Полшков Ю.Н. Курс лекций по экономико-математическому моделированию

Подождите немного. Документ загружается.

190

3. Вопрос о том, какую плату страховая компания должна назначать за то, что

принимает на себя тот или иной риск, крайне сложен. При его решении учиты-

вается большое число разнородных факторов: вероятность предъявления иска,

его ожидаемая величина и возможные колебания, связь с другими рисками, ко-

торые уже приняты компанией, организационные расходы компании на ведение

дела, соотношение между спросом и предложением по данному виду рисков на

рынке страховых услуг и т.д. Основным обычно является принцип эквивалент-

ности финансовых обязательств страховой компании и застрахованного. Одна-

ко нельзя выразить принцип эквивалентности обязательств равенством

поскольку

– детерминированная величина, а

– случайная.

Для решения этой проблемы рассмотрим следующую модель. Обычно

число застрахованных в страховой компании очень велико. Поэтому при нали-

чии большого числа однородных договоров в портфеле компании рассмат-

ривают коллективный или суммарный иск

...

SXX X

+++,

где случайные величины

, – это индивидуальные иски, имеющие

одинаковые законы распределения.

1, 2,...,i= N

Такой подход позволяет применить гауссовскую модель, основанную на

центральной предельной теореме теории вероятностей. В простейшей форму-

лировке она выглядит так. Имеется достаточно большое число (хотя бы не-

сколько десятков) исков

, – независимых и одинаково распреде-

ленных. Т.о., у всех исков одинаковое математическое ожидание и одинако-

вое СКО

1, 2,...,i= N

. Следовательно,

SNm

⋅ ,

DS N DX N

⋅=⋅.

Рассмотрим центрированную и нормированную сумму величин исков

NNN

SMS SNm

DS N

−

−⋅

⋅

Согласно центральной предельной теореме, для любых действительных чисел

имеет место приближенное равенство

()

SMS

zedt

−

−∞

⎛⎞

−

<≈ =+Φ

⎜⎟

⎝⎠

∫

где – интегральная функция Лапласа, для которой имеются подробные

таблицы.

)(zΦ

Пусть число – это сумма от продажи полисов, собранная страховой

компанией. Может оказаться, что

Sz> ,

т.е. суммарный иск превысит денежные резервы компании. Тогда вероятность

()

PS z>

можно назвать вероятностью разорения страховой компании. Обозначим ве-

роятность разорения через

. Тогда имеем

191

()1()1

NN N N

SMS zMS zMS

PS z PS z P

DS DS DS

⎛⎞⎛

−− −

=>=−≤=− ≤ ≈−Φ

⎜⎟⎜

⎝⎠⎝

⎞

⎟

⎠

Число

−

соответствующее вероятности разорения

называют квантилем уровня веро-

ятности

. Полезно иметь табл. 2 квантилей, отвечающих достаточно малой

вероятностью разорения

Табл. 2. Квантили

уровня вероятности

1% 2% 3% 4% 5%

2,33 2,05 1,88 1,75 1,645

Напомним, что согласно (5), страховая премия

слагается из нетто-

премии и страховой надбавки . Рассмотренная гауссовская модель позво-

ляем нам следующее. Для того, чтобы обеспечить малую вероятность разоре-

ния

страховой компании, страховая надбавка должна рассчитываться по

формуле

⋅

= .

(6)

Заметим, что в этой страховой надбавке не учтены административные расходы

компании, ее прибыль и т.п. Число

⋅

(7)

называют относительной страховой надбавкой. Ее часто выражают в процент-

ной форме.

Пример 2. Страховая компания заключила 10000 договоров страхования

жизни на условиях примера 1. Подсчитать величину страховой премии, обеспе-

чивающую малую вероятность разорения 5%. Определить относительную стра-

ховую надбавку.

Решение. Данные нашей задачи:

10000N

, 5%

, ,

1, 645z = 1, 5 2

грн.,

31,74

= грн. Страховая надбавка (6) равна

31,74 1,645

0,52

10000

⋅

== (грн.),

поэтому размер страховой премии (5) составляет

1,52 0,52 2,04p =+ = (грн.).

