Пилиди В.С. лекции по высшей математике

Подождите немного. Документ загружается.

( 1) ( ) ( ), ,

fk fxdxfk k

+≤ ≤ ∈

∫



то есть

() , ,

a f x dx a k

≤ ≤∈

∫



Выберем произвольное

n∈

и просуммируем полученные неравенства

для значений

1k =

, 2, …,

23 1n

aa a

+++ ≤

23 1

() () ()

f x dx f x dx f x dx

≤ + ++ ≤

∫∫ ∫



aa a≤+++

то есть

() ,

S a f x dx S

−≤ ≤

∫

или, применяя формулу Ньютона-Лейбница,

( 1) (1) , .

S a Fn F S n

− ≤ +− ≤ ∈

(∗)

Предположим, что существует конечный предел

lim ( )

Fx c

→+∞

. Тогда, в

силу строгого возрастания функции

()Fx

, для любого

[1, )x∈ +∞

имеет ме-

сто оценка

()Fx c<

, и из (∗) получаем:

Глава 2

Числовые ряды

1 11

( 1) (1) (1) , .

SFn FacFan

≤+−+≤−+ ∈

Последовательность частичных сумм ряда с положительными чле-

нами ограничена сверху, и, следовательно, этот ряд сходится.

Обратно. Предположим, что ряд

+∞

∑

сходится. Тогда последова-

тельность

{}

+∞

его частичных сумм ограничена сверху. Предположим,

что

SC≤

для некоторой константы

и всех

n∈

. Тогда из (∗) получа-

ем:

( 1) (1) (1), .

Fn S F C F n+≤ + ≤+ ∈

Выполняется также неравенство

(1) (1)F CF≤+

, то есть для любого нату-

рального

выполняется оценка

( ) (1)Fn C F≤+

. Остается заметить, что

для произвольного

[1, )x∈ +∞

, в силу возрастания функции

()Fx

имеет ме-

сто оценка

 

( ) ( ) (1),Fx F x C F≤ ≤+

поскольку

 

x ∈

Функция

()Fx

строго возрастает на промежутке

[1, )+∞

и ограничена

сверху. Следовательно, существует конечный предел

lim ( )

→+∞

Теорема доказана.

РИМЕР. Рассмотрим ряд

+∞

∑

. Мы доказали выше, что при

<≤

этот ряд расходится. Покажем, как этот ряд может быть проана-

лизирован с помощью интегрального признака.

Глава 2

Числовые ряды

Рассмотрим функцию

()fx

1x ≥

. Предположим, что

≠

Введем в рассмотрение первообразную

()

−

функции

()fx

. Эта

первообразная имеет конечный предел (равный нулю), если

и беско-

нечный предел, если

. Таким образом, ряд сходится, если

расходится, если

. При

первообразная имеет вид

( ) lnFx x=

это неограниченная функция на промежутке

[1, )+∞

и, следовательно, ряд

расходится при

РИМЕР. Рассмотрим ряд

+∞

∑

∈

Введем функцию

()

2x ≥

. Эта функция принимает по-

ложительные значения и убывает, начиная с некоторого места. Если

≠

то первообразная рассматриваемой функции имеет вид

()

−

. Она

имеет конечный предел при

x → +∞

в том и только том случае, когда

Если

, то

( ) lnlnFx x=

, эта функция не является ограниченной

на промежутке

[2, )+∞

. Окончательно получаем, что рассматриваемый ряд

сходится при

и расходится при

≤

ПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что ряд

αβ

+∞

∑

∈

сходится, если

при любом значении

или

(последнее доказано в пре-

дыдущем примере) и расходится при остальных значениях параметров.

Глава 2

Числовые ряды

7. Ряды с произвольными членами

В этом разделе будут рассмотрены числовые ряды без предположе-

ний о знаках их членов.

ПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовой ряд

+∞

∑

называется абсолютно сходящим-

ся, если сходится числовой ряд

+∞

∑

Отметим некоторые свойства абсолютно сходящихся рядов.

1°. Абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Для произвольного

n∈

полагаем:

,если 0, 0, если 0,

0,если 0, , если 0.

nn n

n nn

aa a

a aa

+−

≥≥



= =



< −<



Для любого

имеет место неравенство

≥

и выполняется одно из ра-

венств

или

, и, следовательно,

0 ||

≤≤

. Ряд

+∞

∑

, со-

ставленный из неотрицательных членов, мажорируется сходящимся рядом

+∞

∑

и, следовательно, сходится. Аналогичные аргументы справедливы

для ряда

+∞

−

∑

. Остается заметить, что для любого

имеет место равенст-

во

nnn

aaa

+−

= −

, исходный ряд сходится как разность двух сходящихся ря-

дов.

Глава 2

Числовые ряды

УПРАЖНЕНИЕ. Вывести сходимость абсолютно сходящегося ряда из

критерия Коши, пользуясь оценкой

| |, , .

np np

kn kn

a a np

= =

≤∈

∑∑



АМЕЧАНИЕ. Ниже будут приведены примеры рядов, которые сходят-

ся, но не сходятся абсолютно. Таким является например, ряд

111

234

−+−+

Доказательства следующих двух свойств предоставляются читателю.

2°. Если числовой ряд

+∞

∑

абсолютно сходится, а последователь-

ность

{}

+∞

ограничена, то ряд

+∞

∑

сходится абсолютно.

3°. Если числовые ряды

+∞

∑

+∞

∑

сходятся абсолютно, то для

любых

∈

числовой ряд

()

αβ

+∞

∑

также сходится абсолютно.

8. Знакочередующиеся ряды

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд

( 1)

+∞

−

∑

, где

a >

для всех

n∈

называется

знакочередующимся (или знакопеременным).

