Поклонский Н.А. и др. Полупроводники: основные понятия

Подождите немного. Документ загружается.

за счет фонона, энергия которого меньше или порядка дебаевс-

кой энергии k

≈ 0.01 эВ, легко наблюдать. Для электронов

или рентгеновских лучей с длиной волны порядка 2π

b энергия

пучка много больше (десятки или сотни электронвольт), и по-

этому незначительные изменения их энергии при неупруг ой диф-

ракции обнаружить трудно.

# Поведение фонона с волновым вектором q обычно рассматри-

вают так, как если бы он обладал импульсом ћq (иногда ћq назы-

вают квазиимпульсом). В действительности же фонон с q ≠ 0 не

обладает истинным импульсом (количеством движения); фонон

с q = 0 имеет истинный импульс и сопоставляется перемещению

центра масс кристалла в пространстве. Например, в молекуле H

“фонон”, соответствующий колебанию атомов водорода друг от-

носительно друга, не обладает истинным импульсом; колебания

центра масс H

имеют импульс (это как бы соответствует фоно-

ну с нулевым волновым вектором).

# Сравнение закона дисперсии для акустических фононов с ма-

лыми кв азиво лновыми векторами и соответствующего закона для

фотонов подсказывает, что масса фонона равна нулю. Далее,

поскольку упругие волны кристалла в гармоническом прибли-

жении не взаимодействуют друг с другом и в одном и том же

состоянии может находиться произвольное число фононов, они

являются бозонами, т. е. обладают целым спином. Так как в от-

личие от фотонов у фононов возможны не два, а три типа поля-

ризации, то общее число проекций спина одног о фонона равно трем:

(+ћ, 0, −ћ).

# Ангар м ониз м ко лебаний кристаллической решетки — свой-

ство колебаний, обусловленное отклонением их от гармониче с -

ких. Под гар моническим ко лебанием поним ается колебание, про-

исхо дящее под воздействием возвращающей силы, линейно зави-

сящей от величины смещения атома из положения равновесия.

Ангармониз мом, в частности, объясняется тепловое расширение

кристаллов и отклонение теплоемкости C

при посто янном объе-

ме от закона Дюлонга–Пти (C

= 3N

= 24.94 Дж

(моль⋅К)) в

области высоких температур.

# Взаимодействие делокализованных электронов с акустичес-

кими фононами в кристалле

При излучении или поглощении электроном фонона должен вы-

полняться закон сохранения энергии и квазиимпульса (с точнос-

тью до вектора обратной решетки): E' = E(p ± ћq) = E(p) ± ћqv

, где

E(p) = p

(2m) — кинетическая энергия электрона с квазиимпуль-

сом p = ћk и изотропной эффективной массой m (предполагается,

что m не изменяет ся при взаимодействии электрона с фононом);

ћq — квазиимпульс фонона, v

— скорость звука (предполагается

не зависящей от направления в кристалле), ω

= qv

— круговая

частота фонона в окрестности центра зоны Бриллюэна; p' = p ± ћq.

√

√E

√

' =

√

√E

√

а) б)

√E

√

' =

√

√E

а) Заштрихованная область соответствует значениям начальной

E = p

(2m) и конечной E' = E − ћω

энергий электрона при излуче-

нии фонона с квазиимпульсом ћq = p − p'. Электрон может испус-

кать акустический фонон, если его кинетическая энергия удовлет-

воряет неравенству 2E > mv

, т. е. если его скорость |dE

dp| = p

больше скорости звука. При E >> mv

2 максимальная энергия ис-

пускаемого фонона (ћω

)

= | ∆E |

mEv

, т. е. энергичный (горя-

чий) электрон в одном акте излучения может потерять только ма-

лую часть своей кинетической энергии |∆E|

E ≤

<< 1.

б) При поглощении фонона электроном допустимые значения

энергий представляются заштрихованной областью (E, E' — кине-

тическая энергия электрона до и после поглощения фонона с ква-

зиимпульсом ћq = p' − p. Горячий электрон (E >> mv

2) и при по-

глощении фонона меняет свою энергию на малую величину.

4. ДЕЛОКАЛИЗОВАННЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ.

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗОНЫ В ТРЕХМЕРНЫХ КРИСТАЛЛАХ

# Зонная теория криста ллических твердых тел, квантовая тео-

рия спектра энергий электронов кристалла, состоящего из чере-

дующихся зон (полос) разрешенных и запрещенных энергий.

