Полшков Ю.Н. Курс лекций по экономико-математическому моделированию

Подождите немного. Документ загружается.

150

2) Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактически-

ми уровнями ряда и центрированными скользящими средними (графа 6 табл. 1).

Используем эти оценки для расчёта значений сезонной компоненты (табл. 2).

Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной

компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается,

что сезонные воздействия за период взаимно погашаются. В аддитивной моде-

ли это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем

кварталам должна быть равна нулю.

Для данной модели имеем:

289,667 264 271,417 293,375 11,125−−+ + =.

Корректирующее число:

11,125 4 2,781k ==.

Табл. 2. Расчёты сезонной компоненты

№ квартала,

Показатели Год

I II III IV

1999 – – 213,75 349,5

2000 -336,75 -238,375 277,875 316,25

2001 -299,25 -319,875 322,625 214,375

2002 -233 -233,75 – –

Всего за -й квар-

тал

-869 -792 814,25 880,125

Средняя оценка се-

зонной компоненты

для

i-го квартала,

-289,667 -264 271,417 293,375

Скорректированная

сезонная компонен-

та,

-292,448 -266,781 268,636 290,593

Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты

(

SS=−k

) и заносим полученные данные в табл. 2.

Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

292,448 266,781 268,636 290,593 0−−+ + .

3) Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каж-

дого уровня исходного временного ряда. Получим величины

(графа 4 табл. 3). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и

содержат только тенденцию и случайную компоненту.

TEYS+=−

151

4) Определим компоненту данной модели. Для этого проведем анали-

тическое выравнивание ряда (

) с помощью линейного тренда. Результаты

аналитического выравнивания следующие:

671,777 0,9233Tt=+⋅.

Подставляя в это уравнение значения

1, 2, ..., 16t

, найдём уровни

для каждого момента времени (графа 5 табл. 3).

5) Найдём значения уровней ряда

yTS

+ , полученные по аддитивной

модели (графа 6 табл. 3). Определим случайную компоненту

(графа 7 табл. 3).

()

Ey TS=−+

Табл. 3. Вспомогательные расчёты

yS−

()

yy−

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 375 -292,448 667,448 672,700 380,252 -5,252 27,584 92796,3906

2 371 -266,781 637,781 673,624 406,843 -35,843 1284,721 95249,3906

3 869 268,636 600,364 674,547 943,183 -74,183 5503,117 35862,8906

4 1015 290,593 724,407 675,470 966,063 48,937 2394,830 112476,391

5 357 -292,448 649,448 676,394 383,946 -26,946 726,087 104086,891

6 471 -266,781 737,781 677,317 410,536 60,464 3655,895 43524,3906

7 992 268,636 723,364 678,240 946,876 45,124 2036,175 97578,1406

8 1020 290,593 729,407 679,163 969,756 50,244 2524,460 115855,141

9 390 -292,448 682,448 680,087 387,639 2,361 5,574 83882,6406

10 355 -266,781 621,781 681,010 414,229 -59,229 3508,074 105381,391

11 992 268,636 723,364 681,933 950,569 41,431 1716,528 97578,1406

12 905 290,593 614,407 682,857 973,450 -68,450 4685,403 50793,8906

13 461 -292,448 753,448 683,780 391,332 69,668 4853,630 47796,8906

14 454 -266,781 720,781 684,703 417,922 36,078 1301,622 50906,6406

15 920 268,636 651,364 685,627 954,263 -34,263 1173,953 57780,1406

16 927 290,593 636,407 686,550 977,143 -50,143 2514,320 61194,3906

∑

– – – – – –

37911,97

1252743,75

Используя расчёты в графах 8 и 9 табл. 3, определим коэффициент детер-

минации:

()

37911,97

1 1 0,970

1252743,75

∑

=− =− =

∑−

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97%

общей вариации уровней временного ряда количества правонарушений по

кварталам за 4 года.

На одном графике (рис. 1) отложим фактические значения уровней вре-

менного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели.

152

Рис. 1. Фактические и теоретические значения уровней временного ряда

6) Прогнозирование по аддитивной модели. Предположим, что по наше-

му примеру необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и

II кварталы 2003 года. Прогнозное значение уровня временного ряда в адди-

тивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения

трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

671,777 0,9233Tt=+⋅.

Получим

671,777 0,9233 17 687,473T =+⋅=;

671,777 0,9233 18 688,396T =+⋅=.

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны:

и . Таким образом,

292,448S =−

266,781S =−

17 17 1

687,473 292,448 395FTS=+= − ≈ ;

18 18 2

688,396 266,781 422FTS=+= − ≈ .

Т.е. в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 395 и 422

правонарушений соответственно.

