Полшков Ю.Н. Курс лекций по экономико-математическому моделированию

Подождите немного. Документ загружается.

∞

min

)

∗

Ю. Н. Полшков

КУРС ЛЕКЦИЙ

ПО ЭКОНОМИКО-

МАТЕМАТИЧЕСКОМУ

МОДЕЛИРОВАНИЮ

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………... 3

Часть I. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Лекция 1. Вводные понятия математического программирования………... 4

Лекция 2. Геометрическая интерпретация решения задач линейного про-

граммирования………………………………………………………………… 7

Лекция 3. Практическая реализация графического метода решения задач

линейного программирования………………………………………………... 11

Лекция 4. Теоретическое обоснование симплекс-метода………….……….. 15

Лекция 5. Симплекс-метод решения задач линейной оптимизации……….. 18

Лекция 6. Двойственность в линейной оптимизации……………………….. 26

Лекция 7. Экономико-математический анализ решения задач линейного

программирования…………………………………………………………….. 29

Лекция 8. Метод искусственного решения задач линейной оптимизации... 33

Лекция 9. Транспортная задача………………………………………………. 37

Лекция 10. Нахождение оптимального решения транспортной задачи…… 41

Лекция 11. Задачи нелинейного программирования………………………... 47

Лекция 12. Квадратичное программирование……………………………….. 51

Часть II. ЭКОНОМЕТРИЯ

Лекция 1. Вводные сведения по эконометрии………………………………. 55

Лекция 2. Линейная модель парной регрессии…………………….………... 59

Лекция 3. Нелинейные модели парной регрессии…………………………... 69

Лекция 4. Множественная регрессия……………………………….………... 78

Лекция 5. Матричная форма линейной модели множественной регрессии. 84

Лекция 6. Особенности многофакторных линейных эконометрических

моделей………………………………………………………………..………... 88

Лекция 7. Мультиколлинеарность…………………………………..………... 96

Лекция 8. Гетероскедастичность……………………………………………... 102

Лекция 9. Обобщённый метод наименьших квадратов……………………... 110

Лекция 10. Автокорреляция остатков………………………………………... 118

Лекция 11. Фиктивные переменные в регрессионных моделях…..………... 124

Лекция 12. Системы эконометрических уравнений……………….………... 129

Лекция 13. Временные ряды………………………………………...………... 139

Лекция 14. Моделирование с помощью временных рядов………..………... 148

Часть III. ЭКОНОМИЧЕСКИЙ РИСК

Лекция 1. Вводные сведения об экономических рисках……………………. 157

Лекция 2. Основные подходы в управлении экономическими рисками...… 159

Лекция 3. Запасы и резервы как способы снижения риска…………………. 163

Лекция 4. Финансовые риски и их особенности.……………………………. 167

Лекция 5. Вторичные ценные бумаги как мера ограничения риска.………. 171

Лекция 6. Формирование структуры фондового портфеля…………………. 175

Лекция 7. Оптимальный портфель ценных бумаг…………………………… 179

Лекция 8. Практические способы формирования оптимальных фондовых

портфелей………………………………………………………………………. 182

Лекция 9. Риски при краткосрочном страховании жизни..…………………. 187

Лекция 10. Риски при долгосрочном страховании жизни……………..……. 197

Лекция 11. Перестрахование и связанные с ним риски………………..……. 202

Лекция 12. Моделирование и оптимизация экономических рисков с по-

мощью теории игр………………………………………………………..……. 209

Заключение…………………………………………………………………….. 215

Приложения…………………………………………………………………….. 216

Литература……………………………………………………………………... 228

ВВЕДЕНИЕ

Объектом исследования экономико-математического моделирования

(далее ЭММ) являются социально-экономические системы. Под такими систе-

мами будем подразумевать отдельное предприятие или его часть, отрасль эко-

номики, отдельно взятую национальную экономику, экономический союз госу-

дарств, рынок ценных бумаг и т.д.

