Плоткин Б.К., Делюкин Л.А. Экономико-математические методы и модели в логистике

Подождите немного. Документ загружается.

По итогам табл. 4.4 составляется система нормальных уравнений:

5а

+29а

= 26

29а

+243а

= 96.

Решение данной системы дает результат:

= 7,5

= - 0,4,

отсюда получаем зависимость уровня издержек (у) от величины товаро-

оборота (х):

у = 7,5 – 0,4х.

В корреляционно-регрессионном анализе уравнение регрессии целе-

сообразно вычислять через коэффициент корреляции. Получаемое таким

образом уравнение регрессии идентично уравнению, параметры которого

определяются по методу «наименьших квадратов» с помощью нормаль-

ных уравнений.

Уравнение регрессии для величин, связанных прямой линейной за-

висимостью, определяется по следующей формуле:

)( xxrуу





где σ

и σ

– соответственно среднеквадратические отклонения величин х и

у, т.е.

хх







)(









)(



где n – количество данных в исследуемом статистическом ряду.

Выражение





– есть коэффициент регрессии.

При положительном значении коэффициента корреляции (r > 0) с

увеличение одной величины х, увеличивается и зависимая от нее величина

у и, наоборот, при отрицательном значении r с увеличением величины х,

величина у уменьшается. Соответственно положительные и отрицатель-

ные коэффициенты могут принимать и коэффициенты регрессии.

В логистике корреляционно-регрессионному анализу подвергается

совокупность пар величин, например:

х – доля производственных услуг при поставках продукции,

у – общие издержки потребителя.

х – расходы на рекламу в процентах от общих издержек,

у – объем продаж (млн. руб./мес.).

х – товарный запас (тыс. руб.),

у – объем продаж (тыс. руб./день.).

х – надежность снабжения (поставок),

у – величина производственного запаса.

х – доля поставок точно в срок (% от объема поставок),

у – величина производственного запаса (млн руб.).

х – надежность снабжения (поставок),





у – величина производственного запаса (млн руб.).

Возможны и другие варианты логистических величин для расчета

парной корреляции и регрессии.

В логистике также применяется многофакторный корреляционно-

регрессионный анализ. Например:

Исходные данные:

у – издержки обращения;

– среднее расстояние перемещения продукции, км;

– уровень механизации перегрузочных и складских работ, %%;

– доля складских поставок, %%;

– объем производственных услуг, тыс. руб.

Фактические данные перечисленных величин представлены в табл. 4.5.

Таблица 4.5

№

1 25,5 120 75 50 1,2

2 27,2 180 77 42 1,5

3 30,1 220 80 38 2,8

4 38,6 380 85 32 3,4

5 41,0 470 85 25 3,2

6 43,3 560 90 22 4,2

7 45,0 800 91 20 4,5

8 50,5 1000 92 18 4,8

После соответствующих вычислений получаем уравнение множест-

венной регрессии:

у= 0,0088х

+ 0,589х

– 0,274х

+ 0,386х

-6,441

Корреляционно-регрессионный анализ требует большой вычислитель-

ной работы. Поэтому математико-статистические расчеты осуществляются

по специальным программам с помощью компьютерных технологий.

Результаты корреляционно-регрессионного анализа в логистике

служат действенным инструментом планирования и прогнозирования

производственно-коммерческой деятельности.

Упражнения для самоконтроля:

Выполнить корреляционно-регрессионный анализ по следующим данным:

1) х – расходы на рекламу в %% от общих издержек;

у – объем продаж, млн руб./мес.

х 10,0 2,5 7,3 12,0 14,0 8,5 1,5 1,2 5,0 7,0 8,3 15,0

у 21,2 10,2 18,7 24,5 27,8 16,0 12,5 10,8 14,3 17,3 22,5 28,0

2) х – товарный запас, тыс. руб.;

у – объем продаж, тыс. руб./день.

Х 420 385 225 310 280 303

У 12,3 10,7 5,7 6,2 6,0 8,2

3) х – надежность снабжения (поставок),





у – величина производственного запаса, млн руб.

