Потапенко Е.М., Казурова А.Е. Основы теории автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
Рисунок 1.8.15
АФЧХ разомкнутой системы
))((
1
)(
11
)·(·)·()·()(
jjjj
eAeeAejWjW
. (1.8.3.10)
На основании (10) можно заключить, что АЧХ в системах без учёта
чистого запаздывания и с учётом чистого запаздывания совпадают, а
ФЧХ полной системы имеет сдвиг по фазе на величину -
по
отношению к идеальной системе. Очевидно, что при возрастании
угол поворота
увеличивается. Пусть система без запаздывания
асимптотически устойчива и в разомкнутом, и в замкнутом
состояниях. Это означает, что АФЧХ не охватывает точку (-1; j0).
Будем увеличивать запаздывание
от значения, равного нулю, и
следить за деформацией годографа
)(
jW
. При
кр
годограф
пройдет через точку (-1; j0) и, следовательно, система окажется на
границе устойчивости. Данная ситуация отражена на рис. 15. На
рисунке 1 – АФЧХ
)(
jW
,2 – окружность единичного радиуса,
b
–
φ
-1
V(ω)
U(ω)ω=0
ω=
ω
ср
a
b
2
1
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
51
точка пересечения кривой
)(
jW
с окружностью 2. Поскольку в
этой точке
1)(
A
, то в этой точке
cрb
. Подчеркнем, что
частоты среза в системах с чистым запаздыванием и без него
совпадают. На основании рис. 15 можно записать
cр
. Угол
можно замерить на рис. 15, тогда
ср
кр
. (1.8.3.11)
1.8.3.4 Логарифмический критерий Найквиста
Это тот же критерий Найквиста, но сформулированный на языке
логарифмических характеристик. Для удобства рассмотрим
специфическое взаимное расположение ЛАЧХ и ЛФЧХ, где угол
ЛФЧХ расположен на горизонтали, соответствующей 0 дБ, а
положительная полуось ЛФЧХ направлена вниз. Описанная ситуация
отражена на рис. 16.
Рисунок 1.8.16
Критерий. Для того чтобы замкнутая система была
-/2
-
1
2
дБ, L(
)
3
0
20
40
-20
0
(
)
1
1
lg
, декада
, c
-1
lg
, декада
, c
-1
L(
)
cp
cp
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
52
асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы
при заданном взаимном расположении систем координат ЛАЧХ и
ЛФЧХ и при изменении частоты от 0 до бесконечности ЛФЧХ
огибала точку среза снизу (кривая 1).
Для того чтобы замкнутая САУ находилась на границе
устойчивости, ЛФЧХ должна проходить через точку среза (кривая
2).
Для того чтобы замкнутая САУ была неустойчивой,
достаточно, чтобы ЛФЧХ огибала точку среза сверху (кривая 3).
Содержание рис. 16 называется диаграммой Боде. По этой
диаграмме и выражению (11) можно найти критическое запаздывание.
1.8.4 Построение областей устойчивости САУ
При синтезе САУ, когда требуется определить влияние каких-
либо варьируемых параметров на устойчивость, строят области
устойчивости в пространстве этих параметров.
Области устойчивости – это совокупность значений
параметров системы, при которых система асимптотически
устойчива.
При двух варьируемых параметрах это области на плоскости,
при трёх – в трёхмерном пространстве. Если в пространстве всех
своих параметров система не имеет области устойчивости, то она
называется структурно неустойчивой. Построение границ областей
устойчивости осуществляется с помощью критериев устойчивости.
Для этой цели наиболее часто используется критерий Михайлова.
Область устойчивости, построенная по критерию Михайлова,
называется D-областью, а метод построения областей
устойчивости по критерию Михайлова называется D-разбиением.
Для применения метода D-разбиения необходимо иметь
характеристическое уравнение
0...)(
1
1
10
nn
nn
apapapapD
. (1.8.4.1)
Различают три типа границ областей устойчивости:
1) апериодическая,
2) граница с бесконечно большим корнем,
3) колебательная.
Пусть требуется построить области устойчивости на плоскости
варьируемых параметров
1
k
и
2
k
, т.е. коэффициенты
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
53
характеристического уравнения зависят от этих параметров.
nikkaa
ii
,0),(
21
,
где n – показатель степени характеристического уравнения.
Для получения апериодической границы полагают
0),(
21
kka
n
. (1.8.4.2)
Уравнение (2) есть уравнение кривой 1 на плоскости
21
, kk
(рис. 17).
Рисунок 1.8.17
Для получения границы с бесконечно большим корнем
полагают
0),(
210
kka
. (1.8.4.3)
Уравнение (3) есть уравнение кривой 2 на рисунке.
