Поклонский Н.А. и др. Полупроводники: основные понятия

Подождите немного. Документ загружается.

имеет минимально возможный объем и содержит только неэкви-

валентные по расположению и

или сорту (типу) атомы.

# Каждой из 14 решеток Браве можно сопоставить обратную

решетку: точка, имеющая координаты h, k, l в осях обратной ре-

шетки, от вечает беск оне чному числу эквидистантных параллель-

ных плоскостей решетки Браве с миллеровскими индексами (h,

k, l). Таким образом, плоские волны в криста ллах можно охарак-

теризовать с помощью точек (узлов) обратной решетки. Напри-

мер, удобство применения зон Бриллюэна для описания элект-

ронных волн в кристалле состоит в том, что все волны, отвечаю-

щие точкам, лежащим на границах зон, отражаются кристалли-

ческой решеткой совершенно так же, как отражались бы рентге-

новские лучи с соответствующей длиной волны.

# Минимальный объем пространства, который, будучи подверг-

нут всем трансляциям, образующим решетку Браве, заполняет

все пространство, нигде не перекрываясь сам с собой и не остав-

ляя про межутков, называется примитивной элементарной ячей-

кой решетки Браве. Примитивная элементарная ячейка долж-

на содержать только одну точку (узел) решетки Браве. Всегда

можно выбрать такую примитивную элементарную ячейку, ко-

торая обладала бы полной симметрией решетки Браве. Наибо-

лее известным примером подобного выбора является ячейка

Вигнера–Зейтца: около каждого узла решетки Браве в прямом

(координатном) пространстве выделяется область, находящаяся

ближе к данному узлу, чем к любому другому. Такая же ячейка в

обратном пространстве (или пространстве волнового вектора)

называется первой зоной Бриллюэна. Ячейку Вигнера–Зейтца

можно определить для любого дискретного множества точек, не

обязательно являющегося решеткой Браве. При таком более ши-

роком определении ее называют многогранником (полиэдром)

Вороного–Дирихле.

# Обратная решетка определяется элементарными трансляци-

ями b

, b

и связана с решеткой кристалла (прямой решеткой

с трансляциями a

, a

) таким образом, что вектор b

перпен-

дикулярен векторам a

, a

и его длина обратно пропорциональна

длине вектора трансляции прямой решетки в этом направлении;

перпендикулярен a

, a

; b

— a

, a

. Ряды точек прямой ре-

шетки нормальны плоскостям обратной решетки и наоборот. По-

вторяющееся расстояние между точками отдельного ряда обрат-

ной решетки обратно пропорционально расстоянию между плос-

ко стями решетки криста лла, нормальными этому ряду точек.

Такое же соотношение справедливо для расстояний между то ч-

ками кристаллической решетки и расстояниями между плоско-

стями обратной решетки. Элементарные векторы трансляции ре-

шетки Браве в обратном пространстве определяются соотноше-

ниями: b

= (2π

)[a

⋅a

], b

= (2π

)[a

⋅a

], b

= (2π

)[a

⋅a

где V

= (a

⋅[a

⋅a

]) — объем примитивной элементарной ячейки

решетки Брав е в прямом пространстве; V

= (b

⋅[b

⋅b

]) = (2π)

Гранецентрированная кубическая (ГЦК) решетка Браве с дли-

ной ребра куба a в прямом пространстве соответствует объем-

ноцентрированной кубической (ОЦК) решетке Браве с длиной

ребра куба 4π

a в обратном пространстве (и, конечно, наоборот).

Ячейка Вигнера–Зейтца ГЦК решетки Браве в прямом простран-

стве (“ромбический додекаэдр”) имеет объем V

= a

4. Ячейка

Вигнера–Зейтца ОЦК решетки Браве в обратном пространстве

(“усеченный октаэдр”) имеет объем V

= (4π

2 = (2π)

называется 1-й зоной Бриллюэна.