Х 0,72 0,64 0,82 0,55 0,52 0,60

У 5,4 4,8 2,4 6,6 7,8 5,7

4) х – грузооборот оптово-торговой базы (металлопродукция), тыс.т/год;

у – издержки обращения базы, руб./т.

Х 420 380 290 160 120

У 70 85 80 140 100

5) х – доля поставок «точно в срок», %%;

у – величина производственного запаса, млн руб.

Х 5,0 7,8 8,0 10,0 11,2

У 2,5 3,2 2,2 1,5 0,8

6) х – цена товара по данной ассортиментной группе, руб./ед.;

у – объем продаж, тыс. руб.

Х 45 50 60 70 75 80

У 640 610 450 430 230 250

7) х – цена данного товара, руб.;

у – скорость реализации, дни.

Х 120 135 140 145 150

У 25 28 36 42 48

8) х – стаж работы продавца (менеджера), лет;

у – объем продаж, тыс. руб./день.

Х 2 2,5 3,2 5,2 7,5

У 36 34 42 63 85

9) х – трансакционные издержки товаропроизводителей, млн. руб./год;

у – общие издержки производства, млн руб.

Х 6,0 7,1 12,1 15,3 16,2 18,0 18,8

У 292,8 275,2 246,8 220,3 215,6 220,4 204,3

Глава 5. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ТЕОРИИ

МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ В ЛОГИСТИКЕ

Теория массового обслуживания – это раздел математики, изучаю-

щий системы, предназначенные для обслуживания массового потока тре-

бований (заявок) случайного характера. Все логистические системы функ-

ционируют как системы массового обслуживания.

Одним из определений логистической системы является следующее:

логистическая система – это субъект интегрированного рынка, через кото-

рый проходят экономические потоки, а также предприятия, обеспечиваю-

щие прохождение этого потока. В общем виде в состав экономического

потока входят следующие потоки:

 материальные (товарные);

 финансовые;

 информационный.

В логистике теория массового обслуживания, как правило, исследует

и определяет количественные параметры материального потока. Таким

образом, логистическая система, а также система массового обслужива-

ния, имеет «вход» и «выход», а также обладает внутренним состоянием.

Система имеет в своем составе аппараты или каналы обслуживания.

Основополагающее значение в теории массового обслуживания имеют

понятия потока. В логистике в основном рассматривается простейший

или пуассоновский поток заявок. Этот поток обладает следующими при-

знаками:

1. Стационарность – вероятность появления того или иного числа заявок

на отрезке времени t зависит только от длины этого отрезка и не зависит

от того, где именно располагается этот участок на оси времени;

2. Ординарность – в каждый момент времени в систему приходит только

одна заявка;

3. Отсутствие последействия – все заявки приходят в систему независимо

друг от друга.

Рассматриваемый поток называют «пуассоновским», так как количе-

ство заявок m, приходящееся на отрезок времени t, распределено по зако-

ну Пуассона:

tР







)(

где λ – плотность потока заявок, т. е. количество заявок в единицу времени.

Общая схема системы массового обслуживания представлена на

рис. 5.1.

Рис. 5.1. Схема системы массового обслуживания

Обозначения на схеме (рис. 5.1.):

λ – плотность входного потока (количество заявок в единицу времени), т. е.





где Ν – количество заявок, пришедшее в систему за время Т;

μ – плотность выходного потока, т. е.





где

– среднее время обслуживания одной заявки.

Плотность выходного потока μ есть величина, обратная среднему

времени обслуживания одной заявки. Плотность входного потока - вели-

чина постоянная λ = const. Постоянство плотности входного потока выра-

жает стационарный характер простейшего потока системы массового об-

служивания.

Внутреннее состояние систем – это вероятности того, что занято то

или иное количество каналов обслуживания. Состояние системы обслу-

живания с отказами описывается формулой Эрланга следующего вида:



























































...

2 ,

где Р

– вероятности состояния системы (

пк



), т.е.

– вероятность того, что все каналы обслуживания свободны;

– вероятность того, что занят 1 канал обслуживания;

– вероятность того, что занято 2 канала обслуживания;

……………………………………………………….

– вероятность того, что занято k каналов обслуживания;

………………………………………………………..