Для изучения объекта создают математическую модель, т.е. систему ма-

тематических соотношений, достоверно описывающую оригинал. Экономико-

математическая модель – это математическое описание социально-

экономической системы, процесса или явления с целью исследования и управ-

ления. Т.о., цель ЭММ – создание и изучение экономико-математических мо-

делей, предмет исследования – сами модели, метод – математические методы

исследования. ЭММ состоит из трёх частей: математическое программирова-

ние; эконометрия; экономический риск. Часто математическое программирова-

ние считают разделом отдельной прикладной науки – математических методов

исследования операций.

ЧАСТЬ I. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Лекция 1. ВВОДНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

ПРОГРАММИРОВАНИЯ

План

1. Основная терминология математического программирования.

2. Задачи линейного программирования.

1. Введём необходимые термины.

Математическое программирование (далее МП) представляет собой

науку, занимающуюся изучением задач на экстремум функции и разработкой

методов и алгоритмов их решения.

В общем виде задачи МП состоят в определении максимального или ми-

нимального значения целевой функции

(; ;...; ) max (min)

Zfxx x

→

, (1)

где

– функция произвольного типа.

Оптимальное решение должно удовлетворять системе ограничений:

112 1

212 2

( ; ;...; )

(; ;...; )

mnm

xxb

.................................

xxb

Φ≤

⎧

⎪

Φ≤

⎪

⎨

⎪

Φ≤

⎩

(2)

Заметим, что ограничения могут быть неравенствами со знаками или , а

также равенствами. Функции (

≤ ≥

Φ 1,i= m) могут быть произвольными.

Если практический смысл задачи МП исключает отрицательные значения

переменных, то дополнительно налагают

условие не отрицательности:

x ≥ ( 1,

n= ) (3)

Допустимым решением (планом) называют любой -мерный вектор

, удовлетворяющий системе ограничений (2) (и условиям (3)

при необходимости). Они образуют

область допустимых решений (далее

ОДР).

Оптимальным решением

(, ,..., )

Xxx x=

* ( *, *,..., *)

Xxx x

называется допустимое

решение, при котором целевая функция достигает экстремума.

При решении громоздких задач МП используют компьютерную технику.

Особенно популярны электронные таблицы и вычислительные математические

системы (MS Excel, WinQSB и др.).

2. В рамках МП особое место занимают задачи линейного программирова-

ния

(далее ЛП). В этом случае и целевая функция (1), и левые части ограниче-

ний (2) являются линейными функциями, т.е. искомые переменные

( 1,

n= )

могут возводиться только в первую степень.

Начало линейной оптимизации было положено в 1939 г., когда профессор

Ленинградского университета Л.В. Канторович (1912-1986) опубликовал свою

работу «Математические методы организации и планирования производства».

Став впоследствии академиком, Л.В. Канторович удостоился звания лауреата

Ленинской премии (1964) и Нобелевской премии по экономике (1975).

Параллельно с советскими учёными схожими проблемами занимались и

западные учёные. Термин «линейное программирование» впервые появился в

1951 г. в работах Дж. Данцига и Т. Купманса.

Пример 1 (Задача оптимального выпуска продукции). Пусть предпри-

ятием выпускается видов продукции , ,…, из видов сырья ,

,…, . Известны запасы сырья , ,…, , расходы (

P m

a 1,im= ;

) -

го сырья на производство единицы

-й продукции и цены реализации

c еди-

ницы продукции

-го вида.

Сколько единиц продукции каждого вида надо выпускать предприятию,

чтобы доход от её реализации был максимальным? Требуется составить мате-

матическую модель задачи.

Решение. Составим табл. 1.

Табл. 1. Данные задачи

Продукция

Запасы

сырья

Сырьё

…

… … … … … …

…

Цена реализации единицы продукции

…

Количество продукции

…

Здесь переменные

( 1,

n= ) – количество продукции -го вида, кото-

рое предполагается выпускать. Тогда – стоимость продукции

-го вида.

