Поклонский Н.А. и др. Полупроводники: основные понятия

Подождите немного. Документ загружается.

волновым вектором” k — соотношением k = p

ћ; кинетической

энергии частицы K сопо ставляется частота волны ω = K

ћ.

# Для электрона, движущегося в посто янном во времени и пери-

одическом в пространстве поле кристаллической решетки, со-

храняется энергия и квазиимпульс p; волновая функция элект-

рона ψ

(x + a) = ψ

(x)exp(ip

ћ), где a — период решетки, x —

координата. Элек тронные состояния, соответствующие значени-

ям квазиимпульса p

и p

+ 2πћ

a, эквивалентны. Для электрона,

движущегося поперек постоянного в пространстве и перемен-

ного во времени электрического поля плоского конденсатора, со-

храняется импульс и квазиэнергия; волновая функция электро-

на ψ

(t + τ) = ψ

(t)exp(iE

ћω), где ω = 2π

τ — круговая частота

поля, t — время. Электронные состояния, соответствующие зна-

чениям квазиэнергии E и E + 2πћω, эквивалентны.

# Квазичастица — эт о делокализованное элементарное в озбуж-

дение конденсированной системы многих частиц. Концепция ква-

зичастиц применима лишь при слабых отклонениях системы от

основного состояния, т. е. когда возбужденное состояние систе-

мы можно представить как газ квазичастиц. Например, концеп-

ция фононов годится до тех пор, пока амплитуда колебаний ато-

мов кристалла мала по сравнению с периодом решетки (т. е. вда-

ли от точки плавления).

# Концепция квазичастиц: вблизи основного состояния энер-

гетический спектр криста лла, состоящего из большого числа

сильно взаимодействующих частиц, “сводится” к спектру слабо

взаимодействующих квазичастиц. Точнее, выделяется подсисте-

ма степеней свободы (частицы), которая ведет себя как газ. Ква-

зичастица не описывает движения отдельной частицы — струк-

турной единицы кристалла. Напротив, как правило, квазичасти-

ца есть форма описания движения всех частиц — такого движе-

ния, которое неразложимо на более простые. Состояния в озбуж-

дения кристалла можно классифицировать следующим образом:

одночастичные — в кристалле есть одна квазичастица, напри-

мер, один фонон; двухчастичные — в кристалле две квазичасти-

цы и т. д. Хотя в рождении (исчезновении) квазичастицы прини-

мают участие все атомы кристалла , сама квазичастица — мик-

роскопический объект в том смысле, что ее энергия и (квази)им-

пульс — ат омных масштабов. Так, при низких температ урах сред-

няя энергия акустического фонона порядка тепловой энергии k

а экситона — порядка разности энергий в основном и возбуж-

денном состояниях одного атома. Как правило, число квазичас-

тиц, имеющихся в кристалле, огромно даже при низких темпе-

ратурах, хотя при T → 0 их нет вовсе. Так, например, при T = 1

в твердом аргоне (диэлектрический кристалл с одним атомом на

примитивную элементарную ячейку и температурой Дебая

= 92

К) концентрация фононов ≈ 7⋅10

см

−3

# Угловая частота (волновое число) — скорость изменения

фазы гармонической величины со временем (с расстоянием).

# Групповая скорость — скорость квазичастицы, равная dE

dp,

где E — энергия квазичастицы, p — квазиимпульс. Для любого

возбуждения, которое может существовать в кристалле, решетка

представляет собой систему с дисперсией: групповая скорость

возбуждений зависит от квазиволнового вектора (или квазиим-

пульс а). Использование понятия “квазиимпульс ” не обязательно

означает, что чере з кристалл передается “обычный” импульс с

соответствующей скоростью. Так, электрон, для которого груп-

повая скорость dE

dp = 0, но p ≠ 0, представляет собой стоячую

волну и обладает нулевым импульсом по отношению к кристал-

лу в целом.

# Фермиевский квазиимпульс p

— квазиимпульс

электрона проводимости с кинетической энергией E

и эффек-

тивной массой m на поверхности Ферми.

