Пилиди В.С. лекции по высшей математике
Подождите немного. Документ загружается.
12nn
S aa a=+++=
(ln2 ln1) (ln3 ln2) ln( 1) ln ln( 1).n nn= − + − + + +− = +
Учитывая, что
ln( 1)n + → +∞
при
n → +∞
, отсюда получаем, что рассмат-
риваемый ряд расходится.
З
АМЕЧАНИЕ. По определению сходимость ряда равносильна сходи-
мости последовательности его частичных сумм. Более того, для любой по-
следовательности
1
{}
nn
S
+∞
=
существует ряд, для которого она является по-
следовательностью его частичных сумм. Действительно, из соотношений
11 212 3123 12
, , , ,,
nn
Sa S aa Saaa S aa a= =+ =++ =+++
получаем:
11 2 21 332 1
, , , ,.
nnn
aSaSSaSS aSS
−
==−=− =−
Очевидно, что исходная последовательность
1
{}
nn
S
+∞
=
как раз и будет после-
довательностью частичных сумм для ряда
1
n
n
a
+∞
=
∑
с членами указанного ви-
да. Более того, сходимость ряда по определению совпадает со сходимо-
стью его частичных сумм. Поэтому исследование рядов — это, по сущест-
ву, другая форма исследования последовательностей. Однако эта форма
оказывается во многих случаях более удобной.
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых свойств рядов.
1°.
Если ряд
1
n
n
a
+∞
=
∑
сходится, то
lim 0
n
n
a
→+∞
=
.
Глава 2
71
Числовые ряды
ç
è
Предположим, что
lim
n
n
SA
→+∞
=
. Учитывая, что
1
lim
n
n
SA
+
→+∞
=
, получа-
ем:
1
lim lim ( ) 0,
n nn
nn
a SS
+
→+∞ →+∞
= −=
что и требовалось доказать.
Приведенное утверждение означает, что условие
lim 0
n
n
a
→+∞
=
является
необходимым для сходимости ряда
1
n
n
a
+∞
=
∑
. Достаточным это условие не яв-
ляется, что видно из приведенного выше примера расходящегося ряда
1
1
ln 1
n
n
+∞
=
+
∑
, для которого выполняется условие
1
lim ln 1 0
n
n
→+∞
+=
.
Если в ряде
1
n
n
a
+∞
=
∑
отбросить первые
m
членов, то получаемый ряд
1
n
nm
a
+∞
= +
∑
называется остатком исходного ряда. Введем следующие обозна-
чения:
()
11
, 1, 2, , , 1, 2, .
nn
m
nk n k
n nm
S an S anmm
= = +
= = = =++
∑∑
Тогда для
1nm≥+
выполняется равенство
()
()
12 1 2
.
m
m
n
m
n mm m nmn
S
S
S aa a a a a S S
++
=+++ + + ++ = +
Приводимые ниже два свойства рядов используют полученное соот-
ношение
()
, 1.
m
nmn
S S S nm= + ≥+
(∗)
Глава 2
72
Числовые ряды
ç
è
2°. Если ряд
1
n
n
a
+∞
=
∑
сходится, то для любого
m∈
сходится его ос-
таток
1
n
nm
a
+∞
= +
∑
, причем
1
lim 0
k
k
nm
a
+∞
→+∞
= +
=
∑
. Если остаток ряда
1
n
nm
a
+∞
= +
∑
схо-
дится для некоторого
m∈
, то сходится и исходный ряд.
Из соотношения (∗) следует, что для фиксированного
m∈
из су-
ществования одного из двух пределов
lim
n
n
S
→+∞
,
()
lim
m
n
n
S
→+∞
вытекает сущест-
вование другого. Отсюда вытекают оба сформулированных утверждения.
3°. Если ряд
1
n
n
a
+∞
=
∑
сходится, то
1
lim 0
n
m
nm
a
+∞
→+∞
= +
=
∑
.
При любом
m∈
ряд
1
n
nm
a
+∞
= +
∑
является сходящимся, в силу преды-
дущего свойства. Обозначим:
1
n
n
Sa
+∞
=
=
∑
. Переходя в соотношении (∗) к
пределу при
n → +∞
, получаем:
1
mn
nm
SS a
+∞
= +
= +
∑
, то есть
1
,.
nm
nm
a SS m
+∞
= +
=−∈
∑
Остается заметить, что
lim
m
m
SS
→+∞
=
и, следовательно,
lim ( ) 0
m
m
SS
→+∞
−=
.
4°. Если ряд
1
n
n
a
+∞
=
∑
сходится, то для любого
c∈
ряд
1
n
n
ca
+∞
=
∑
также
сходится, и
11
nn
nn
ca c a
+∞ +∞
= =
=
∑∑
.
Глава 2
73
Числовые ряды
ç
è
Действительно, обозначим через
n
S
и
n
S
,
n∈
, частичные суммы
этих рядов. Тогда, очевидно,
nn
S cS=
, и
lim lim
nn
nn
Sc S
→+∞ →+∞
= ⋅
.