Относительная страховая надбавка (7) равна

0,52

34%

1, 52

==.

192

4. Пусть портфель страховой компании состоит из групп однородных дого-

воров. Т.е. индивидуальные иски в каждой группе имеют одинаковые законы

распределения. Присвоим этим группам номера ,

i 1,2,...,ik

. Пусть в каждой

группе имеется договоров. Тогда весь портфель состоит из договоров, т.е.

N N

∑

Обозначим через

случайную величину, означающую размер индиви-

дуального иска в

i -й группе. Введем случайную величину

∑

которую назовем суммарным иском. Для каждой группы рассчитаем основные

числовые характеристики: нетто-премию , дисперсию индивидуального иска

, СКО

, коэффициент вариации . Тогда число – средняя величина сум-

марного иска или суммарная нетто-премия:

∑

(8)

Введем также суммарную дисперсию, суммарное СКО, суммарный коэффици-

ент вариации:

∑

(9)

Средства, собираемые страховой компанией от продажи полисов, назы-

вают резервами страховой компании . Резервы компании формируются сле-

дующим образом:

Um l

+ ,

(10)

где – суммарная страховая надбавка. Согласно гауссовской модели:

lDz

⋅ .

(11)

После определения суммарной надбавки , обеспечивающей малую вероят-

ность разорения

, нужно решить, как справедливым образом разделить ее ме-

жду всеми группами договоров. Имеются три принципа деления страховой

надбавки, а, значит, и назначения страховых премий: 1) пропорционально нет-

то-премиям, 2) пропорционально дисперсиям, 3) пропорционально СКО.

1) Если надбавка делится пропорционально нетто-премиям, то относи-

тельная страховая надбавка

одинаковая для всех договоров и равна

= .

(12)

Поэтому индивидуальные премии

, 1, 2,...,ik

равны

(1 )

+ .

(13)

193

2) Если суммарной надбавка делится пропорционально дисперсиям, то

индивидуальные страховые надбавки рассчитываются по формуле:

⋅ ,

(14)

где число

играет роль коэффициента пропорциональности. Страховые пре-

мии вычисляются, как

iii

+ ,

(15)

а относительные страховые надбавки

= .

(16)

3) Если суммарной страховая надбавка делится пропорционально сред-

ним квадратическим отклонениям, то страховые надбавки рассчитываются

по формуле:

⋅ ,

(17)

где число

играет роль коэффициента пропорциональности. Страховые пре-

мии и относительные страховые надбавки вычисляются по формулам (15) и

(16), соответственно.

Заметим, что принцип 1) назначения премий не учитывает риска, связан-

ного с каждой группой договоров, и является, фактически, «уравниловкой».

Принципы же 2) и 3) лишены этого недостатка, т.к. обычно показателями риска

являются дисперсия или СКО.

В каждом конкретном случае следует выбирать: какой из принципов 1),

2) или 3) наиболее справедлив. Критерием выбора является средний коэффици-

ент вариации, рассчитанный по всему портфелю договоров:

(18)

где взят из (9). Коэффициент

c c разделит портфель договоров на две части

. В часть войдут те группы договоров, у которых A

≤

а в часть

те, у которых

cc> .

Считается, что

c является показателем риска портфеля страховой компании.

Следовательно, часть вносит в портфель меньший риск, чем часть

. Поэто-

му группы договоров, вошедшие в

, должны нести меньшую финансовую на-

грузку. Т.о., следует выбрать тот принцип назначения страховых премий, кото-

рый бы уменьшал относительные страховые надбавки

для групп договоров,

попавших в

, и увеличивал бы их для договоров из

Пример 3. Страховая компания заключила 10000 договоров страхования

жизни сроком на один год на следующих условиях: в случае смерти застрахо-

ванного в течении года от несчастного случая компания выплачивает наследни-

194

кам 1000 грн., в случае смерти от естественных причин 250 грн. и не платит ни-

чего, если застрахованный не умрет. Вероятность смерти от несчастного случая

для всех застрахованных 0,0005. Среди застрахованных две возрастные группы:

4000 человек в возрасте 28 лет и 6000 человек в возрасте 31 год.