# Закон дисперсии — зависимость энергии квазичастицы (или

частоты волны) от квазиимпульса (или волнового вектора ) — по-

зволяет иллюстрировать изменение как E, так и p в процессах с

участием квазичастицы. Для одноэлектронного возбуждения в

кристалле (даже не обладающем цент ром пространственной ин-

версии) E

↑

(p) = E

↓

(−p), где ст релкой символически указано спи-

новое состояние. Импульсное пространство для описания элек-

тронов удобно тем, что в нем электрон (с определенным значе-

нием квазиимпульса p) покоится, хотя в к оординатном, естествен-

но, движется (если dE

dp ≠ 0).

# Как и в случае обычных частиц, при столкновениях квазичас-

тиц ∑

= ∑

— суммы энергий всех квазичастиц до и после

столкновения равны. Закон же сохранения квазиимпульса (или

квазиволнового вектора) имеет вид ∑

= ∑

+ b, где в пра-

вой части равенства, помимо суммы всех квазиимпульсов после

столкновения, стоит еще произвольный вектор обратной решет-

ки b. Те процессы, в которых b = 0, называются нормальными

столкновениями, а те, в которых b ≠ 0, столкновениями с пе-

ребросом.

# Первая зона Бриллюэна (ячейка Вигнера –Зейтца обратной

решетки) — область пространства квазиволнового вектора ква-

зичастицы, содержащая все точки, расположенные ближе к дан-

ному узлу обратной решетки, чем к любому другому. Форма зоны

Бриллюэна кристалла определяется только симметрией сопос-

тавляемой ему решетки Браве (например, для алмаза, Si, Ge и

α-Sn первые зоны Бриллюэна имеют форму кубооктаэдра). От

химического со става зависит закон дисперсии квазичастицы и

размер зоны Бриллюэна, где содержится ровно столько разре-

шенных неэквивалентных значений квазиволнового вектора,

сколько примитивных элементарных ячеек содержит трехмер-

ный кристаллический образец.

# Проце ссы переброса — столкновения частиц (квазичастиц) в

кристалле, при которых их суммарный квазиимпульс изменяет-

ся на величину ћb, где b — вектор обратной решетки. Это про-

цессы рассеяния (квази)частиц, когда изменение их квазиимпуль-

са выводит его за пределы первой зоны Бриллюэна. В процессе

переброса квазиимпульс ћb передается кристаллу как целому.

# Особенности Ван Хова — особенности (сингулярности) в за-

висимости плотности состояний квазичастиц в кристалле от их

энергии, связанные с обращением в нуль гр уппов ой скорости ква-

зичастиц в некоторых критических точках зоны Бриллюэна.

−3

−1

−































Натяжение,

равномерность

“Замороженный”

беспорядок

Податливость

Периодичность,

спокойствие

Диссипация

энергии

Броуновское

движение

а) б)

в)

г)

д)

е)

ж)

Атомы, атомные остовы, точечные дефекты

кристаллической решетки, обладающие

зарядом +2, 0, −3, −1 (в единицах модуля

заряда электрона)

Электроны

проводимости

Дырки (электронные

вакансии)

ПлазмонФотон

Фонон Магнон

Энергия

Координата

c-зона

v-зона

а), …, ж) Графика статики и динамики. Условные обозначения ато-

мов, ионов и некоторых элементарных возбуждений в кристалле.

Эксит он в кристалле из “нейтраль-

ных” атомов (электрон одного ато-

ма возбужден светом на водородо-

подобную орбиту вокруг элект-

ронной вакансии (дырки)) может

мигрировать по узлам решетки,

перенося энергию возбуждения,

но не заряд

Рекомбинация электрона и дырки на ло-

вушк е. Прыжковый переход электрона

между локализованными состояниями в

запрещенной зоне

# Представление состояний и процессов в кристалле

а), б) Зависимости полной энергии электрона — (

•

) (позитро-

на —

) (E

= (m

+ (hk)

и фотона E (эВ) ≈ 0.197⋅k (мкм

−1

) в

вакууме от их волновых векторов k, k; кинетическая энергия элек-

трона K ∝ k

; минимальная энергия, необходимая для рождения

электронно-позитронной пары E

= 2m

≈ 1.02 МэВ.