Пусть

– стоимость всей выпускаемой продукции. Поэтому целевая функция

приобретает вид

xcxcxcZ

⋅

2211

. Затраты сырья на всю выпускае-

мую продукцию составляют

11 1 12 2 1nn

ax ax ax

+⋅⋅⋅+ . Затраты не могут превы-

шать запасов , поэтому . Аналогичные неравенства

будут получены и для остальных видов сырья. По смыслу задачи все перемен-

ные должны быть неотрицательными.

11 1 12 2 1 1nn

ax ax ax b+ +⋅⋅⋅+ ≤

Математическая модель этой задачи ЛП имеет вид:

11 2 2

max

Zcx cx cx= + +⋅⋅⋅+ → , (4)

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

11 2 2

.......................................

mm mnn

ax ax ax b

+ +⋅⋅⋅+ ≤

⎧

⎪

+ +⋅⋅⋅+ ≤

⎪

⎨

⎪

+ +⋅⋅⋅+ ≤

⎩

(5)

x ≥ ( 1,

n= ). (6)

Для примера 1 задача ЛП составлена.

Заметим, что модель (4)-(6) при иных условиях может выглядеть по-

другому. Например, если

– общая стоимость бракованных изделий, то следу-

ет добиваться минимизации целевой функции. Ограничения могут содержать

знаки или .

≥ =

Другими известными задачами ЛП являются задача о рационе откорма

животных, задача раскроя материалов, транспортная задача, задача о назначе-

ниях.

Домашнее задание. Самостоятельно найти в учебниках модели перечис-

ленных задач ЛП и записать в конспект лекций.

Т.о. математическая модель задачи ЛП составляется по схеме:

1. Вводят переменные.

2. Составляют целевую функцию.

3. Записывают ограничения.

4. При необходимости налагают условия не отрицательности переменных (или

указывают интервалы изменения переменных).

Целевую функцию

называют критерием оптимальности, а в силу её

линейного вида она является

линейной формой.

Если в системе (5) исключены равенства и все ограничения имеют знак

, то задачу называют

симметричной.

≤

Если все переменные неотрицательны, все ограничения имеют вид ра-

венств и min

→ , то задачу ЛП будем называть канонической. Любое огра-

ничение-неравенство со знаком

≤

преобразуется в равенство прибавлением к

его левой части дополнительной неотрицательной переменной, а неравенство

вида – вычитанием. Любое ограничение-равенство можно представить в виде

двух неравенств со знаками и . Любую переменную произвольного знака

можно представит в виде разности двух дополнительных неотрицательных пе-

ременных.

≥

≤ ≥

Лекция 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

План

1. Геометрический смысл задачи линейной оптимизации.

2. Алгоритм графического решения задач ЛП.

1. Пусть дана задача ЛП:

11 2 2

max

Zcx cx cx= + +⋅⋅⋅+ → , (1)

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

11 2 2

.......................................

mm mnn

ax ax ax b

+ +⋅⋅⋅+ ≤

⎧

⎪

+ +⋅⋅⋅+ ≤

⎪

⎨

⎪

+ +⋅⋅⋅+ ≤

⎩

(2)

x ≥ ( 1,

n= ). (3)

Рассмотрим систему ограничений (2) с геометрической точки зрения. Ка-

ждое равенство

11 2 2

ax ax b

= определяет прямую в пространстве

. Эта пря-

мая делит координатную плоскость на две полуплоскости, определяемые нера-

венствами и

11 2 2

ax ax b+≤

11 2 2

ax ax b

≥

. Данные полуплоскости содержат

прямую в качестве границы.

Равенство

11 2 2 3 3

ax ax ax b

представляет собой плоскость в

. Эта

плоскость делит пространство на два полупространства, задаваемые неравенст-

вами и

11 2 2 3 3

ax ax ax b++≤

11 2 2 3 3

ax ax ax b

+≥. Граница полупространств –

данная плоскость – принадлежит им.

