Пилиди В.С. лекции по высшей математике

Подождите немного. Документ загружается.

Из существования несобственного интеграла

()f x dx

+∞

∫

следует, что

первообразная

( ) ()

F x f t dt=

∫

xa≥

функции

является ограниченной.

Действительно, обозначим

() lim ().

K f x dx F x

+∞

→+∞

= =

∫

Тогда найдется та-

кое

Ma>

, что для всех

xM≥

выполняется неравенство

| () |1Fx K−<

, то

есть

1 () 1K Fx K−< < +

и функция

ограничена на промежутке

[, )M +∞

. Функция непрерыв-

на на промежутке

[, ]aM

. Из теоремы Вейерштрасса следует, что на этом

промежутке она ограничена. Окончательно получаем, что функция

ог-

раничена на промежутке

[, )a +∞

. Для применимости признака Дирихле к

функции

()(() )fx gx

−

на промежутке

[, )a +∞

остается заметить, что на

этом промежутке функция

()gx

−

непрерывна, монотонна и имеет место

равенство

lim ( ( ) ) 0

→+∞

−=

Обращаясь к тождеству (∗) и учитывая, что функция

()fx

интегри-

руема на промежутке

[, )a +∞

, получаем требуемое утверждение.

РИМЕР. Покажем, что несобственный интеграл

sin x

+∞

∫

сходится,

но не является абсолютно сходящимся.

Это свойство локальной ограниченности функции, рассмотренное нами ранее в случае

предела функции в конечной точке.

Глава 3

131

Несобственные интегралы

ЗАМЕЧАНИЕ. При рассмотрении функции

sin x

всегда предполагает-

ся, что в точке

0x =

, являющейся точкой устранимого разрыва, функция

полагается равной единице. После этого данная функция становится не-

прерывной на всей вещественной оси.

В силу непрерывности функции

sin x

при

0x ≥

, она локально интег-

рируема на промежутке

[0, )+∞

. Для доказательства сходимости рассмат-

риваемого интеграла достаточно доказать, что сходится интеграл

sin x

+∞

∫

Для этого воспользуемся признаком Дирихле. Полагаем:

() sin, () , .fx x gx x

= = ≥

Проверяем условия признака Дирихле.

1) функция

непрерывна на промежутке

[, )

+∞

и имеет на этом

промежутке ограниченную первообразную;

В проверке нуждается только утверждение о первообразной.

При

≥

имеет место равенство

sin ( cos ) cos 1.

tdt t x

=− =−−

∫

Отсюда для тех же

имеем:

Глава 3

132

Несобственные интегралы

sin | cos 1| | cos | 1 2, .

tdt x x x

=− − ≤ +≤ ≥

∫

2) функция

непрерывно дифференцируема и монотонна на проме-

жутке

[, )

+∞

;

lim ( ) 0

→+∞

Эти свойства, очевидно, выполняются для рассматриваемой функ-

ции

В силу признака Дирихле, несобственный интеграл

sin x

+∞

∫

схо-

дится. Тогда, как было отмечено выше, сходится несобственный интеграл

sin x

+∞

∫

Покажем теперь, что несобственный интеграл

sin x

+∞

∫

не сходится

абсолютно. Для этого достаточно показать, что первообразная функции

sin | |x

на промежутке

[, )

+∞

не является ограниченной. Обозначим:

sin

() ,

F x dt x

= ≥

∫

и покажем, что

()Fn

→ +∞

при

n → +∞

Действительно,

Глава 3

133

Несобственные интегралы

( 1)

|sin | |sin |

() .

F n dt dt

ππ

−

= =

∑

∫∫

(∗)

Функция

()t

монотонно убывает на промежутке

[, )

+∞

. Для

любого

[ , ( 1)]t kk

ππ

∈+

из оценки

( 1)tk

≤+

следует, что

( 1)tk

≥

. От-

сюда получаем:

( 1) ( 1)

|sin | 1

|sin |

( 1)

dt t dt

ππ

≥=

∫∫

|sin( )| |sin |

( 1) ( 1)

k t dt t dt

ππ

= += =

∫∫

11 2

sin ( cos ) .

( 1) ( 1) ( 1)

tdt t

kk k

ππ π

= = −=

++ +

∫

Учитывая полученную оценку, из (∗) находим:

2 21

() .

( 1) 1

ππ

−−

= =

≥=

∑∑

Остается заметить, что сумма

1 11 1

123

−

=++ +

∑



является частичной суммой расходящегося ряда

Глава 3

134

Несобственные интегралы

1 11 1

123

+∞

=++ ++

∑



с положительными членами и, следовательно,

lim

−

→+∞

= +∞

∑

. Поэтому

выполняется соотношение

lim ( )

→+∞

= +∞

, доказательство завершено.

В заключение остановимся еще на других случаях несобственных

интегралов по неограниченным промежуткам.

Предположим, что функция

определена на промежутке

( ,]a−∞

для любого

Ma<

интегрируема на промежутке

[ ,]Ma

. Если существует

предел

lim ( )

f x dx

→ −∞

∫

, то он обозначается через

()

f x dx

−∞

∫

и называется

несобственным интегралом от функции

по промежутку

( ,]a−∞

. В этом

случае говорят, что последний интеграл является сходящимся, а функ-

ция

называется интегрируемой (в несобственном смысле) по промежут-

ку

( ,]a−∞

. К таким интегралам с соответствующими изменениями приме-

нимы все утверждения, полученные для несобственных интегралов по

промежутку

[, )a +∞

. Если функция

определена на всей вещественной

оси и существуют несобственные интегралы

()f x dx

+∞

∫

()f x dx

−∞

∫

, то не-

собственный интеграл от функции

по всей вещественной оси определя-

ется равенством:

() () () .f x dx f x dx f x dx

+∞ +∞

−∞ −∞

= +

∫∫∫

Глава 3

135

Несобственные интегралы

В этом случае говорят, что функция

интегрируема (в несобственном

смысле) по всей вещественной оси.