Построение мультипликативной модели рассмотрим на данных преды-

дущего примера.

153

1) Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методи-

кой построения аддитивной модели.

Табл. 4. Начальные расчёты по мультипликативной модели

№ квар-

тала,

Количество

правонаруше-

ний,

Итого за

четыре

квартала

Скользя-

щая сред-

няя за че-

тыре квар-

тала

Центрирован-

ная скользя-

щая средняя

Оценка се-

зонной

компонен-

ты

1 2 3 4 5 6

1 375 – – – –

2 371 2630 657,5 – –

3 869 2612 653 655,25 1,3262

4 1015 2712 678 665,5 1,5252

5 357 2835 708,75 693,75 0,5146

6 471 2840 710 709,375 0,6640

7 992 2873 718,25 714,125 1,3891

8 1020 2757 689,25 703,75 1,4494

9 390 2757 689,25 689,25 0,5658

10 355 2642 660,5 674,875 0,5260

11 992 2713 678,25 669,375 1,4820

12 905 2812 703 690,625 1,3104

13 461 2740 685 694 0,6643

14 454 2762 690,5 687,75 0,6601

15 920 – – – –

16 927 – – – –

2) Найдём оценки сезонной компоненты, разделив фактические значения

уровней ряда на центрированные скользящие средние (графа 6 табл. 4). Эти

оценки используются для расчета сезонной компоненты (табл. 5). Для этого

найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты . Так же как

и в аддитивной модели считается, что сезонные воздействия за период взаимно

погашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма

значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу

периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла равно 4.

Имеем

0,5816 0,6167 1,3991 1,4283 4,0257+++=.

Определяем корректирующий коэффициент:

4 / 4,0257 0,9936k ==

Скорректированные значения сезонной компоненты получаются при

умножении ее средней оценки

S на корректирующий коэффициент . k

Проверяем условие равенство 4 суммы значений сезонной компоненты:

154

0,5779 0,6128 1,3901 1,4192 4+++=.

Табл. 5. Сезонная компонента для мультипликативной модели

№ квартала, i

Показатели Год

I II III IV

1999 – – 1,3262 1,5252

2000 0,5146 0,6640 1,3891 1,4494

2001 0,5658 0,5260 1,4820 1,3104

2002 0,6643 0,6601 – –

Всего за -й квартал i 1,7447 1,8501 4,1973 4,2850

Средняя оценка сезон-

ной компоненты для

го квартала,

0,5816 0,6167 1,3991 1,4283

Скорректированная се-

зонная компонента,

0,5779 0,6128 1,3901 1,4192

3) Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значе-

ния сезонной компоненты. В результате получим величины

TE YS⋅= (графа

4 табл. 6), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Табл. 6. Вспомогательные расчёты по мультипликативной модели

()

yy−

()

yy−

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 375 0,5779 648,9012 654,9173 378,4767 0,9908 12,087443 92796,39063

2 371 0,6128 605,4178 658,1982 403,3439 0,9198 1046,1279 95249,39063

3 869 1,3901 625,1349 661,4791 919,5221 0,9451 2552,4826 35862,89063

4 1015 1,4192 715,1917 664,7600 943,4274 1,0759 5122,6371 112476,3906

5 357 0,5779 617,7539 668,0409 386,0608 0,9247 844,5301 104086,8906

6 471 0,6128 768,6031 671,3218 411,3860 1,1449 3553,829 43524,39063

7 992 1,3901 713,6177 674,6027 937,7652 1,0578 2941,4135 97578,14063

8 1020 1,4192 718,7148 677,8836 962,0524 1,0602 3357,9243 115855,1406

9 390 0,5779 674,8572 681,1645 393,6450 0,9907 13,286025 83882,64063

10 355 0,6128 579,3081 684,4454 419,4281 0,8464 4150,9801 105381,3906

11 992 1,3901 713,6177 687,7263 956,0083 1,0377 1295,4025 97578,14063

12 905 1,4192 637,6832 691,0072 980,6774 0,9228 5727,0689 50793,89063

13 461 0,5779 797,7159 694,2881 401,2291 1,1490 3572,5605 47796,89063

14 454 0,6128 740,8616 697,5690 427,4703 1,0621 703,82498 50906,64063

15 920 1,3901 661,8229 700,8499 974,2515 0,9443 2943,2253 57780,14063

16 927 1,4192 653,1849 704,1308 999,3024 0,9277 5227,637 61194,39063

∑

– – – – – –

43065,02 1252743,75

155

4) Определим компоненту в мультипликативной модели. Для этого

рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни

T . В результате

получим уравнение тренда:

⋅

651,6364 3, 2809

Tt=+⋅.

