Потапенко Е.М., Казурова А.Е. Основы теории автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
3
1
3
3
2
2
1
1
321
)()(
i
i
pW
x
y
x
y
x
y
x
yyy
x
y
pW
.
На основании полученного выражения для
n
звеньев можно
записать
n
i
i
pWpW
1
)()(
. (1.5.2.1)
Переходная функция
)(th
и функция веса
)(tw
всей цепи в
соответствии с рис. 1 определяются следующими соотношениями:
n
i
i
thth
1
)()(
, (1.5.2.2)
n
i
i
twtw
1
)()(
. (1.5.2.3)
Для получения частотных динамических характеристик всей
цепи надо рассматривать всю цепь целиком.
1.5.3 Встречно-параллельное соединение звеньев
На рис. 1 представлено встречно-параллельное соединение трех
звеньев.
Рисунок 1.5.3.1 – Встречно-параллельное соединение звеньев
Цепь, содержащая звено
)(
1
pW
(
)(
2
pW
), называется
прямой (обратной) связью.
Задача: зная передаточные функции
1
W
и
2
W
, найти
передаточную функцию всей цепи.
В соответствии с рис. 1
,)()()(
1212212111
WWygWWxgWygWxyy
W
1
(p)
W
2
(p)
g
x
2
x
1
y=y
1
=х
2
y
2
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
31
(1.5.3.1)
откуда
.
)()(1
)(
)(
21
1
pWpW
pW
g
y
pW
(1.5.3.2)
Классификация обратных связей
Предположим, что
0)(
2
pW
, тогда, если к сумматору
обратная связь (ОС) подходит со знаком + (-), то ОС называется
положительной (отрицательной). При положительной ОС в
знаменателе должен стоять (-), при отрицательной – (+).
Если
1)(
2
pW
, то ОС называется единичной. В этом случае
структурная схема имеет вид
Рисунок 1.5.3.2
Если звено
)(
2
pW
является позиционным, то ОС называется
жёсткой.
Если звено
)(
2
pW
дифференцирующего типа, то ОС
называется гибкой или скоростной.
САУ могут содержать несколько обратных связей, например,
Рисунок 1.5.3.3 – Типы обратных связей
Единичная ОС является местной ОС, а связь, содержащая звено
─
W
1
(p)
g
y
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
W
1
(p)
g
y
W
2
(p)
W
3
(p)
–
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
32
)(
3
pW
, является главной. Главная ОС в подавляющем большинстве
случаев является отрицательной.
Полученные соотношения между передаточными функциями
для трех типов соединения звеньев позволяют получить передаточные
функции и для сложных соединений звеньев.
Пусть дана структурная схема системы
Рисунок 1.5.3.4 – Пример соединения звеньев
Задача: зная передаточные функции звеньев, найти
передаточную функцию всей цепи. Для данной схемы можно записать
.
·)·(1
)·(
·1
,)·(·
,
4321
321
4
3213
21
WWWW
WWW
WW
W
g
y
W
WWWWWW
WWW
II
II
III
I
1.6 Основные правила преобразования структурных схем
Таблица 1 – Правила преобразования структурных схем
№
п/
п
Операция Исходная схема Эквивалентная схема
1 2 3 4
1
Переста-
новка сум-
маторов
)()(
54321
xxxxxy
31524
xxxxxy
Продолжение таблицы 1
W
1
(p)
g y
W
3
(p)
W
4
(p)
W
2
(p)
– –
х
1
х
2
-х
3
х
4
х
5
у
х
4
х
2
х
5
х
1
-х
3
у
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
33
1 2 3 4
2
Переста-
новка зве-
ньев
21
WxWy
12
WxWy
3
Перенос
узла с вы-
хода на
вход сум-
матора
21
xxy
21
xxy
4
Перенос
узла со
входа на
выход
сумматора
21
xxy
21
xxy
5
Перенос
узла с вы-
хода на
вход звена
6
Перенос
узла со
входа на
выход
звена
7
Перенос
сумматора
с выхода
на вход
звена
21
xWxy
Продолжение таблицы 1
W
1
W
2
x
y
W
2
W
1
x
y
x
1
yx
2
y
x
1
x
2
y
y
x
1
x
2
y
x
1
x
1
x
2
y
x
1
─
x
y
y
W
x
y
y
W
W
W
x
x
y
x
x
y
W
W
-1
W
x
1
x
2
y
W
x
1
x
2
y
W
-1
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
34
1 2 3 4
8
Перенос
сумматора
со входа
на выход
звена
9
Переход к
единич-
ной обрат-
ной связи
(ОС)
)1/(
211
WWWW
1.7 Передаточные функции замкнутых САУ
Составим структурную схему, соответствующую
функциональной схеме на рисунке 0.1.