5°. Если ряды
1
n
n
a
+∞
=
∑
и
1
n
n
b
+∞
=
∑
сходятся, то сходятся ряды
1
()
nn
n
ab
+∞
=
±
∑
и имеет место равенство
1 11
() .
nn n n
n nn
ab a b
+∞ +∞ +∞
= = =
±= ±
∑ ∑∑
Для доказательства достаточно рассмотреть частичные суммы рядов:
имеет место равенство
1 11
( ) , 1, 2, .
n nn
kk k k
k kk
ab a b n
= = =
±= ± =
∑ ∑∑
При
n → +∞
существуют пределы обеих сумм в правой части. Отсюда
следует сходимость рядов
1
()
nn
n
ab
+∞
=
±
∑
и соответствующие соотношения
для их сумм.
2. Критерий Коши сходимости ряда
Следующее утверждение дает необходимое и достаточное условие
сходимости числового ряда.
Т
ЕОРЕМА 1 (КРИТЕРИЙ КОШИ). Следующие условия эквивалентны:
1) числовой ряд
1
n
n
a
+∞
=
∑
сходится;
Глава 2
74
Числовые ряды
ç
è
Коши
2) по любому
0
ε
>
найдется такое
N
, что для любых
nN≥
,
1p =
,
2
, … выполняется неравенство
1
.
np
k
kn
a
ε
+
= +
<
∑
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Эта теорема является непосредственным следстви-
ем критерия Коши сходимости числовой последовательности. Действи-
тельно, введем следующее обозначение:
1
n
nk
k
Sa
=
=
∑
,
n∈
. Сходимость
рассматриваемого ряда по определению равносильна сходимости последо-
вательности
1
{}
nn
S
+∞
=
. В силу критерия Коши сходимости последовательно-
сти, последовательность
1
{}
nn
S
+∞
=
сходится в том и только том случае, когда
по любому
0
ε
>
найдется такое
N
, что для любых
nN≥
,
1p =
,
2
, … вы-
полняется неравенство
1
||
np n
SS
ε
++
−<
. Остается заметить, что имеет ме-
сто равенство
1
1
, , 1, 2. .
np
np n k
kn
S S an p
+
++
= +
−= ∈ =
∑
Теорема доказана.
З
АМЕЧАНИЕ. В силу приведенного критерия, расходимость ряда
1
n
n
a
+∞
=
∑
равносильна следующему условию: существует такое
0
0
ε
>
, что
для любого
N ∈
найдутся такие
nN≥
и
p∈
, что
0
1
.
np
k
kn
a
ε
+
= +
≥
∑
В качестве иллюстрации можно рассмотреть гармонический ряд
Глава 2
75
Числовые ряды
ç
è
1
1
.
n
n
+∞
=
∑
Полагаем
0
1
2
ε
=
. Беря любое
nN≥
и полагая
pn=
, получаем
2
11
1 1 1 1 1 11
.
1 2 2 22
np
n
kn kn
n
k kn n n n
+
=+=+
= = + ++ ≥ =
++
⋅
∑∑
Следовательно, гармонический ряд является расходящимся.
3. Ряды с неотрицательными членами
В этом разделе мы рассмотрим случай рядов, все члены которых удо-
влетворяют одному и только одному из следующих двух условий:
0
n
a ≥
,
0
n
a ≤
. Такие ряды принято называть знакопостоянными. Путем умноже-
ния всех членов ряда на
1−
, ряды, члены которых удовлетворяют второму
условию, преобразуются в ряды, удовлетворяющие первому условию и на-
оборот. В курсе математического анализа принято ограничиваться рас-
смотрением рядов, члены которых удовлетворяют условию
0
n
a ≥
.
Т
ЕОРЕМА 2. Ряд
1
n
n
a
+∞
=
∑
с неотрицательными членами сходится в том
и только том случае, когда последовательность его частичных сумм ог-
раничена сверху.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим последовательность частичных сумм
рассматриваемого ряда:
1
.
n
nk
k
Sa
=
=
∑
Из соотношения
11n nn
S Sa
++
= +
,
n∈
Глава 2
76
Числовые ряды
ç
è
и неотрицательности членов ряда следует, что рассматриваемая последо-
вательность частичных сумм является возрастающей. Остается напомнить,
что, возрастающая последовательность является сходящейся в том и
только том случае, когда она ограничена сверху.
Теорема доказана.
З
АМЕЧАНИЕ. Читателю предлагается убедиться в справедливости сле-
дующего варианта критерия сходимости ряда с неотрицательными члена-
ми: ряд
1
n
n
a
∞
=
∑
с неотрицательными членами сходится в том и только том
случае, когда некоторая подпоследовательность последовательности его
частичных сумм ограничена сверху.