Из характеристического уравнения (1)
0
...
0
0
2
2
1
1
a
a
apapa
p
n
n
nn
.
Поэтому уравнение (3) называют границей с бесконечно
большим корнем.
Для получения колебательной границы в уравнении (1) делают
подстановку
jp
, где
j
– мнимая единица,
– частота. В
k
1
k
2
I
III
II
VII
VI
V
IV
1
2
3
k
2
k
1
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
54
результате получается характеристический комплекс
0),,(),,()(
2121
kkjYkkXjD
. (1.8.4.4)
Комплексная переменная тогда и только тогда равна 0, когда
одновременно равны нулю её действительная и мнимая части, т.е.
0),,(,0),,(
2121
kkYkkX
. (1.8.4.5)
Система (5) представляет собой уравнение кривой 3 на
плоскости
21
, kk
, заданной в параметрическом виде, где роль
параметра выполняет
.
В результате плоскость
21
, kk
оказалась разбитой на 7
областей.
Существует несколько методов выделения областей
устойчивости:
1) метод штриховки;
2) применение критериев устойчивости;
3) метод проб.
При применении метода проб в исследуемой области назначают
точку с определёнными значениями
21
, kk
. При этих значениях
находят значения коэффициентов характеристического уравнения, а
затем с помощью любого критерия, использующего
характеристическое уравнение, определяется устойчивость системы в
данной точке. Если система асимптотически устойчива (неустойчива)
в данной точке, то она асимптотически устойчива (неустойчива) во
всей исследуемой области. В качестве примера рассмотрим задачу.
Задача: построить область устойчивости системы,
представленной на рис. 18, на плоскости параметров
yy
Tk ,
, где У –
усилитель, ЭД – электродвигатель.
Рисунок 1.8.18 – Структурная схема электропривода
На рисунке представлена структурная схема электропривода
(ЭП), регулирующего угол поворота
y
, с обозначениями
k
y
/(T
y
p+1)
k
д
/(p(T
д
p+1))
g x u
y
У W
у
(р)
ЭД W
д
(р)
–
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
55
дy
kk ,
– коэффициенты передачи,
дy
TT ,
– постоянные времени.
Передаточная функция разомкнутой системы
дy
WWW
. (1.8.4.6)
Передаточная функция замкнутой системы
)(
)(
1 pg
py
W
W
Ф
. (1.8.4.7)
Для получения характеристического уравнения приравниваем
знаменатель в (7) к нулю.
0
)1·()·1(
11
pTppT
kk
W
дy
дy
.
Приведём к общему знаменателю
0
)1·()·1(
)1·()·1(
pTppT
kkpTppT
дy
дyдy
.
Дробь равна 0, когда числитель равен нулю, т.е.
0)1·()·1(
дyдy
kkpTppT
.
Это характеристическое уравнение замкнутой САУ приведём к
стандартному виду
0)(
23
дyдyдy
kkppTTpTT
, (1.8.4.8)
где
kkkaaTTaTTa
дyдyдy
:,1,,
3210
.
Построим область устойчивости.
Апериодическая граница устойчивости
0
3
ka
. (1.8.4.9)
Граница с бесконечно большим корнем
00
0
0
y
T
дy
TTTa
д
. (1.8.4.10)
Колебательная граница устойчивости в соответствии с (5) и (8)
определяется системой
.0)1(
,0)(
2
2
дy
дy
TTY
TTkX
(1.8.4.11)
Из второго уравнения системы (11) следует:
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
56
.01)2
,0)1
2
дy
TT
(1.8.4.12)
Подстановка
0
в первое уравнение в (11) дает
0k
. Это уже
найденная апериодическая граница устойчивости (9). Из (12) найдём
2
и подставим в первое уравнение системы (11). Тогда
дy
TT
k
11
. (1.8.4.13)
Это уравнение колебательной границы устойчивости.
Границы областей (9), (10), (13) изображены на рис. 19.
Найдем среди пяти областей область устойчивости. Для этого
воспользуемся коэффициентными критериями устойчивости.
Рисунок 1.8.19
Необходимые условия асимптотической устойчивости
(положительность всех коэффициентов характеристического
уравнения) дают
,0
3
ka
00
0
0
у
T
ду
TTTa
д
.
Примечание: неравенство над стрелкой указывает на то, что
преобразование осуществлено с использованием этого неравенства.
Таким образом, областями устойчивости могут быть вторая и
третья области. Для окончательного выявления области устойчивости
T
y
(13)
(9)
(10)
I
V
III
IV
II
k
д
T
1
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
57
воспользуемся критерием Раусса-Гурвица применительно к системе
третьего порядка. Этот критерий дает
01)(
3021
kTTTTaaaa
дyдy
,
отсюда следует
дy
TT
k
11
. (1.8.4.14)
Граница области устойчивости дана в (13). Тогда из уравнения
(14) следует, что областью устойчивости является область II.