Подсчитать величину резервов, обеспечивающую малую вероятность ра-

зорения компании, равную 5%. Обосновать распределение размеров страховых

премий среди возрастных групп.

Решение. Данные нашей задачи: общее число договоров ; число

возрастных групп

10000N =

; численность групп

4000N

и ; вероятность

разорения компании

6000N =

= ; квантиль

1, 645z

;

0,0018q

и ; ве-

роятность смерти от несчастного случая ; страховые возмеще-

ния грн. и грн;

0,00207q =

(2) (2)

0,0005qq==

(1) (1)

250bb==

(2) (2)

1000bb==

(1) ( 2)

1281

0,0018 0,0005 0,0013qqq=− = − = ;

(0)

128

1 0,9982pq=− =

;

(1) ( 2)

2312

0,00207 0,0005 0,00157qqq=− = − = ;

(0)

231

1 0,99793pq=− =

Для 1-й группы договоров закон распределения индивидуального иска

име-

ет вид

0 250 1000

0,9982

0,0013

0,0005

Для 2-й группы договоров закон распределения индивидуального иска

име-

ет вид

0 250 1000

0,99793

0,00157

0,0005

По формулам (4.1)-(4.4) найдем основные числовые характеристики индивиду-

альных исков:

0,825m = (грн.), ,

580,5694D =

24,09501

(грн.),

29,20607c

;

0,8925m = (грн.), ,

597,3284D =

24,4403

(грн.), .

27,38409c =

Используя (8)-(9), получим числовые характеристики суммарного иска

4000 0,825 6000 0,8925 8655

m =⋅ +⋅ = (грн.),

4000 580,5694 6000 597,3284 5906248

D =⋅ +⋅ = ,

4000 24,09501 6000 24,4403 243021,9

⋅+⋅= (грн.),

4000 29,20607 6000 27,38409 281128,8

c =⋅ +⋅ = .

По формуле (11) рассчитаем суммарную страховую надбавку

5906248 1,645 3997,81

l =⋅= (грн.).

Резервы компании вычислим по (9):

8655 3997,81 12652,81U =+ =

(грн.).

Рассмотрим три принципа назначения индивидуальных страховых пре-

мий: 1) пропорционально нетто-премиям, 2) пропорционально дисперсиям, 3)

пропорционально СКО.

195

1) Если надбавка делится пропорционально нетто-премиям, то относи-

тельная страховая надбавка

одинаковая для всех договоров и рассчитывается

по (12):

3997,81

0,461907

8655

== .

Поэтому (13) индивидуальные премии равны:

0,825 (1 0,461907) 1,206073p =⋅+ = (грн.),

0,8925 (1 0,461907) 1,304752p =⋅+ = (грн.).

2) Если суммарная надбавка делится пропорционально дисперсиям, то

индивидуальные страховые надбавки рассчитываются по формуле (14):

3997,81

580,5694 0,392974

5906248

l =⋅=

(грн.),

3997,81

597,3284 0,404318

5906248

l =⋅= (грн.).

Страховые премии вычислим согласно (15):

0,825 0,392974 1,217974p =+ = (грн.),

0,8925 0,404318 1,296818p =+ = (грн.).

Используя (16), получим относительные страховые надбавки

0,392974

0,476333

0,825

==,

0,404318

0,453018

0,8925

==.

3) Если суммарную страховую надбавку делить пропорционально

средним квадратическим отклонениям, то страховые надбавки вычисляются

по формуле (17):

3997,81

24,09501 0,396372

243021,9

l =⋅ = (грн.),

3997,81

24,4403 0,402053

243021,9

l =⋅ = (грн.).

Рассчитаем, согласно (15), страховые премии

0,825 0,396372 1,221372p =+ = (грн.),

0,8925 0,402053 1, 294553p =+ = (грн.).