Т
ЕОРЕМА 3 (ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ РЯДОВ). Предположим, что члены
двух рядов
1
n
n
a
+∞
=
∑
и
1
n
n
b
+∞
=
∑
с неотрицательными членами удовлетворяют ус-
ловию
nn
ab≤
1, 2, .n =
Тогда
1) из сходимости ряда
1
n
n
b
+∞
=
∑
следует сходимость ряда
1
n
n
a
+∞
=
∑
;
2) из расходимости ряда
1
n
n
a
+∞
=
∑
следует расходимость ряда
1
n
n
b
+∞
=
∑
.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Введем следующие обозначения для частичных
сумм рядов:
11
, ,.
nn
n kn k
kk
A aB bn
= =
= = ∈
∑∑
Глава 2
77
Числовые ряды
ç
è
Из условия, наложенного на члены ряда, следует, что для всех
n∈
выполняется неравенство
nn
AB≤
. Остается заметить, что если ряд
1
n
n
b
+∞
=
∑
сходится, то, в силу предыдущей теоремы, последовательность его частич-
ных сумм
1
{}
nn
B
+∞
=
ограничена сверху, то есть существует такая констан-
та
,C
что для всех
n∈
выполняется неравенство
n
BC≤
. Тогда для всех
n∈
выполняется и неравенство
n
AC≤
и, в силу той же теоремы, ряд
1
n
n
a
+∞
=
∑
сходится. Мы доказали свойство 1). Свойство 2) является логически
равносильным свойству 1).
Теорема доказана.
З
АМЕЧАНИЕ 1. Если члены двух рядов
1
n
n
a
+∞
=
∑
и
1
n
n
b
+∞
=
∑
с неотрицатель-
ными членами удовлетворяют условию
nn
ab≤
, говорят, что второй ряд (то
есть
1
n
n
b
+∞
=
∑
) мажорирует первый (или члены первого ряда мажорируюся
членами второго ряда).
З
АМЕЧАНИЕ 2. Равносильность свойств 1) и 2) имеет место и в том
случае, когда неравенство
nn
ab≤
выполняется не для всех значений
n
, а
для всех достаточно больших значений
n
. Для доказательства такого вари-
анта достаточно рассмотреть остатки рядов, начиная с подходящего номе-
ра.
Т
ЕОРЕМА 4 (ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ РЯДОВ В ПРЕДЕЛЬНОЙ ФОРМЕ). Пред-
положим, что для рядов
1
n
n
a
+∞
=
∑
и
1
n
n
b
+∞
=
∑
с положительными членами суще-
Глава 2
78
Числовые ряды
ç
è
ствует конечный положительный предел
lim .
n
n
n
a
c
b
→+∞
=
Тогда эти ряды
сходятся или расходятся одновременно.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем такое
N
, что для всех
nN≥
, выполняет-
ся неравенство
1.
n
n
a
c
b
≤+
Тогда для тех же значений
n
выполняется нера-
венство
( 1)
nn
acb≤+
. Если ряд
1
n
n
b
+∞
=
∑
сходится, то сходится ряд
1
( 1)
n
n
cb
+∞
=
+
∑
,
и из предыдущей теоремы (точнее, в из ее варианта, указанного в замеча-
нии к теореме) следует сходимость ряда
1
n
n
a
+∞
=
∑
. Подчеркнем, что здесь ис-
пользовалась только конечность предела
lim
n
n
n
a
b
→+∞
.
Предположим, что сходится ряд
1
n
n
a
+∞
=
∑
и
0 c< < +∞
. Тогда из сущест-
вования соотношения
1
lim
n
n
n
a
bc
→∞
=
, в силу доказанного, получаем, что схо-
дится ряд
1
n
n
b
∞
=
∑
.
Теорема доказана.
З
АМЕЧАНИЕ. Внимательное рассмотрение доказательства теоремы
позволяет дать следующее ее уточнение. Предположим, что для рядов
1
n
n
a
+∞
=
∑
и
1
n
n
b
+∞
=
∑
с положительными членами существует конечный или бес-
конечный предел
lim .
n
n
n
a
c
b
→+∞
=
Тогда
Глава 2
79
Числовые ряды
ç
è
1) если
0c =
, то из сходимости ряда
1
n
n
b
+∞
=
∑
следует сходимость ряда
1
n
n
a
+∞
=
∑
, а из расходимости ряда
1
n
n
a
+∞
=
∑
следует расходимость ряда
1
n
n
b
+∞
=
∑
;
2) если
0 c< < +∞
, то ряды
1
n
n
a
+∞
=
∑
и
1
n
n
b
+∞
=
∑
сходятся или расходятся
одновременно;
3) если
c = +∞
, то из сходимости ряда
1
n
n
a
+∞
=
∑
следует сходимость
ряда
1
n
n
b
+∞
=
∑
, а из расходимости ряда
1
n
n
b
+∞
=
∑
следует расходимость ря-
да
1
n
n
a
+∞
=
∑
.
П
РИМЕР. Снова рассмотрим гармонический ряд
1
1
n
n
+∞
=
∑
. Учтем, что при
n → +∞
имеет место эквивалентность
ln 1 ~
11
nn
+
, или
1
ln 1
lim 1
1
n
n
n
→+∞
+
=
.
Выше была доказана расходимость ряда
1
1
ln 1
n
n
+∞
=
+
∑
. Отсюда и из преды-
дущей теоремы следует расходимость гармонического ряда.
Глава 2
80
Числовые ряды
ç
è