Потапенко Е.М., Казурова А.Е. Основы теории автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
Временные характеристики описывают переходные процессы
в звеньях. Переходные процессы – это характер изменения выходных
переменных при изменении входных сигналов или начальных
условий. При устойчивости звеньев переходные процессы
завершаются новыми установившимися значениями.
Характеристика – графическое изображение функции.
Временные динамические характеристики подразделяются на
перехόдные функции (характеристики) и функции (характеристики)
веса, другими словами, переходные импульсные функции.
Переходная функция h(t) представляет собой переходный
процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход
единичного ступенчатого воздействия (
)(1 t
) при нулевых
начальных условиях.
Функцией веса w(t) называется реакция на выходе звена при
подаче на его вход единичной импульсной функции
)(t
при нулевых
начальных условиях.
Единичной импульсной функцией (функцией Дирака)
называется импульс нулевой длительности, бесконечной амплитуды и
единичной площади.
Установим связь между временными характеристиками. Легко
убедиться в том, что
)(1)( t
dt
d
t
. (1.4.1.1)
t
t
0
h(t)
1(t)
1
t
t
0
0
0
t
x
y
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
21
Рисунок 1.4.1.1 – Переходная характеристика
На основании формулы Коши и зависимости (1) можно
получить
)()( th
dt
d
tw
. (1.4.1.2)
На рис. 2 соотнесены
-функция и функция веса.
Рисунок 1.4.1.2 – Весовая характеристика
Переходные функции используются в структурных схемах для
обозначения соответствующих звеньев.
(t)
t
t
t
0
w(t)
t
0
0
0
k
h(t)
t
0
– Безынерционное звено
.
– Инерционное звено первого порядка
.
h(t)
t
0
t
x
y
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
22
1.4.2 Частотные динамические характеристики
При описании частотных характеристик широко используются
комплексные переменные. Необходимые сведения о комплексных
переменных приведены в приложении А.
Частотные характеристики описывают реакцию на выходе
– Интегрирующее звено
.
h(t)
t
0
– Колебательное звено
.
h(t)
t
0
0
t
h(t)
k
1
– ПИ-регулятор (изодромное звено)
.
0
t
h(t)
– Идеальное дифференцирующее звено
.
0
t
h(t)
k
1
– ПИД-регулятор
t
x
y
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
23
звена в установившемся режиме при подаче на вход звена
синусоидального сигнала.
Будем рассматривать следующие частотные характеристики:
амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ),
амплитудная частотная характеристика (АЧХ),
фазовая частотная характеристика (ФЧХ),
логарифмическая амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ),
логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ).
Частотные характеристики получаются из передаточных
функций. АФЧХ получается заменой в передаточной функции
оператора
p
на
j
, где
j
– мнимая единица,
– частота.
Если передаточная функция –
)( pW
, то АФЧХ обозначается
)(
jW
. Пример.
1
)(
2
22
1
21
pTpT
pkk
pW
, (1.4.2.1)
2
22
1
21
)1(
)(
jTT
jkk
jW
. (1.4.2.2)
Выражение (2) можно представить без мнимости в знаменателе
двумя способами:
1) числитель и знаменатель умножить на функцию, комплексно
сопряжённую знаменателю;
2) представить выражение (2) в показательной форме. Для этого
надо модуль числителя разделить на модуль знаменателя, а из
аргумента числителя вычесть аргумент знаменателя. Для первого и
второго случаев будем иметь
))(exp()()()()(
jAjVUjW
,
где
U
– действительная часть,
jV
– мнимая часть,
)(
A
– модуль,
)(
– аргумент.
Взаимосвязь между перечисленными переменными
представлена на рисунке 1.
t
x
y
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
24
Рисунок 1.4.2.1 – Взаимосвязь составляющих АФЧХ
,
)()1(
)(
)(
2
2
222
1
2
2
2
1
TT
kk
ьзнаменател
числитель
A
.
1
)arg()arg()(
22
1
2
1
2
T
T
arctg
k
k
arctg
язнаменателчислителя
В ТАУ
)(
A
называется АЧХ,
)(
– ФЧХ.
.
)(
)(
)(,)()()(
22
U
V
arctgVUA
АЧХ показывает, как изменяется амплитуда сигнала на каждой
частоте при его прохождении через звено. АЧХ равна зависимости от
частоты отношения амплитуды выходного сигнала к амплитуде
входного сигнала.
Рисунок 1.4.2.2
V(ω)
A(ω)
ψ(ω)
U(ω)
Коэффициент усиления
A(ω)
ω
0
t
x
y
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
25
Рисунок 1.4.2.3
ФЧХ – зависимость от частоты сдвига по фазе выходного
сигнала по отношению к входному сигналу.
