Поклонский Н.А. и др. Полупроводники: основные понятия

Подождите немного. Документ загружается.

связанным электроном равна энергии уровня на ближайшем

соседнем узле без электрона. Образование потенциальной ямы на

узле, где нет элек трона, энергетически невыгодно, и веро ятность

возникновения такой ф лук т у ации пропорциональна exp(−E

T),

где E

— энергия связи полярона. Туннельный переход поляро-

на происходит в условиях, когда энергетические уровни в обеих

ямах одинаковы. Пользуясь термином “автолокализация элект-

рона”, следует помнить о несколько условном его смысле: в от-

сутствие каких-либо структурных дефектов полярон может быть

с равной веро ятностью обнар у ж ен в любой точк е кристалла. Если

два полярона объединяются в пару, возникает биполярон — бо-

зеподобное связанное состояние, для которого характерно кол-

лективное поведение входящих в него частиц.

# Квазиимпульс в одноэлектронной зонной теории появляется

как следствие инвариантности гамильтониана кристалла отно-

сительно трансляции электрона на постоянную решетки. На ве-

роятность пребывания электрона в данной то чке никак не влия-

ют остальные элект роны, т. е. эффекты корреляции между элек-

тронами отсутствуют, и электрон “чувствует” только их общее

среднее поле. Но при сильном электрон-электронном взаимодей-

ствии (корреляции) гамильтониан не обладает указанным свой-

ством симметрии для одного электрона: он инвариантен только

относительно трансляции на постоянную решетки всех электро-

нов в кристалле.

# Временем жизни носителя заряда в кристаллическом полу-

проводнике, диэлектрике называют средний интервал времени,

в течение которого заряд может свободно (или с рассеянием) пе-

ремещаться по кристаллу (и тем самым вносить вклад в элект-

ропроводность, теплопроводность и т. д.); среднее время пребы-

вания электрона в c-зоне и

или дырки в v-зоне.

# Упругая деформация кристаллического полупроводник а изме-

няет ширину E

запрещенной энергетической зоны с ростом дав-

ления P. При температуре T ≈ 300 К всесторонее сжатие Si дает

dP ≈ −1.5⋅10

−11

эВ

Па; Ge — dE

dP ≈ +5⋅10

−11

эВ

Па.

# Зона проводимости (с) и валентная зона (v) образованы со-

вокупностью атомных энергетических уровней, “расщепивших-

ся” в результате объединения свободных атомов в кристалличес-

кую решетку. Энергетическая щель E

между дном c-зоны и по-

толк о м v-зоны определяется постоянной кристаллической решет-

ки. В кристалле из N идентичных атомов каждый атомный уро-

вень расщепляет ся на N уровней, которые образуют квазинепре-

рывную разрешенную зону или ее часть. Электроны заполняют

разрешенные зоны энергий в соответствии с принципом Паули:

на N уровнях зоны может находиться не более 2N электронов.

Свойства кристалла зависят от числа электронов в зоне прово-

димости и

или от числа незаполненных уровней (вакансий для

электронов) в валентной зоне. Если энергетическая зона запол-

нена электронами частично, то под действием внешнего элект-

рического поля они перераспределяются по уровням в зоне. При

этом нарушается симметрия распределения электронов по ско-

ростям — возникает электрический ток. Поэтому кристалл с ча-

стично заполненной c-зоной является проводником электриче-

ства — металлом. Электроны в полностью заполненной v-зоне

из-за принципа Паули не могут перераспределяться по уровням

энергии; кристалл с пустой c-зоной и полностью заполненной

электронами v-зоной является диэ лектриком (изолятором). Если

тепловой энергии достаточно для перевода части электронов из

v-зоны в c-зону, электропроводность кристалла будет расти при

его нагревании. Такой кристалл являет ся полупроводником. Если

с- и v-зоны слабо перекрываются, кристалл является полуметал-

лом (например, Bi), а если эти зоны смыкаются (E

= 0) — бес-

щелевым полупроводником (α-Sn). Зонная теория — приближе-

ние к решению исконной задачи: вывести свойства кристалла из

свойств сост авляющих его атомов.