# Прямая и обратная решетки обладают одинаковой то че ч-

ной группой симметрии. Рассмотрим оператор симметрии R,

соответствующий какому-либо собственному или несобственно-

му вращению, а также вектор r прямой решетки. Вектор Rr так-

же находится в прямой решетке, поскольку R является операто-

ром симметрии. Как известно, обратная решетка состоит из та-

кого же числа точек, что и прямая, поэтому каждому вектору в

обычной решетке должен соответствовать определенный вектор

в обратной решетке. Следовательно, если r

−1

является вектором

обратной решетки, соответствующим вектору r в прямой решет-

ке, то Rr

−1

также должен принадлежать обратной решетке. Та-

ким образом, операторы R, S, …, образующие то чечную подгруп-

пу пространственной группы симметрии прямой решетки, обра-

зуют такую же подгруппу пространственной группы симметрии

обратной решетки. Отсюда следует, что прямая и обратная ре-

шетки должны всегда принадлежать к одному кристаллическо-

му классу, однако совсем не обязательно, чтобы они имели оди-

наковый тип трансляционной симметрии. Например, у объемно-

центрированной кубической решетки обратная решетка — гра-

нецентрированная кубическая.

# Эпитаксия — ориентированный рост одного кристалла на по-

верхности другого (подложки). При наращивании кремния на

кремний говорят об автоэпитаксии, а при наращивании Si на

сапфир (Al

) о гетероэпитаксии.

# “Сверхатом” — твердотельная ст руктура, состоящая из сфе-

рическ ой области легированног о донорами кристаллического ма-

териала, окруженной беспримесной матрицей из тог о же мате-

риала (или с меньшей шириной запрещенной энергетической

зоны). “Оптические” электроны доноров “стекают” в матрицу, и

легированная область (“ядро” сверхато ма) получает положитель-

ный заряд, который определяется количеством доноров. Сверх-

атом дает возможность моделировать явления, которые сложно

реализовать в натурном виде.

# Полупроводниковыми сверхрешетками называют структу-

ры, в которых помимо потенциала кристаллической решетки с

периодом a имеется дополнительный одномерный потенциал с

периодом d >> a. Если средняя длина свободного пробега носи-

телей заряда l

–

>> d, то с- и v-зоны сверхрешетки представляют

собой набор d

a двумерных энергетических минизон. Малые

размеры допускаемых движений носителей тока в координатном

и импульсном пространствах обусловливают сильную нелиней-

ность электромагнитных свойств сверхрешетки (в частности, от-

рицательную дифференциальную электропроводность).

# Квазипериодическая функция представима в виде линейной

комбинации периодических функций с периодами, отношение

которых не выражается в виде отношения целых чисел.

# У быстро охлажденного сплава (Al + Mn) дифракционными

методами выявлено наличие икосаэдрической симмет рии

(обычный кристалл не может иметь ось симметрии пятого по-

рядк а, т. е. он не инвариантен о тносительно поворота на угол 2π

5).

Предполагается, что это состояние сплава характеризуется ква-

зипериодическим трансляционным дальним порядком (наряду

с ориентационным порядком).

# Понятие квазипериодического твердого тела (квазикристал-

ла) является обобщением понятия кристалла на структуру с ква-

зипериодическим (а не периодическим) трансляционным поряд-

ком. Это означает, что любая конечная часть паркетажа (мозаи-

ки) появляется бесконечное число раз в целой картине паркета.

Квазикристаллу присущ дальний ориентационный порядок: связи

между соседними точками (атомами или кластерами) ориенти-

рованы в среднем вдоль векторов, образующих “звезду”. Извес-

тны квазикристаллы с ориентационной симметрией икосаэдра,

додекаэдра и правильного десятиугольника (декагона). Квази-

кристалл состоит как бы из двух кристаллов, у которых отноше-

ние трансляционных периодов (в одном, двух или трех направ-

лениях) не равно отношению целых чисел. Возможно, квазикри-

сталлы представляют собой стеклообразную матрицу, в которой

хаотично распределены икосаэдрические кластеры атомов.

# Листья, чешу

и, лепестки и семена многих видов растений (ело-

вые шишки, подсолнухи, ананасы) упорядочены в решетки. Р яды

ближайших сос едей образуют два семейства спиралей: лево- и

правовинтовых. Наблюдается числовая закономерность, имену-

емая филлотаксис: количество спиралей в обоих семействах да-

ется числами Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …, причем для

левых и правых спиралей получаются числа, соседние в после-

довательности, например, (5, 8), (8, 13), (13, 21) и т. д.

# Кристаллизация электронного газа (по Е. Вигнеру) — обра-

зование электронной решетки в поле положительного, равномер-

но распределенного заряда — обеспе чив ается у меньшением энер-

гии кулоновского отталкивания делокализованных электронов

при образовании ими решетки. При увеличении плотности элек-

тронов или температуры устойчивым состоянием становится не

“электронная решетка”, а однородный “элект ронный газ”, т. е.