Рисунок 1.7.1 – Структурная схема
На рис. 1
)( pW
н
– передаточная функция объекта управления по
нагрузке,
)( pW
o
– передаточная функция объекта управления по
управляющему сигналу
u
,
)( pW
СРП
– передаточная функция счетно-решающего
прибора,
)( pW
дс
– передаточная функция датчика скорости.
Стандартной структурной схемой является схема, приведенная к
W
x
1
x
2
y
W
x
1
x
2
y
W
y
W
2
g
W
1
y
W
2
g
W
1
W
2
-1
W
СРП
(p)
W
0
(p)
W
дс
(p)
W
н
(p)
u
п
CУ CPП У+ЭД+Р+И
f
н
у
u
–
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
35
единичной ОС. Приведём схему рис. 1 к единичной ОС.
Рисунок 1.7.2 – Структурная схема с единичной обратной связью
На рис. 2
)()()( pWpWpW
СРПдсp
– передаточная функция
регулятора;
)()()( pWpWpW
op
– передаточная функция
разомкнутой системы;
g
– задающее воздействие, равное желаемому
значению выходного сигнала
y
, (
g
имеет ту же размерность, что и
y
);
x
– ошибка системы.
ygx
. (1.7.1)
Устойчивость или неустойчивость САУ, а также её точность, в
основном, определяются замкнутым контуром. Поэтому звено с
передаточной функцией
)(
1
pW
дс
не рассматривается.
Получим передаточную функцию замкнутой САУ. Из рисунка 2
)()( pWfpWxy
нн
. (1.7.2)
Если из системы уравнений (1) и (2) исключить
x
, то получим
н
н
f
pW
pW
g
pW
pW
y
)(1
)(
)(1
)(
. (1.7.3)
Если из уравнений (1), (2) исключить
y
, тогда
н
н
f
pW
pW
g
pW
x
)(1
)(
)(1
1
. (1.7.4)
Выражения (3), (4) записаны для замкнутой САУ. Из этих
выражений можно получить следующие передаточные функции
замкнутой САУ:
– передаточная функция замкнутой САУ по задающему воздействию
(главный оператор)
)(
)(
)(1
)(
)(
pg
py
pW
pW
pФ
, (1.7.5)
W
дс
-1
(p)
W
p
(p)
W
0
(p)
W
н
(p)
u
п
f
н
у
g
x
–
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
36
– передаточная функция замкнутой САУ по ошибке от задающего
воздействия
)(
)(
)(1
1
)(
pg
px
pW
pФ
x
,
)(1)( рФрФ
х
, (1.7.6)
– передаточная функция замкнутой САУ по нагрузке
)(
)(
)(
)(
)(1
)(
)(
pf
px
pf
py
pW
pW
pФ
нн
н
н
. (1.7.7)
Найдём выражения для передаточных функций САУ с
неединичной ОС, представленной на рис. 3.
Рисунок 1.7.3 – Структурная схема с неединичной обратной связью
)()(1
)(
)(
pWpW
pW
u
y
pФ
осn
.
Передаточной функцией замкнутой САУ по ошибке будет
).(1
)(
)(
)(
)),(1()(
pФ
pu
px
pФ
pФuupФuyux
п
x
nnnn
(1.7.8)
Формула (8) совпадает с формулой (6), полученной для
единичной обратной связи.
Закон, в соответствии с которым функционирует система
управления, выраженный в математической форме, называется
законом (алгоритмом) управления.
1.8 Устойчивость движения непрерывных линейных САУ
САУ описывается системой дифференциальных уравнений.