4. Интегралы от неограниченных функций

Предположим, что функция

интегрируема на отрезке

[,]ab

. В этом

случае выполняется равенство

lim () () .

f x dx f x dx

→+

∫∫

Действительно,

обозначим:

sup ( )

axb

M fx

≤≤

. Для числа

, удовлетворяющего условию

0 ba

<<−

, имеем:

() () () .

bba

aa a

f x dx f x dx f x dx

−=

∫∫ ∫

Отсюда следует, что

() () () | ()| 0

bb a a

aa a a

f x dx f x dx f x dx f x dx M

λλ

− = ≤ ≤ ⋅→

∫∫ ∫ ∫

при

→+

Оказывается, что предел

lim ( )

f x dx

→+

∫

может существовать и для функ-

ции

, не являющейся ограниченной на промежутке

[,]ab

, и, следователь-

но, не являющейся интегрируемой на этом промежутке в обычном смысле.

Чтобы иметь возможность рассматривать такой предел, функция

долж-

Глава 3

136

Несобственные интегралы

на быть определена и интегрируема на любом промежутке вида

[ ,]ab

при произвольном значении

, удовлетворяющем условию

0 ba

<<−

Предположим, что функция

определена на промежутке

(,]ab

удовлетворяет следующим условиям:

1) эта функция является неограниченной на промежутке

(,]ab

;

2) при любом

, удовлетворяющем условию

0 ba

<<−

, функ-

ция

интегрируема на отрезке

[ ,]ab

(и, следовательно, ограничена на

этом отрезке).

Если существует предел

lim ( )

f x dx

→+

∫

, то он обозначается че-

рез

()

f x dx

∫

и называется несобственным интегралом от функции

по

промежутку

[,]ab

. В этом случае говорят, что последний интеграл являет-

ся сходящимся, а функция

называется интегрируемой (в несобственном

смысле) по промежутку

[,]ab

АМЕЧАНИЕ. Условия 1) и 2) выполняются, например, если функ-

ция

определена и непрерывна на промежутке

(,]ab

. Тогда при любом

значении

, удовлетворяющем условию

0 ba

<<−

, эта функция непре-

рывна на отрезке

[ ,]ab

и, следовательно, интегрируема на этом отрезке.

РИМЕР. Рассмотрим вопрос о сходимости несобственного интегра-

ла

∫

Глава 3

137

Несобственные интегралы

Функция

непрерывна на промежутке

(0,1]

и, следовательно, ин-

тегрируема на любом промежутке

[ ,1]

. Предположим сначала,

что

≠

. Тогда

( 1).

dx x

αα

−

= = −

−−

∫

При

→+

величина

−

имеет (конечный) предел в том и только том

случае, когда

−>

, то есть

. При этом

lim ( 1) 1

−

→+

−=

. Итак, при

рассматриваемый несобственный интеграл сходится, и имеет ме-

сто равенство

−

∫

При

указанный несобственный интеграл расходится.

Если

, то для любого

ln ln

= = − → +∞

∫

при

→+

. Следовательно, несобственный интеграл в этом случае расхо-

дится. Окончательно получаем, что несобственный интеграл сходится при

и расходится при

≥

Аналогично находим, что несобственный интеграл

Глава 3

138

Несобственные интегралы

()

−

∫

ab−∞ < < < +∞

сходится при

и расходится при

≥

Приведенный в предыдущем примере подход может быть обобщен

следующим образом.

Предположим, что функция

определена и непрерывна на проме-

жутке

(,]ab

. Обозначим через

произвольную первообразную функ-

ции

на этом промежутке Выберем произвольное число

, удовлетво-

ряющее условию

0 ba

<<−

Применим формулу Ньютона-Лейбница к

функции

на промежутке

[ ,]ab

( ) ( ) ( ).

fxdxFb Fa

= −+

∫

Отсюда следует, что предел

lim ( )

f x dx

→+

∫

существует в том и только том

случае, когда существует предел

lim ( )Fa

→+

, и при выполнении этих ус-

ловий имеет место равенство:

( ) ( ) lim ( ).

fxdxFb Fa

→+

=−+

∫

Обозначая, как обычно,

lim ( ) ( 0)Fa Fa

→+

+= +

, последнюю формулу пе-

репишем так:

Глава 3

139

Несобственные интегралы

( ) ( ) ( 0),

fxdxFb Fa= −+

∫

или

() ()

f x dx F x

∫

. Мы получили формулу Ньютона-Лейбница для

случая неограниченной функции.

Для рассматриваемого случая остаются в силе все приведенные вы-

ше свойства несобственных интегралов по неограниченному промежутку.

Их доказательства несущественно отличаются от предыдущего случая. По-

этому мы остановимся лишь на формулировках основных результатов.

ЕОРЕМА 7 (ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ).

Предположим, что функции

определены на промежутке

(,]ab

интегрируемы на отрезке

[ ,]ab

для любого

, удовлетворяющего ус-

ловию

0 ba

<<−

. Допустим, что обе эти функции принимают только

неотрицательные значения, и для любого

(,]x ab∈

выполняется неравен-

ство

() ()fx gx≤

. Тогда:

1) если несобственный интеграл

()

g x dx

∫

сходится, то несобствен-

ный интеграл

()

f x dx

∫

также сходится;

2) если несобственный интеграл

()

f x dx

∫

расходится, то несобст-

венный интеграл

()

g x dx

∫

расходится.

Глава 3

140

Несобственные интегралы