Потапенко Е.М., Казурова А.Е. Основы теории автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
из двух частей: объекта регулирования (управления) и регулятора.
Объектом управления называется объект, в котором
происходит процесс, подлежащий управлению (ЭД+Р+И), всё
остальное называется регулятором.
Как объект управления, так и вся САУ подвержены внешним
воздействиям.
Величины, выражающие внешние влияния на объект,
называются воздействиями на объект (
трн
ffU ,,
).
Воздействие, вырабатываемое управляющим устройством
(регулятором), называется управляющим воздействием (
U
).
Воздействие на объект, не зависящее от регулятора, называется
возмущением (
трн
ff ,
).
Возмущения подразделяются на нагрузку (
н
f
) и помехи (
тр
f
).
Переменные, подлежащие управлению (регулированию),
называются управляемыми (регулируемыми) переменными.
Функциональной схемой называется такое графическое
изображение САУ, в котором каждому звену соответствует вполне
определённый функциональный блок.
Помимо функциональной схемы, САУ графически
представляют в виде структурных схем.
Структурной схемой называется такое графическое
изображение САУ, в котором каждому звену соответствует вполне
определённая совокупность математических операций.
0.1 Классификация САУ
0.1.1 Классификация САУ по принципу действия
САУ подразделяются на
разомкнутые;
замкнутые;
комбинированные.
В разомкнутых САУ управляющее воздействие задаётся на
основании цели управления, характеристик объекта и известных
внешних воздействий, но без учёта истинного значения управляемой
переменной. Если на рис. 0.1 разорвать ОС, то получится разомкнутая
САУ. Она будет разомкнутой как при наличии, так и при отсутствии
пунктирной цепи. Поскольку в этих САУ осуществляется
t
x
y
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
11
компенсация известных внешних возмущений, то этот принцип
управления называется управлением по возмущению.
В замкнутых САУ управляющее воздействие формируется в
непосредственной зависимости от управляемой переменной. Этот
принцип управления называется управлением по отклонению (
x
).
Если на рис. 0.1 разорвать пунктирную связь, то получится система с
управлением по отклонению.
Если одновременно используются оба принципа управления (по
возмущению и отклонению), то такая система называется системой
комбинированного принципа действия (комбинированной системой).
Комбинированной является вся система на рисунке 0.1.
0.1.2 Классификация САУ по характеру изменения
выходной переменной
САУ подразделяются на
системы стабилизации;
системы программного регулирования;
следящие системы.
Системой стабилизации называют такую САУ, которая
поддерживает постоянное значение управляемой переменной (
constu
n
).
Системой программного регулирования называется такая
САУ, которая изменяет выходную переменную по заранее заданному
закону
n
u
.
Следящими называются такие САУ, которые воспроизводят
изменение управляемой переменной в соответствии с изменением
задающего воздействия с неизвестным законом изменения.
0.1.3 Классификация САУ по математическому описанию
САУ состоит из ряда звеньев. У каждого звена может быть одно
или несколько входных воздействий (входные переменные) и одна
или несколько выходных переменных. Каждое звено описывается
алгебраическими и (или) дифференциальными, и (или) разностными
уравнениями. Если подать на звено входной сигнал, то в выходном
сигнале возникает переходный процесс. Если звено устойчивое, то
при постоянном входном сигнале через некоторое время
устанавливается постоянный выходной сигнал. Зависимость
t
x
y
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
12
выходного сигнала от входного в установившемся режиме называется
статической характеристикой данного звена.
Основными признаками классификации являются:
1) непрерывность или дискретность динамических процессов
во времени;
2) линейность или нелинейность уравнений, описывающих
динамику процессов в звеньях.
Системой непрерывного действия называется такая САУ, в
каждом звене которой при непрерывном входном воздействии
выходная переменная также является непрерывной.
Ниже приведены статические характеристики непрерывных
звеньев.
Рисунок 0.1.3.1 – Примеры статических характеристик непрерывных звеньев. х, у –
входной и выходной сигналы
Цифровой называется такая САУ, в которой имеется хотя бы
одно звено, у которого при непрерывном входном сигнале выходной
сигнал имеет вид последовательности импульсов. Такое звено
называется импульсным. (Рис. 2).