Если в системе имеются только один вход и один выход, то систему
можно преобразовать к одному дифференциальному уравнению того
же порядка, что и вся система. Пусть это дифференциальное
W(p)
W
oc
(p)
u
n
x y
–
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
37
уравнение записано в операторном виде (1)
xpRypD )()(
, (1.8.1)
где
y
– выходной сигнал;
x
– входной сигнал;
)(),( pRpD
– полиномы (многочлены) оператора
дифференцирования
p
.
Пусть
.)(
,)(
1
10
1
1
10
r
rr
nn
nn
bpbpbpR
apapapapD
(1.8.2)
Уравнение (1) является линейным неоднородным
дифференциальным уравнением. Его решение состоит из двух
слагаемых: частного решения (
ч
y
) и общего решения
соответствующего однородного уравнения (
o
y
), т.е.
чo
yyy
.
В ТАУ общее решение называется собственным решением
(движением), частное решение называется вынужденным решением
(движением).
вc
yyy
. (1.8.3)
Вынужденное решение удовлетворяет уравнению
xpRypD
в
)()(
. (1.8.4)
Вычитая (4) из (1), найдём уравнение собственных движений
0)(
с
ypD
. (1.8.5)
Уравнение (5) называется однородным уравнением для
уравнения (1). Устойчивость или неустойчивость линейных САУ
определяется только уравнением (5).
Будем различать 3 категории устойчивости:
1 – асимптотическая устойчивость,
2 – неустойчивость,
3 – граничная устойчивость.
Система называется асимптотически устойчивой, если при
всех начальных условиях
0lim
c
t
y
или
в
t
yy
lim
. (1.8.6)
Система называется неустойчивой, если имеется хотя бы
одно сочетание начальных условий, при котором
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
38
c
t
ylim
. (1.8.7)
Система называется находящейся на границе устойчивости
(гранично устойчивой), если имеется хотя бы одно сочетание
начальных условий, при котором
c
y
не стремится ни к нулю, ни к
бесконечности, а при других начальных условиях выполняется условие
(6).
Рисунок 1.8.1 – Асимптотическая
устойчивость
Рисунок 1.8.2 – Неустойчивость
Рисунок 1.8.3 – Граничная устойчивость
1.8.1 Корневые критерии устойчивости
Как следует из рисунков 1.8.1-1.8.3,
c
y
не равен тождественно
нулю, тогда из (5) следует
0)( pD
. (1.8.1.1)
Уравнение (1) называется характеристическим уравнением,
y
y
с
y
в
t
0
y
с
y
в
y
t
0
y
с
y
в
y
t
0
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
39
соответствующим уравнениям (1.8.1) и (1.8.5). Пусть это уравнение
будет n-го порядка, тогда оно имеет n корней
n
ppp ...,,,
21
. Если
коэффициенты
n
aaa ...,,,
10
– действительные, то корни уравнения
(1) могут быть действительными и комплексными (комплексно-
сопряженными).
kkkkkk
jpjp
1
,
.
Корни могут быть простыми (нет им равных) и кратными
(равными). Кратность – это количество равных корней. Если корни
простые, то решение уравнения (1.8.5) можно представить в виде
tp
n
tptp
c
n
ecececy
21
21
, (1.8.1.2)
где
n
ccc ...,,,
21
– постоянные интегрирования, зависящие от
начальных условий.
В выражении (2) каждое слагаемое называется модой.
Рассмотрим две моды, соответствующие паре комплексно-
сопряженных корней.
kkkk
j
k
j
kck
ececy
1
. (1.8.1.3)
С помощью формулы Эйлера уравнение (3) можно представить
в виде
)sin(
kk
t
kck
teAy
k
, (1.8.1.4)
где
kk
A
,
– новые постоянные интегрирования, зависящие от
начальных условий. На рис. 4 представлены различные виды
переходных процессов моды (4) в зависимости от вида корней,
соответствующих данной моде.
На основании рис. 4 можно констатировать следующее.
Для того чтобы система была асимптотически устойчивой,
необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех
корней характеристического уравнения были отрицательными.
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
40