Основа з онной теории — одноэлектронное приближение: 1) ско-

рость движения ат омных ядер около поло ж ений равновесия много

меньше скорости электронов; 2) любой электрон движется в трех-

мерно-периодическом поле, создаваемом ядрами и остальными

электронами. Зона проводимости (с) и валентная зона (v) обра-

зованы совокупностью атомных энергетических уровней, “рас-

щепивших ся” в результате об ъединения свобо дных атомов в кри-

ст алл. В соответствии с зонной теорией движение электрона в

кристаллической решетке сходно с движением электрона в ва-

кууме, однако фактически носит туннельный характер; электрон

в кристалле оказывается квазичастицей с эффективной массой.

В зонной теории считается, что коллективные свойства решетки

при температуре T

→

0 формируют закон дисперсии “кристал-

лического” электрона, а “некогерентные” виды взаимодействий

вызывают переходы электрона из одного делокализованного со-

стояния в другое (взаимодействия с фононами, примесными ато-

мами и т. д.). Диаграммы энергетических зон соответствую т элек-

тронной энергии. Энергетический спектр каждого электрона со-

стоит из чередующихся разрешенных и запрещенных зон (по-

лос) энергии. Итак, в одноэлектронном подходе предполагает-

ся, что можно рассматривать каждый электрон в усредненном

поле всех электронов и ядер, т. е . можно выделить движение од-

ного электрона. Проводя такое рассмотрение для каждого элект-

рона, можно приближенно описать электронные свойства систе-

мы.

# Основой для описания электронных свойств многих кристал-

лических тел служит зонная теория. Она ст роится на двух при-

ближениях: 1) колебательное движение ато мов, образующих кри-

сталл, слабо влияет на состояние э лектронов в нем, поэтому при-

ближенно можно считать все атомы (ионные остовы, ядра) нахо-

дящимися в положении равновесия; 2) влияние на данный элект-

рон остальных электронов можно учесть введением с амосогла-

сованного потенциала взаимодействия, зависящего от их сред-

ней плотности. Адиабатическое (1) и одноэлектронное (2) при-

ближения математически эквивалентны утверждению, что каж-

дый электрон движется в идеально периодическом поле, облада-

ющем симметрией решетки кристалла. Это позволяет выразить

волновую функцию всей совокупности электронов через одно-

электронные блоховские функции. Основное различие моделей

зонной структуры сводится к способам вычисления этих одно-

электронных функций внутри элементарных атомных ячеек, на

которые разбивается все вещество, и методам “сшивания” реше-

ний уравнения Шредингера на границах ячеек. Таким образом,

условия 1) и 2) каждое в отдельности необходимы, а вместе дос-

таточны для построения зонной теории энергетического спект-

ра кристалла.

# Делокализованный электрон в твердом теле — квазичасти-

ца с зарядом −e и спином ћ

2 электрона в вакууме, динамичес-

кие свойства которой определяются законом дисперсии E(p) (в

частных случаях компонентами тензора обратной эффективной

массы m

−1

= ∂

∂p

в окрестности экстремума(ов) на зависи-

мости полной энергии E от квазиимпульса p).

# Дырка — квазичастица с зарядом +e и спином ћ

2, возникаю-

щая при освобождении занятого состояния вырожденного Фер-

ми-распределения электронов; подвижная электронная в а кансия.

