Пилиди В.С. лекции по высшей математике

Подождите немного. Документ загружается.

Мы доказали ее в предположении, что

1n >

. Очевидно, что она оста-

ется верной и при

1n =

. Сформулируем окончательный результат.

ЕОРЕМА 11. Предположим, что

n∈

{}

— монотонная чи-

словая последовательность,

{}

— произвольная числовая последова-

тельность. Тогда имеет место оценка

(| | 2| |) max .

kk n i

ab a a b

≤≤

= =

≤+ ⋅

∑∑

АМЕЧАНИЕ. Приведенное в теореме неравенство называется нера-

венством Абеля.

Неравенство Абеля позволяет доказать следующие признаки сходи-

мости рядов.

ЕОРЕМА 12 (ПРИЗНАК ДИРИХЛЕ). Предположим, что последователь-

ность

{}

+∞

монотонная и сходится к нулю, а последовательность час-

тичных сумм ряда

+∞

∑

ограничена. Тогда ряд

+∞

∑

сходится.

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим:

sup

∈

∑



. Выберем произвольное

и найдем такое

, чтобы для всех

nN≥

выполнялось неравенство

. Выберем произвольные

nN≥

1p =

, 2, … . Применяя неравен-

ство Абеля к последовательностям

{}

= +

{}

= +

, получаем:

(| | 2| |) max 3 .

np nq

kk n np k

kn kn

ab a a b c

≤≤

=+=+

≤+ ⋅ ≤

∑∑

Глава 2

101

Числовые ряды

В силу произвольности

, из критерия Коши сходимости ряда выво-

дим сходимость ряда

+∞

∑

Теорема доказана.

АМЕЧАНИЕ. Признак Лейбница является следствием признака Ди-

рихле. Действительно, предположим, что последовательность

{}

+∞

по-

ложительных чисел монотонно сходится к нулю. Рассмотрим последова-

тельность

( 1)

−

= −

n∈

. Частичные суммы ряда

+∞

∑

принимают по-

следовательно значения

, следовательно, они образуют ограниченную

последовательность. В силу признака Дирихле, ряд

( 1)

nn n

ab a

+∞ +∞

= =

= −

∑∑

сходится.

ЕОРЕМА 13 (ПРИЗНАК АБЕЛЯ). Предположим, что последователь-

ность

{}

+∞

монотонная и ограниченная, а ряд

+∞

∑

сходится. Тогда ряд

+∞

∑

сходится.

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим:

sup| |

∈



. Выберем произвольное

. В силу сходимости ряда

+∞

∑

, из критерия Коши получаем, что су-

ществует такое

, что для всех

nN≥

1p =

, 2, … выполняется неравен-

ство

= +

∑

. Зафиксируем числа

, удовлетворяющие указанным

Глава 2

102

Числовые ряды

условиям. Применяя неравенство Абеля к последовательностям

{}

= +

{}

= +

, получаем:

(| | 2| |) max 3 .

np nq

kk n np k

kn kn

ab a a b c

≤≤

=+=+

≤+ ⋅ ≤

∑∑

В силу произвольности

, из критерия Коши сходимости ряда выво-

дим сходимость ряда

+∞

∑

Теорема доказана.

АМЕЧАНИЕ 1. Признак Абеля может быть переформулирован сле-

дующим образом: если члены сходящегося числового ряда умножить на

соответствующие элементы ограниченной монотонной последовательно-

сти, то полученный ряд будет сходиться.

АМЕЧАНИЕ 2. Признак Абеля, как и признак Лейбница, может быть

выведен из признака Дирихле. Действительно, предположим, что последо-

вательность

{}

+∞

монотонная и ограниченная, а ряд

+∞

∑

сходится. По-

следовательность

{}

+∞

является сходящейся. Обозначим:

lim .

→+∞

Воспользуемся равенством

() , .

nn n n n

a b a a b ab n=−+ ∈

(∗)

Учтем, что

lim ( ) 0

→+∞

−=

, а последовательность частичных сумм ряда

+∞

∑

является сходящейся и, следовательно, ограниченной. Поэтому чи-

Глава 2

103

Числовые ряды

словой ряд

()

a ab

+∞

−

∑

сходится по признаку Дирихле. И сходимости ря-

да

+∞

∑

вытекает сходимость ряда

+∞

∑

. Теперь из равенства (∗) выво-

дим сходимость ряда

+∞

∑

РИМЕР. Рассмотрим ряд

arctg

( 1)

+∞

−

∑

. Применяем признак Абе-

ля. Ряд

( 1)

−

+∞

−

∑

сходится по признаку Лейбница, последовательность

{arctg }

+∞

монотонно возрастает и ограничена сверху числом

. Следо-

вательно, рассматриваемый ряд сходится.

АМЕЧАНИЕ. Можно показать, что последовательность

arctg

+∞







является монотонной (и, разумеется, сходится к нулю). Отсюда, в силу

признака Лейбница, вытекает сходимость рассмотренного выше ряда. Од-

нако такой вариант решения является несколько более сложным, чем при-

веденный выше.

Глава 2

104

Числовые ряды

Глава 3. Несобственные интегралы

При рассмотрении определенных интегралов мы рассматривали

функции, определенные на отрезке, и необходимым условием существова-

ния определенного интеграла была ограниченность функции. В этом раз-

деле будет рассмотрено расширение понятия определенного интеграла на

случай неограниченной области определения и неограниченной функции.