Линейной называется САУ, в которой в каждом звене
выходные сигналы линейно связаны с входными сигналами.
y
x
y
x
y
x
y
x
t
x
y
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
13
Рисунок 0.1.3.2 – Импульсное звено. х, у – входной и выходной сигналы
Нелинейной называется САУ, в которой имеется хотя бы
одно звено с нелинейной зависимостью между входным и выходным
сигналами.
Особым подклассом нелинейных систем являются релейные
системы.
Релейной называется такая САУ, в которой хотя бы в одном
звене при непрерывном изменении входной переменной выходная
переменная в некоторых точках процесса, зависящих от значения
входной переменной, изменяется скачком.
Рисунок 0.1.3.3 – Примеры статических характеристик релейных звеньев. х, у –
входной и выходной сигналы
y
x
t
t
x
y
x
y
x
y
x
y
t
x
y
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
14
у
х
1 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
1.1 Линеаризация нелинейных уравнений
На практике все системы управления нелинейные, однако в
некоторых случаях нелинейности настолько малы, что их эффект
незначителен, или при больших нелинейностях система работает на
линейных участках.
Процесс замены нелинейных
уравнений близкими к ним по
динамическим свойствам линейными
уравнениями называется линеаризацией.
Существует несколько приёмов
линеаризации. В данном подразделе
рассматривается линеаризация, в основе
которой лежит разложение
нелинейностей в ряд Тейлора. Ниже
дается упрощенная процедура линеаризации.
Пусть дана функция
yxz
. (1.1.1)
Предполагается, что система работает в режиме стабилизации, т.е.
000
,, yyxxzz
. (1.1.2)
В установившемся режиме
000
yxz
. (1.1.3)
В действительности имеют место отклонения от точки (2), т.е.
yyyxxxzzz
000
,,
. (1.1.4)
Предполагается что
yxz ,,
на порядок меньше
000
,, yxz
.
Подставим (4) в (1). Тогда
yxyxyxyxyyxxzz
0000000
))((
. (1.1.5)
Последним слагаемым в (5) вследствие малости можно пренебречь.
Вычтем из (5) (3). Получим
00
yxyxz
. (1.1.6)
Уравнение (6) линейно относительно новых переменных
yxz ,,
.
Геометрический смысл линеаризации представлен на рис 1.
Линеаризация путём разложения в ряд Тейлора представляет
t
x
y
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
15
собой перенос начала координат из т. О в т. О
1
и переход от
переменных
yx,
к новым переменным
yx ,
. В этом случае
нелинейная функция АВ заменяется на касательную, проведенную в
точке О
1
.
Рисунок 1.1.1 – Геометрический смысл линеаризации
1.2 Две формы записи линейных дифференциальных
уравнений
Пусть дано уравнение
fcxbxbyayaya
10210
, (1.2.1)
y
dt
d
y
,
)( y
dt
d
dt
d
y
.
Введём обозначение оператора дифференцирования
p
dt
d
:
.
Тогда
ypyypypyy
32
,,
. (1.2.2)
Найдем оператор интегрирования
xdty
или
xy
, или
xpy
, откуда
x
p
у
1
.
p
1
– оператор интегрирования.
Запишем уравнение (1) в операторном виде
fcxpbbyapapa )()(
1021
2
0
. (1.2.3)
x
O
1
y
b
a
x
0
A
y
y
0
B
О
x
t
x
y
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
16
Первая форма записи
В первой форме выходная переменная записывается в одной
части уравнения, а входные переменные в другой части уравнения,
причём коэффициент при самой выходной переменной (
y
) должен
быть равен единице. Введем обозначения
n
a
c
m
a
b
m
a
b
T
a
a
T
a
a
:;:;:;:;:
2
1
2
1
0
2
0
2
2
1
2
1
2
0
.
Тогда уравнения (1) и (3) перепишутся в виде
fnxmxmyyTyT
102
2
1
, (1.2.4)
fnxpmmypTpT
pD
)()1(
10
)(
2
22
1
. (1.2.5)
В первой форме записи коэффициенты
21
, TT
при любых
физических переменных
y
имеют размерность времени. Это
обеспечивает универсальность данной формы записи. Коэффициенты
nmm ,,
10
называют коэффициентами передачи. Если
коэффициенты
nmm ,,
10
безразмерные, то они называются
коэффициентами усиления. Коэффициенты
21
, TT
называются
постоянными времени. Коэффициент
1
T
, стоящий при старшей
производной, характеризует инерционность звена. Чем больше
1
T
,
тем инерционнее процессы.