# Понятие дырки (электронной вакансии) введено В. Гейзен-

бергом при анализе электропроводности кристалла, в разрешен-

ной энергетической зоне которого из n состояний p не заняты

электронами: p воображаемых по ложительно заряженных дырок

создают точно такой ток, как и n − p электронов, частично запол-

няющих зону. Сравним две совокупности частиц: 1) n − p элект-

ронов, оставляющих p состояний из n возможных состояний зоны

незанятыми; 2) n электронов, целиком заполняющих зону, и p

воображаемых положительно заряженных электронных вакан-

сий. Тогда токи, образуемые ими, будут одинаковыми, когда под

действием внешнего электрического поля E

и поля кристалли-

ческой решетки E

(создаваемого всеми зарядами, кроме рас-

сматриваемого) p электронных вакансий будут двигаться таким

же образом, как те p электронов заполненной зоны (2-я совокуп-

ность), которые занимают p состояний, свободных в реальной

зоне (1-я совокупность). Электроны целиком заполненной зоны

вклада в электрический ток не дают. Уравнение движения элект-

рона есть m

dt = −e(E

+ E

) = −eE, где m

— масса электро-

на в вакууме, −e — заряд электрона. Для того, чтобы электрон-

ная вакансия с зарядом +e двигалась с тем же ускорением dv

dt,

что и электрон, уравнение движения должно иметь вид: −m

dt = eE. Это значит, что электронной вакансии следует припи-

сать массу −m

. Итак, если вместо p вакантных состояний зоны

ввести в рассмотрение p электронов (m

, −e) и p электронных

вакансий (−m

, +e), то движение n − p электронов сводится к дви-

жению p электронных в акансий; электрон непрерывно сопровож-

дает э лектронная вакансия и электронейтральность кристалла не

нарушается. От введенных выше электронных в ак ансий (−m

, +e),

подверженных действию кристаллического потенциала, можно

перейти к дыркам — квазичастицам с эффективной массой m > 0

и зарядом +e, аналогично тому, как это делается для электронов;

замена −m

на m > 0 учитывает действие сил решетки.

# Эффективная масса — тензорная величина, характеризую-

щая инертные свойства квазичастицы (электрона проводимос-

ти, дырки) в кристалле. Д ействие потенциала решетки на элект-

рон эквивалентно замене его массы в вакуу ме на эффективную

массу плотности состояний m

, которая вх одит в выраж ение для

концентрации электронов n ∝ m

3/2

. Эффективная масса m

, вхо-

дящая в выражение для электропроводности σ = e

nτ

, где τ —

среднее время изотропной релаксации квазиимпульса, опреде-

ляется отношением приложенной внешней силы к ускорению

электрона и входит также в выражение для средней кинетичес-

кой энергии K = m

2 = 3k

2. Циклотронная эффективная

масса m

= (1

2π)⋅∂A

∂E, где A — площадь экстремального сече-

ния из оэнерг етической поверхности E(p) = const плоскостью, нор-

мальной к магнитному полю. Для квадратичного изотропного за-

кона дисперсии m

= m

. При введении эф фек тивной массы в

случае произв о льного закона дисперсии E(p) речь может идти об

удобстве того или иного опре деления, о большей или меньшей

св язи с известными и привычными понятиями.

# Для описания равновесных свойств электронов проводимости

и дырок в кристаллических полупроводниках важна лишь срав-

нительно малая часть зоны Бриллюэна, отвечающая экстрему-

мам энергии (“дно” и “пото лок” зоны разрешенных энергий). Ок-

рестность абсолютного минимума в зависимости энергии элект-

рона c-зоны (дырки v-зоны) от квазиимпульса называют доли-

ной, а кристаллы с несколькими минимумами — многодолин-

ными. В Si и Ge вблизи каждого минимума энергии электронов

c-зоны изо энергетическая поверхно сть имеет вид эллипсоида

вращения; в Si в первой зоне Бриллюэна расположено 6 долин, в

Ge на первую зону Бриллюэна приходится 4 долины. В термоди-

намиче ском равновесии электроны распределяются поровну

между долинами. Изоэнергетические поверхности вблизи мини-

мума энергии легких и тяжелых дырок v-зоны в Si и Ge имеют

вид гофрированных сфер, расположенных в центре зоны Брил-

люэна. В Si доля легких дырок составляет приближенно 14

% от

общего числа дырок, в Ge — 4

# С одной стороны, в зонной теории электрические св ойств а твер-

дого тела определяются квазичастицами — электронами и дыр-

ками, которые отличаются величиной массы (а дырки и знаком

заряда) от свободного электрона. С другой стороны, в опытах

Толмена–Стюарта (измерялось ко личество электричества, про-

шедшее по вращающейся катушке провода за время ее торможе-

ния) и Барнетта (измерялся механический момент, возникаю-

щий в катушке при изменении величины протекающего через

нее заряда) было установлено, что отношение массы к заряду

носителей электричества даже у металлов (Be, Zn, Cd) с поло-

жительным значением постоянной Холла равно −m

e < 0, где m

— масса электрона в вакууме, e — модуль заряда электрона. Та-

ким образом, описание твердого тела в полях неэлектромагнит-

ной природы (инерционном, гравит ационном) в рамках прибли-

жения эффективной массы не адекватно опыту. Например, в од-

ноэлектронном приближении действие на электрон поля инер-

ции с ускорением g эквивалентно действию на него однородного

электрического поля с напряженностью m

e; поле сил инер-

ции действует на каждый электрон в отдельности, независимо

от степени заполнения энергетической зоны.

