Плоткин Б.К., Делюкин Л.А. Экономико-математические методы и модели в логистике
Подождите немного. Документ загружается.
71
Хотя надежность относится к категории абстрактных качественных по-
нятий, однако математика дает понятию надежности точный смысл. Надеж-
ность может быть объективно оценена, измерена и испытана. Всеми этими
вопросами занимается математическая дисциплина – теория надежности.
Надежность определяется как свойство системы (элемента), обу-
словленное главным образом её безотказностью и ремонтопригодностью и
обеспечивающее выполнение своих функций в установленном объеме.
За количественную меру надежности R(t) принимается вероятность
безотказной работы в течение времени t. Иными словами, зная плотность
распределения f(t) времени безотказной работы, имеем:
t
dttftR )()(
.
Основные характеристики надежности:
- интенсивность отказов (по определению)
)(
)(
)(
tR
tf
t
,
- наработка на отказ – среднее время работы между двумя соседни-
ми отказами
n
t
T
i
0
.
Большое значение для практики имеет экспоненциальный закон на-
дежности, для которого:
1. Плотность распределения времени безотказной работы:
t
etf
)(
;
2. Интенсивность отказов:
сопst
Т
о
1
;
3. Надежность:
t
etR
)(
.
График функции экспоненциального закона надежности представлен
на рис. 7.1.
Рис. 7.1. График функции экспоненциального закона надежности
t
l
t
e
R(t)
0
72
Пример 7.1. На участке цеха работают 15 однотипных станков. Со-
гласно технико-экономическим условиям станок должен работать с на-
дежностью не ниже 0,90. Наработка на отказ – 1000 часов. Годовая за-
грузка одного станка – 3000 часов.
Необходимая надежность поддерживается заменой деталей во время
профилактических осмотров. Определить годовую потребность в ком-
плектах заменяемых деталей.
Решение:
Необходимое количество комплектов будет равно количеству про-
филактических осмотров (рис 7.2).
Рис. 7.2. График профилактических осмотров
Определяется периодичность профилактических работ исходя из
экспоненциального закона надежности:
p
t
etR
)(
,
p
ttR
)(ln
,
100
)(ln
tR
t
p
Отсюда необходимое количество запасных деталей для одного станка:
n = 3000 : 100 = 30 комплектов,
для всего станочного парка:
N = 30 · 15 = 450 комплектов.
Пример 7.2. Надежность оборудования обеспечивается постоянным
наличием запасных частей. Надежность работы деталей, определяющих
требуемое функционирование данного оборудования, – 0,8. Стоимость
одного комплекта запасных частей – 300 руб.; потери от отказа оборудо-
вания – 100 руб. в сутки (числа условные).
Определяется необходимое количество резервных комплектов дета-
лей для оборудования.
R(t)
1
0,9
0
t
p
t
p
t
p
ч
а
сов.
73
Решение: Данная задача относится к числу так называемых задач с
«постоянным параллельным резервированием». Вероятность отказа такой
резервированной системы определяется формулой:
n
qQ
,
где q – вероятность отказа одного комплекта деталей, т. е. q = 1 – p,
n- количество комплектов в резерве.
Расчет приведен в табл. 7.1.
Таблица 7.1
Количество
резервных
комплектов
Стоимость
резервных
комплектов,
руб.
Вероят-
ности
отказа
Время
простоя
оборудования
от отказов
в году, сутки
Потери
от
отка-
зов,
руб.
Суммарные
расходы
1 300 0,2 73 7300 7600
2 600 0,04 14,5 1450 2050
3 900 0,008 3 300 1200
4 1200 0,0016 0,5 150 1350
Как показывают данные табл. 7.1, необходимо иметь 3 комплекта за-
пасных частей – при этом количестве суммарные расходы будут мини-
мальны.
Решение задачи иллюстрируется графиком (рис. 7.3).
Рис. 7.3. Суммарные расходы
Ты
с.
руб.
n
3
3
74
Вопросы для самоконтроля:
1. Дайте определение надежности системы.
2. Как математически выражается надежность?
3. Что представляют собой интенсивность отказов и наработка на от-
каз?
4. Приведите характеристики экспоненциального закона надежности.
5. Приведите график экспоненциального закона надежности.
6. Как определяется периодичность профилактических работ при экс-
поненциальном законе надежности?
7. Как определяется потребность в запасных частях?
Упражнения для самоконтроля:
1. Дано:
- плановый период работы оборудования: 1500 ч,
- допустимая надежность работы оборудования: 0,75;
- наработка на отказ: 500 ч.
