Потапенко Е.М., Казурова А.Е. Основы теории автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
Система абсолютно устойчива, если при устойчивости
линейной части через точку с координатами
0,
1
j
k
можно
провести хотя бы одну прямую так, чтобы вся характеристика
)(*
jW
л
при изменении частоты от нуля до бесконечности
находилась от неё справа.
Рисунок 3.7.3 – Частотная характеристика Попова
Данная прямая называется линией Попова. При обозначении
осей на рис. 3 использовано разложение
)(
)(*)(*)(*
V
VjUjW
.
На рисунке 3 представлен случай, когда замкнутая система абсолютно
устойчива. На рисунке 4 представлен случай, когда критерий Попова
не выполняется, но т.к. этот критерий является достаточным, то его
невыполнение ещё не говорит о том, что система не является
абсолютно устойчивой.
Рассмотрим теперь случай, когда линейная часть системы сама
по себе неустойчива. Для применения критерия в данном случае надо
ввести фиктивные цепи. (На рис. 5 показаны пунктиром).
V*(
)
U*(
)
–1/k
t
0
t
0
103
Рисунок 3.7.4 – Частотная характеристика Попова. Случай невыполнения критерия
Попова
Рисунок 3.7.5 – Исходная и эквивалентная структурные схемы нелинейной системы
На рис. 5
ф
k
– фиктивное безынерционное звено. С учётом
того, что
yygx
, на компараторе 3 сигналы, проходящие по
фиктивным цепям, взаимно уничтожаются.
Вводятся в рассмотрение фиктивные звенья
xkxx
фф
)()(
,
.
)(1
)(
)(
pWk
pW
pW
лф
л
лф
(3.7.3)
С учётом (3) схему, изображённую на рис. 5, можно укрупненно
представить в виде схемы, изображённой на рис. 6.
Задача сводится к выбору
ф
k
таким, чтобы звено
)( pW
лф
было устойчивым. В этом случае критерий формулируется так:
V*(
)
U*(
)
–1/k
─
──
2
1
3
g=0
(x)
x
u
y
W
л
(p)
k
ф
k
ф
ф
(x)
W
лф
(p)
u
t
0
t
0
104
Рисунок 3.7.6 – Приведённая линейная структурная схема
Система абсолютно устойчива, если через точку с
координатами
0;
)(
1
j
kk
ф
можно провести прямую линию,
проходящую слева от характеристики
)(*
jW
лф
. При этом
характеристика
)(x
должна лежать между прямыми,
проходящими через начало координат с коэффициентами крутизны
k
и
ф
k
(рис. 7).
Рисунок 3.7.7 – Область расположения статической характеристики нелинейного
звена
3.8 Гармоническая линеаризация
Метод гармонической линеаризации (метод гармбаланса) – это
метод исследования предельных циклов. Он позволяет определить
условия существования и параметры возможных в нелинейных
g=0
ф
(x)
x u y
W
лф
(p)
─
(x)
x
k
k
ф
t
0
t
0
105
системах автоколебаний. Предельные циклы в фазовом пространстве
системы разделяют его на области затухающих и расходящихся
процессов. Между этими областями существуют предельные циклы.
Поэтому знание параметров предельных циклов и их устойчивости
или неустойчивости позволяет представить картину всех возможных
процессов в системе и тем самым сделать заключение об
устойчивости системы.
Идея гармонической линеаризации
Рассматривается система
Рисунок 3.8.1 – Структурная схема нелинейной системы
На рис. 1
)(x
– статическая характеристика нелинейной
части системы,
)( pW
л
– передаточная функция линейной части
системы.
В режиме предельных циклов все переменные
),,( uyx
являются периодическими функциями времени с постоянными
амплитудами и частотами.