# Разрешенная энергетическая зона (полоса) — область зна-

чений энергии, которые может приним ать квантовая система; ин-

тервал энергий, заполненный собственными значениями энер-

гии квазичастицы в кристалле. Разрешенные энергетические

зоны электронов в кристалле образо в аны совокупностью атом-

ных энергетических уровней, “расщепившихся” в результате аг-

регации атомов в решетк у, т. е. это области значений полной энер-

гии электрона. Хотя структура зоны дискретна, уровни весьма

близки (квазинепрерывны) и им соответствуют делокализован-

ные волновые функции — веро ятность обнару жить электрон в

любой точке кристалла о динакова.

# Валентная зона (v-зона) кристаллического полупроводника

(диэлектрика) — наивысшая по энергии разрешенная энергети-

ческая зона, заполненная электронами или содержащая малое

число дырок при температуре T → 0. Зона проводимости

(c-зона) — низшая по энергии разрешенная энергетическая зона,

незаполненная или содержащая малое число элект ронов при

T → 0. Энергетическое расстояние от дна c-зоны до уровня ваку-

ума называют электронным сродством χ (для криста ллов крем-

ния и германия χ ≈ 4 эВ). Сродство к электрону одиночного ато-

ма есть разность его энергий в нейтральном и отрицательно за-

ряженном состояниях; положительное сродство означает, что

анион более стабилен, чем нейтральный атом. Разность энергий

между уровнем Ферми и уровнем вакуума называется работой

выхода электрона.

# Запрещенная зона (энергетическая щель) кристалла — ми-

нимальная разность электронных энергий между дном c-зоны и

потолком v-зоны. Появление щели связывается с брэгговскими

отражениями электронных волн от плоскостей кристаллической

решетки.

# Многодолинный полупроводник имеет несколько миниму-

мов (максимумов) энергии электронов в c-зоне (дырок в v-зоне)

при различных значениях квазиимпульса.

# Ферми-поверхность — поверхность посто янной энергии в про-

странстве вектора квазиимпульса, отделяющая занятые состоя-

ния электронов в зоне проводимости металла (или в валентной

зоне вырожденного полупроводника p-типа) от не занятых при

абсолютном нуле температуры. Поверхность Ферми показыва-

ет, какие из квазиимпульсов в зоне Бриллюэна соответствуют

занятым состояниям, а какие — свободным.

# Ферми-жидкость — квантовая жидкость, в которой элемен-

тарные возбуждения (квазичастицы) обладают полуцелым (в еди-

ницах h) спино м; пример: электроны проводимости металла.

# Энергия (уровень) Ферми E

обозначает границу между за-

нятыми и свободными электронными состояниями в зоне разре-

шенных энергий при температуре T → 0. Ферми-поверхности в

энергетической зоне (полос е энергий) с номером j соответствует

уравнение E

= E

(p) = E

(p + ћb), где p — квазиимпульс электро-

на проводимости, b — вектор обратной решетки. В трехмерном

кристалле может быть несколько частично заполненных зон, так

что в этом случае поверхность Ферми принадлежит нескольким

зонам — имеет полости (листы, ветви, долины), соответствую-

щие различным энергетическим зонам. Если поверхность Фер-

ми или одна из ее полостей непрерывно проходит через всю зону

Бриллюэна, ее называют открытой , если же она замыкается

внутри одной зоны Бриллюэна (конечно, периодически повто-

ряясь в остальных), то такую поверхность называют замкнутой.

Ограниченный поверхностью Ферми объем Γ

, приходящийся

на 1 элементарную ячейк у (зону Бриллюэна) в пространстве ква-

зиимпульсов, определяется концентрацией электронов проводи-

мости в металле 2Γ

(2πћ)