1.9 Оценка качества регулирования
Асимптотическая устойчивость САУ – необходимое, но далеко
не единственное условие её работоспособности. Устойчивая система
при наличии различных воздействий может оказаться недостаточно
точной. Переходные процессы могут продолжаться чересчур долго,
может возникнуть большое перерегулирование и т.п.
Комплекс требований, определяющих поведение системы в
установившихся и переходных процессах, объединяется понятием
качества САУ.
Для определения качественных показателей САУ используются
критерии качества, которые могут быть разбиты на группы.
К первой группе относят критерии, использующие для оценки
качества величину ошибки в различных типовых режимах. Это
критерии точности.
Ко второй группе относят критерии запаса устойчивости, т.е.
критерии, устанавливающие, насколько далеко от границы
устойчивости находится система регулирования.
Третья группа характеризует быстродействие системы.
К четвертой группе относят комплексные критерии, дающие
оценку некоторых обобщённых свойств (точность, запас
устойчивости, быстродействие одновременно).
1.9.1 Показатели точности САУ
Рассмотрим систему с функциональной схемой, представленной
на рис. 0.1. Структурная схема этой системы, после того как она в
подразделе 1.7 (рис. 1.7.2) была приведена к единичной обратной
связи, имеет вид, изображенный на рис. 1.
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
58
Рисунок 1.9.1
На рисунке 1
g
– задающее воздействие,
x
– ошибка системы,
p
W
– передаточная функция регулятора,
o
W
– передаточная функция объекта управления по
управляющему воздействию
u
,
н
W
– передаточная функция объекта управления по нагрузке
н
f
.
1.9.1.1 Типовые регуляторы
Передаточная функция
p
W
соответствует закону (алгоритму)
управления. Типовым законом управления является ПИД-регулятор,
которому соответствует алгоритм
t
xkdtxkxku
0
321
. (1.9.1.1)
Алгоритм состоит из позиционного (П), интегрирующего (И) и
дифференцирующего (Д) слагаемых.
Широко используются так же П-, ПИ-, ПД- регуляторы.
Составляющая П служит для повышения точности и
обеспечения устойчивости движения.
Составляющая И предназначена для повышения точности в
установившемся режиме.
Составляющая Д предназначена для улучшения качества
переходных процессов.
Д-составляющая вносит в систему тот же эффект, что и трение
или вихревые токи, которые рассеивают энергию колебаний.
Передаточная функция ПИД-регулятора в соответствии с (1)
W
p
(p) W
0
(p)
W
н
(p)
g
f
н
у
x u
–
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
59
имеет вид
pk
p
k
k
px
pu
pW
p 3
2
1
)(
)(
)(
. (1.9.1.2)
1.9.1.2 Определение показателей точности САУ
В соответствии с (1.7.4) подраздела 1.7 ошибка системы
н
op
н
op
f
pWpW
pW
g
pWpW
x
)()(1
)(
)()(1
1
. (1.9.1.3)
Пусть передаточная функция объекта управления по
управляющему воздействию имеет вид
1...
1...
)(
1
1
10
1
1
10
00
pdpdpd
pcpcpc
kpW
n
nn
m
mm
(1.9.1.4)
(статический объект управления).
Пусть также
н
W
имеет структуру аналогичную (4), но
возможно с другими степенями полиномов, т.е.
1...
1...
)(
1
1
10
1
1
10
papapa
pbpbpb
kpW
r
rr
q
qq
нн
. (1.9.1.5)
Пусть система асимптотически устойчива, тогда при
постоянстве
g
и
н
f
в ней может присутствовать установившаяся
ошибка, отличная от 0. В общем случае в установившемся режиме
0у
, но
0y
. Тогда в операторном виде можно записать
0
0
ppyу
y
,
т.е. для получения ошибки в установившемся режиме нужно в
выражении (3) положить
0p
.
Примечание: неравенство над стрелкой указывает на то, что
преобразование осуществлено с использованием этого неравенства.
Рассмотрим случай, когда
0
2
k
(П- или ПД-регулятор), и
найдём установившуюся ошибку. С учетом того, что
нpнppp
kpWkpWkpW
000010
)(,)(,)(
, (1.9.1.6)
из (3) при
00
, fconstfgconstg
н
получим
0
01
0
01
11
1
f
kk
k
g
kk
x
н
уст
. (1.9.1.7)
y
y
y
tc,
y
y
y
y
t
0
t
0
60