в) Зависимость полной энергии E электрона в c-зоне (дырки в

v-зоне) кристаллического кремния от квазиволнового вектора k в

направлении [100]; зависимость E от k повторяется с периодом

4π

a, где а ≈ 0.543 нм — период решетки; 1, 1' — прямые (верти-

кальные) переходы электронов из v- в c-зону при поглощении фо-

тонов; 2 — оптический переход с испусканием (поглощением) фо-

нона с волновым вектором q ≈ k

и энергией ћω

; 3, 3' — термализа-

ция электрона, дырки; h, l — подзоны тяжелых и легких дырок;

≈ ± 10 нм

−1

; E

≈ 1.1 эВ. Кинетическая энергия электрона с эф-

фективной массой m в одной долине с-зоны: K = h

(k − k

)

2m.

г) Зависимость энергии ћω

фононов от их квазиволнового век-

тора q в Si в направлении [100] (LA — продольные акустические

фононы, ТО — поперечные оптические); зависимость ω

от q по-

вторяется с периодом 4π

# Законы дисперсии для частиц и квазичастиц

(ћk)

cћk

2π

ћω

50 мэВ

02π

2TO

2TA

а) б)

в) г)

3. КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ

# Колебания кристаллической решетки — согласованные сме-

щения составляющих кристалл атомов около положений равно-

весия (узлов решетки). Амплитуда колебаний тем больше, чем

выше температура кристалла. На тепловые колебания кристал-

лической решетки могут налагаться колебания, вызванные рас-

про ст ранением в кристалле упругих волн, порождаемых вне-

шним воздействием. При упругом характере межатомного взаи-

модействия колебательная энергия кристалла равна сумме энер-

гий так называемых нормальных колебаний, каждое из которых

вовлекает в движение все атомы. Каждый атом в данном нор-

мальном колебании движется около положения равновесия; тра-

ектории движения одинаковы для эквивалентных по расположе-

нию в решетке и

или сорту атомов. В т рехмерном крист алле,

состоящем из N примитивных элементарных ячеек по β атомов в

каждой, существуют 3βN − 6 нормальных колебаний, которые

группируются в 3β ветвей: 3 акустических и 3(β − 1) оптичес-

ких. Нормальное колебание можно представить в виде двух уп-

ругих плоских волн, распространяющихся в противоположных

направлениях. Для длин волн много больших межатомного рас-

стояния, акустическим колебаниям решетки соответствуют

смещения элементарной ячейки как целого, а оптическим —

смещения атомов внутри примитивной элементарной ячейки.

Энергию колебательного состояния кристалла можно рассмат-

ривать и как сумму энергий фононов — квантов энергии упру-

гих колебаний. Квантов ая природа колебаний кристаллической

решетки проявляется в наличии нулевых колебаний ат омов при

абсолютно м нуле температур ы.

# В гармоническом приближении кинетическая энергия движе-

ния сов окупности атомов решетки есть сумма кинетических энер-

гий отдельных атомов, причем каждое слагаемое суммы зависит

от одной точки пространства. Потенциальная же энергия содер-

жит как члены, пропорциональные квадратам смещений отдель-

ных атомов, так и перекрестные члены, пропорциональные про-

изведению смещений пары атомов в разных точках криста лла.