По (16) найдем относительные страховые надбавки

0,396372

0,480451

0,825

==,

0,402053

0,450479

0,8925

==.

Теперь определим: какой из принципов назначения страховых премий 1),

2) или 3) наиболее справедлив. Для этого по (18) рассчитаем средний коэффи-

циент вариации портфеля договоров

281128,8

28,11288

10000

c ==.

196

Коэффициент c разделил портфель договоров на две части

. В часть

вошли те группы договоров, у которых

≤

а в часть

те, у которых

cc> .

Итак,

включает в себя 2-ю группу договоров, а

– 1-ю группу. Т.к. c явля-

ется показателем риска портфеля страховой компании, то 2-я группа вносит в

портфель меньший риск, чем 1-я группа договоров. Поэтому 2-я группа должна

нести меньшую финансовую нагрузку. Следовательно, выберем тот принцип

назначения страховых премий, который уменьшает относительную страховую

надбавку

и увеличивает

Результаты по страховым надбавкам приведем в табл. 3.

Табл. 3. Индивидуальные страховые надбавки примера 3

Принцип 1) Принцип 2) Принцип 3)

0,4619071 0,4763325 0,4804515

0,4619071 0,4530176 0,4504793

Ответ: следует принять принцип 3), по которому суммарная страховая

надбавка делится пропорционально средним квадратическим отклонениям, в

качестве основы для назначения индивидуальных страховых премий.

197

Лекция 10. РИСКИ ПРИ ДОЛГОСРОЧНОМ СТРАХОВАНИИ ЖИЗНИ

План

1. Полное страхование жизни.

2. Модель де Муавра продолжительности жизни.

3. Страхование жизни на

лет.

4. Страхование жизни, отсроченное на

k лет.

5. Расчет индивидуальных премий при долгосрочном страховании жизни.

1. Ранее отмечалось, что при краткосрочном страховании жизни договора стра-

хования заключались на относительно короткий период, не учитывался доход,

который со временем приносят деньги и фактор инфляции.

В случае долгосрочного страхования жизни сумма в грн. спустя лет

превратится в сумму

S T

⋅

, где

– непрерывная процентная ставка. Напомним,

что в лекции 2 было получено соотношение между годовой процентной став-

кой и непрерывной

(

)

re +=

⋅

Откуда

1er

или

(

)

1ln

Например, при

15%

= годовая ставка

0,15

1 1 0,1618 16,18%re e

=−= −≈ = .

Простейшим примером долгосрочного страхования является полное

страхование жизни. Его называют также пожизненным страхованием на слу-

чай смерти. При этом виде страхования человек платит страховой компании

грн., а компания соглашается выплачивать наследникам застрахованного грн.

после его смерти.

В отличие от примеров краткосрочного страхования ни факт предъявле-

ния иска, ни его величина не содержат элемента неопределенности: застрахо-

ванный когда-то умрет и компания обязательно выплатит грн. За счет чего

она сможет получить эту сумму? Дело в том, что компания получает плату за

страховку

грн. в момент заключения договора, а выплату грн. производит

много позже.

Пусть возраст страхуемого

лет. Обозначим через его остаточное

время жизни. При непрерывно начисляемых процентах к моменту смерти ком-

пания будет иметь сумму

()Tx

⋅

Доход компании от заключения договора

()Tx

− .

Чтобы иметь сумму грн. в момент смерти застрахованного, страховая компа-

ния должна получить в момент заключения договора сумму

()Tx

zbe

−

=⋅ (грн.)

198

Эта сумма выражает современную величину будущей страховой выплаты. Т.к.

эта сумма случайная, компания назначает в качестве нетто-премии ее матема-

тическое ожидание

{

}

()Tx

bM e

−

⋅ .

Если размер страхового пособия принять в качестве условной денежной еди-

ницы (т.е. у.е.), то нетто-премия при полном страховании жизни равна

1b =

{

}

()fT

mMe

−

(у.е.)