Подставляя в это уравнение значения

1, 2, ..., 16t

, найдем уровни

для каждого момента времени (графа 5 табл. 6).

5) Найдём уровни ряда

yTS

⋅ , умножив значения на соответст-

вующие значения сезонной компоненты (графа 6 табл. 6). Определим случай-

ную компоненту

()

EyTS

⋅ (графа 7 табл. 3).

Используя расчёты в графах 8 и 9 табл. 6, определим коэффициент детер-

минации:

()

43065,02

1252743,75

∑−

=− =− =

∑−

0,966

Сравнивая показатели детерминации аддитивной и мультипликативной

моделей, делаем вывод, что они примерно одинаково аппроксимируют исход-

ные данные.

Строим рис. 2.

Рис. 2. Фактические и теоретические значения уровней временного ряда, полу-

ченные по мультипликативной модели

156

6) Осуществим прогнозирование по мультипликативной модели. Если

предположить, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем

объеме правонарушений на I и II кварталы 2003 года, прогнозное значение

уровня временного ряда в мультипликативной модели есть произведение трен-

довой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты восполь-

зуемся уравнением тренда:

651,6364 3, 2809Tt=+⋅

Получим

651,6364 3,2809 17 707,4117T =+⋅=

;

651,6364 3,2809 18 710,6926T =+⋅=.

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны:

и . Итак,

0,5779S =

0,6128S =

17 17 1

707,4117 0,5779 409FTS=⋅= ⋅ ≈ ;

18 18 2

710,6926 0,6128 436FTS=⋅= ⋅ ≈ .

Т.е. в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 409 и 436

правонарушений соответственно.

Т.о., аддитивная и мультипликативная модели дают примерно одинако-

вый результат по прогнозу.

157

ЧАСТЬ III. ЭКОНОМИЧЕСКИЙ РИСК

Лекция 1. ВВОДНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭКОНОМИЧЕСКИХ РИСКАХ

План

1. Экономические риски: сущность, содержание, виды рисков.

2. Математические основы для изучения риска.

1. Риск – это возможная опасность потерь. Категории рисков: природно-

естественные, экологические, политические, транспортные, экономические.

Экономические риски представляют собой опасность потерь в процессе

финансово-хозяйственной деятельности. По структурному признаку экономи-

ческие риски делятся на имущественные, производственные, торговые, риски в

страховом бизнесе, финансовые.

Имущественные риски связаны с возможностью потери имущества пред-

принимателя по причине кражи, диверсии, халатности и т.д.

Производственные риски связаны с убытком от остановки производства в

связи с гибелью или повреждением основных и производственных фондов

(оборудование, сырье, транспорт и т.д.). Эти риски связаны и с внедрение в

производство новой техники и технологии.

Торговые риски связаны с убытком по причине задержки платежей, отка-

за от платежа в период транспортировки товара, недопоставки товара и т.д.

Риски в страховом бизнесе связаны с возможностью (вероятностью) ра-

зорения страховой компании.

Финансовые риски связаны с возможностью потерь финансовых средств.

Они делятся на две группы: риски, связанные с покупательной способностью

денег, и риски, связанные с вложением капитала (инвестиционные риски).

К первой группе финансовых рисков относятся: инфляционные, дефляци-

онные, валютные риски, риски ликвидности.

Инвестиционные риски условно включают в себя: риск упущенной воз-

можности, риск снижения доходности (процентные и кредитные), риск пря-

мых финансовых потерь (биржевой, портфельный, кредитный риски, риск

банкротства).

Экономические риски взаимосвязаны и обладают большой степенью

взаимопроникновения.

2. При ограничении или полном устранении факторов риска действенными мо-

гут оказаться разные подходы: диверсификация, передача риска, страхование,

проверка партнеров по бизнесу, грамотное составление контрактов, планирова-

ние и прогнозирование деятельности предприятия, составление бизнес-плана,

тщательный отбор кадров, организация защиты коммерческой тайны, получе-

ние дополнительной информации и т.д. Причем далеко не все способы ограни-

чения риска требуют применения экономико-математического моделирования.

158

Перечислим некоторые из видов риска, где удается эффективно приме-

нять математические методы. К таким видам риска, в первую очередь, следует

отнести самую большую группу – финансовые риски.

Если речь идет о кредитовании, то, в основном, на практике используют

моделирование потоков платежей. Эти модели оценивают внутреннюю доход-

ность сделки, будущую и текущую стоимость капитала с учетом (или без) ин-

фляции. Подходы здесь обычно детерминированные, т.е. фактор случайности

не учитывается. Если процентные и дисконтные ставки постоянны, то вполне

достаточно хороших знаний из области прогрессий. В противном же случае ис-

пользуются приближенные методы – экстраполяция, метод касательных (Нью-

тона) и т.д.