Если с уществ ует систем а координат, в кот орой перекрестные чле-

ны исчезают, то координаты называются “нормальными коор-

динатами”. Тогда колебательная энергия кристалла будет равна

полной энергии совокупно сти невзаимодействующих объек-

тов — нормальных мод колебаний. Если нормальную моду ко-

лебания кристалла сопоставить с квантом энергии и, следова-

тельно, с квазичастицей (так называемым фононом), то ей мож-

но приписать квазиимпульс (импульс ?) ћq. Тогда мы можем рас-

сматривать энергию колебательных состояний решетки как на-

бор квазичастиц — фононов. Однако импульс фонона отличает-

ся от импульса частицы тем, что не может возрастать неограни-

ченно. Он может изменяться каждый раз на величину, кратную

ћb (где b — вектор обратной решетки); этот импульс “передает-

ся” решетке как целому, потому что фонон может существовать

только в решетке . Конечно, сумма всех импульсов, переданных

решетке, равна нулю и кристалл как целое не получает импульса

от собственных волн решетки. И все же при рождении или унич-

тожении фононов внешними возбуждениями (например, при не-

упругом рассеянии тепловых нейтронов) обычный импульс пе-

редается кристаллу. Энергия нормальной моды колебания (и фо-

нона) распределена по кристаллу в реальном пространстве, но

локализована в пространстве q для каждого из j типов колеба-

ний, где j = 3β — число степеней свободы примитивной элемен-

тарной ячейки, β — число атомов на ячейку. Моды колебаний,

вызывающие смещение центра массы примитивной ячейки, на-

зываются акустическими; моды, которые затрагивают только

внутренние степени свободы ячейки, называются оптическими.

Различие между этими модами колебаний наибольшее при

|q| << |b| (длинные волны). Число мод колебаний равно 3βN − 6,

где N — число примитивных ячеек в образце. Спектр собствен-

ных част от к олебаний кристалла ω(q) состоит из чередующих-

ся разрешенных и запрещенных зон. Число разрешенных зон

(“ветвей” колебаний) равно 3β; число различных квазиволновых

векторов q в зоне равно N − (2

β) ≈ N, так что общее число час-

тот (мод колебаний) равно числу колебательных степеней сво-

боды 3βN − 6 ≈ 3βN. Различимые значения q ограничены 1-й

зоной Бриллюэна. Число акустических фононов N

∝ (T

)

при T << T

и N

∝ T

при T > T

, где T

— температура Дебая.

Число оптических фононов N

∝ exp(−ћω

T) при k

T << ћω

где ω

— средняя частота оптических фононов в кристалле, и

≈ 3(β − 1)Nk

ћω

при k

T >> ћω

# Фонон — квазичастица, описывающая коллективные колеба-

ния атомов в кристалле при T > 0. Энергия колебательного дви-

жения решетки (кристалла) приближенно равна сумме энергий

фононов. Фононный газ — это бозе-газ с равным нулю хими-

ческим потенциалом.

# Закон Гука: в зоне упругости материала деформации пропор-

циональны напряжениям (давлениям).

# В аморфном твердом теле фононы с малыми квазиимпульса-

ми ввести можно, а с большими нельзя. Возможность введения

фононов с малыми импульсами связана с тем, что при колебани-

ях с большой длиной волны а т омная структура тела несуществен-

на: твердое тело воспринимается как упругий континуум. Когда

же длина волны фонона сопоставима с расстоянием между со-

седними атомами, расположение атомов в пространстве суще-

ственно для распространения фонона (возбуждения).

# Локальные колебания — ко ллек тивные колебания ато мов, рас-

положенных в окрестности необладающего внутренними коле-

бательными степенями свободы де фекта (примеси) кристалли-

ческой решетки; частоты локальных (щелевых) колебаний попа-

дают в одну из запрещенных зон (щелей) спект р а частот идеаль-

ног о кристалла. Колеба тельный спектр окрестности примеси (де-

фекта решетки) как бы настроен в резонанс с локальной часто-

той и выведена из резонанса с кристаллическими частотами. Для

релаксации локальных колебаний требуется ангармонический

процесс, в котором квант энергии локальных колебаний может

распасться на два или более фононов . Частоты так называемых

квазилокальных колебаний примеси попадают в одну из раз-

решенных зон (ветвей) частот и оказываются в резонансе с соб-

ственными частотами крист алла — матрицы. Квазилокальное

колебание нестационарно уже в приближении гармонических

колебаний атомов и, раз возникнув, оно распадается самопроиз-

вольно, возбуждая колебания всего кристалла. Относительное

(приведенное к одинаковой частоте колебаний) время жизни ква-

зилокального колебания меньше времени жизни локального ко-

лебания. Аналогично классифицируют (на локальные и квази-

локальные) внутримолекулярные колебания примесной молеку-

лы, состоящей из нескольких атомов примеси в решетке.