2. В расчетах при долгосрочном страховании жизни предполагают, что про-

должительность жизни описывается моделью де Муавра. Согласно этой модели

остаточное время жизни застрахованного имеет равномерное распределе-

ние на промежутке времени

()Tx

0 tx

<< −, где

– предельный возраст,

– воз-

раст на момент заключения договора.

Функция распределения остаточного времени жизни имеет вид:

0, 0

(() ) ,0

PT x t t x

≤

⎧

⎪

=<≤

⎨

−

⎪

>−

⎪

⎩

−

Поскольку случайная величина принимает значения на ограниченном

промежутке

()Tx

(0; )

− , то современная величина будущей страховой выплаты

принимает значения из промежутка . Функция распределения

случайной величины

()Tx

−

()

(

δω

−−

;1)

принимает следующие значения:

()

0Pz t<=, если

()

δω

−

⋅−

≤ ,

(

)

1Pz t

= , если . 1t ≥

Для имеем:

()

δω

−−

()

ln ln

Pz t Pe t P Tx t PTx t

−

⎛⎞

<= <= − < = >− =

⎜⎟

⎝⎠

()

ln ln

111

PTx

δω δω

⎛⎞

−

⎜⎟

⎛⎞

⎝⎠

=− ≤− =− =+

⎜⎟

−

⎝⎠

В итоге, получим

()

1, 1

Pz t e t

δω

−−

⎧

≤

⎪

<=+ <<

⎨

−

⎪

≥

⎩

Соответственно, плотность распределения величины

()

, ,1

0, ,1

δω

−−

⎧

∈

⎪

−

⎨

⎪

∉

⎩

Найдем нетто-премию при полном страховании жизни

m как математическое

ожидание случайной величины

199

()

m Mz tf t dt dt

δω

δω δω

−−

∞

−−

−

== = =

−−

∫∫

(1)

Как и ожидалось, нетто-премия монотонно возрастает при росте

и ста-

новится равной страховой выплате, если возраст на момент заключения догово-

ра

близок к предельному возрасту

. Находя начальный момент 2-го порядка

z , получим

(

)

()

δω

−−

−

Тогда дисперсия равна

() ()

2( ) ( )

()

Dz Mz Mz

δω δω

−− −

⎛⎞

−−

=− = −

⎜⎟

−−

⎝⎠

(2)

Пример 1. Подсчитать величину нетто-премии при заключении договора

полного страхования жизни для клиента в возрасте 30 лет, с предельным воз-

растом

= лет, при годовой процентной ставке 60%r

и размером страхово-

го пособия грн.

1000b =

Решение. По годовой процентной ставке рассчитаем непрерывную про-

центную ставку:

()

(

)

ln 1 0,6 ln 1, 6 0, 47 47%

=+= = =

Используя (1), найдём нетто-премию

50 0,47 23,5

0,0426

50 0,47 23,5

−⋅ −

−−

===

⋅

(у.е.)

Умножив это число на грн., получим нетто-премию в реальных денеж-

ных единицах:

1000b =

0,0426 1000 42,6

m =⋅= (грн.)

3. Другим видом долгосрочного страхования является страхование жизни на

лет. При этом виде страхования выплата страхового пособия производится, ес-

ли застрахованный умер в течение срока действия договора, т.е. лет с момен-

та заключения договора. Если же застрахованный прожил эти лет, то компа-

ния не платит ничего. Для этого вида страхования нетто-премия для клиента в

возрасте

лет рассчитывается по формуле:

()

−

(3)

Еще один вид страхования – -летнее смешанное страхование жизни.

Выплата страхового пособия производится на следующих условиях. Если

смерть застрахованного наступит до истечения срока действия договора, то

страховое пособие выплачивается в момент смерти. Если же застрахованный

дожил до окончания срока действия договора, то страховое пособие выплачи-

вается в момент окончания срока действия договора.

Этот вид выполняет как функции страхования, так и накопления средств.

Нетто-премия для застрахованного в возрасте

лет: