Потапенко Е.М., Казурова А.Е. Основы теории автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
Система, которая при постоянных входных сигналах имеет
отличную от нуля ошибку, называется статической системой.
Показателем точности статической системы является её статизм
01
0
1
1
kk
. (1.9.1.8)
Пусть теперь
0
2
k
, найдём установившуюся ошибку,
устремив
p
к 0.
нpнppp
kpWkpWpW
00000
)(,)(,)(
. (1.9.1.9)
Подставим (9) в (3). Получим
0
уст
x
.
Система, которая при постоянных входных воздействиях
имеет нулевую постоянную ошибку, называется астатической
системой.
Пусть теперь входные воздействия линейно зависят от времени,
т.е.
.,
1010
tffftggg
ннн
(1.9.1.10)
Запишем (10) в операторном виде. Для этого представим время
t
в
операторном виде
p
tptt
dt
d 1
1
.
Тогда из (10) получим
p
ffpf
p
ggpg
ннн
1
)(,
1
)(
1010
. (1.9.1.11)
Подставим (11), (2), (4), (5) в (3) и положим, что
0
2
k
. Тогда
уст
x
, т.е. система оказывается неработоспособной.
Пусть теперь
0
2
k
. При очень маленьких
p
будем иметь
),
1
(
1
)
1
(
1
1
10
0
2
10
0
2
p
ff
k
p
k
k
p
gg
k
p
k
x
нн
н
откуда
.
1
lim
1
02
1
02
0
н
н
p
уст
f
kk
k
g
kk
xx
(1.9.1.12)
Добавление интеграла в закон управления делает систему
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
61
астатической 1-го порядка. Показателем точности астатической
системы 1-го порядка является добротность по скорости
021
kk
. (1.9.1.13)
Для обнуления ошибки (12) надо в закон управления (1)
добавить двойной интеграл. Получится астатическая система второго
порядка.
В астатической системе второго порядка показателем точности
является добротность по ускорению. Необходимо заметить, что
дифференциальная составляющая закона управления не влияет на
установившуюся ошибку. Поскольку в выражении (3)
p
W
присутствует только в произведении
op
WW
, то безразлично, за счёт
какого из этих сомножителей формируется астатизм системы.
О статизме и астатизме системы можно судить по передаточной
функции разомкнутой системы
)()()( pWpWpW
op
. (1.9.1.14)
Если в знаменателе передаточной функции можно выделить
множитель
p
, т.е. представить ее в виде
)(
)(
)(
pRp
pQ
pW
, (1.9.1.15)
где
)( pQ
и
)( pR
полиномы (многочлены) от
p
, то при
0
замкнутая система будет статической, при
)2(1
– астатической
первого (второго) порядка. В соответствии с (1.7.6) и (15)
передаточная функция замкнутой системы по ошибке имеет вид
)()(
)(
)(1
1
)(
pQpRp
pRp
pW
рФ
x
. (1.9.1.16)
Из (16) следует, что о статизме и астатизме системы можно
судить по числителю передаточной функции
)( pФ
x
.
1.9.2 Определение показателей качества переходных
процессов
Это прямой метод определения показателей качества.
Рассматривается система со структурной схемой, приведенной к
единичной обратной связи, представленная на рис. 1.
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
62
Рисунок 1.9.2.1 – Структурная схема
Рассмотрим переходный процесс, возникающий на выходе
системы при подаче на её вход ступенчатого воздействия (рис. 2).
Рисунок 1.9.2.2 – Переходный процесс
Величина
1
называется абсолютным перерегулированием.
Показателем качества является относительное
перерегулирование
уст
уст
уст
y
yy
y
max
1
. (1.9.2.1)
Система считается хорошей, когда
лежит в пределах от 0,1
до 0,3.
Другим показателем качества является затухание за период
1
21
. (1.9.2.2)
Система считается хорошей, когда
лежит в пределах от 0,9
до 0,98.
W(p)
g
уx
–
1
t
2
t
п
y
уст
y
max
y
g
0
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
63
Переходный процесс считается окончившимся с того момента,
когда колебания окончательно войдут в зону
относительно
установившегося значения.
