Полшков Ю.Н. Курс лекций по экономико-математическому моделированию

Подождите немного. Документ загружается.

Обозначим

∑

через

(

)

, Sab, тогда:

()

(

)

, Sab y a bx

−−⋅

∑

()

yabx

xy a bx

∂

⎧

=− − − ⋅ =

⎪

∂

⎨

∂

⎪

=− − − ⋅ =

⎪

∂

⎩

∑

;

Получим следующую систему линейных уравнений для оценки парамет-

ров и

b: a

;

an b x y

axbx x

⎧

⋅+⋅ =

⎪

⎨

⋅+⋅ =⋅

⎪

⎩

∑

∑∑∑

Решая эту систему уравнений, найдем оценки параметров:

()

cov ,

, a

−⋅,

где

()

cov ,

yyx

=⋅−

∑

yx⋅ – ковариация признаков

и ; y

=−

∑

– дисперсия признака

;

∑

a 0

– выбо-

рочные средние признаков.

Параметр называется коэффициентом регрессии. Его величина

показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну

единицу. Формально – значение при

. Если признак-фактор

не

может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка свободного члена

не имеет смысла, т.е. параметр может не иметь экономического

одержания.

a a

2. Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи.

При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя вы-

ступает линейный коэффициент корреляции

r , который можно рассчитать

по следующим формулам:

(

)

cov ,

yxy

σσ

=⋅ =

⋅

Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: .

Чем ближе абсолютное значение

r−≤ ≤

r к единице, тем сильнее линейная связь ме-

жду факторами (при имеем строгую линейную зависимость). Но сле-

дует иметь в виду, что близость абсолютной величины линейного коэффициен-

та корреляции к нулю ещё не означает отсутствия связи между признаками.

r =±

При другой (нелинейной) спецификации модели связь между признаками мо-

жет оказаться достаточно тесной.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат

линейного коэффициента корреляции

r , называемый коэффициентом детер-

минации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии резуль-

тативного признака , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результа-

тивного признака:

ост

=− ,

где



()

ост

=−

∑

()

yy y y

=−=−

∑∑

Соответственно величина

−

характеризует долю дисперсии , вы-

званную влиянием остальных, не учтённых в модели, факторов.

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных от-

клонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку

аппроксимации:



100%

−

=⋅

∑

Считается, что средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8–10%.

3. После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится провер-

ка значимости уравнения.

Проверить значимость уравнения регрессии – означает установить, соот-

ветствует ли математическая модель, выражающая зависимость между пере-

менными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравне-

ние объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой

переменной.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе

-критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. Со-

гласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов откло-

нений переменной от среднего значения

y y раскладывается на две части –

«объясненную» и «необъясненную»:

()



(

)



(

)

yy y y yy−= −+ −

∑∑ ∑

где

(

yy−

∑

)

– общая сумма квадратов отклонений;



(

yy−

∑

)

– сумма

квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадра-

тов отклонений); – остаточная сумма квадратов отклонений, ха-

рактеризующая влияние неучтённых в модели факторов.



(

yy−

∑

Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в табл. 1 ( –

число наблюдений, – число параметров при переменной

Табл. 1. Дисперсионный анализ

Компоненты

дисперсии

Сумма квадратов

Число степеней

свободы

Дисперсия на одну

степень свободы

Общая

()

yy−

∑

−

()

общ

−

∑

Факторная



()

yy−

∑



()

факт

−

∑

Остаточная



()

yy−

∑

1nm

−



()

ост

−

−−

∑

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к

сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете

на одну степень свободы, получим величину -критерия Фишера:

факт

ост

Фактическое значение -критерия Фишера сравнивается с табличным

(или критическим) значением

(

)

табл 12

;;Fkk

при уровне значимости

и сте-

пенях свободы и . При этом, если

km=

1knm=− −

(

)

табл 12

;;FF kk

> ,

то говорят, что найденное уравнение регрессии статистически значимо с на-

дёжностью не менее

− . В противном случае оно незначимо.

Для парной линейной регрессии

, поэтому



()



()

() ()

факт

ост

−

== ⋅−= ⋅−

−

∑

4. В парной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в

целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров

определяется его стандартная ошибка: и .

Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

()

ост ост

⋅

−

∑

где



()

ост

−

∑

– остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Величина стандартной ошибки совместно с -распределением Стью-

дента при степенях свободы применяется для проверки существенности

коэффициента регрессии и для расчёта его доверительного интервала.

2n −

Для проверки значимости коэффициента регрессии его величина срав-

нивается с его стандартной ошибкой. Определяется фактическое значение -

критерия Стьюдента

, которое затем сравнивается с табличным значе-

нием

(

табл

)

при уровне значимости

и числе степеней свободы

. Если

2kn=−

(

)

табл

;

tt k

> ,

то говорят, что коэффициент регрессии статистически значим с надёжностью

не менее

− . В противном случае он незначим.