# Эффект корреляции спинов в конденсированных системах:

а) два электрона с различными ориентациями спинов стремятся

подойти друг к другу, б) два электрона с одинаковыми спинами

стремятся держаться вдали друг от друга.

# Энергетические зоны в кристаллах

Разрешенные энергетические зоны (полосы) электронов в крис-

талле кремния (германия, алмаза) образованы совокупностью атом-

ных энергетических уровней, “расщепившихся” в результате агло-

мерации свободных атомов в кристаллическую решетку. Уровни

энергии валентных электронов (е) атома расщепляются и сдвига -

ются намного больше, чем уровни внутренних электронов (i). Ши-

рина запрещенной зоны E

— энергетическая щель между валент-

ной (v) и зоной проводимости (c) — определяется равновесным рас-

стоянием

между ядрами, где a — постоянная решетки.

Схема расщепления дискретных уровней изолиров анных атомов

Si при уменьшении расстояния между ними (образование кристал-

лической решетки): E

— дно зоны проводимости; E

— потолок

валентной зоны; E

= E

− E

≈ 1.1 эВ — ширина запрещенной зоны

(энергетической щели); χ ≈ 4.15 эВ — электронное сродство (энер-

гия, выделяющаяся при захвате электрона с нулевой кинетической

энергией из вакуума на дно c-зоны кремния); E

≈ [h(12π

]

≈

≈ 12 эВ — ширина валентной зоны.

Полная энергия электрона











2N состояний (3s

)

2N электронов







4N состояний (sp

)

4N электронов

6N состояний (3p

)

2N электронов







4N состояний (sp

)

0 электронов

Расстояние между атомами Si в решетке

⋅

атомов Si в 1 см

v-зона

с-зона











√

# Плотность одноэлектронных состояний в кристалле

В приближении эффективной массы m волновая функция ψ и

энергия E делокализованного электрона в образце, имеющем фор-

му куба с ребром длиной L, нах о дятся из уравнения Шредингера (УШ)

),,(),,(

zyxEzyx

ψ=ψ













++−

Если принять граничные условия в виде ψ(0, y, z) = ψ(L, y, z) = 0

(и аналогичные условия для координат y и z), то из УШ получаем

во лновую функцию ψ

в виде стоячей во лны и энергию E

элек трона:

()

















































=ψ

zyx

sinsinsin

;

()

222

zyxl

lll

E ++

где l

, l

= 1, 2, 3, …; l

= l

+ l

Если принять периодиче ские граничные условия ψ(x, y, z) =

= ψ(x + L,y,z) (и аналогично для координат y и z), то из УШ получа-

ем волновую функцию электрона в виде бегущей волны (несущей

импульс p = ћk) и его энергию

() ()

iLzyx exp,,

−

=ψ

;

()

222

zyx

kkk

E ++==

где r — радиус-вектор; k

, k

= 0; ±2π

L; ±4π

L; ±6π

L; … .

Если L >> a, где a — постоянная решетки, то для электрона с

тепловой энергией E = 3k

2 и m = m

имеем l = L(2mE)

(πh) ≈

≈ 10

(при Т ≈ 300 К и L ≈ 1 см), т. е. при этом E непрерывно зависит

от l (или k). С учетом того, что каждой тройке квантовых чисел k

, k

отвечает элемент объема (2π

в k-пространстве, число со-

стояний в сфере объемом 4πk

3 равно (4πk

(2π

. Число со-

стояний в энергетическом слое (E, E + dE) с учетом двукратного

вырождения каждого из них по спину равно (для E << E

()

dEE

LdE

dEg

hπ













= L

dE.

−π

a π

а) б)

а), б) Закон дисперсии E(k) и плотность одноэ лектронных состояний.

а) Концентрация электронов n

и дырок p

в собственном (неле-

гированном) полупроводнике с шириной запрещенной зоны (энер-

гетической щели) E

= E

− E

при температуре T равна

= p

= 2(m

)

(2πk

(2πh)

)

exp(−E

T ),

где m

, m

— эффективные массы плотности состояний для элект-

ронов и дырок; уровень Ферми E

= −E

2 + (3

4)k

Tln(m

) от-

считывается от дна с-зоны; E

= E − E

≥ 0; E

= E

− E ≥ 0; E < 0.