– вероятность того, что заняты все n каналов обслуживания или ве-

роятность отказа в обслуживании.

Система массового обслуживания

Каналы обслуживания

1 2 … k … n

λ μ

При использовании моделей и методов теории массового обслужи-

вания необходимо установить:

 в чем заключается физическое содержание заявки,

 что является аппаратом обслуживания;

 в чем заключается функционирование всей системы массового обслу-

живания.

Далее исследуется характер потока заявок, определяются его осно-

вополагающие параметры. Одним из объектов исследования логистиче-

ских систем является изучение условий образования очередей на обслу-

живания.

Очереди образуются из-за недостаточного количества обслуживаю-

щих каналов, высокой интенсивности потока заявок, медленного обслу-

живания заявок. Все эти причины могут действовать отдельно или все

вместе. Таким образом, размер и вероятность образования очереди опре-

деляют два параметра:

1) n – количество каналов обслуживания;









– приведенная плотность потока заявок.

Если поток заявок будет простейший, а заявки не уходят из очереди

до тех пор, пока не будут обслужены, то при:

n





– каждая заявка рано или поздно дождется обслуживания;

n





– число заявок, стоящих в очереди, будет со временем неог-

раниченно возрастать.

Из этого следует, что в практической логистической деятельности

при управлении материальным потоком отслеживается соотношение

входного и выходного потоков с ориентацией на количество аппаратов

обслуживания. При

n





процесс обслуживания становится установив-

шимся.

Пример 5.1: Отгрузка производится с 4 погрузочных площадок.

Груз со склада выдается с 8 до 20 часов ежедневно. В день обслуживается

24 автомашины, среднее время обслуживание – погрузки 30 минут. Опре-

делить характеристики обслуживания.

В рассматриваемой задаче:

 Склад – система массового обслуживания, она же логистическая сис-

тема;

 Канал обслуживания – погрузочная площадка, оборудованная соответ-

ствующей механизацией;

 Поток заявок – машины, прибывающие на склад за грузом;

 Обслуживание – погрузка автомашины.

Поток заявок принимается простейшим (пуассоновским), тогда:





– автомашины/час;

5,0





– машины за час;







1. Определяются вероятности того, что в течение одного часа на

склад прибудут 0, 1, 2, 3, … и т. д. автомашин.

Исходные данные: λ = 2,

t = 1,

m = 0, 1, 2, 3, 4…

Результаты расчета по формуле Пуассона представлены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Количество

автомашин

(заявок)

0 1 2 3 4 5 6 7

Вероятности

0,135

0,270

0,132

0,092

0,036

0,012

0,007

Как показывают данные табл. 5.1, наиболее вероятен приход на

склад 1 и 2 заявок в течение одного часа, высока вероятность прихода 3

заявок, а вероятность прибытия на склад в течение одного часа 4 и более

автомашин весьма низка; довольно часто вообще отсутствие заявок в те-

чение одного часа.

2. По формуле Эрланга определяются вероятности состояния систе-

мы, т. е. склада. Результаты расчета представлены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Количество

площадок

0 1 2 3 4

Вероятности

состояния

0,369 0,369 0,184 0,062 0,016

Как показывают данные табл. 5.2, вероятность того, что все площад-

ки свободны, является относительно высокой – 37 %, такую же вероят-

ность имеет занятость одной площадки, вероятность занятости двух пло-

щадок – 18%, вероятность занятости трех площадок относительно не ве-

лика – 6 % и, примерно, 1% – вероятность образования очереди.

В том случае, если бы машины приходили бы на склад одна за дру-

гой по расписанию в виде детерминированного потока, то для их обслу-

живания понадобилась только одна площадка.

Однако в реальности поток автомашин является случайным (стохас-

тическим), данное обстоятельство заставляет иметь дополнительные пло-

щадки или обладать резервом пропускной способности. Отсюда и возни-

кает необходимость определения оптимального количества каналов об-

служивания.

Для решения этой задачи сопоставляются затраты на содержание ре-

зервных каналов обслуживания (они будут расти) и убытков от отказа в

обслуживании (они будут уменьшаться).

