Пилиди В.С. лекции по высшей математике

Подождите немного. Документ загружается.

Остается заметить, что

212

( ) ( ) () () () .

MMM

a aM

F M F M f x dx f x dx f x dx−= − =

∫∫∫

Теорема доказана.

ЛЕДСТВИЕ. Предположим, что функция

определена и локально

интегрируема на промежутке

[, )a +∞

. Если сходится несобственный ин-

теграл

| ( )|

f x dx

+∞

∫

, то сходится несобственный интеграл

()

f x dx

+∞

∫

имеет место оценка

() | ()|

f x dx f x dx

+∞ +∞

≤

∫∫

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сходимость несобственного интеграла

()

f x dx

+∞

∫

вытекает из критерия Коши. Действительно, выберем произвольное

найдем такое

, чтобы для любых

MN≥

выполнялось неравенство

| ( )|

f x dx

∫

(модуль интеграла мы не пишем, поскольку интеграл является неотрица-

тельным). Тогда для тех же

имеем:

() | ()| .

f x dx f x dx

≤<

∫∫

Снова используя критерий Коши, находим, что несобственный интеграл

Глава 3

121

Несобственные интегралы

()

f x dx

+∞

∫

сходится.

Для любого

Ma>

имеет место оценка

() | ()| .

f x dx f x dx≤

∫∫

Переходя здесь к пределу при

M → +∞

, находим требуемое соотношение

для несобственных интегралов.

Следствие доказано.

ПРЕДЕЛЕНИЕ. Предположим, что функция

локально интегрируема

на промежутке

[, )a +∞

. Если сходится несобственный интеграл

| ( )|

f x dx

+∞

∫

то говорят, что

1) интеграл

()

f x dx

+∞

∫

сходится абсолютно;

2) функция

абсолютно интегрируема (в несобственном смысле) на

промежутке

[, )a +∞

В терминах приведенного определения следствие предыдущей тео-

ремы может быть переформулировано так: из абсолютной интегрируемо-

Глава 3

122

Несобственные интегралы

сти в несобственном смысле функции

на промежутке

[, )a +∞

вытекает

ее интегрируемость в несобственном смысле на этом промежутке. Обрат-

ное утверждение в общем случае является неверным. соответствующий

пример будет приведен ниже.

АМЕЧАНИЕ. Без требования локальной интегрируемость функции

приведенное выше следствие является неверным: если сходится несобст-

венный интеграл

| ( )|

f x dx

+∞

∫

, то по определению несобственного интегра-

ла функция

||f

должна быть локально интегрируема на промежут-

ке

[, )a +∞

. Однако при этом функция

может не обладать последним

свойством. Рассмотрим следующий пример. Определим на промежутке

[0, )+∞

следующую функцию:

,если число рациональное;

()

,если число иррациональное.

−







−





Тогда функция

| ( )|

fx e

−

0x ≥

является интегрируемой на промежут-

ке

[0, )+∞

lim lim ( ) lim (1 ) 1.

xxx M

MM M

e dx e dx e e

+∞

−−− −

→+∞ →+∞ →+∞

= = − = −=

∫∫

Однако функция

не является интегрируемой ни на каком промежутке

вида

[, ]aM

при любом

Ma>

. Для доказательства этого снова воспользу-

емся функцией Дирихле, задаваемой на всей вещественной оси



услови-

ем:

Глава 3

123

Несобственные интегралы

1, если число рационально,

()

0,если число иррационально.







Легко проверить, что имеет место равенство

() () (1 ()), .

f x e Dx e Dx a x M

−−

= − − ≤≤

После очевидных преобразований получаем:

() (2 () 1), .

f x e Dx a x M

−

= − ≤≤

Если бы функция

была интегрируемой на отрезке

[, ]aM

, то на этом от-

резке была бы интегрируема функция

2 () 1Dx−

(как произведение интег-

рируемых функций

()Dx

). Тогда из соотношения

( ) ((2 ( ) 1) 1),

Dx Dx a x M= −+ ≤≤

получаем, что на отрезке

[, ]aM

интегрируема функция

()Dx

. Выше (гла-

ва 1) было доказано, что функция Дирихле не является интегрируемой ни

на каком отрезке.

Из признака сравнения несобственных интегралов и следствия пре-

дыдущей теоремы вытекает следующее утверждение.

ЕОРЕМА 4. Предположим, что функции

определены на про-

межутке

[, )a +∞

и выполняются следующие условия:

1) для всех

[, )xa∈ +∞

| ()| ()fx gx≤

;

Глава 3

124

Несобственные интегралы

2) сходится несобственный интеграл

()

g x dx

+∞

∫

;

3) функция

локально интегрируема на промежутке

[, )a +∞

Тогда функция

абсолютно интегрируема в несобственном смысле

на промежутке

[, )a +∞

и выполняется неравенство

() () .

f x dx g x dx

+∞ +∞

≤

∫∫

По аналогии со случаем числовых рядов приведем признаки Дирихле

и Абеля сходимости несобственных интегралов. В случае числовых рядов

было использовано неравенство Абеля. Приведем аналогичное утвержде-

ние для случая интегралов.

Предположим, что выполнены следующие условия:

1) функция

непрерывна на отрезке

[,]ab

2) функция

определена, непрерывно дифференцируема и монотон-

на на отрезке

[,]ab

Введем обозначения:

( ) ()

F x f t dt=

∫

axb≤≤

max{ ( ): }.C Fx a x b= ≤≤

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Глава 3

125

Несобственные интегралы

()() ()() ()() () ()

bb b

aa a

f xgxdx F xgxdxFxgx Fxg xdx

′′

==−=

∫∫ ∫

()() () () .