Требуемая надежность работы оборудования поддерживается с помо-
щью профилактических работ.
Определить необходимое количество профилактик.
2. Дано:
- надежность работы детали: 0,9;
- убытки от отказа оборудования: 50 тыс. руб.
- стоимость детали: 20 тыс. руб.
- Определить оптимальное количество запасных частей (деталей).
75
Глава 8. ТЕОРИЯ ГРАФОВ В ЛОГИСТИКЕ
В настоящее время теория графов обладает достаточно развитым спе-
цифическим аппаратом. Методы теории графов находят широкое приме-
нение в экономике, в частности, в виде системы сетевого планирования и
управления. При помощи сетевого планирования и управления достигает-
ся рациональное использование материальных ресурсов, осуществляется
надежное и ритмичное материально-техническое обеспечение.
Основные понятия сетевого планирования и управления:
- сетевая модель – сетевой график – сеть – ориентированный граф,
моделирующий процесс,
- работа – некоторый однородный процесс,
действительные работы,
- Работы фиктивные работы ( - - - - ),
ожидания,
- событие – конечный результат работы,
- путь – совокупность работ.
Параметры сетевого графика:
1. Ранний срок свершения события - t
р
(i).
2. Поздний срок свершения события - t
n
(i).
3. Резерв события - R(i).
4. Резерв работы - r (ij).
5. Длительность критического пути - Т
кр
.
Перечисленные параметры определяются следующими формулами:
- Ранний срок свершения (завершения) события:
)()(max)( ijtitjt
p
i
p
.
- Поздний срок свершения (завершения)события:
)(min)(
)(
ijttit
i
j
n
.
- Резерв события:
)()()( ititiR
pn
.
- Резерв работы полный:
)()()()( itijtjtijr
pnпл
.
76
- Резерв работы свободный:
)()()()( itijtjtijr
pрсв
.
В общем виде события представляют собой вершины графа, работы –
дуги графа. На рис.8.1 представлен фрагмент сетевого графика с указани-
ем основных параметров.
Рис. 8.1. Фрагмент сетевого графика
Пример 8.1. Определить ранние и поздние сроки событий, а также
критический путь. Вид сетевого графика и длительности работ представ-
лены на рис. 8.2.
Рис. 8.2. Вид сетевого графика и длительности работ
Решение:
Определяются ранние и поздние сроки, а также критический путь:
t
p
(1) = 0;
t
p
(2) = t
p
(1) + t
(1,2) = 0 + 2 =2;
t
p
(3) = t
p
(1) + t
(1,3) = 0 + 3 =3;
t
p
(4) = t
p
(1) + t
(1,4) = 0 + 4 =4;
1064)5,4()4(
633)5,3()3(
max)5(
tt
tt
t
p
p
p
t
p
(5)= 10;
523)6,3()3(
642)6,2()2(
max)6(
tt
tt
t
p
p
p
t
p
(6) = 6;
11164
7133
8242
max)7(
p
t
t
p
(7) = 11;
R
t
n
(i)
t
p
(i)
i
R
t
p
(j)
t
n
(j)
j
4
1
2
3
4
5
7
6
2
3
4
2
6
3
2
77
t
n
(6) = t
n
(7) - t
(6,7) = 11 - 2 =9;
t
n
(5) = t
n
(7) - t
(5,7) = 11 - 1 =10;
t
n
(4) = t
n
(5) - t
(4,5) = 10 - 6 =4;
7310)5,3()5(
729)6,3()6(
min)3(
tt
tt
t
n
n
п
t
n
(3) = 7;
t
n
(2) = t
n
(6) - t
(2,6) = 9 - 4 =5;
044)4,1()4(
437)3,1()3(
325)2,1()2(
min)1(
tt
tt
tt
t
n
n
n
п
t
n
(1)=0
Рис. 8.3
Критический путь проходит через события 1, 4, 5, 7. Для событий
находящихся на критическом пути, ранние сроки равны поздним, а поэто-
му отсутствует резерв. Длительность критического пути определяет дли-
тельность всего процесса (рис. 8.3).
На основании рассчитанного сетевого графика составляется план-
график поставок – материальные ресурсы должны быть поставлены в пе-
риод между ранними и поздними сроками данного события, т. е. к началу
следующей работы.
Пример 8.2. Составить сетевой график организации снабжения це-
хов предприятия материалами.
