Плоткин Б.К., Делюкин Л.А. Экономико-математические методы и модели в логистике

Подождите немного. Документ загружается.

Продолжение табл. 9.2

T x sin x yt уi·sin х

3 90 1 15,2 15,20

4 120 0,866 14,6 12,64

5 150 0,5 11,2 5,60

6 180 0 8,4 0

7 210 -0,5 8,0 -4,00

8 240 -0,866 8,2 -7,10

9 270 -1 8,7 -8,70

10 300 -0,866 14,0 -12,12

11 330 -0,5 14,5 -7,25

12 360 0 15,0 0

Итого:

14,40

.40,2

4014





А

В целом теоретическая периодичность удельного расхода электро-

энергии выражается следующей функцией:

.4cos48,03cos18,0

2cos20,0cos12,34sin56,03sin38,02sin20,1sin40,230,12

xxxxxxy















В табл. 9.3 приведено сравнение фактических данных с расчетными.

Таблица 9.3

Месяца Фактические данные Расчетные данные Отклонения

1 15,50 15,41 0,09

2 14,30 14,57 0,27

3 15,20 14,80 0,40

4 14,60 14,86 0,26

5 11,20 11,11 0,09

6 8,40 8,32 0,08

7 8,00 8,36 0,36

8 8,20 7,66 0,54

9 8,70 9,24 1,04

10 14,00 13,47 0,53

11 14,50 14,88 0,38

12 15,00 14,92 0,08

Уровень соответствия фактических и расчетных данных, получен-

ных с помощью гармонического анализа, оценивается методами матема-

тической статистики.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что представляет собой гармонический анализ, как раздел высшей

математики?

2. Что представляют собой ряды Фурье?

3. Охарактеризуйте структуру членов рядов Фурье?

4. По каким формулам вычисляются члены рядов Фурье?

5. Назовите величины коммерческой и логистической деятельности,

подверженные сезонным колебаниям?

6. Постройте график, иллюстрирующий периодические потоковые

процессы в логистике.

7. Составьте условный пример для конкретного периодического про-

цесса в логистике.

Глава 10. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИГР

При решении практических задач, в том числе и в области управле-

ния материальными ресурсами, возникает необходимость анализировать и

принимать решения в ситуациях, где две или более сторон преследуют

противоположные цели, при этом результат каждого мероприятия одной

из сторон зависит от того, какой образ действий предпримет другая сто-

рона. Такие ситуации называются «конфликтными ситуациями».

Необходимость исследовать и моделировать подобные ситуации вы-

звала к жизни специальный математический аппарат. Теория игр пред-

ставляет собой математическую теорию конфликтных ситуаций. Цель

данной теории – разработка методов и – с их помощью – рекомендаций по

рациональному образу действий для каждой стороны в ходе конфликтной

ситуации.

Будем рассматривать парную игру, в которой участвуют две стороны

А и В с противоположными интересами. Под игрой понимаются меро-

приятия, состоящие из ряда действий сторон А и В. Чтобы игра могла

быть подвергнута математическому анализу, должны быть точно сформу-

лированы правила игры, т. е. совокупность условий, регламентирующих

возможные варианты действий сторон, а также установлены объем ин-

формации о поведении другой стороны, последовательность чередования

«ходов», исход игры. В данном случае под «ходом» понимается отдельное

решение той и другой стороны, принимаемое в процессе игры.

Игра называется игрой с нулевой суммой, если одна сторона выиг-

рывает то, что проигрывает другая, т. е. сумма выигрышей обеих сторон

равна нулю. В игре с нулевой суммой интересы сторон прямо противопо-

ложны.

В игре ходы делятся на личные и случайные. Личным ходом называ-

ется сознательный выбор стороной одного из возможных решений в дан-

ной ситуации. Случайным ходом называется выбор решения с помощью

того или иного механизма случайного выбора. В этом случае необходимо

знать распределение вероятностей для каждого хода.

Игры бывают с полной и неполной информацией. Большинство игр,

имеющих практическое значение, являются играми с неполной информа-

цией, так как неизвестность действий другой стороны является сущест-

венным элементом конфликтных ситуаций.

Одним из основных понятий теории игр является понятие «страте-

гия». Стратегией называется совокупность правил, определяющих одно-

значный выбор решения в ответ на ход другой стороны. Различают чистые

стратегии, т. е. сторона придерживается одной стратегии, и смешанные

стратегии, т. е. сторона пользуется в той или иной комбинации несколь-

кими стратегиями.

Конечной игрой называется игра, в которой у каждой стороны име-

ется конечное число стратегий. Конечная игра, в которой сторона А имеет

m стратегий, а сторона В – n стратегий, называется игрой m х n.

Рассмотрим игру m х n, где i – номер нашей стратегии, а j – номер

стратегии противоположной стороны. Необходимо определить для себя

оптимальную стратегию.