происходит “сублимация”. Электронная решетка при темпера-

туре T

→

0 является изолятором; возможность движения решет-

ки как целой не проявляется (полагается, что она закреплена,

например, неоднородностями положительно заряженных ионных

остовов). Электропроводность электронной решетки связывает-

ся с ее дефектами: перенос заряда осуществляется электронны-

ми вакансиями, которые образуются при переходе электронов из

узлов решетки в междоузлия. Существование именно трехмер-

ного “электронного кристалла” с периодичностью, зависящей от

концентрации электронов, еще предстоит установить со всей оп-

ределенностью.

# Асимметрическая единица — минимальная часть крист ал-

лической структуры, из которой можно получить весь кристалл

операциями симметрии пространственной группы. Она обычно

представляет часть элементарной ячейки и совпадает с после-

дней для триклинной сингонии. В случае молекулярных крис-

таллов асимметричная единица может содержать часть молеку-

лы, целую молекулу или несколько целых молекул либо их часть,

не связанных кристаллографической симметрией.

# Брэгга–Вульфа уравнение. Каждый дифракционный рентге-

новский луч можно рассматривать как “отражение” от семей-

ства параллельных плоскостей решетки (hkl). Если расстояние

между соседними плоскостями есть d

hkl

, то угол между дифра-

гированным лучом (при длине в о лны λ и n-м порядке дифрак-

ции) и нормалью к набору плоск остей решетки равен π

2 − θ

hkl

где 2d

hkl

sinθ

hkl

= nλ.

# Габитус — внешняя форма кристалла, описываемая наборами

симметрически связанных граней. Грани кристалла, по которым

скорость его роста наименьшая, лучше развиты и имеют наи-

большие размеры.

# Двойникование — образование в образце двух кристалличес-

ких областей (двойников), структуры которых связаны др уг с др у -

гом операцией точечной симметрии. Плоско сть двойникова-

ния — граница между двойниками — является одной из крис-

таллографических плоскостей.

# Двойное отражение (эффект Реннингера). Рентгеновские

лучи, рассеянные одним набором плоскостей решетки, да лее

могут отражаться другим набором плоскостей. Дважды отражен-

ный луч выходит в направлении, соответствующем отражению

от третьего набора плоскостей с индексами Миллера, являющи-

мися суммой индексов двух наборов плоскостей, дающих отра-

жение. В общем случае от эффекта Реннингера можно избавить-

ся, если переориентировать кристалл или изменить длину вол-

ны рентгеновского излучения.

# Кристаллы построены из атомов или групп атомов, повторяю-

щихся при одной и той же ориентации через регулярные интер-

валы в трех направлениях. Каждая такая группа атомов может

быть заменена реперной точк ой с образованием пространствен-

ной решетки или кристаллической решетки. Реперные точки

могут быть расположены или в положениях атомов, или в любой

другой то чке элементарной ячейки при условии, что эти пози-

ции полностью эквивалентны друг другу. Таким образом, крис-

таллическую решетку можно определить как совокупность

бесконечного числа равнорасположенных точек (узлов), связан-

ных друг с другом трансляционной симметрией. Значение этого

термина специальное и в общем случае он не может использо-

ваться для обозначения расположения атомов.

# Кристаллографические точечные группы, кристалличес-

кие классы. Точечная группа есть группа операций симметрии,

которые оставляют неподвижной по крайней мере одну точку

объекта, к которому они применяются. К 32 кристаллографи-

ческим точечным группам, или кристаллическим классам, от-

носятся такие группы, которые содержат лишь операции сим-

метрии, разрешенные в кристалле.

# Миллера индексы — набор трех целых чисел для идентифи-

кации грани кристалла, набора плоскостей и направления в ре-

шетке. Из набора плоскостей с индексами Миллера (hkl) первая

плоскость от начала координат будет отсекать от ребер элемен-

тарной ячейки a

, a

отрезки a

h, a

k, a

# Плоскость скольжения — элемент симметрии кристалличес-

кой решетки — отражение в плоскости с последующей трансля-

цией в направлении, параллельном плоскости. Винтовая ось —

элемент симметрии, действие которого состоит в повороте вок-

руг оси и трансляции параллельно этой оси на рациональную

часть постоянной решетки.

# Вещество может иметь несколько криста ллических структур в

зависимости от условий кристаллизации. Это широко распрост-

раненное явление называется полиморфизмом.