Если (рис. 2), то при увеличении фактора

0b >

значение результатив-

ного признака увеличивается. При

увеличение

приводит к умень-

шению . Если , то факторы не зависят друг от друга.

y 0b =

Рис. 2. Наклон линии регрессии в зависимости от значения параметра

Доверительный интервал для коэффициента регрессии: . Гра-

ницы доверительного интервала для коэффициента регрессии не должны со-

держать противоречивых результатов, например,

табл b

bt m±⋅

1, 5 0, 8b

−

≤≤ . Такого рода

запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновремен-

но содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не

может быть.

Стандартная ошибка параметра определяется по формуле:

()

ост ост

mS S

nxx

=⋅ =⋅

⋅

⋅−

∑

Процедура оценивания существенности данного параметра не отличается

от рассмотренной выше для коэффициента регрессии. Вычисляется

t-критерий:

, его величина сравнивается с табличным значением при степе-

нях свободы.

2n −

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на ос-

нове величины ошибки коэффициента корреляции :

−

Фактическое значение

t-критерия Стьюдента определяется как

и срав-

нивается с табличным значением. Существует связь между -критерием Стью-

дента и -критерием Фишера:

tt F== .

5. Наличие эконометрической модели позволяет строить прогнозы.

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказы-

ваемое значение



как точечный прогноз



y при

, т.е. путем подста-

новки в уравнение регрессии



yabx

+⋅

соответствующего значения

. Од-

нако точечный прогноз не может считаться надёжным. Поэтому он дополняется

расчётом стандартной ошибки прогноза



m :



()

ост

−

=⋅++

⋅

Затем вычисляется интервальный прогноз значения



y :







ppp

yyy−Δ ≤ ≤ +Δ ,

где



(

)

табл

;

mt k

Δ= ⋅ .

Пример 1. В табл. 2 приведены данные по восьми группам семей. Требу-

ется построить линейную модель парной регрессии и провести полное эконо-

метрическое исследование.

Табл. 2. Данные по доходам и расходам семей

Доходы семьи,

, тыс. руб. 1,2 3,1 5,3 7,4 9,6 11,8 14,5 18,7

Расходы на продукты пита-

ния, , тыс. руб.

0,9 1,2 1,8 2,2 2,6 2,9 3,3 3,8

Решение. Предположим, что связь между доходами семьи и расходами на

продукты питания линейная. Для подтверждения нашего предположения по-

строим поле корреляции (рис. 3). По графику видно, что точки выстраиваются в

некоторую прямую линию.

Рис. 3. Корреляционное поле для примера 1

Для удобства дальнейших вычислений составим табл. 3. Рассчитаем па-

раметры линейного уравнения парной регрессии



yabx

+⋅:

()

cov ,

26,09 8,95 2,34

0,168

30,56

−⋅

== =

;

2,34 0,168 8,95 0,836a

−⋅ = − ⋅ =

Получили уравнение:



0,836 0,168

+⋅. Т.е. с увеличением дохода

семьи на 1000 руб. расходы на питание увеличиваются в среднем на 168 руб.

Табл. 3. Расчёты по примеру 1

№

y⋅



−



(

)

yy−

, %

1 1,2 0,9 1,08 1,44 0,81 1,038 –0,138 0,0190 15,33

2 3,1 1,2 3,72 9,61 1,44 1,357 –0,157 0,0246 13,08

3 5,3 1,8 9,54 28,09 3,24 1,726 0,074 0,0055 4,11

4 7,4 2,2 16,28 54,76 4,84 2,079 0,121 0,0146 5,50

5 9,6 2,6 24,96 92,16 6,76 2,449 0,151 0,0228 5,81

6 11,8 2,9 34,22 139,24 8,41 2,818 0,082 0,0067 2,83

7 14,5 3,3 47,85 210,25 10,89 3,272 0,028 0,0008 0,85

8 18,7 3,8 71,06 349,69 14,44 3,978 –0,178 0,0317 4,68

Ито-

го

71,6 18,7 208,71 885,24 50,83 18,717 –0,017 0,1257 52,19

Ср.

знач.

8,95 2,34 26,09 110,66 6,35 2,34 – 0,0157 6,52

5,53 0,935 – – – – – – –

30,56 0,874 – – – – – – –

Рассчитаем линейный коэффициент корреляции

r :

5,53

0,168 0,994

0,935

=⋅ = ⋅ = .

Близость коэффициента корреляции к единице указывает на тесную ли-

нейную связь между признаками. Коэффициент детерминации по-

казывает, что уравнением регрессии объясняется 98,7% дисперсии результа-

тивного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 1,3%.