Предположим, что
tXx
nn
sin
. (3.8.1)
Данный метод базируется на предположении, что на входе
нелинейного звена в режиме предельного цикла имеет место
синусоидальный сигнал с амплитудой
n
X
и частотой
n
. При
прохождении через нелинейное звено (рис. 2а) синусоидальный
сигнал деформируется. На рисунке 2б прямоугольная синусоида 1 –
выходной сигнал. Этот сигнал можно разложить в ряд Фурье. На
рисунке 2б синусоиды 2 и 3 соответствуют первым двум гармоникам
разложения в ряд Фурье.
g=0
(x)
x u
y
W
л
(p)
–
t
0
t
0
106
Рисунок 3.8.2 – Прохождение синусоидального сигнала через нелинейное звено
Поэтому, чтобы исходная предпосылка (1) выполнялась,
линейное звено должно выполнять роль фильтра низких частот, т.е.
фильтровать все гармоники за исключением самой низкочастотной
гармоники (гармоники основной частоты). В этом случае говорят, что
условие фильтра выполняется. Фильтрующие свойства звена
определяются его АЧХ. На рис. 3 показан случай выполнения условия
фильтра.
Рисунок 3.8.3 – АЧХ линейной части системы
Для определения, является ли линейная часть системы
фильтром низких частот, нужно знать частоты гармоник сигнала
u
,
разложенного в ряд Фурье. Но это в начале исследования не известно.
Поэтому предполагается, что линейная часть системы является
фильтром низких частот, т.е. выполняется условие фильтра.
x
(x)=u
а)
t
u
2
1
3
б)
n
2
п
A
л
(
)
t
0
t
0
107
Итак, предполагаем, что условие фильтра выполняется. Сигнал
на выходе нелинейного звена предполагается разложенным в ряд
Фурье
...cossin
210
tAtAuu
nn
, (3.8.2)
где
210
,, AAu
– коэффициенты разложения в ряд Фурье.
В выражении (2) отбросим высшие гармоники. Из выражения
(1) можем записать
tXpxx
nnn
cos
, (3.8.3)
из выражений (1) и (3) найдём
пn
n
n
n
X
px
t
X
x
t
cos;sin
, (3.8.4)
подставим (4) в (2). Получим
px
k
kxuu
n
0
, (3.8.5)
где
nn
X
A
k
X
A
k
21
;
. (3.8.6)
Выражение (5) можно представить в виде
xpWuu
нл
)(
0
,
n
нл
k
kрW
)(
. (3.8.7)
Выражение (7) связывает сигнал
x
с сигналом
u
точно так же, как и
функция
)(x
. Но выражение (7) является линейным, то есть
выражение (7) является линейной аппроксимацией функции
)(x
.
Поэтому вместо рисунка 1 можно рассматривать схему,
изображённую на рис. 4.
Рисунок 3.8.4 – Эквивалентная линейная структурная схема
Схема на рисунке 4 является полностью линейной. Таким
g=0
W
нл
(p)
u
0
y
W
л
(p)
─
ux
t
0
t
0
108
образом, осуществляется гармоническая линеаризация.
Коэффициенты
k
и
k
называются коэффициентами гармонической
линеаризации. Эти коэффициенты определяются нелинейностью
)(x
и значениями коэффициентов
21
, AA
разложения в ряд
Фурье, которые, в свою очередь, зависят от амплитуды
n
X
.
Методика исследования предельных циклов с помощью
метода гармбаланса
1. Предполагается, что условие фильтра выполняется.
2. Осуществляется гармоническая линеаризация, в результате
которой нелинейная система заменяется линейной системой.
3. Предельным циклам в нелинейной системе соответствует
граница устойчивости в эквивалентной линейной системе.
4. С помощью любого критерия устойчивости для линейных
систем находятся значения её параметров, при которых система
находится на границе устойчивости.
5. С помощью этих параметров находятся коэффициенты
гармонической линеаризации, амплитуда и частота предельных
циклов.
6. Зная амплитуду и частоту предельных циклов, с помощью
АЧХ линейной части системы проверяется выполнение условия
фильтра.
7. При выполнении условия фильтра предельные циклы
исследуются на устойчивость.
8. Зная характер устойчивости предельных циклов, можно
определить направление развития фазовых траекторий. К устойчивым
предельным циклам фазовые траектории притягиваются. В этом
случае возникнут автоколебания. Неустойчивые предельные циклы
фазовые траектории могут пересекать.
t
0
t
0
109
4 ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ
УПРАВЛЕНИЯ
То, что изучалось выше, входит в классическую теорию
управления, которая обычно излагается на языке передаточных
функций с использованием частотных свойств САУ.