= n. Радиус сферы Ферми для типич-

ных металлов ≈ ћ

a, где a — постоянная решетки; обычно n ≈ a

−3

Число электронов проводимости металла равно числу электро-

нов в частично заполненных энергетических зонах, образован-

ных внешними электронными оболочками атомов. У полуметал-

лов и вырожденных полупроводников объем под поверхностью

Ферми мал по сравнению с объемом элементарной ячейки в про-

странстве квазиимпульсов (1-й зоны Бриллюэна). Если занятые

электронные состояния находятся внутри поверхности Ферми,

то она называется электронной, если же внутри поверхности

Ферми электронные состояния свободны, то такая поверхность

называется дырочной; v

— скорость электрона на “электрон-

ной” поверхности Ферми; v

— скорость электрона на “дыроч-

ной” поверхности Ферми. Вырождение электронного газа нор-

мальных (несверхпроводящих) металлов проявляется в том, что

многие процессы в них определяютс я только электронами с ки-

нетической энергией E ≈ E

≈ 5 эВ, в то время как большая часть

электронов проводимости “заморожена” принципом Паули;

T ≈ 26 мэВ при T ≈ 300 К.

# Полярон — квазичастица, описывающая автолокализованное

состояние электрона проводимости (или дырки) в деформируе-

мом ионном кристалле. Медленный электрон искажает решетку

в месте сво его нахождения, и возникающая при этом поляриза-

ция, в свою очередь, воздействует на электрон и понижает его

энергию. Понижение энергии полярона по отношению к энер-

гии электрона в неиск аженной решетке называется энергией связи

полярона и складывается из: 1) выигрыша в энергии взаимодей-

ствия (U

) электрона с решеткой за счет смещения окружающих

его атомов; 2) проигрыша в упругой энергии (U

), возникающе-

го из-за наведенной электроном деформации; 3) так называемой

кинетической энергии локализации (K

) электрона в потенциаль-

ной яме. Вероятные порядки величин можно оценить следую-

щим образом. Так как положительные ионы смещаются по на-

правлению к электрону, а отрицательные удаляются, то до сме-

щения ионов решетки потенциальная энергия другого электро-

на на расстоянии r от рассматриваемого равна e

(4πε

r), где ε

—

высокочастотная диэлектрическая проницаемость кристалла, а

после смещения e

(4πε

r), где ε

— статическая проницаемость.

Если положить, что на расстоянии r

от электрона решетка пол-

ностью поляризована, то потенциальная яма, которую электрон

“выка пывает для себя”, имеет вид: U

= −e

(4πε

) при r ≤ r

U = −e

(4πε

r) при r ≥ r

, где ε

−1

= ε

−1

− ε

−1

. Потенциальная энер-

гия деформации решетки вокруг электрона

= 2πε

∫

∞

dr = −U

2, где eE

= −dU

dr.

Так называемая кинетическая энергия локализации электрона

(т. е. энергия, которую имеет электрон вследствие локализации

внутри сферы радиуса r

) равна K

≈ π

(2mr

), где m — эффек-

тивная масса электрона в неискаженной решетке. Энергия связи

полярона находится путем минимизации U

+ U

+ K

по r

и рав-

на e

(16πε

), где r

≈ 8π

(me

) — так называемый радиус

полярона. Если в полной энергии электрона преобладает кине-

тическая энергия движения, то r

>> a, где а — межатомное рас-

стояние (период решетки), и образуется полярон большого ради-

уса. Это соответствует то му, что электрон продолжает свое дви-

жение в c-зоне, но его эффективная масса возрастает. Если r

≈ a,

то электрон захватывается каким-либо одним ионом (“садится”

на ионную орбиту) и возникает полярон малого радиуса. В крис-

талле состояния поляронов малого радиуса перекрываются и об-

разуют поляронную зону, подобную c-зоне в жесткой решетке,

однако поляронная зона достаточно узка и ее ширина экспонен-

циально уменьшается с ростом температуры T. При T < T

, где

— температура Дебая, полярон движется без изменения чис-

ла фононов (туннелирует сквозь кристалл, увлекая за собой об-

лако поляризации), т. е. имеет место зонный (когерентный) ме-

ханизм миграции. При T > T

движение поляронов малого ради-

уса осуществляется “прыжками” из о дного узла в эквивалент-

ный, который образуется при аналогичном искажении решетки.

Для такой деформации требуется энергия, которая поставляется

фононами и движение полярона можно рассматривать как тун-

нелирование между соседними узлами с помощью фононов (не-

когерентная миграция; электрон долго находится вблизи одного

иона перед тем, как перейти на следующий). Энергетический

уровень электрона, занимающего данный узел решетки, являет-

ся функцией мгновенного положения атомов. Из-за атомных ко-

лебаний эти положения меняются и в некоторый момент време-

ни может возникнуть ситуация, при которой энергия на узле со