0,987

r =

Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью -критерия

Фишера. Рассчитаем фактическое значение -критерия:

()

0,987

2 6 455,54

1 1 0,987

=⋅−= ⋅=

−−

Табличное значение при

26kn

−=, 0,05

= равно

. Так как , то признается статистическая значимость

уравнения в целом.

табл

5,99F =

факт табл

FF>

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и кор-

реляции рассчитаем

t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждо-

го из показателей. Для этого вычислим случайные ошибки параметров линей-

ной регрессии и коэффициента корреляции:



()

ост

0,1257

0,021

282

−

===

−

∑

;

ост

0,021

0,0093

5,53 8

== =

⋅⋅

;

ост

0,021 885,24

0,0975

5,53 8

⋅

=⋅ = =

⋅⋅

∑

;

110,987

0,0465

−−

== =

−

Фактические значения -статистик:

0,168

18,065

0,0093

t ==;

0,836

8,574

0,0975

t ==;

0,994

21,376

0,0465

t ==. Табличное значение -критерия

Стьюдента при

0,05

и числе степеней свободы есть

. Так как

26kn=−=

табл

2,447t =

таблb

tt> ,

таблa

tt> и

таблr

tt> , то признаем статисти-

ческую значимость параметров регрессии и коэффициента корреляции. Рассчи-

таем доверительные интервалы для параметров регрессии и : и

. Получим, что

atm±⋅

btm±⋅

[

]

0,597; 1,075a∈ и

[

]

0,145; 0,191b

∈

Ошибка аппроксимации



100%

−

=⋅

помещена в табл. 3. Сред-

няя ошибка аппроксимации

6,52%A = говорит о хорошем подборе модели

для исходных данных.

И, наконец, найдем прогнозное значение результативного фактора



при значении признака-фактора, который, к примеру, составляет 110% от сред-

него уровня

1,1 1,1 8,95 9,845

xx=⋅=⋅ = , т.е. найдем расходы на питание,

если доходы семьи составят 9,845 тыс. руб.:



0,836 0,168 9,845 2, 490

y =+⋅= (тыс. руб.)

Значит, если доходы семьи составят 9,845 тыс. руб., то расходы на пита-

ние будут 2,490 тыс. руб.

Найдем доверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза:



()

ост

9,845 8,95

1 0,021 1 0,154

8 8 30,56

⎛⎞

−

=⋅++ = ⋅++ =

⎜⎟

⋅⋅

⎝⎠

а доверительный интервал (







ppp

yyy−Δ ≤ ≤ +Δ ):



2,113 2,867

y<< .

Теперь на одном графике изобразим корреляционное поле и линию рег-

рессии:

Рис. 4. Корреляционное поле и прямая линия регрессии для примера 1

Лекция 3

НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПАРНОЙ РЕГРЕССИИ

План лекции

1. Нелинейные уравнения регрессии с линейно входящими параметра-

ми.

2. Уравнения регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

3. Коэффициент эластичности и нелинейные модели регрессии.

4. Показатели тесноты связи в уравнениях нелинейной регрессии.

5. Пример построения нелинейной модели парной регрессии.

1. Принято различать два класса уравнений нелинейных регрессий.

Первый из них включает нелинейные уравнения относительно объяс-

няющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам. К ним, на-

пример, относятся:

• многочлены (полиномы) различных степеней ,

dx⋅

и т.п.;



yabxcx=+⋅+⋅



yabxcx=+⋅+⋅ +

• равносторонняя гипербола



yabx; =+

• полулогарифмическая функция



yabx

+⋅ .

Регрессии первого класса приводятся к линейному виду заменой пере-

менных. Дальнейшая оценка параметров производится с помощью МНК. На-

пример, парабола второй степени



yabxcx

+⋅+⋅ приводится к линейно-

му виду с помощью замены:

xx x

= . В результате приходим к двух-

факторному уравнению , оценка параметров которого при

помощи МНК приводит к системе следующих нормальных уравнений:



yabxcx=+⋅ +⋅

11 121

2122 2

;

an b x c x y

axbx cxx xy

axbxxcx x

⎧

⋅+⋅ +⋅ =

⎪

⋅+⋅ +⋅⋅=⋅

⎨

⎪

⋅+⋅⋅+⋅ =⋅

⎪

⎩

∑∑∑

∑∑ ∑ ∑

После обратной замены переменных получим:

234

;

an b x c x y

axbxcx xy

axbxcx x

⎧

⋅+⋅+⋅=

⎪

⋅+⋅+⋅=⋅

⎨

⎪

⋅+⋅+⋅=⋅

⎪

⎩

∑

∑∑

∑∑∑∑

Равносторонняя гипербола



yab=+ x может быть использована для

характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива от объема

выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарообо-

рота, процента прироста заработной платы от уровня безработицы (кривая