Пилиди В.С. лекции по высшей математике

Подождите немного. Документ загружается.

ТЕОРЕМА 8 (ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ В ПРЕДЕЛЬНОЙ ФОРМЕ). Предполо-

жим, что функции

определены на промежутке

(,]ab

и интегри-

руемы на отрезке

[ ,]ab

для любого

, удовлетворяющего условию

0 ba

<<−

. Допустим, что обе эти функции принимают на промежутке

(,]ab

только положительные значения и существует предел

()

lim 0

()

→+

. Тогда несобственные интегралы

()

f x dx

∫

()

g x dx

∫

схо-

дятся или расходятся одновременно.

ЛЕДСТВИЕ ТЕОРЕМЫ. Предположим, что функция

определена на

промежутке

(,]ab

, принимает на этом промежутке положительные зна-

чения и интегрируемы на отрезке

[ ,]ab

для любого

, удовлетворяю-

щего условию

0 ba

<<−

. Предположим, что для некоторого

вы-

полняется равенство

lim ( ) ( )

x a fx C

→+

−=

, где

0C >

. Тогда при

не-

собственный интеграл

()

f x dx

∫

сходится, а при

≥

расходится.

Условие

lim ( ) ( )

x a fx C

→+

−=

может быть переформулировано так:

если при

0xa→+

имеет место эквивалентность

( )~

()

−

, где

0,C >

то при

несобственный интеграл

()

f x dx

∫

сходится, а при

≥

расходится.

РИМЕР. Рассмотрим вопрос о сходимости несобственного интеграла

Глава 3

141

Несобственные интегралы

(sin )

1 cos

x−

∫

Числитель и знаменатель подынтегральной функции непрерывны на про-

межутке

[0,1]

, причем знаменатель не обращается в ноль при

0x >

. Отсю-

да следует, что подынтегральная функция непрерывна на промежут-

ке

(0,1].

При

0x →

имеют место следующие эквивалентности:

sin ~ , 1 cos ~ .

xx x x−

Отсюда получаем, что при

0x →+

(sin ) ( ) 2

1 cos

−

В силу следствия предыдущей теоремы, рассматриваемый интеграл схо-

дится.

ЕОРЕМА 9 (КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРА-

ЛА

). Предположим, что функция

определена на промежутке

(,]ab

интегрируема на отрезке

[ ,]ab

для любого

, удовлетворяющего усло-

вию

0 ba

<<−

. Несобственный интеграл

()

f x dx

∫

сходится в том и

только том случае, когда выполняется следующее условие: по любому

найдется такое

0 ba

<<−

, что для любых

, удовлетво-

ряющих условию

λδ

имеет место неравенство

Глава 3

142

Несобственные интегралы

()

f x dx

∫

ЛЕДСТВИЕ. Предположим, что функция

определена на проме-

жутке

(,]ab

и интегрируема на отрезке

[ ,]ab

для любого

, удовле-

творяющего условию

0 ba

<<−

. Если сходится несобственный инте-

грал

| ( )|

f x dx

∫

, то сходится несобственный интеграл

()

f x dx

∫

и имеет

место оценка

() | ()|

f x dx f x dx≤

∫∫

ПРЕДЕЛЕНИЕ. Если сходится несобственный интеграл

| ( )|

f x dx

∫

то говорят, что

1) интеграл

()

f x dx

∫

сходится абсолютно;

2) функция

абсолютно интегрируема (в несобственном смысле) на

промежутке

[,]ab

ЕОРЕМА 10. Предположим, что функции

определены на про-

межутке

[, )a +∞

и выполняются следующие условия:

1) для всех

[, )xa∈ +∞

| ()| ()fx gx≤

;

Глава 3

143

Несобственные интегралы

2) сходится несобственный интеграл

()

g x dx

+∞

∫

;

3) для любого

, удовлетворяющего условию

0 ba

<<−

функция

интегрируема на отрезке

[ ,]ab

Тогда функция

абсолютно интегрируема в несобственном смысле

на промежутке

[,]ab

и выполняется неравенство

() () .

f x dx g x dx≤

∫∫

ЕОРЕМА 11 (ПРИЗНАК ДИРИХЛЕ). Предположим, что выполняются

следующие условия:

1) функция

непрерывна на промежутке

(,]ab

и имеет на этом

промежутке ограниченную первообразную;

2) функция

непрерывно дифференцируема и монотонна на про-

межутке

(,]ab

;

lim ( ) 0

→+

Тогда несобственный интеграл

()()

f x g x dx

∫

сходится.

ЕОРЕМА 12 (ПРИЗНАК АБЕЛЯ). Предположим, что выполняются сле-

дующие условия:

Глава 3

144

Несобственные интегралы

1) функция

непрерывна на промежутке

(,]ab

и несобственный

интеграл

()

f x dx

∫

сходится;

2) функция

непрерывно дифференцируема, монотонна и ограниче-

на на промежутке

(,]ab

;

Тогда несобственный интеграл

()()

f x g x dx

∫

сходится.

АМЕЧАНИЕ. Мы рассмотрели случай, когда функция имеет особен-

ность на левом конце промежутка интегрирования. Аналогично рассмат-

ривается случай, когда функция имеет особенность на правом конце про-

межутка.

Глава 3

145

Несобственные интегралы

Исторические сведения

Абель

Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829)

Норвежский математик. Доказал теорему о неразрешимости уравнения

выше четвертой степени в радикалах. В математике используются терми-

ны «абелевы интегралы», «абелевы группы».

Обратно

Д’Аламбер

Жан Лерон д’Аламбер (1717 – 1783)

Французский математик и философ. Сформулировал важный принцип ме-

ханики, названный его именем. Вместе с Д. Дидро редактировал знамени-

тую французскую «Энциклопедию».

Дополнения

147

Исторические сведения

Обратно

Вейерштрасс

Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897)

Немецкий математик. Исследования Вейерштрасса посвящены математи-

ческому анализу, теории функций, вариационному исчислению, диффе-

ренциальной геометрии. В линейной алгебре разработал теорию элемен-

тарных делителей, используемую в теории матриц при нахождении мат-

рицы жордановой нормальной формы.

Дополнения

148

Исторические сведения

Обратно

Дарбу

Жан Гастон Дарбý (1842–1917). Французский математик. Выполнил рабо-

ты по дифференциальной геометрии, теории интегрирования, алгебре, ме-

ханике.

Дополнения

149

Исторические сведения

Обратно

Дирихле

Петер Густав Лежён Дирихле (1805 – 1859)

Немецкий математик. Создатель аналитической теории чисел. Выполнил

важные работы по теории функций.

Дополнения

150

Исторические сведения

Обратно