятором
На рис. 1 сигнал
)(tu
как выходной сигнал ЦАП с
экстраполятором нулевого порядка представляет собой ступенчатый
сигнал
x
(рис. 2), который можно разложить на две составляющие:
непрерывный сигнал
1
x
(рис. 2) и периодический сигнал
2
x
с
частотой квантования
0
, составленный из отрезков прямых (рис. 2).
Звено
)(
0
pW
служит фильтром низких частот для сигнала
)(tu
.
Если звено
)(
0
pW
будет пропускать только непрерывный сигнал, то
САУ можно рассматривать как непрерывную систему и использовать
для ее разработки методы непрерывных систем. О фильтрующих
свойствах звена можно судить по АЧХ (рис. 3).
Теорема. Если АЧХ объекта управления можно ограничить
частотой
*
и считать, что правее этой частоты АЧХ = 0, то
систему можно рассматривать как непрерывную при частоте
квантования
*2
0
.
g(t)
у(t)
T
0
T
0
АЦП СРП
ЦАП
ОУ
x(t)
u[nT
0
]
u(t)
W
(p)
W
ф
(p)
D(z) W
0
(p)
–
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
75
Рисунок 2.12.2 – Разложение ступенчатого сигнала x на составляющие x
1
, x
2
Рисунок 2.12.3 – АЧХ объекта управления
2.13 Устойчивость движения цифровых САУ
Как и для непрерывных САУ (см. подраздел 1.9), необходимым
и достаточным условием асимптотической устойчивости цифровых
систем является затухание собственных движений, т.е.
0][
limlim
nn
nynyny
вc
, (2.13.1)
где
вc
yy ,
– собственная и вынужденная составляющие движения.
Характер переходных процессов определяется корнями
характеристического уравнения исследуемой системы. Пусть
характеристическое уравнение имеет порядок
m
и
m
zzz ...,,,
21
–
простые корни характеристического уравнения. Теория разностных
уравнений дает следующее решение разностного уравнения:
n
mm
nn
c
zCzCzCny ...
2211
. (2.13.2)
Корни характеристического уравнения можно представить в
виде
ii
jn
n
i
n
i
j
ii
ezzezz
,
. (2.13.3)
x
2
x
t
x
x
1
0
A
(
)
* 2
*
0
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
76
Модуль функции
1
i
j
e
.
Теорема. Для того чтобы цифровая система была
асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы
модули всех корней ее характеристического уравнения были меньше
единицы.
Для того чтобы цифровая САУ была неустойчива,
достаточно, чтобы модуль хотя бы одного корня был больше
единицы.
Для того чтобы цифровая САУ была на границе
устойчивости, необходимо и достаточно, чтобы у части корней
модули равнялись единице, причем среди них не должно быть
кратных, а модули остальных корней должны быть меньше единицы.
Этой теореме можно дать геометрическую интерпретацию с
помощью рис. 1 и дать другую формулировку.
Рисунок 2.13.1 – Области расположения корней на плоскости z
Теорема. Для того чтобы цифровая система была
асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все
корни ее характеристического уравнения находились внутри
окружности единичного радиуса.
Для того чтобы цифровая система была неустойчива,
достаточно, чтобы хотя бы один корень характеристического
уравнения находился вне окружности единичного радиуса.
Re z
1
1
-1
А
В
С
0
-1
Im z
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
77
Для того чтобы цифровая система была на границе
устойчивости, необходимо и достаточно, чтобы часть корней
характеристического уравнения находилась на окружности
единичного радиуса, причем среди них не должно быть совпадающих,
остальные должны находиться внутри окружности.
Для исследования устойчивости цифровых систем очень удобно
использовать
w
-преобразование. Вводится новая переменная по
зависимостям
1
1
,
1
1
z
z
w
w
w
z
. (2.13.4)
w
-преобразование переводит внутренность окружности единичного
радиуса (А) (см. рис. 1) в левую полуплоскость комплексной
переменной
w
(см. рис. 2). Саму окружность (С) переводит в ось
wIm
, а внешнюю область по отношению к окружности (В) – в
правую полуплоскость. В результате этого для исследования
устойчивости цифровой системы можно использовать все критерии
устойчивости, разработанные для линейных непрерывных систем.
Рисунок 2.13.2 – Области расположения корней на плоскости w
Пример. Исследовать на устойчивость систему с
характеристическим уравнением
0
2
BAzz
. (2.13.5)
Сделаем
w
-преобразование, получим
0
1
1
1
1
2
B
w
w
A
w
w
.