Сторона А имеет совокупность стратегий от А

до А

. Выбирая стра-

тегию А

, другая сторона ответит на неё стратегией В

, для которой наш

выигрыш а

минимален. Таким образом, в i-й строке матрицы (табл. 10.1)

выделяется минимальное значение α

из представленных значений а

вы-

игрыша, т. е.

,min

a



(1)

Выбирая какую-либо стратегию А

, мы должны рассчитывать, что в

результате разумных действий другой стороны мы не выиграем больше,

чем α

. Действуя наиболее осторожно, т.е. избегая всякого риска, мы

должны остановиться на стратегии А

, для которой число α является мак-

симальным, т. е.

,max





или принимая во внимание формулу (1) получаем:

.minmax

a



Величина α называется нижней ценой игры, иначе – максиминным

выигрышем или максимином.

Таким образом, при максиминной стратегии – при любом поведении

другой стороны – нам гарантирован выигрыш не меньше α.

Аналогичное рассуждение проводится для другой стороны.

Для другой стороны получаем следующие зависимости:

,max





,min





или

.maxmin

a



Величина β называется верхней ценой игры или минимаксом. При-

держиваясь своей минимаксной стратегии, другая сторона в любом случае

проиграет сумму не более чем β.

Таблица 10.1

… В

… а

… …

… … … … … … …

… а

…

… …

… … … …

…

… а

…

… β

…

Возможны случаи, когда нижняя цена равна верхней, т. е.:

α = β.

Тогда в платежной матрице игры имеется элемент одновременно

минимальный в своей строке и максимальный в своем столбце – этот эле-

мент называется седловой точкой.

Седловой точке соответствует пара минимаксных оптимальных

стратегий. В теории игр доказывается, что всякая игра с полной информа-

цией имеет седловую точку.

Основная теорема теории игр: каждая конечная игра имеет, по край-

ней мере, одно решение (возможно, в области смешанных стратегий).

Выигрыш, полученный в результате решения есть цена игры:









Таким образом, требуется найти решение игры, т.е. две оптимальные

стратегии для сторон А и В:

ppp

AAA

...



qqq

ВВВ

...



где









Математическая модель игры:

Целевая функция

.min









Условия

1 1



 













Следовательно, для решения рассмотренных классов игр использу-

ются методы линейного программирования.

Основные положения теории игр моделируют коммерческие перего-

воры между сторонами производственно-коммерческой деятельности, на-

пример между поставщиком-продавцом и потребителем-покупателем.

В такой ситуации имеют место следующие аналогии:

1) игра – ведение коммерческих переговоров на предмет заключения

коммерческой сделки- договора поставки;

2) игроки – сторона А и сторона В, соответственно, поставщик и потре-

битель;

3) ходы – решения и действия сторон, обусловленные правилами игры –

регламентом ведения коммерческих переговоров;

4) результат игры – достижение компромисса интересов – оптимального

решения (по Парето);

5) цель игры – юридическое оформление результатов игры – заключение

договора.

Коммерческие переговоры, как «игра с нулевой суммой» выражает

не только процесс достижения компромисса интересов, но и обеспечивает

взаимную выгоду сторон.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что представляет собой теория игр?

2. Что понимается под «игрой» в теории игр?

3. Какая игра называется игрой с нулевой суммой?

4. Какие ходы могут быть в игре согласно теории игр?

5. На какие группы подразделяются игры с точки зрения наличия ин-

формации?

6. Какая игра называется конечной?

7. Что представляют собой максиминные и минимаксные стратегии?

8. Что представляет собой платежная матрица игры?

9. Что такое седловая точка в теории игр?

10. Сформулируйте основную теорему теории игр;

11. Какие процессы производственно-коммерческой деятельности моде-

лируются с помощью положений теории игр?

12. Проведите аналогию между игрой и коммерческими переговорами.

Глава 11. СУЩНОСТЬ И ОСОБЕННОСТИ ОПТИМИЗАЦИИ

ПО ПАРЕТО

В современной экономике, в том числе в производственно-

коммерческой деятельности, все явления, системы и процессы отражают

столкновение интересов субъектов рынка. Указанные субъекты выступа-

ют на рынке как продавцы и покупатели – отсюда следует главный кон-

фликт экономики: продавцы стремятся продавать дороже, а покупатели

хотят купить дешевле – у каждого свой интерес.

Рыночный механизм саморегулирования и правовые управляющие

воздействия создают условия для согласования – компромисса интересов

участников рынка. Согласование интересов сторон представляет собой

наилучшее, а потому оптимальное решение конфликтной ситуации.

Таким образом, для решения конкретных задач примирения различ-

ных интересов применяется свой метод оптимизации, который, в отличии

от классического именуется оптимизацией по Парето – по имени итальян-

ского ученого Вильфредо Парето (1848-1923).

В оптимизации по Парето присутствуют отмеченные необходимые и

достаточные условия оптимизации: задача, множество вариантов, крите-

рии оптимальности, целевая функция, ограничения, алгоритм решения.

Однако все эти условия соответствуют интересам каждой стороны, а зада-

ча с ее моделью отражает конфликтную ситуацию.