Глава 2

Числовые ряды

ТЕОРЕМА 10 (ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА). Если последовательность поло-

жительных чисел

{}

+∞

убывает и сходится к нулю, то ряд

+∞

∑

схо-

дится.

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как обычно, через

обозначаем частичные сум-

мы рассматриваемого ряда:

∑

. Рассмотрим частичные суммы ряда

с четными номерами:

2 1234 212

n nn

S aaaa a a n

−

=−+−++ − ∈

Группируя слагаемые в правой части следующим образом

2 1 23 45 2221 2

( )( ) ( )

n nn n

S a aa aa a a a

−−

=−−−−−− − −

(∗)

и учитывая, что по условию выполняются неравенства

0aa−≥

22 21

−−

−≥

a >

из (∗) получаем, что для любого

n∈

выполняется неравенство

Sa<

С другой стороны, из соотношения

22 2 21 22n nn n

S Sa a

+ ++

=+−

и нера-

венства

21 22

−≥

находим, что для любого

n∈

выполняется нера-

венство

2 22nn

≤

Итак, последовательность

{}

+∞

возрастающая и ограниченная

сверху. Следовательно, эта последовательность сходится. Обозначим:

lim

→+∞

. Из равенства

21 2 21n nn

S Sa

= +

n∈

и соотношения

lim 0

→+∞

вытекает, что

lim

→+∞

. Тогда получаем, что

lim .

→+∞

Глава 2

Числовые ряды

Теорема доказана.

ЛЕДСТВИЕ. В условиях теоремы для любого

n∈

справедливы не-

равенства

2 21 1

,| | ,

n n nn

S SS SS a

≤≤ − ≤

где

+∞

∑

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Последовательность

возрастает и сходится к

числу

. Отсюда вытекает, что для любого

n∈

имеет место неравенство

SS≤

. Из соотношения

21 21 2 21

()

n n nn

S S aa

+− +

= −−

вытекает, что последо-

вательность

21 1

{}

+∞

является убывающей. Учитывая, что

lim

→+∞

отсюда выводим, что для любого

n∈

выполняется неравенство

≥

Объединяем полученные соотношения: для любого

n∈

2 21

S SS

≤≤

(∗)

Выражаем здесь каждую из частичных сумм через предшествующую:

21 2 2 21

n n nn

S a SS a

−+

− ≤≤ +

Отсюда с учетом (∗) получаем:

21 2

S Sa

−

≤ −≤

2 21

SS a

≤− ≤

. Это и

означает, что для любого

n∈

выполняется оценка

SS a

−≤

Следствие доказано.

Глава 2

Числовые ряды

ПРИМЕР. Рассмотрим ряд

( 1)

−

+∞

−

∑

в предположении, что

. По-

следовательность

+∞







монотонно сходится к нулю. Отсюда следует,

что данный ряд является сходящимся. Напомним, что он сходится абсо-

лютно только при

9. Признаки Абеля и Дирихле

В этом разделе приводятся еще два признака сходимости рядов.

Сначала докажем одно важное неравенство.

Предположим, что

n∈

1k =

, 2, …,

— вещественные

числа, причем последовательность

{}

является монотонной. Мы вы-

ведем некоторую оценку для суммы

∑

. Обозначим эту сумму че-

рез

Предположим, что

1n >

. Введем следующие обозначения:

∑

1k =

, 2, …,

, то есть

Bb=

212

B bb= +

3123

Bbbb=++

Глава 2

Числовые ряды

Абель

Дирихле

.................................

12nn

B bb b=++

Отсюда получаем:

bB=

2 21

bBB= −

332

bBB= −

.................................

1nnn

bBB

−

= −

Тогда

11 2 2

k nn

S ab ab ab ab

= = + ++ =

∑



11 2 2 1 3 3 2 1

( ) ( ) ( ).

nn n

aB a B B a B B a B B

−

= + − + − ++ −

Раскрывая скобки и группируя слагаемые с одинаковыми множителями

отсюда получаем:

1 21 2 32 1 1

( )( ) ( ) .

n n n nn

S a a B a a B a a B aB

−−

= − + − ++ − +

Обозначим:

max | |

≤≤

. Тогда получаем:

1 21 2 32 1 1

| | |( ) ( ) ( ) |

n n n nn

S a a B a a B a a B aB

−−

= − + − ++ − + ≤

1 21 2 32 1 1

|( ) | |( ) | |( ) | | |

n n n nn

a a B a a B a a B aB

−−

≤ − + − ++ − + =

Глава 2

Числовые ряды

12 1 23 2 1 1

| || | | || | | || | | || |

n nn nn

aaB aaB a aB aB

−−

= − ⋅ + − ⋅ ++ − ⋅ + ⋅ ≤

12 23 1

| || | | |||

nn n

aaBa aB a aBaB

−

≤ − ⋅+ − ⋅ + + − ⋅+ ⋅ =

12 23 1

(| || | | || |).

nnn

aa a a a a aB

−

≤ − + − ++ − +

Имеет место равенство

12 23 1 1

| | | | | | | |.

nn n

aa aa a a aa

−

− + − ++ − = −

Действительно, если последовательность

{}

является убывающей, то

0aa−≥

, …,

−

−≥

12 23 1

| || | | |

aa aa a a

−

− + − ++ − =

1223 1 1 1

| |,

nn n n

aaaa a a aa aa

−

=−+−++ −=−=−

поскольку

aa−≥

Случай возрастающей последовательности анализируется аналогич-

но.

С учетом полученного равенства продолжаем оценку:

(| | | |) (| | 2| |) .

nn n

S aa aB a aB≤ −+ ≤ +

Окончательная оценка выглядит следующим образом:

(| | 2| |) .

kk n

ab a a B

≤+

∑

Глава 2

100

Числовые ряды