Для точных общепромышленных систем полагают, что
01,0/
уст
y
, а для грубых систем –
05,0/
уст
y
.
Третьим показателем качества является время переходного
процесса
n
t
. Время переходного процесса равно промежутку
времени от начала переходного процесса до его окончания.
Колебательность – это количество перерегулирований за время
переходного процесса. На рисунке 2 колебательность равна двум.
По переходному процессу для статической системы можно
определить её статизм (см. (1.9.1.8)).
устуст
уст
уст
ygx
g
x
k
g
k
x
,
1
1
,
1
1
0
. (1.9.2.3)
1.9.3 Определение показателей качества по корням
характеристического уравнения
(См. пункт 1.8.1 «Корневые критерии устойчивости»). Корни
характеристического уравнения определяют вид переходных
процессов. Поэтому можно определить ряд показателей качества по
корням характеристического уравнения, не рассматривая сами
переходные процессы.
Пусть дано характеристическое уравнение системы
0...)(
1
10
n
nn
apapapD
с корнями
n
pppp ...,,,
21
. При простых корнях
характеристического уравнения собственная составляющая движения
описывается уравнением
tp
n
tptp
c
n
ecececy
21
21
. (1.9.3.1)
Каждое слагаемое в выражении (1) называется модой. Для
асимптотической устойчивости всей системы необходимо и
достаточно, чтобы каждая мода с течением времени стремилась к
нулю, а для этого корни должны иметь отрицательные
действительные части, т.е. на комплексной плоскости корни должны
лежать слева от мнимой оси.
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
64
Рисунок 1.9.3.1 – Заданная область расположения корней
Моду для пары комплексно сопряженных корней
kkkk
jp
1,
можно представить в виде
)sin(
kk
t
kck
teAy
k
. (1.9.3.2)
В случае одного действительного корня
kk
p
в (2) следует
положить
0
kk
. Самое медленное затухание будет у мод,
расположенных ближе всего к оси мнимых. Расстояние
от мнимой
оси до ближайшего к ней корня называется степенью устойчивости.
Степень устойчивости является показателем качества переходного
процесса. Рассмотрим изменение амплитуды у самой медленно
затухающей моды
t
kck
eAy
. (1.9.3.3)
Через промежуток времени, равный времени переходного процесса
n
t
, амплитуда станет равной
k
A
, где
введено в предыдущем
пункте, то есть
k
t
kпck
AeAty
п
)(
,
откуда
1
ln
1
n
t
. (1.9.3.4)
Таким образом, по степени устойчивости можно определить
время переходного процесса
n
t
. Если
05,0/
уст
y
, то при
1
уст
y
05,0
, и будем иметь
3
n
t
. (1.9.3.5)
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
65
Из формул (4) и (5) следует, что размерность корней
характеристического уравнения равна с
-1
.
Как следует из (2), действительная часть характеризует
затухание, а мнимая часть – частоту колебаний. Для конкретной моды
вводится понятие колебательности
k
k
k
. (1.9.3.6)
Колебательностью всей системы является величина
nk
k
,1,max
. (1.9.3.7)
Численное значение колебательности
не совпадает с
колебательностью из предыдущего раздела, но характер поведения
системы в зависимости от величины той или другой колебательности
аналогичен. По корням характеристического уравнения можно
определить затухание за период
2
1
e
. (1.9.3.8)
Для того чтобы система хорошо функционировала, её корни на
плоскости корней должны занимать вполне определённое место, это
место определяется степенью устойчивости
(она должна быть не
менее заданной) и колебательностью (она должна быть не больше
заданной) (рис. 2).
Рисунок 1.9.3.2
Корни характеристического уравнения должны лежать в
заштрихованной области. Из формулы (8)
arctg
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
66
1
1
ln
2
, (1.9.3.9)
при
57,12/98,0
.
1.9.4 Интегральные показатели качества
Интегральные критерии дают общую оценку скорости затухания
и величины отклонения регулируемой переменной в совокупности.
При монотонных переходных процессах (рис. 1) в роли
интегрального критерия качества может использоваться интеграл (1)
0
1
dtyI
c
, (1.9.4.1)
где
c
y
– собственная составляющая движения.
1
I
равен площади
между кривой и осью абсцисс.
Чем меньше эта площадь, тем быстрее переходный процесс и
тем меньше ошибка системы. Однако этот критерий не годится для
знакопеременных переходных процессов (рис. 2).
Рисунок 1.9.4.1
Рисунок 1.9.4.2
t
y
c
0
y
c
+ +
–
–
t
0
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
67
Для того чтобы этот критерий годился для знакопеременных
переходных процессов, надо его модифицировать до вида
0
2
dtyI
c
или
0
2
2
dtyI
c
. (1.9.4.2)
Однако этот критерий не учитывает колебательности системы.
Чем выше колебательность системы, тем большие по модулю
скорости возникают в переходных процессах. Поэтому, естественно,
для того, чтобы учесть (минимизировать) колебательность, в
интегральный критерий качества должна быть включена скорость
переходного процесса.
0
2
2
2
3
dtyTyI
cc
, (1.9.4.3)
где
T
– весовой коэффициент, имеющий размерность времени. В
процессе проектирования системы управления интегральный
критерий качества должен минимизироваться. Рассмотрим
предельный переходный процесс, который будет иметь место при
минимизации критерия
3
I
.
,2)(
22
0 0
2
0
2
2
2
3
dtyyTdtyTy
dtyTyyTyyTyI
сссс
сссссс
т.к. система асимптотически устойчива, то
0)(
c
y
. Тогда
0
)(
)0(
2
22
2
2
)0(
))0()((
2
1
)0(
)(
2
c
c
cc
y
y
c
c
c
c
cccc
y
yy
y
y
y
dyydtyy
,
где
)0(
c
y
– начальное условие. В результате проделанных
преобразований получим
0
22
3
)0()(
ccc
TydtyTyI
. (1.9.4.4)
Начальное условие обычно не оптимизируется, т.к. зависит от
случайных обстоятельств и является постоянным. Минимизация
осуществляется за счёт минимизации интеграла. Интеграл будет
минимальным, когда подынтегральное выражение равно 0, т.е.
0
cc
yyT
(1.9.4.5)
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
68
(инерционное звено I порядка).
Решение данного уравнения показано на рис. 3.
Из этого рисунка видно влияние весового коэффициента
T
на
вид предельного переходного процесса.
Рисунок 1.9.4.3
1.9.5 Частотные показатели качества
Они базируются на критериях устойчивости Найквиста (см.
подпункты 1.8.3.2, 1.8.3.4). Частотные критерии дают оценки запасов
устойчивости. Рассмотрим АФЧХ разомкнутой системы, которая в
замкнутом состоянии асимптотически устойчива (рис. 1), где АФЧХ
)()()(
jVUjW
.
Рисунок 1.9.5.1 – АФЧХ разомкнутой системы и запасы устойчивости
Запасы устойчивости характеризуют расстояния от точки (-1; j0)
y
c
y
c
(0)
0
T
t
V(ω)
U(ω)
U
1
U
2
W(jω)
-1
a b
γ
c
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
69
до точек
cba ,,
АФЧХ. В качестве таких расстояний приняты
21
, UU
и угол
. В роли запасов устойчивости рассматривают
запасы устойчивости по амплитуде (модулю) и фазе. Запасы
устойчивости по модулю
,,lg20
11
дБUL
дБUL ,/1lg20
22
. (1.9.5.1)
Система считается хорошей, когда запасы устойчивости лежат в
пределах от 6 до 20 дБ. В роли запаса устойчивости по фазе выступает
угол
)(180
cp
, (1.9.5.2)
где
cp
– частота среза. (В реальных системах
отрицательно).
Система считается хорошей, когда запас устойчивости по фазе
лежит в пределах от 30
о
до 60
о
.
Те же самые показатели качества можно определить с помощью
логарифмических характеристик.
На рис. 2 представлена диаграмма Боде (совокупность ЛАЧХ и
ЛФЧХ), на которой показаны запасы устойчивости по модулю
(амплитуде)
L
и фазе
.
дБ, L(
)
0
20
40
-20
-
/2
0
lg
, декада
, c
-1
lg
, декада
, c
-1
-
L(
)
cp
– запас устойчи-
вости по амплитуде
cp
(
)
L
(
)
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
70