# Промолекула (прокристалл) — гипотетическая электронная

плотность, определенная суммированием электронных плотно-

стей свободных атомов в основном состоянии, расположенных в

тех же положениях, что и атомы данной молекулы (кристалла).

# Каждую из 230 прост ранственных групп можно рассматри-

вать как группу операций, переводящих независимую часть кри-

сталлической структуры — асимметрическую единицу — в бес-

конечно простирающийся мотив.

# Сфера отражений Эвальда: построение для вывода условий

дифракции рентгеновских лучей в терминах не прямой, а обрат-

ной решетки. Это сфера радиуса 1

λ, диаметр которой направ-

лен вдоль падающего на кристалл первичного пучка рентгено-

вских лучей с длиной волны λ. Начало обратной решетки распо-

ложено в точке, где падающий пучок выходит из сферы. При по-

падании узла обратной решетки P на поверхность сферы выпол-

няются условия дифракции (или отражения по Брэггу) рентге-

новского луча. Направление дифрагированного луча определя-

ется линией, соединяющей центр сферы с то чкой P. Таким обра-

зом, при любой ориентации криста лла относительно первично-

го пучка можно сказать, какие узлы обратной решетки и соот-

ветственно какие плоскости кристалла будут находиться в отра-

жающем положении.

# Элементарная ячейка — основной строительный б лок крис-

талла — характериз у ется тремя векторами a

, a

, образующи-

ми ребра параллелепипеда. Углы между этими вект орами обозна-

чаются как α (между a

и a

), β (между a

и a

) и γ (между a

и a

# Основные плоскости кристаллов кубической сингонии

(200)

(112)

(111)

[111]

(100)

[100]

[001]

[010]

(001)

(110)

(010)

(100)

# Монокристалличе ские слитки кремния со “встроенными” си-

стемами координат OXYZ и базовыми срезами

[001]

[11

–

(11

–

(001)

[001]

(001)

[100]

[010]

[100]

(111)

[010]

[001]

(111)

[111]

[12

–

(12

–

a) б)

Внутрь слитков помещены системы координат, связанные с со-

ответствующими крист аллографиче скими направлениями. Угол

между направлениями [11

–

0] и [100] составляет 45°. По бокам ци-

линдрических слитков показаны также базовые срезы и кристал-

лографиче ские направления, перпендикулярные к ним. Базовый

срез делают (шлифовкой слитка по образующей цилиндра) для за-

дания определенной ориентации, дополнительные срезы — для

идентификации типа легирующей примеси и удельного электри-

ческого сопротивления. В кубических кристаллах направления нор-

малей к плоскостям (hkl) имеют вид [hkl], т. е. нормали к плоско-

стям выражаются через индексы Милл ера плоскостей: а) слиток с

осью роста [001] и базовым срезом, параллельным плоскости (11

–

0);

б) слиток с осью роста [111] и базовым срезом, параллельным плос-

кости (12

–

1).

Кристаллографическая (условная) элементарная ячейка алмаза

(обозначена одинарными сплошными линиями) имеет форму куба.

Постоянная решетки a (в нанометрах) при T ≈ 300 К для алмаза

равна 0.356, для Si — 0.543, для Ge — 0.565, для α-Sn (серое оло-

во) — 0.649; ближайшие соседи отстоят друг от друга на

43a

Из 18 атомов, показанных на рисунке, только 8 принадлежат объе-

му a

, и атомная плотность со ст авляет 8

. Межатомные связи

(двойные линии) образуют тетраэдрическую структуру между че-

тырьмя ближайшими атомами. Примитивная элементарная ячейка

алмаза (обозначена штриховыми линиями) имеет форму ромбоэд-

ра, обладает объемом a

4 и содержит 2 атома углерода; “формиру-

ется” 9 атомами (темные). Решетка алмаза не является решеткой

Браве, поскольку окружение любого атома отличается по ориента-

ции от окружения его ближайших соседей, но ее можно предста-

вить, как две ГЦК решетки Браве, сдвинутые друг относительно

друга по объемной диагонали на

43a

. Центр симметрии решет-

ки алмаза расположен между любыми двумя атомами углерода.

# Фрагмент решетки ковалентных кристаллов

— Остов атома C (или Si, Ge, Sn), имеющий заряд +4 (в едини-

цах модуля заряда электрона);

— Кова лентная связь образуется парой электронов с противо-

положно направленными спинами, обобщенной между дву-

мя атомами