По аналогии равенство

11 2 2

...

ax ax ax b

++ = называют гиперплоско-

стью

в пространстве

. Это граничная гиперплоскость для полупространств,

определяемых неравенствами. Т.о., система ограничений задачи ЛП (2) содер-

жит полупространств из пространства m

. Если система совместна (имеет

хотя бы одно решение), то она определяет выпуклый многогранник, который

является геометрическим образом ОДР. Аналогично с трёхмерным пространст-

вом будем считать, что

угловыми точками выпуклого многогранника в -

мерном пространстве будут его вершины, образованные пересечением гиперп-

лоскостей.

Любая внутренняя и граничная точка ОДР является допустимым решени-

ем задачи. Приравняем целевую функцию к нулю. Тогда уравнение

11 2 2

cx cx cx

+⋅⋅⋅+ =

определяет в

гиперплоскость, проходящую через начало координат и пер-

пендикулярную вектору-градиенту

(, ,..., )

c сс c

. Направление вектора-

градиента показывает направление возрастания функции (рис. 1).

Рис. 1. Графическая иллюстрация задачи ЛП

Поэтому, чтобы найти максимум функции, необходимо передвигать па-

раллельными переносами эту гиперплоскость в направлении вектора как можно

дальше от начала координат, но чтобы она имела с ОДР хотя бы одну общую

точку. Минимум целевой функции достигается в точке ОДР, которая будет

ближайшей к началу координат при пересечении с перемещаемой гиперплоско-

стью.

2. Пусть задача ЛП содержит только две переменные

11 2 2

maxZcx cx

+→, (4)

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

11 2 2

.......................

ax ax b

+≤

⎧

⎪

+≤

⎪

⎨

⎪

≤

⎩

(5)

x ≥ ( 1, 2j = ). (6)

Тогда все построения можно выполнить в координатной плоскости и решить

задачу (4)-(6) графически.

Приведём алгоритм

графического решения задачи ЛП:

1. Записать уравнения граничных прямых

11 2 2ii i

1, m=

а x а xb=

(

i ) и построить

их на плоскости

Ox .

2. Определить полуплоскости, которые соответствуют каждому ограничению-

неравенству с помощью контрольной точки.

3. Выделить область допустимых решений (ОДР).

4. Построить вектор – направление наибольшего возрастания целе-

вой функции

(c с ,с=

)

( ) = grad = ,

c с ,с Z

⎛⎞

∂

⎜⎟

∂∂

⎝⎠

5. Построить прямую, перпендикулярную вектору

. Её называют линией

уровня

или изоцелью.

6. Перемещать эту прямую в направлении вектора

, если задача на максимум,

и в противоположном направлении, если задача на минимум, пока она не станет

касательной (опорной) к ОДР.

7. Определить координаты оптимальной точки и вычислить оптимальное зна-

чение функции

Рассмотрим наиболее типичные ситуации, возникающие при графических

решениях задачи ЛП. На рис. 2, А) показано, что в угловой точке

целевая

функция достигает максимального значения, а в точке

– минимального.

Рис. 2, Б) отражает случай, когда линия уровня параллельна отрезку

B ,

принадлежащему ОДР. Максимум целевой функции достигается в точке

, в

точке

(

max

() ()

ZA ZB==) и в любой точке отрезка

. Поэтому оптималь-

ных решений будет бесконечное множество и все они описываются выпуклой

комбинацией точек

(

)

1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2,

*(;)(1)(;) (1); (1)

ABBABA

Xxx xx x xx x

λλλλλ

=+− =+− +−

где 0

≤≤.

А) Б)

Рис. 2. Наличие графического решения задач ЛП

Напомним, что

выпуклой линейной комбинацией произвольных -

мерных векторов из пространства

, ,...,

XX X

называется сумма

11 2 2

...

XX X

λλ

++ ,

) и

∑

где числа 0

≥ (

1, n=