Вторая форма записи
Решим уравнение (5) относительно выходной переменной
y
21
)()(
2121
yy
fpWxpWyyy
, (1.2.6)
где
;
)(
)(;
)(
)(
2
10
1
pD
n
pW
pD
pmm
pW
(1.2.7)
fpWyxpWy )(,)(
2211
, (1.2.8)
.)(;)(
2
2
1
1
f
y
pW
x
y
pW
(1.2.9)
t
x
y
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
17
21
, WW
– передаточные функции.
Передаточная функция равна отношению выходного сигнала к
входному. Если использовать преобразование Лапласа, то
передаточная функция равна отношению преобразованного по
Лапласу выходного сигнала к преобразованному по Лапласу входному
сигналу при нулевых начальных условиях. Передаточная функция
показывает, какие математические операции надо проделать с
входным сигналом, чтобы получить выходной сигнал. Уравнение (6)
представляет собой вторую форму записи дифференциального
уравнения (1), то есть запись через передаточные функции.
Вторая форма записи позволяет представить дифференциальное
уравнение и систему дифференциальных уравнений в графическом
виде. Для этого вводятся следующие графические обозначения:
Рисунок 1.2.1 – Сумматор
Рисунок 1.2.2 – Компаратор
Уравнение (6) в графическом виде будет выглядеть так:
Рисунок 1.2.3 – Структурная схема уравнения (1)
1.3 Классификация динамических звеньев
Под динамическим звеном понимают устройство любого
физического вида и конструктивного оформления, но описываемое
определённым дифференциальным уравнением. Под типовым
динамическим звеном понимают звено, которое описывается
дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Звенья
х
2
у=х
1
+х
2
+х
3
х
1
х
3
у=х
1
-х
2
х
1
─
х
2
W
1
(p)
W
2
(p)
y = y
1
+ y
2
x
f
y
1
y
2
t
x
y
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
18
подразделяются на позиционные, интегрирующие и
дифференцирующие.
Позиционными называют звенья, у которых передаточная
функция отвечает условию
0
0
)( constpW
p
,
то есть передаточная функция при
0p
равна константе, которая не
равна нулю и плюс/минус бесконечности.
Например:
1
)(
Tp
k
pW
.
Интегрирующим называется такое звено, у которого
0
)(
p
pW
.
Например:
)1(
)(
Tpp
k
pW
.
Дифференцирующим называется такое звено, у которого
0)(
0
p
pW
.
Например:
1
)(
Tp
kp
pW
.
Основные типовые звенья
1 Позиционные звенья.
1.1 Безынерционное звено (усилительное звено)
)(,)( constkk
x
y
pWkxy
.
1.2 Инерционное (апериодическое) звено первого порядка
kxyyT
x
y
Tp
k
pW
1
)(
.
1.3 Консервативное, колебательное, инерционное
(апериодическое) звенья второго порядка
xkyyTdyT
x
y
TpdpT
k
pW
2
12
)(
2
22
,
где
d
– параметр затухания,
t
x
y
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
19
T
– постоянная времени,
k
– коэффициент передачи.
При
0d
звено называется консервативным, при
10 d
–
колебательным, при
1d
– инерционным второго порядка.
1.4 Форсирующее звено
)()1()( xTxky
x
y
TpkpW
.
2 Интегрирующие звенья.
2.1 Идеальное интегрирующее звено
t
xdtkykxykxpy
x
y
p
k
pW
0
)(
.
2.2 Интегрирующее звено с замедлением
kxyyT
x
y
Tpp
k
pW
)1(
)(
.
2.3 Изодромное звено (ПИ-регулятор)
x
y
Tp
Tp
k
Tp
kpW
1
)
1
1()(
,
)()
1
(
0
xxTkyTxdt
T
xky
t
.
3 Дифференцирующие звенья.
3.1 Идеальное дифференцирующее звено
xky
x
y
kppW
)(
.
3.2 Реальное дифференцирующее звено (звено с замедлением)
xkyyT
x
y
Tp
kp
pW
1
)(
.
1.4 Динамические характеристики звеньев
Динамические характеристики подразделяются на временные и
частотные.
1.4.1 Временные динамические характеристики
t
x
y
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
20