Аналогичным образом определяются размеры складской площади. В

этом случае системой массового обслуживания будет склад. Обслужива-

ние заключается в хранении поступающих товаров, каналом обслужива-

ния будет складская площадь.

Аналогичным образом рассчитываются затраты на содержание до-

полнительной складской площади или убытки от сокращения отказов в

приеме товаров на хранение. В данном случае интенсивность потока зая-

вок – это среднее количество товаров, поступающее на хранение.

Интенсивность выходного потока – есть величина обратная средне-

му времени хранения.

Пример 5.2: Определить полезную площадь склада при следующих

исходных данных:

 грузооборот склада - Q = 150 тыс. т;

 период поступления продукции - Т = 365 суток;

 средний вес одной партии - d = 455 т;

 средний срок хранения - t

хр

= 10 суток;

 нагрузка на 1 м

склада - q = 1 т/м

;

 стоимость содержания 1 м

- S

= 10 руб./м

 потери от отказа в приеме груза на склад - S

= 500 руб./сутки

Решение:

Под заявкой понимается груз, поступающий на склад, обслуживание за-

ключается в хранении груза на складе, аппарат обслуживания – складская

ячейка. Поток заявок – простейший, тогда:

9,0

365

455

150000













партий в сутки,

1,0





;

площадь ячейки – 455 м

Если обслуживание склада и движение через него материальных ре-

сурсов происходило бы строго регулярно, т. е. детерминированно, то по-

лезная площадь склада может быть определена по формуле:





где Q – грузооборот склада за год, тыс. т,

q – допустимая нагрузка на склад, т/м

о – количество оборотов склада за год, которое равно:

365



где t

хр

– срок хранения груза на складе.

Отсюда следует:

365





, или

4110

365

10150000





F

что соответствует 9 ячейкам.

Однако на практике материальные ресурсы поступают на склад слу-

чайным образом, а поэтому необходимо иметь резерв складской площади.

По формуле Эрланга рассчитывается вероятность отказа в приеме груза на

склад при различном числе ячеек, начиная с n = 10 (табл. 5.3).

Таблица 5.3

Число ячеек, n 10 11 12 13 14

Вероятность отказа, P

0,179 0,140 0,078 0,042 0,030

Полезная площадь, м

4550 5005 5460 5915 6370

Результаты расчетов показывают, что с увеличением складской

площади вероятности отказа в приеме груза будут уменьшаться. Однако

увеличение складской площади требует дополнительных затрат. Поэтому

обоснованный вывод о размере складской площади будет сделан на осно-

вании сопоставления расходов на содержание склада и потерь, вызывае-

мых отказом в приеме груза.

Оптимальный размер складской площади определяется из выраже-

ния:

min365

 SPSF

nрезерв

Расчет оптимального размера полезной складской площади приведен

в табл. 5.4.

Таблица 5.4

Число

ячеек,

Полезн.

скл.

пл., м

Резерв

скл.

пл., м

Расходы

на резерв

площади,

руб./год

Вероятн.

отказа,

Кол.

суток

в году

отказа

Потери

от

отказа,

руб./год

Суммарные

издержки

руб./год

10 4550 455 4550 0,179 65,5 32750 37300

11 5005 910 9100 0,140 51 25500 34600

12 5460 1365 13650 0,078 27,5 13750 27400

13 5915 1820 18200 0,042 15,5 7750 25950

14 6370 2275 22750 0,030 11 5500 28250

Согласно данным табл. 5.4, при n = 13 полезная складская площадь в

5915 м

является оптимальной, в этом случае суммарные издержки на со-

держание резервной складской площади и от убытков в приеме груза бу-

дут минимальными.

Вероятности состояния систем обслуживания с очередями опреде-

ляются следующей формулой:





















, (1)

где к изменяется от 0 до n, при к = 0 получаем вероятность того, что все

аппараты обслуживания свободны, а при к = n – вероятность того, что все

аппараты обслуживания заняты.

Вероятность застать все аппараты обслуживания занятыми и S зая-

вок, стоящих в очереди равны:























, (2)

Среднее число заявок в свою очередь, определяется формулой:





















































1!:









, (3)

В формулах (1), (2) и (3) через А обозначено следующее выражение:





























































пп