б) Концентрация электронов проводимо сти n

≈ (2m

)

3π

металла не зависит от температуры.

в) В типичном бесщелевом полупроводнике (сером олове = α-Sn)

<< m

и уровень Ферми расположен в с-зоне:

≈ (2m

)

3π

; p

≈ 2(2πm

(2πh)

)

exp(−E

T );

из условия n

= p

получаем E

≈ k

T ln[(3π

4)(m

)

] и n

∝ T

# Зависимость энергии электрона E

(дырки E

) от волнового век-

тора k и одноэлектронной плотности состояний g от энергии E для

полупроводника (а), металла (б) и бесщелевого полупроводника (в)

c-зона

v-зона

, E

>> k

c-зона

v-зона

c-зона

v-зона

= (E − E

)

(2m

)

2π

∝ m

− E)

а)

б)

в)

# Делокализованные электроны (дырки) кристалла в однород-

ном магнитном поле

В кристалле с законом дисперсии E(k) = (hk)

2m полная энер-

гия электрона в магнитном поле с индукцией B равна

E(k

,α,s) = (hk

)

2m + (α + 1

2)hω

+ sgµ

B = E + sgµ

B = E ± (m⋅B),

где k

— проекция квазиволнового вектора k на направление маг-

нитного поля, т — эффективная масса электрона, α = 0, 1, 2, …;

= eB

— циклотронная частота; s = ±1

2 — спиновое кванто-

вое число, g = g

— эффективный g-фактор, µ

= eh

—

магнетон Бора, m

— спиновая эффективная масса делокализован-

ного элект рона, определяющая его эффективный магнитный мо-

мент m в кристалле; g

= 2.0023.

−π

α = 2

α = 1

α =

∝

√

01 3

ћω

g(E)

а) б)

а) Возможные энергии трехмерного движения электрона в маг-

нитном поле (показаны три параболы Ландау) как функции k

в 1-й

зоне Бриллюэна; а — постоянная кубической решетки.

б) Зависимость одноэлектронной плотности состояний g(E) от

энергии при ω

τ >> 1, где τ — среднее время релаксации квазивол-

нового вектора электрона проводимо сти из-за столкновений с де-

фектами (и колебаниями) решетки; штриховая кривая — g

∝

отсутствие магнитного поля (или при ω

τ << 1). Число состояний

для параболы Ландау с номером α равно 2V∆A

(2π)

= g

dE,

где V — объем кристаллического образца, ∆A

= (πk

⊥

)

− (πk

⊥

)

α+1

= 2πeB

h с учетом того, что (πk

⊥

)

= 2m(α + 1

2)hω

. Полная плот-

ность состояний получается суммированием g

по α от нуля до α

где α

≤ (E

hω

) − 1

2 ≤ α

+ 1.

Переход электрона между двумя состояниями с одними и теми

же значениями k

и α возможен только при переориентации спина.

5. ПОВЕРХНОСТЬ. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ СЛОИ И НИТИ

# Идеальная поверхность кристалла представляет собой дву-

мерное расположение атомов с тем же периодом, что и внутри

(или представляет сверхстр уктуру, созданную перегруппировкой

атомов поверхности). Следовательно, можно определить элемен-

тарные возбуждения, которые локализованы в узкой области в

направ лении нормали к поверхности, но распространяются вдоль

поверхности. Эти элементарные возбуждения условно подраз-

деляют на одночастичные возбуждения (электроны и

или дыр-

ки), локализованные в поверхностных состояниях; коллектив-

ные возбуждения (поверхностные плазмоны, как коллективные

возбуждения электронного (дырочного) газа вблизи поверхнос-

ти, поверхностные фононы и т. д.).

# Поверхностные (таммовские) состояния — двумерные со-

стояния носителей заряда (электронов, дырок), возникающие на

чистой поверхности кристалла из-за обрыва решетки. Энергети-

ческие уровни этих состояний всегда попадают в энергетиче с-

кие зоны, запрещенные для электронов объема с тем же значе-

нием компоненты квазиволнового вектора вдоль поверхности k

(это, однако, не противоречит существованию в объеме кристал-

ла разрешенных состояний с той же энергией, что и таммовские,

но с другими значениями k

). Т аммовские состояния образ у ю т

поверхностные энергетиче ские зоны, состоящие из близко распо-

ло женных уровней энергии, соответств ующих различным k

# Автоэлектронной (холодной, полевой) эмиссией называется

испускание электронов поверхностью конденсированной систе-

мы под влиянием постоянного внешнего электрического поля,

ускоряющего электроны в направлении от поверхности.

# Под отрицательным электронным сродством (χ < 0) пони-

мается такое состояние обращенной к вакуу му поверхности кри-

сталлического полупроводника (изолятора), когда уровень энер-

гии электрона в вакууме расположен ниже дна c-зоны в объеме

кристалла. Отрица тельное электронное сро дство достигается пу-

тем адсорбции примесных атомов, образующих на поверхности

кристалла электрический дипольный слой, понижающий уровень

вакуума; электроны могут выйти из c-зоны в вакуум, поскольку

нет энергетического барьера на поверхности, задерживающего

их. Технология изготовления кремниевых эмиттеров с отрица-

тельным сродством к электрону такова: на плоскость (100) под-

ложки n-типа Si эпитаксиально наращивается пленка p-типа с

последующим осаждением на ней нескольких атомных слоев це-

зия и активацией их кислородом. Так ой эмиттер электронов при-

меняют в качестве катода вакуумного диода; при подаче прямо-

го электрического смещения на pn-переход происходит инжек-

ция электронов из n-области (чере з p-область Si и слой активи-

рованного кислородом цезия) в вакуум к аноду. Поскольку элек-

троны, выходящие в этом случае в вакуум, предварительно тер-

мализуются в p-Si при температуре T ≈ 300 К, то энергетический

разброс эмиттированных электронов меньше, чем в случае ме-

таллических термоэлектронных катодов (например, из вольфра-

ма электроны “выпаривают” при T ≈ 2000 К). Установлено, что

χ < 0 обладает легированная и нереконструированная поверх-

ность (111) природного алмаза типа IIb (с удельным сопротивле-

нием на постоянном токе ≈ 10

Ом⋅см при T ≈ 300 К, прозрачного

в инфракрасной и ультрафиолетовой областях спектра).

# Различают два вида адсорбции : 1) физс орбция, при кот орой от-

сутствует перенос электронов между адсорбатом и адсорбент ом,

и силы притяжения между ними являются поляризационными;

2) хе мосорбция, соответств ующая наличию элек тронног о перено-

са, т. е. химической реакции между адсорба то м и адсорбент ом, и

силы прит яжения при это м имеют ту же природу, чт о и в соответ-

ств ующей химической связи. Энергия связи (или энергия десорб-

ции) при физической адсорбции меньше, чем при химической.

# Пористость — о тношение объема открытых пор (связанных с

внешней средой даже на уровне отдельных молекул) к общему

объему порист ого тела.