А
Im w
Re w
В
С
BА
0
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
78
Приведем это уравнение к общему знаменателю
0)1()1()1(
222
wBwAw
или
0
2
www
CwBwA
, (2.13.6)
где
BACBBBAA
www
1);1(2;1
. (2.13.7)
Для асимптотической устойчивости системы с
характеристическим уравнением (6) необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись условия
0;0;0
www
CBA
. (2.13.8)
Построим область устойчивости в плоскости параметров А, В,
используя соотношения (7), (8) (см. рис. 3). Цифровая система с
характеристическим уравнением (6) будет иметь в качестве области
устойчивости внутренность треугольника.
Рисунок 2.13.3 – Область устойчивости на плоскости параметров АВ
Для исследования цифровой системы частотными методами
надо ее передаточные функции записать с помощью оператора сдвига
z
. Затем воспользоваться
w
-преобразованием (4). В результате
получим передаточную функцию цифровой системы, выраженную
через оператор
w
, а для данных передаточных функций можно
использовать частотные критерии устойчивости, разработанные для
непрерывных систем.
2.14 Порядок синтеза цифровых систем управления
B
A
1
1
-1
-1
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
79
Первый способ. (Иващенко Н.Н. Автоматическое
регулирование, 1978, с. 669-670). Рассматривается система с
неизвестной передаточной функцией
)(zD
, представленная на рис.
1, с обозначениями, совпадающими с обозначениями рис. 2.8.2 и 2.8.6.
Рисунок 2.14.1 – Структурная схема САУ с ЦВМ
Задача: найти закон управления
0
nTu
в зависимости от
0
nTx
.
Порядок синтеза.
1. Дискретная передаточная функция непрерывной части
системы определяется по зависимости
p
pW
Z
z
z
zW
)(1
)(
0
.
2. Находится дискретная передаточная функция разомкнутой
системы
)()()( zWzDzW
.
3. С помощью
w
-преобразования (2.13.4) находим
)()()( wWwDwW
,
где
)(wD
– неизвестная передаточная функция.
4. С помощью методов, разработанных для непрерывных
систем, синтезируется
)(wD
.
5. С помощью обратного
w
-преобразования (2.13.4) находится
дискретная передаточная функция
)(zD
)(
)(
)(
zX
zU
zD
,
0
)( nTuZzU
,
0
)( nTxZzX
.
g(t)
у(t)
T
0
T
0
?
x(t)
u[nT
0
]
u(t)
W
(p)
W
ф
(p)
D(z) W
0
(p)
–
x[nT
0
]
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
80
6. По функции
)(zD
находится закон управления
)()(
1
0
zXzDZnTu
.
В результате найден дискретный закон управления.
Второй способ (см. курсовую работу).
Сначала рассматривается непрерывная система управления с
неизвестной передаточной функцией
к
W
.
Рисунок 2.14.2 – Структурная схема эквивалентной непрерывной САУ с ЦВМ
С помощью известных методов, разработанных для
непрерывных систем, синтезируется передаточная функция
к
W
,
затем к
к
W
применяется формула Тастина (2.10.8)
1
1
0
1
1
2
1
z
zT
p
,
откуда аналогично (2.10.10) получаем
1
1
0
1
12
z
z
T
p
. (2.14.1)
В найденную передаточную функцию
)( pW
к
делаем
подстановку (1). Получаем дискретную передаточную функцию
корректирующего звена, а по этой передаточной функции находится
дискретный закон управления.
W
0
(p)
g(t)
y(t)
W
к
(p)
x(t) u(t)
?
–
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
81
3 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
По математическому описанию САУ делятся на линейные и
нелинейные. Нелинейной САУ называется САУ, содержащая хотя бы
одно нелинейное звено, т.е. звено, описываемое нелинейными
уравнениями. Математический аппарат исследования нелинейных
САУ более сложен и менее универсален по сравнению с
математическим аппаратом линейных САУ. Поэтому естественно
желание разработчиков САУ заменить исследование нелинейных
САУ исследованием близких им по динамике линейных САУ. В
подразделе 1.1 был рассмотрен приём линеаризации гладких
нелинейностей, основанный на разложении в ряд Тейлора.
В этом разделе будут рассматриваться нелинейные САУ,
которые не могут быть линеаризованы с помощью разложения
нелинейности в ряды Тейлора.
3.1 Основные нелинейные звенья
Наиболее часто встречаются следующие нелинейные звенья
(правее статических характеристик даны синусоидальный входной
сигнал
x
и выходной сигнал
y
):
Рисунок 3.1.1 – Звено с насыщением
x
у
t
x,y
x
y
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
82