Рассмотрим экспериментальное определение АЧХ и ФЧХ.
Пусть
yx,
– входной и выходной сигналы звена (рис. 4). В
соответствии с принятыми обозначениями и определениями
0)),(sin()(),sin( tYytXx
.
Рисунок 1.4.2.4
Для различных значений частоты
строятся графики АЧХ и
ФЧХ по зависимостям
,
)(
)(
X
Y
A
. (1.4.2.3)
Ψ(ω)
ω
Сдвиг по фазе
0
звено
x
y
t
x
y
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
26
Рисунок 1.4.2.5
Логарифмические характеристики введены для упрощения
расчётов и графических построений при исследовании САУ. ЛАЧХ
обозначается
)(
L
и определяется по зависимости
)(lg20)(
AL
, дБ (децибел).
ЛАЧХ строится в логарифмических осях, как это показано на
рис. 6.
На рис. 6
ср
– частота среза, дБ – децибел.
Декада – единица измерения, соответствующая изменению
частоты в 10 раз.
На частоте среза
1)(,0)(
cpcp
AL
.
Принято полагать, что если
)0)((1)(
LA
, то сигнал
через звено пропускается, а если
)0)((1)(
LA
, то сигнал не
пропускается.
A(
)
0
1
2
3
4
б)
(
)
1
2
3
4
в)
а)
yx,
t
x
y
0
0
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
27
Рисунок 1.4.2.6
Совокупность частот, где
)0)((1)(
LA
называется
полосой пропускания системы.
ЛФЧХ строится в полулогарифмическом масштабе (рис. 7).
Рисунок 1.4.2.7
1.5 Типы соединения звеньев в САУ
При рассмотрении структурных схем в САУ предполагается,
-20
дБ L(
)
20
40
60
80
0.01
-2 -1
0.1 1
0 1
10 100
2 lg(
), декада
, с
-1
A(
)>1
ср
– частота среза
A(
)<1
рад
(
)
20
40
60
80
0.01
-2 -1
0.1 1
0 1
10 100
2
lg(
), декада
, с
-1
-80
-20
-40
-60
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
28
что звенья являются направленными, то есть преобразуют сигнал в
направлении от входа к выходу, и что выполняется условие
независимости передаточных функций от наличия соседних звеньев.
Различают три типа соединения звеньев:
последовательное;
параллельное;
встречно-параллельное (соединение по принципу обратной
связи).
1.5.1 Последовательное соединение звеньев
На рис. 1 представлено последовательное соединение трех
звеньев.
Рисунок 1.5.1.1 – Последовательное соединение звеньев
Задача: зная передаточные функции и частотные
характеристики отдельных звеньев, получить передаточную функцию
и частотные характеристики всей цепи. В соответствии с рис. 1
32132232333
WWxWWWxWyWxyy
.
n
i
i
pW
x
y
pW
1
)()(
. (1.5.1.1)
В соответствии с (1) для АФЧХ
n
i
i
jWjW
1
)()(
. (1.5.1.2)
На основании (2) для АЧХ
.)()(
,)()()()()(
1
111
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
AA
AjWjWjWA
(1.5.1.3)
На основании (3) для ЛАЧХ
W
1
(p) W
2
(p) W
3
(p)
х=х
1
у
3
=уy
1
=х
2
y
2
=х
3
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
29
.)()(
,)()(lg20))(lg(20)(lg20)(
1
11
1
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
LL
LAAAL
(1.5.1.4)
В соответствии с (2) для ФЧХ и ЛФЧХ
.)()(
,)()(arg)(arg)(arg)(
1
11
1
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
jWjWjW
(1.5.1.5)
К сожалению, для временных динамических характеристик
такие простые соотношения отсутствуют. Временные динамические
характеристики всей цепи не могут быть найдены по временным
динамическим характеристикам отдельных звеньев.
1.5.2 Параллельное соединение звеньев
На рис. 1 представлено параллельное соединение трех звеньев.
Задача: зная передаточные функции и временные динамические
характеристики отдельных звеньев, найти передаточную функцию и
временные динамические характеристики всей цепи.
Рисунок 1.5.2.1 – Параллельное соединение звеньев
Передаточная функция всей цепи в соответствии с рис. 1
определяется следующими соотношениями:
W
1
(p)
W
2
(p)
W
3
(p)
x
x
2
x
1
x
3
y=y
1
+y
2
+y
3
x=x
1
=x
2
=x
3
y
2
y
3
y
1
)(1
)(
)(
1
1
pW
pW
pW
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
30