# Конденсированную систему частиц называют D-мерной

(D = 1, 2, 3), когда электроны, дырки или другие элементарные

возбуждения могут свободно перемещаться в D измерениях. Раз-

мерные явления наблюдаются в условиях, когда размеры образ-

ца сравнимы со средней длиной свободного пробега носителей

заряда l, средней длиной волны де Бройля λ

, диффузионной

длиной и т. д. Электропрово дность пленки с толщиной d ≤ l мень-

ше электропроводности объемного образца из-за дополнитель-

ного рассеяния на поверхности. Квантовые размерные осцилля-

ции тепловых, электрических, магнитных и оптических свойств

пленки в зависимости от ее толщины d наблюдаются при d ≤ λ

и связаны с расщеплением разрешенных энергетических зон

трехмерных кристаллических образцов на двумерные подзоны

(энергия только поперечного движения носителей заряда в плен-

ке — двумерной прямоугольной потенциальной яме — прини-

мает дискретные значения). Размерные явления наблюдаются и

в индуцированном слое (канале) МОП-транзистора (между ис-

током и стоком электроны проводимости движутся в двумерной

треугольной потенциальной яме, создаваемой приложенным к

затвору положительным электрическим потенциалом (относи-

тельно полупроводника p-типа)). При помещении МОП-транзи-

стора в квантующее магнитное поле, направленное перпенди-

кулярно плоскости индуцированного канала, имеет место трех-

мерное квантов ание движения двумерного газа электронов и мож-

но наблюдать квантовый эффект Холла. При это м зависимость

холловского сопротивления R

= U

от электрического потен-

циала на затворе (и

или магнитного поля) квантована: R

= h

ν), где ν = 1, 2, 3, …; h

= 25812.8 Ом; U

— холловская

разность потенциалов; I

— сила тока. (В квантующем магнит-

ном поле расстояние между уровнями Ландау много больше теп-

ловой энергии. Целочисленный квантовый эффект Холла интер-

претиру ется в одноэлектронном приближении, т. е. без учета вза-

имодействия между двумерными электронами проводимости.)

# Концентрация электронов проводимости в разрешенной

энергетической зоне (полосе) трехмерного кристаллического

образца объемом V есть:

()

∫∫

−−

=π= dEEfEgVdkdkdkEfn

FDzyxFD

)()()()2(2

где индекс 3 означает трехмерный; интегрирование в пределах

1-й зоны Бриллюэна; f

−1

= 1 + exp[(E − E

)

T] — распределе-

ние Ферми–Дирака, E

— уровень Ферми, k

T — тепловая энер-

гия, g

(E) = Vm

3/2

(2E)

1/2

(π

) — одноэлектронная плотность со-

стояний с кинетической энергией E = (hk)

2m в расчете на две

возможные ориентации спина электрона с квазиволновым век-

тором k и эффективной массой m. Размерность n

— (длина)

−3

Концентрация электроно в в кристаллической пленке площа-

дью A и толщиной L есть:

()

∫

∑

∫∫

−

=π= dEEfEgAdkdklkkEfn

yxyxFD

)()();,()2(2

где E = (h

2m)[k

+ k

+ (πl

] — энергия электрона,

(E) = l

Am(πh

)

−1

— одноэлектронная плотность состояний,

≤ L(2mE)

1/2

(πh) ≤ l

+ 1; размерность n

— (длина)

−2

. Концент-

рация электронов в кристаллической проволоке (нити) дли-

ной L и площадью A поперечного сечения есть:

()

∑

∫

∞+

∞−

−

π=

);()2(2

zzFD

dklkEfn

где E(k

, l

) = (h

2m)[k

+ (πl)

A] — энергия электрона,

= l

+ l

; l

≤ 2mAE

(πh)

≤ l

+ 1; размерность n

— (длина)

−1

# Тензор электропроводности s

эффективно двумерного (в

плоскости OXY) электронного газа в магнитном поле (направ-

ленном вдоль оси OZ) имеет вид: s













, где σ

= σ

= −σ

. Компоненты тензора удельного сопротивления r

электропроводности s

связаны соотношениями: σ

= ρ

(ρ

+ ρ

), σ

= −ρ

(ρ

+ ρ

); ρ

= ρ

; ρ

= −ρ

. Плотность тока

= σ

+ σ

вдоль оси OX в квантующем магнитном поле

приводит к холловской проводимости (по К. фон Клитцингу):

= J

= νe

h, где ν = 1, 2, 3, … — целое число. При этом в

состояниях двумерного электронного газа появляется запрещен-

ная зона (энергетическая щель) с шириной, равной расстоянию

hω

между соседними уровнями Ландау. Если уровень Ферми

лежит между двумя соседними уровнями Ландау и температу-

ра T << hω

, то диагональные компоненты тензора проводи-

мости электронного газа σ

→ 0, σ

→ 0.