1. Определение несобственного интеграла

Предположим, что функция

определена на промежутке

[, )a +∞

при любом

Ma>

интегрируема на отрезке

[, ]aM

. Если существует пре-

дел

lim ( )

f x dx

→+∞

∫

, то он обозначается через

()

f x dx

+∞

∫

и называется не-

собственным интегралом от функции

по промежутку

[, )a +∞

. В этом

случае говорят, что последний интеграл является сходящимся, а функ-

ция

называется интегрируемой (в несобственном смысле) по промежут-

ку

[, )a +∞

ПРЕДЕЛЕНИЕ. Если функция

определена на промежутке

[, )a +∞

при любом

Ma>

интегрируема на отрезке

[, ]aM

, будем говорить, что эта

функция локально интегрируема на промежутке

[, )a +∞

Отметим, в частности, что если функция

непрерывна на проме-

жутке

[, )a +∞

, то она локально интегрируема на этом промежутке. Дейст-

вительно, для любого

Ma>

функция

непрерывна на отрезке

[, ]aM

(точнее говоря, сужение этой функции является непрерывным на этом от-

резке) и, следовательно, интегрируема на этом отрезке.

АМЕЧАНИЕ. Имеются многочисленные аналогии между утвержде-

ниями, касающимися сходимости числовых рядов, и сходимости несобст-

венных интегралов рассматриваемого вида. Отметим, одно утверждение из

теории рядов, которое не имеет точного аналога для несобственных инте-

гралов. Напомним, что если числовой ряд

+∞

∑

сходится, то выполняется

соотношение

lim 0

→+∞

. В случае несобственных интегралов из сходимо-

сти интеграла

()

f x dx

+∞

∫

не следует с необходимостью, что

lim ( ) 0.

→+∞

Например, можно доказать, что сходится несобственный интеграл

sin x dx

+∞

∫

, однако при

x → +∞

подынтегральная функция не стремится к

нулю. Более того, в случае сходимости интеграла

()

f x dx

+∞

∫

функция

может даже оказаться неограниченной на промежутке

[, )a +∞

(хотя при

любом

Ma>

она является ограниченной на промежутке

[, ]aM

, поскольку

она интегрируема на этом промежутке).

ПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что если несобственный интеграл

()

f x dx

+∞

∫

сходится, то для любого

0h >

имеет место следующее равенство:

Глава 3

106

Несобственные интегралы

lim ( )

f x dx

→+∞

∫

ПРАЖНЕНИЕ. Рассмотрим функцию

, задаваемую на промежутке

[1, )+∞

условием

,если ,

()

0,если 1.

n nxn

n xn



≤≤+







+ <<+





для

1n =

, 2,… . Доказать, что несобственный интеграл

()f x dx

+∞

∫

сходится

и равен

+∞

∑

. Обратите внимание, что подынтегральная функция является

неограниченной на промежутке

[1, )+∞

РИМЕР. Проанализируем сходимость несобственного интегра-

ла

+∞

∫

Функция

непрерывна на промежутке

[1, )+∞

и, следовательно,

локально интегрируема на этом отрезке. Предположим сначала, что

≠

Тогда

(1 )

dx x

αα

−

= = −

−−

∫

Глава 3

107

Несобственные интегралы

При

→ +∞

величина

1 M

−

имеет (конечный) предел в том и только

том случае, когда

. При этом

lim (1 ) 1

−

→+∞

−=

. Итак, при

рас-

сматриваемый несобственный интеграл сходится, и имеет место равенство

+∞

−

∫

При

указанный несобственный интеграл расходится.

Остается проанализировать случай

. В этом случае

ln ln

= = → +∞

∫

при

M → +∞

. Следовательно, несобственный интеграл в этом случае рас-

ходится. Окончательно получаем, что несобственный интеграл сходится

при

и расходится при

≤

РИМЕР. Рассмотрим интеграл

+∞

∫

Функция

1x +

непрерывна на промежутке

[0, )+∞

и, следовательно,

локально интегрируема на нем. Далее,

arctg arctg .

= =

∫

Глава 3

108

Несобственные интегралы

Остается заметить, что

lim arctg

→+∞

и, следовательно, рассматривае-

мый несобственный интеграл сходится и

+∞

∫

Приведенные примеры являются частным случаем следующего об-

щего подхода.

Предположим, что функция

определена и непрерывна на проме-

жутке

[, )a +∞

. Обозначим через

произвольную первообразную функ-

ции

на промежутке

[, )a +∞

( ) ( ) ( ).

fxdxFM Fa= −

∫

Применяя формулу Ньютона-Лейбница,

получаем:

Отсюда следует, что предел

lim ( )

f x dx

→+∞

∫

существует в том и только том

случае, когда существует предел

lim ( )

→+∞

, и при выполнении этих ус-

ловий имеет место равенство:

( ) lim ( ) ( ).

fxdx FM Fa

+∞

→+∞

= −

∫

Обозначая

lim ( ) ( )

FM F

→+∞

= +∞

, последнюю формулу перепишем так:

Такой первообразной является, например, функция

( ) ()

F x f t dt=

∫

ax≤ < +∞

Глава 3

109

Несобственные интегралы

( ) ( ) ( ),

fxdxF Fa

+∞

= +∞ −

∫

или

() ()

f x dx F x

+∞

∫

. Мы получили формулу Ньютона-Лейбница для

неограниченного промежутка.

Отметим теперь некоторые свойства несобственных интегралов.

1°. Предположим, что сходится несобственный интеграл

() .

f x dx

+∞

∫

Тогда для любого

ba>

сходится несобственный интеграл

()

f x dx

+∞

∫

имеет место равенство

() () () .

aab

f x dx f x dx f x dx

+∞ +∞

= +

∫∫∫

Действительно, для

Mb>

, имеет место следующее соотношение:

() () () ,

MbM

aab

f x dx f x dx f x dx= +

∫∫∫

откуда следует, что

() () () .

MMb

b aa

f x dx f x dx f x dx= −

∫∫∫

Глава 3

110

Несобственные интегралы