# Описание вибронного взаимодействия — взаимодействия

электронного движения с колебательным движением ядер (ион-

ных остовов) в молекуле (дефекте решетки) — лежит за преде-

лами адиабатического приближения.

# Низкочастотная динамика, как правило, присуща системам,

а высокочастотная — подсистемам (ср. акустические и опти-

ческие колебания кристаллической решетки).

# Акустические колебания кристаллической решетки — ко-

лебания, частота ω

которых пропорциональна волновому век-

тору q (для q << b, где b — вект ор обратной решетки). Прими-

тивная элементарная ячейка участвует в акустических коле-

баниях как целое. Число “ветвей” колебаний, т. е. зависимостей

(q), равно трем (2TA + LA).

# Отношение импульсов акустического фонона и равного ему

по энергии фотона равно отношению скоростей света c и звука

в кристалле. В силу того, что v

<< c, одновременное выполне-

ние законов сохранения энергии и импульса в процессе превра-

щения одного фотона в один поперечный акустический (или оп-

тический) фонон без участия так называемого “третьего тела”

невозможно; в первом приближении поперечные электромаг-

нитные волны не взаимодействуют с продольными колеба-

ниями кристаллической решетки.

# Оптические колебания кристаллической решетки связаны

с относительным смещением атомов в примитивной элементар-

ной ячейке с числом атомов β ≥ 2, т. е. возмо жны лишь в решет-

ках с базисом, когда с каждым узлом сопост авляемой кристаллу

решетки Браве связано два и более неэквивалентных по распо-

ложению и

или сорту атомов. Число оптических “ветвей” ω

(q)

равно 3(β − 1); частота оптических колебаний ω

слабо (по срав-

нению с акустиче скими колебаниями) зависит от волнового век-

тора q. Энергия практиче ски любого оптического фонона ћω

кристаллическом кремнии примерно равна 60 мэВ, в GaAs —

30 мэВ.

# Температура Дебая T

определяется предельными частотами

акустических колебаний ω

, разграничивающих область низких

и высоких температур по отношению к решеточным свойствам

кристалла. При температуре T > T

теплоемкость решетки (в гар-

моническом приближении C

= C

) не зависит от T, а при T < T

она пропорциональна T

. В модели Дебая величина ћω

= k

представляет собой максимальный квант энергии колебаний ре-

шетки. Для крист алла, со стоящего из атомов одного сорта,

ћω

= ћ[18π

((2v

−3

+ v

−3

)]

1/3

, где v

, v

— скорости попереч-

ных и продольных акустических (звуковых) волн, V

— объем,

приходящийся на атом. Для алмаза T

≈ 2230 К, для Si — 645 К,

для Ge — 374 К. Температурой Дебая для оптических колебаний

решетки называют величину ћω

—

, где ω

—

— средняя частота

оптических фононов.

# При упругом рассеянии (брэгговской дифракции) рентгено-

вских фотонов (квантов, лучей) на кристалле справедливо пра-

вило отбора для волновых векторов: k' = k + b, где k и k' —

волновые векторы падающего и рассеянного фотонов, b — век-

тор обратной решетки; при брэгговском рассеянии фотона крис-

талл в целом будет испытывать отда чу с импульсом ћb. Если фо-

тон испытывает неупругое рассеяние, при котором образуется

фонон с волновым вектором q, то k' + q = k + b. Если же при

неупр угом рассеянии фотона поглощается фонон с во лновым век-

тором q, то k' = k + q + b. Процесс переброса импульса фотона в

кристаллической решетке можно представить как ро ждение (или

уничтожение) им фонона с одновременным брэгговским отра-

жением. Опыты по неупругой дифракции пучка частиц на крис-

талле практически осуществляют с “тепловыми” нейтронами,

длина волны которых порядка постоянной решетки a = 2π

b, а

энергия порядка 0.1 эВ. При этом изменение энергии нейтрона