Решение:
Исходя из принятого порядка выдачи материалов цехам, разработан
следующий сетевой график:
4
4
4
0
0
0
1
3
2
5
2
2
3
4
4
2
3
3
7
3
6
1
2
3
6
6
9
0
10
10
5
0
4
0
11
11
7
78
Рис. 8.4
Перечень событий сетевого графика, представленного на рис. 8.4:
1. Получена производственная программа цеха.
2. Определение потребности цеха в материалах.
3. Разработка календарного плана-графика снабжения цеха.
4. Составление требований на материалы.
5. Передача требований на материалы в отдел снабжения.
6. Информация складу о необходимых материалах.
7. Проверка товароведческих характеристик требуемых материалов.
8. Определение остатков (запасов) требуемых материалов.
9. Подготовка истребованных материалов к выдачи цехам.
10. Оформление документов на отпуск материалов цехам.
11. Проверка материалов по количеству, качеству и комплектности.
12. Отгрузка (отпуск) материалов цехам.
13. Определение потребности в транспортных средствах.
14. Организация транспортировки материалов в цехи.
15. Получение материалов цехами.
Оценив длительность работ (время между событиями), можно рас-
считать оптимальный график организации материально-технического
обеспечения. Сетевые графики просчитываются с помощью компьютер-
ных технологий.
Вопросы для самоконтроля:
1. Что представляет собой сетевой график?
2. Охарактеризуйте структуру сетевой модели.
3. Перечислите параметры сетевого графика.
4. По каким формулам вычисляются параметры сетевого графика?
5. Составьте сетевую модель организации закупок материальных ресур-
сов для производственных нужд.
6. Составьте сетевую модель работы оптово-торговых предприятия.
7. Постройте сетевую модель организации поставок по системе «точно в
срок».
1
2
3
4
5
7
6
9
10
11 12 15
13
8
14
79
Глава 9. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ЛОГИСТИКЕ
Гармонический анализ (ряды Фурье) является одним из разделов
классической высшей математики. Любая периодическая функция может
быть точно или приблизительно разложена в тригонометрический ряд:
.cos...cos...2cos
cossin...sin...2sinsin)(
2
121
nxbixbxb
xbnxaixaxaxaaxf
ni
nio
С помощью гармонического анализа изучается влияние сезонности
или иных факторов периодичности на величину спроса и потребления ма-
териальных ресурсов, что необходимо для прогнозирования конъюнктуры
рынка.
Изучаемая фактическая периодическая зависимость может быть
представлена в следующем виде:
,...
2
cos
2
cos...
2
sin
2
sin
2121
t
T
Bt
T
Bt
T
At
T
Aау
о
где Т – полный период;
i – номер гармоники, т. е. синусоиды или косинусоиды;
t
Т
2
– переменная в радианной мере или градусной мере
t
T
o
360
;
А
i
, В
i
– коэффициенты гармоник.
Для получения значений а
о
, А
i
, В
i
используются следующие формулы:
T
t
tо
y
Т
а
1
1
;
T
t
ti
it
T
y
T
A
1
2
sin
2
;
T
t
ti
it
T
y
T
B
1
2
cos
2
.
80
Пример.
Определить периодичность потребления электроэнергии на базе оп-
тово-торгового предприятия. В табл. 9.1 приводятся фактические данные
удельного расхода электроэнергии.
Таблица 9.1
№
п/п
Месяцы
Удельный расход,
кВт.ч/т
1 Январь 15,5
2 Февраль 14,3
3 Март 15,2
4 Апрель 14,6
5 Май 11,2
6 Июнь 8,4
7 Июль 8,0
8 Август 8,2
9 Сентябрь 8,7
10 Октябрь 14,0
11 Ноябрь 14,5
12 Декабрь 15,0
ИТОГО:
147,6
Решение: Рассчитывается периодическая функция с четырьмя гар-
мониками:
i = 1, 2, 3, 4. t = 1, 2, 3, …10, 11, 12. Т = 12.
у
t
– фактические данные об удельном расходе электроэнергии (на 1
тонну перегруженного груза на базе оптово-торгового предприятия),
кВт.ч/т. Определяется коэффициент:
.3,12
12
6,147
о
а
Следует отметить, что а
о
– есть средняя величина из исходных дан-
ных, т. е. в данном случае средний удельный расход электроэнергии. Рас-
чет коэффициента А
1
приведен в табл. 9.2. Аналогичным образом ведется
расчет коэффициентов А
2
, А
3
, А
4
, а также В
1
, В
2
, В
3
, В
4
.
i = 1 Таблица 9.2
T x sin x y
t
у
i
·sin х
1 30 0,5 15,5 7,75
2 60 0,866 14,3 12,38