Важно отметить, что в экономике модели оптимизации по Парето

носят вербальный характер с определенными численными параметрами,

при этом решение, несомненно, будет оптимальным, поскольку так или

иначе будет достигнут компромисс интересов, т. е. Парето-оптимум. Та-

кой результат есть следствие действия критерия Парето, который гласит:

«Следует считать, что любое изменение, которое никому не причиняет

убытков и которое приносит некоторым людям пользу по их собственной

оценке, является улучшением».

Критерий Парето выражает одно из фундаментальных понятий эко-

номики – субъективную полезность. В свою очередь критерий Парето

включает совокупность оценок, вследствие чего оптимизация по Парето

является многокритериальной.

В оптимизации по Парето интересы сторон выражаются в виде дейст-

вий в конкретной ситуации, например, в акте купли-продажи, при заключе-

нии сделок и т. п. Данную цель вполне правомерно интерпретировать как

целевую функцию. В данном случае цель и целевая функция становятся

равнозначными и, как правило, формулируются вербальным образом.

Ограничения характеризуют реальные возможности каждой стороны

в данной ситуации и выражаются конкретными величинами, например,

имеющейся суммой денежных средств, производственной мощностью,

торговой площадью, временем и т. п.

Схема оптимизации по Парето приведена на рис. 11.1.

Рис. 11.1. Схема оптимизации по Парето

Цели, в основе которых – интересы и ограничения, отражают реаль-

ную конфликтную ситуацию, а потому представляют модель ситуации.

Как и в общем случае, модель определяет алгоритм решения задачи –

конфликтной ситуации. В данном случае алгоритм представляет собой

правила разрешения конфликтной ситуации. Так, в качестве такого алго-

Покупателя

Интересы

Целевая

функция

Ограничения

Рынок

Производственно-коммерческая деятельность

Продавца

Интересы

Столкновение интересов:

конфликтная ситуация

Задача

Варианты: поле

решения

Критерии Парето

Целевая

функция

Ограничен

ия

Модель

Алгоритм

Решение: компромисс интересов

Парето-оптимум

ритма, выступают правила торговли, правила биржевых торгов, правила

ведения деловых переговоров и т. п. Получаемое решение есть компро-

мисс интересов при полном согласии сторон, а потому является опти-

мальным по Парето.

Поскольку компромисс означает взаимные уступки, то не исключе-

но, что в оптимальном варианте стороны могут испытывать неудовлетво-

ренность, но при этом они должны осознавать, что лучшего варианта быть

не может.

Оптимизация по Парето означает улучшение одних показателей при

условии, чтобы другие не ухудшались, а также таких, когда план развития

экономической системы должен учитывать интересы составляющих ее

подсистем (групп экономических объектов) (рис 11.2).

Рис. 11.2. Исходное состояние экономической системы,

как объекта оптимизации по Парето

Согласно рис. 11.2 точка А – исходное состояние экономической

системы, состоящее из двух подсистем Х и Y (группы). Это состояние

улучшают только те решения, которые находятся в области Z (точка С) и

на ее границах В, А, D.

Решение Е не удовлетворяет требованию оптимума Парето: потреб-

ности группы Y увеличены за счет снижения уровня удовлетворения по-

требностей группы Х (благосостояние группы Y достигнуто за счет сни-

жения удовлетворения потребности группы Х), т.е. Y

> Х

Если х

и у

соответственно отображают максимальные значения це-

левых функций подсистем Х и Y при независимом друг от друга функ-

ционировании, то участок FF

множества Парето (недостигаемый для ка-

ждого из них в отдельности) требует их совместной деятельности. Этот

участок есть ядро экономической системы (рис.11.3).

Удовлетворение

потребностей

группы

Удовлетворение п

о-

требностей группы

Рис. 11.3. Множество по Парето, ядро экономической системы

и оптимумы по Парето

Чем более тесно взаимосвязаны подсистемы Х и Y, тем меньше разли-

чия между множеством Парето (оптимумы Парето) и ядром системы, т. е.:

FF 

или









Выбор единственного наилучшего плана (решения) – точка G – есть

результат согласованности интересов Х и Y, т. е. F = G = F

Таким образом, оптимумов по Парето может быть много, но сущест-

венно меньше вариантов развития системы – поля решений и еще меньше

в ядре экономической системы, что позволяет сужать выбор вариантов,

подлежащих рассмотрению в процессе оптимизации.

Введем обозначения:

V – количество вариантов развития экономической системы – поле ре-

шения;

М – количество оптимумов по Парето, всего;

N – количество оптимумов по Парето в ядре экономической системы.

Отсюда получаем соотношение:

V > M > N,

а при F = G = F

имеет место один оптимум по Парето.

Наличие нескольких оптимумов по Парето для данной экономиче-

ской системы обусловлено субъективной полезностью, соответственно

оценки критерия Парето зачастую также субъективны и определяются не

только расчетом, но и экспертным путем.

Так, например, критерий Парето для оптимизации хозяйственных

связей (выбор поставщика) включает следующие параметры-оценки: