Пилиди В.С. лекции по высшей математике

Подождите немного. Документ загружается.

Площадь половины одного из «лепестков», то есть одной шестой части

фигуры, равна

1 1 1 cos6 1 sin6

sin 3 .

2 2 2 4 6 24

ππ

ϕ ϕπ

ϕϕ ϕ ϕ

−



= =−=





∫∫

Отсюда получаем, что площадь всей фигуры равна

Рассмотрим вопрос о вычислении длины дуги кривой. Площадь фи-

гуры определялась как предел площадей более простых фигур, прибли-

жающих данную в некотором смысле. В случае кривых на плоскости по-

ступают аналогично, приближая произвольную кривую ломаной, длина

которой определяется как сумма длин составляющих ее звеньев.

Перейдем к точным определениям.

ПРЕДЕЛЕНИЕ. Предположим, что функции

непрерывны на

некотором отрезке

[,]ab

. Множество точек координатной плоскости

, за-

даваемое условием

{( ( ), ( )): [ , ]}L t t t ab

ϕψ

= ∈

называется непрерывной кривой на плоскости.

Рассмотрим указанную в определении кривую

. Выберем произ-

вольное разбиение

{}

отрезка

[,]ab

и рассмотрим последователь-

ность точек

( ( ), ( ))

i ii

M tt

ϕψ

0i =

, 1, …,

этой кривой. Соединяя отрез-

ком каждую точку

с точкой

при

0i =

, 1, …,

1k −

, получим неко-

торую ломаную на плоскости, которую будем обозначать через

. Обо-

Глава 1

Определенный интеграл

значим через

()L



длину этой ломаной, то есть сумму длин составляющих

ее отрезков, звеньев этой ломаной.

ПРЕДЕЛЕНИЕ. Непрерывная кривая на плоскости называется спрям-

ляемой, если существует предел

|| 0

lim ( )L

→



. В этом случае указанный пре-

дел называется длиной кривой

Длину спрямляемой кривой

будем обозначать

()L

Прежде, чем доказывать теорему о вычислении длины спрямляемой

кривой, докажем следующее вспомогательное утверждение.

ЕММА. Для любых вещественных

имеет место оценка

22 22

| |.a c b c ab+ − + ≤−

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если

0ab= =

, то доказываемое соотношение, оче-

видно, имеет место. Допустим, что числа

не обращаются в ноль од-

новременно. Умножая и деля разность

22 22

ac bc+− +

на сопряженное

выражение, находим:

22 22

||ab

ac bc

−

+− + ≤ =

++ +

22 22

|| .

ac bc

= −

++ +

(∗)

Оценим дробь в правой части. Учтем следующие соотношения:

| || | | |ab a b+≤ +

Глава 1

Определенный интеграл

22 22 2 2

| | | |.ac bc a b a b++ +≥ + =+

Следовательно,

22 22

ac bc

≤

++ +

и из (∗) получаем искомое неравенство.

Лемма доказана.

ЕОРЕМА 17. Предположим, что кривая на плоскости задается ус-

ловием

{( ( ), ( )): [ , ]},L t t t ab

ϕψ

= ∈

где функции

определены и непре-

рывно дифференцируемы на отрезке

[,]ab

. Тогда кривая

является

спрямляемой, и ее длина может быть найдена по формуле

( ) ( ( )) ( ( )) .

L t t dt

ϕψ

′′

= +

∫



ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Следуя определению спрямляемой кривой, выбе-

рем произвольное разбиение

{}

отрезка

[,]ab

, введем последова-

тельность точек

( ( ), ( ))

i ii

M tt

ϕψ

0i =

, 1, …,

и соединим отрезком каж-

дую точку

с точкой

при

0i =

, 1, …,

1k −

. Длину отрезка

1ii

находим по формуле

11 1

| | ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) .

ii i i i i

MM t t t t

ϕϕ ψψ

++ +

= −+ −

Тогда длина ломаной

, которая получается путем последовательного со-

единения этих отрезков, равна

Глава 1

Определенный интеграл

11 1

( ) | | ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

ii i i i i

L MM t t t t

ϕϕ ψψ

−−

++ +

= =

= = −+ −

∑∑



Применяя к каждой из разностей

( ) ()

ϕϕ

−

0i =

, 1, …,

1k −

формулу

конечных приращений, получаем:

( ) () ( ) ,

i i ii

tt t

ϕ ϕ ϕξ

′

−= ∆

где

— неко-

торая точка, принадлежащая отрезку

[, ]

1ii i

tt t

∆= −

. Набор точек

{}

ξξ

−

подчинен разбиению

. Аналогично, рассматривая разность

( ) ()

ψψ

−

находим точки

[, ]

i ii

∈

, для которых выполняется равен-

ство

( ) () ( )

i i ii

tt t

ψ ψ ψη

′

−= ∆

. Набор точек

{}

ηη

−

также подчинен раз-

биению

. Учитывая полученные соотношения, преобразуем формулу для

нахождения

()L



( ) ( ( )) ( ( )) .

i ii

ϕξ ψη

−

′′

= +∆

∑



Преобразуем последнюю сумму следующим образом:

22 22

( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))

i ii i ii

L tt

ϕξ ψη ϕξ ψξ

−−

= =

′′ ′′

= + ∆= + ∆+

∑∑



( )

22 22

( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) .

i i i ii

ϕξ ψη ϕξ ψξ

−

′′ ′′

+ +− + ∆

∑

Первое слагаемое в правой части является интегральной суммой

(( ) ( ),,)S

ϕ ψ λξ

′′

Обозначая второе слагаемое через

(,,)R

λξη

, полученное соотношение пе-

реписываем так:

Глава 1

Определенный интеграл

( ) (() ( ),,) (,,).LS R

ϕ ψ λξ λξη

′′

=++



(∗)

Найдем предел выражения в правой части при

|| 0

→

. Функция

( ( )) ( ( ))tt

ϕψ

′′

непрерывна на отрезке

[,]ab

и, следовательно, интегрируема на этом от-

резке. Поэтому выполняется равенство

22 2 2

|| 0

lim ( ( ) ( ) , , ) ( ( )) ( ( )) .

S t t dt

ϕ ψ λξ ϕ ψ

→

′′ ′ ′

+=+

∫

Для анализа

(,,)R

λξη

, пользуясь леммой, получаем оценку:

22 22

| ( , , )| ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))

i i i ii

λξη ϕξ ψη ϕξ ψξ

−

′′ ′′

= + − + ∆≤

∑

| ( ) ( )| ( ,[ , ])

i i i ii i

t tt t

ψ η ψ ξ ωψ

−−

= =

′′ ′

≤ − ∆≤ ∆

∑∑

где, как и выше, через

( ,[ , ])

ωψ

′

обозначено колебание функции

′

на

отрезке

[, ]

Учтем, что функция

′

является непрерывной на отрезке

[,]ab

. Вы-

берем произвольное

. В силу теоремы Кантора, найдется такое

что для любых

[,]t ab∈

, удовлетворяющих условию

||tt

−<

выпол-

няется неравенство

| ( ) ( )|tt

ψψ ε

′′

−<

. Возьмем произвольное разбиение

отрезка

[,]ab

, удовлетворяющее условию

λδ

. Для любого

0i =

, 1, …,

1k −

имеем:

Глава 1

Определенный интеграл

1 1 2 12 1

( ,[ , ]) sup{| ( ) ( )|: , }

ii i i

tt t t

ωψ ψτ ψτ ττ ε

′ ′′

= − ≤ ≤≤

Действительно, имеет место неравенство

| || |

λδ

−≤ <

, следовательно,

любые точки

[, ]

∈

удовлетворяют неравенству

ττ δ

−<

. Тогда

| ( ) ( )|

ψτ ψτ ε

′′

−<

и указанная точная верхняя грань не превосходит

(используя непрерыв-

ность функции

′

, легко доказать, что эта оценка является строгой).

Тогда для произвольного разбиения

, удовлетворяющего условию

λδ

, получаем оценку

| ( , , )| ( ,[ , ]) ( ).

ii i i

R tt t t b a

λξη ωψ ε ε

−−

= =

′

≤ ∆≤ ∆= −

∑∑

Отсюда следует, что

|| 0

lim ( , , ) 0S

λξη

→

, и окончательно находим:

|| 0

lim ( ) ( ( )) ( ( )) .

L t t dt

ϕψ

→

′′

= +

∫



Полученное соотношение доказывает, что кривая

является спрямляемой,

и дает формулу для нахождения ее длины.

Теорема доказана.

Рассмотрим частные случаи вычисления длины дуги.

Предположим, что кривая

задана уравнением, разрешенным отно-

сительно

()y fx=

axb≤≤

, где функция

непрерывно дифференци-

Глава 1

Определенный интеграл

руема на отрезке

[,]ab

. Тогда эта же кривая может быть задана параметри-

ческими уравнениями

, ( ),x t y ft a t b= = ≤≤

Применяя теорему, получаем, что данная кривая является спрямляемой, и

ее длина может быть найдена по формуле

( ) 1 ( ( )) 1 ( ( )) .

L f t dt f x dx

′′

=+=+

∫∫



Предположим, что кривая

задается уравнением в полярной систе-

ме координат:

()rf

αϕβ

≤≤

. Учитывая соотношения

cosxr

sinyr

, связывающие декартовы и полярные координаты, находим па-

раметрические уравнения рассматриваемой кривой:

()cos, ()sin, .xf yf

ϕ ϕ ϕ ϕ αϕβ

= = ≤≤

Функции

( )cosf

ϕϕ

( )sinf

ϕϕ

непрерывно дифференцируемы на

отрезке

[,]

αβ

. После элементарных выкладок находим:

(( ( )cos ) ) (( ( )sin ) )

ϕϕ ϕϕ

′′

( ()cos ()sin) ( ()sin ()cos)ff ff

ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ

′′

= − ++ =

( ( )) ( ( )) ,ff

ϕϕ

′

= +

и тогда

() (()) ( ()) .L f fd

ϕ ϕϕ

′

= +

∫



Глава 1

Определенный интеграл

Глава 2. Числовые ряды

1. Основные определения

Пусть

{}

+∞

— некоторая числовая последовательность. Рядом

(или, точнее, числовым рядом), составленным из элементов этой последо-

вательности, называется выражение

aa a++++

или

+∞

∑

. От

обычной суммы, составленной из конечного числа слагаемых, это выраже-

ние отличается наличием бесконечного числа слагаемых. Наша задача со-

стоит в том, чтобы придать этой сумме смысл, сопоставив ей при некото-

рых дополнительных предположениях числовое значение.

Введем в рассмотрение следующие конечные суммы:

11 212 3123 12

, , , , ,,

Sa S aa Saaa S aa a= =+ =++ =+++ 

или

∑

n∈

. Суммы

называются частичными суммами рас-

сматриваемого ряда. Числа

n∈

, называются членами рассматривае-

мого ряда.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовой ряд

+∞

∑

называется сходящимся, если по-

следовательность его частичных сумм

{ }

+∞

сходится. В этом случае

суммой указанного ряды называют число

lim

→+∞

и пишут

+∞

∑

Если последовательность частичных сумм

{}

+∞

расходится, то ряд

+∞

∑

называется расходящимся.

АМЕЧАНИЕ 1. Обратим внимание читателя, что выражение

+∞

∑

может обозначать как сам ряд, так и его сумму.

АМЕЧАНИЕ 2. Как и в случае числовых последовательностей, иногда

удобно предполагать, что члены ряда проиндексированы неотрицательны-

ми целыми числами или целыми числами

, удовлетворяющими условию

nm≥

при некотором целом (и не обязательно неотрицательном) значе-

нии

РИМЕР. Пусть

— произвольное вещественное число. Рассмотрим

числовой ряд

+∞

∑

. Рассмотрим сначала случай

1q ≠

. Частичные суммы

ряда имеют следующий вид:

1 11

Sq q

q qq

−

= = =−⋅

− −−

∑

(∗)

Глава 2

Числовые ряды

Здесь применена формулу для суммирования геометрической прогрессии.

Из полученной формулы следует, что последовательность

{}

+∞

сходится

в том и только том случае, когда сходится последовательность

{}

+∞

. Мы

знаем, что эта последовательность сходится тогда и только тогда, когда

| |1q <

, и в этом случае

lim 0

→+∞

. Для этих значений

из формулы (∗)

находим:

lim

→+∞

−

Остается рассмотреть случай

1q =

. При этом условии

Sn= +

, и

последовательность

{}

+∞

расходится. Окончательный вывод: рассматри-

ваемый ряд сходится тогда и только тогда, когда

| |1q <

и при этом условии

+∞

−

∑

РИМЕР. Рассмотрим ряд

1111−+−+

, или

( 1)

+∞

−

∑

. Тогда

01 2 3

1, 110, 1111, 11110,SS S S= =−= =−+= =−+−= 

Последовательность частичных сумм имеет следующий вид: 1, 0, 1, 0, … .

Эта последовательность является расходящейся и, следовательно, рассмат-

риваемый ряд расходится.

РИМЕР. Рассмотрим ряд

ln 1

+∞







∑

. Тогда

ln ln( 1) ln ,

a nn



= = +−





Глава 2

Числовые ряды