F b g b F x g x dx

′

= −

∫

Здесь было учтено, что

() 0Fa=

. Рассмотрим последний интеграл:

() () | () ()|

F x g x dx F x g x dx

′′

≤=

∫∫

| ( )| | ( )| | ( )| .

F x g x dx C g x dx

≤

′′

=⋅≤

∫∫



Функция

монотонна на отрезке

[,]ab

. Поэтому выполняется одно из

двух условий:

1) для всех

[,]x ab∈

() 0gx

′

≥

и, следовательно,

| ()| ()gx gx

′′

;

2) для всех

[,]x ab∈

() 0gx

′

≤

и, следовательно,

| ()| ()gx gx

′′

= −

В первом случае

| ()| () () ().

g x dx g x dx g b g a

′′

= = −

∫∫

Во втором случае

| ()| () () ().

g x dx g x dx g a g b

′′

=−=−

∫∫

Глава 3

126

Несобственные интегралы

Учитывая, что в первом случае

() ()gb ga≥

, а во втором

() ()gb ga≤

, полу-

ченным соотношениям можно придать единообразный вид:

| ( )| | ( ) ( )|.

g x dx g b g a

′

= −

∫

Комбинируя полученные соотношения, находим:

()() ()() () ()

f x g x dx F b g b F x g x dx

′

=−≤

∫∫

| ()()| () () | ()| | () ()|

Fbgb Fxg xdx C gb C gb ga

′

≤ + ≤ ⋅ +⋅ − ≤

∫

| ( )| (| ( )| | ( )|) (| ( )| 2| ( )|).C gb C gb ga C ga gb≤⋅ +⋅ + = ⋅ +

Выпишем окончательную оценку, которую будем называть неравенством

Абеля для определенного интеграла:

( ) ( ) (| ( )| 2| ( )|),

f x g x dx C g a g b≤⋅ +

∫

где

max{ ( ): }C Fx a x b= ≤≤

Перейдем теперь к признакам сходимости несобственных интегра-

лов.

ЕОРЕМА 5 (ПРИЗНАК ДИРИХЛЕ). Предположим, что выполняются

следующие условия:

Глава 3

127

Несобственные интегралы

1) функция

непрерывна на промежутке

[, )a +∞

и имеет на этом

промежутке ограниченную первообразную;

2) функция

непрерывно дифференцируема и монотонна на про-

межутке

[, )a +∞

;

lim ( ) 0

→+∞

Тогда несобственный интеграл

()()

f x g x dx

+∞

∫

сходится.

АМЕЧАНИЕ. Если функция

имеет на промежутке

[, )a +∞

ограни-

ченную первообразную, то есть существует ее первообразная

на этом

промежутке, являющаяся ограниченной, то любая первообразная этой

функции на указанном промежутке будет также ограниченной, поскольку

она может быть представлена в виде

FC+

с некоторой константой

ОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ. Обозначим:

( ) ()

F x f t dt=

∫

xa≥

. Функ-

ция

ограничена на промежутке

[, )a +∞

. Обозначим:

sup ( )

C Fx

≥

. Выбе-

рем произвольное

и найдем такое

, что для любого

MN≥

выпол-

няется неравенство

| ( )|gx

. Тогда для произвольных

MN≥

, при-

меняя неравенство Абеля, получаем:

()() 3 ,

f x g x dx C

≤

∫

поскольку выполняются неравенства

| ( )|gM

Глава 3

128

Несобственные интегралы

В силу произвольности

, из критерия Коши сходимости несобственного

интеграла, получаем, что несобственный интеграл

()()

f x g x dx

+∞

∫

сходится.

Теорема доказана.

ЕОРЕМА 6 (ПРИЗНАК АБЕЛЯ). Предположим, что выполняются сле-

дующие условия:

1) функция

непрерывна на промежутке

[, )a +∞

и несобственный

интеграл

()

f x dx

+∞

∫

сходится;

2) функция

непрерывно дифференцируема, монотонна и ограниче-

на на промежутке

[, )a +∞

;

Тогда несобственный интеграл

()()

f x g x dx

+∞

∫

сходится.

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим:

sup ( )

K gx

≥

. Выберем произвольное

. В силу критерия Коши сходимости несобственного интеграла, суще-

ствует такое

, что для любых

MN≥

выполняется неравенство

() .

f x dx

∫

(∗)

Зафиксируем произвольные числа

MN≥

. Предположим сначала, что

MM<

. Рассмотрим первообразную

( ) ()

F x f t dt=

∫

функции

на про-

Глава 3

129

Несобственные интегралы

межутке

[, ]MM

. Для произвольного

[, ]x MM∈

выполняется неравен-

ство

xN≥

и, в силу соотношения (∗), выполняется неравенство

| ( )| .Fx

Тогда, применяя неравенство Абеля, получим:

()() 3 .

f x g x dx K

≤

∫

Если

MM<

, то, в силу доказанного,

()() ()() 3 .

f x g x dx f x g x dx K

= ≤

∫∫

Учитывая произвольность

, из критерия Коши сходимости несобственно-

го интеграла получаем требуемое утверждение.

Теорема доказана.

АМЕЧАНИЕ. Как и в случае числовых рядов, признак Абеля может

быть выведен из признака Дирихле. Действительно, предположим, что вы-

полнены условия формулировки признака Абеля. Из условий, наложенных

на функцию

, следует, что существует предел

lim ( )

→+∞

. Обозначим этот

предел через

. Воспользуемся тождеством

()() ()(() ) (), [, ).fxgx fxgx fx x a

αα

= − + ∈ +∞

(∗)

Функция

()(() )fx gx

−

интегрируема на промежутке

[, )a +∞

по признаку

Дирихле. Проверим выполнение условий этого признака.

Глава 3

130

Несобственные интегралы