Большая подгруппа финансовых рисков – риски на рынке ценных бумаг.

Эта подгруппа рисков допускает весьма широкое использование математиче-

ских методов. Среди них методы теории вероятностей и математической стати-

стики, линейной алгебры, математического анализа, теории случайных процес-

сов, дифференциальных уравнений, теории полезности, эконометрии и т.д.

Наиболее известные модели в этой среде: модель Марковица-Тобина опти-

мального портфеля ценных бумаг, модель Мертона распределения капитало-

вложений по портфелю, модель Самуэльсона экономического броуновского

движения, модель равновесия САРМ Шарпа-Линтнера-Моссина, модель Блэка-

Шоулса стоимости опциона и т.д. Авторы всех названных моделей были удо-

стоены Нобелевских премий по экономике. Моделирование рисков на рынке

ценных бумаг – бурно развивающаяся область. Начиная с 90-х годов прошлого

столетия, большое число постсоветских математиков и экономистов работает в

этой области. Наиболее весомые результаты получены московской школой ма-

тематиков-вероятностников под руководством А. Н. Ширяева.

Риски в страховом бизнесе изучаются, в основном, вероятностными ме-

тодами. В силу своей специфики, портфели страховых компаний содержат

большое число однородных договоров. Моделирование в этой сфере основыва-

ется, в первую очередь, на законе больших чисел. Нормальное распределение

страховых исков играет здесь ключевую роль. Для расчетов используют либо

таблицы продолжительности жизни, либо т.н. кривые смертности, хорошо опи-

сываемые экспоненциальными функциями. При моделировании поступлений

исков используют как дискретные, так и непрерывные распределения вероятно-

стей.

Производственные риски допускают использование методов теории игр,

дискретной математики, эконометрии, экспертных оценок, построения дерева

решений и т.д. Классическая книга в этой области «Теория игр и экономиче-

ское поведение» фон Неймана, Моргенштерна.

Экономический риск как часть экономико-математического моделиро-

вания изучает модели, обязательно содержащие функцию риска, для которой

пытаются найти оптимальное значение.

159

Лекция 2. ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ В УПРАВЛЕНИИ

ЭКОНОМИЧЕСКИМИ РИСКАМИ

План

1. Общие подходы и принципы в управлении рисками.

2. Способы решения проблем, связанных с рисками.

3. Внутренние способы оптимизации (снижения) риска.

1. Открытие нового производства, выпуск нового товара и, вообще говоря, вся-

кая экономическая деятельность должна учитывать наличие риска. Сама при-

рода экономической деятельности (бизнеса) связана с факторами случайности,

недостоверности, неоднозначности, неизвестности, в конце концов. Предпри-

ниматель вынужден определять практические способы снижения угрозы убыт-

ков или банкротства.

Каждый субъект управления (менеджер, управленческая команда и т.д.) в

зависимости от специфики экономической деятельности выбирает конкретный

способ (или систему способов) управления рисками. Однако имеются и общие

(т.е. присущие всем) подходы. Среди них:

1. Использование всех возможных (с моральной и правовой точки зрения) спо-

собов избежать или снизить значительные или катастрофические последст-

вия риска.

2. Если риск существенен и нет возможности избежать его целиком, требуется

организовать контроль над ним. Такой контроль предполагает оптимизацию

степени риска или максимальное снижение возможных убытков.

3. Сохранение или даже увеличение степени риска, если это имеет смысл.

При управлении рисками можно руководствоваться такими принципами:

• не рисковать большим ради меньшего;

• не рисковать больше, чем позволяют собственные возможности (капитал);

• предполагать возможные последствия своих решений.

Процесс управления рисками можно представить обобщенной блок-

схемой (см. след. стр.).

2. Для решения проблем, связанных с риском, имеется ряд способов. Основные

из них приведены в блок-схеме (рис. 1) и нуждаются в разъяснении.

Избегание риска означает уклонение от определенного действия, которое

сопряжено с чрезмерным (катастрофическим) риском. В то же время, избегание

риска обычно предполагает отказ от прибыли (т.н. риск упущенных возможно-

стей).

Предупреждение риска – достаточно эффективный способ, позволяющий

в отдельных случаях снизить экономический риск. Например, в связи с расши-

рением международной торговли, отечественным компаниям приходится стал-

киваться с рисками. Среди способов предупреждения риска, которые могут ис-

пользоваться, следующие: повышение производительности труда, уменьшение

производственных затрат, снижение себестоимости продукции и повышение,

благодаря этому, своей конкурентоспособности.