Современная теория управления базируется на описании
системы управления в пространстве состояний, т.е. система уравнений
приводится к форме Коши, вводится вектор состояния, составленный
из координат, характеризующих состояние системы управления, и в
соответствии с вектором состояния составляются матрицы
коэффициентов системы управления. В этом случае можно применить
хорошо разработанные методы решения и исследования систем
дифференциальных уравнений.
4.1 Модальное управление
См. раздел «Корневые критерии устойчивости».
Решение дифференциальных уравнений или системы
дифференциальных уравнений можно представить в виде
tp
n
tptp
n
ecececy ...
21
21
, (4.1.1)
где
n
ppp ,...,,
21
– простые корни характеристического уравнения,
n
ссс ,...,,
21
– постоянные интегрирования. Каждое слагаемое в
выражении (1) называется модой. Поведение всей системы зависит от
поведения каждой моды. Поэтому, задавая значения корней
характеристического уравнения в каждой моде, можно сформировать
любой переходный процесс. Заданию корней соответствует их
размещение на комплексной плоскости. Помещение всех корней
замкнутой САУ в любое наперёд заданное положение составляет
предмет модального управления.
Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка
)(1...
1
)1(
1
)(
0
tayayayaya
nnn
nn
, (4.1.2)
где
)(1 t
– единичная ступенчатая функция,
),1( nia
i
–
постоянные коэффициенты.
Характеристическое уравнение имеет вид
t
0
t
0
130
0...)(
1
1
10
nn
nn
apapapapD
. (4.1.3)
Уравнение (3) можно представить в виде
0)())(()(
210
n
ppppppapD
, (4.1.4)
где
n
ppp ,...,,
21
– корни характеристического уравнения.
Было изучено большое количество распределений корней
характеристического уравнения и сформированы так называемые
стандартные характеристические уравнения, которые обеспечивают
тот или иной заданный переходный процесс.
Наиболее простым распределением является биномиальное
распределение корней. При этом распределении
n
pppp ...
321
.
В этом случае характеристическое уравнение в соответствии с
(4) принимает вид
0)()(
10
n
ppapD
, (4.1.5)
а корни могут быть только действительными и равными. Обычно
полагают
01
p
, (4.1.6)
где
0
– характерная частота, определяющая быстродействие
системы.
Характеристические полиномы различных порядков при
биномиальном распределении корней и при
1
0
a
, полученные по
выражениям (5) и (6), приведены в (7)
.464
,33
,2
,
4
0
3
0
2
0
3
0
4
2
0
2
0
2
0
3
2
00
2
0
pppp
ppp
pp
p
(4.1.7)
Для этого случая переходные процессы при различных порядках
системы представлены на рис. 1, где цифры 1, 2, 3,… указывают на
порядок системы. Все процессы построены для одного и того же
значения
0
. Биномиальное распределение корней даёт
апериодический процесс (без перерегулирования). Такой процесс
необходим, например, при автоматизированной сборке.
Другим распространённым распределением корней является
t
0
t
0
131
распределение корней по Баттерворту. При этом стандартные
характеристические полиномы имеют следующий вид:
.6,24,36,2
,22
,4,1
,
4
0
3
0
2
2
0
3
0
4
3
0
2
0
2
0
3
2
00
2
0
pppp
ppp
pp
p
(4.1.8)
При распределении корней по Баттерворту реакции на
единичное ступенчатое воздействие представлены на рис. 2.
Рисунок 4.1.1 – Типовые переходные
процессы при биномиальном
распределении корней
Рисунок 4.1.2 – Типовые переходные
процессы при распределении корней по
Баттерворту
При этом распределении корни расположены на
полуокружности радиуса
0
, деля ее на равные отрезки (рис. 3-5).
При синтезе системы управления следует пользоваться рис. 1, 2
следующим образом.
Предположим, что система четвертого порядка и переходный
процесс должен закончиться через время
п
t
. Тогда в соответствии с
рис. 2 можно записать
x
1
2
3
4
5
6
7
8
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t
0
x
132