Пилиди В.С. лекции по высшей математике

Подождите немного. Документ загружается.

Теорема доказана.

ЛЕДСТВИЕ. Предположим, что функции

определены и интег-

рируемы на отрезке

[,]ab

и для всех

[,]x ab∈

выполняется неравенство

() ()fx gx≤

. Тогда

() ()

f x dx g x dx≤

∫∫

Действительно, для любого

[,]x ab∈

выполняется неравенство

() () 0gx fx−≥

В силу предыдущего свойства,

(() ()) 0

g x f x dx−≥

∫

, и следовательно,

() () 0.

g x dx f x dx

−≥

∫∫

Справедливо следующее утверждение.

ЕОРЕМА 13 (ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА).

Пусть функция

определена и непрерывна на отрезке

[,]ab

. Тогда суще-

ствует точка

[,]ab

∈

, такая, что

( ) ( ) ( ).

f x dx b a f

= −

∫

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу теоремы Вейерштрасса, функция, непре-

рывная на отрезке, достигает на этом отрезке своего максимального и ми-

нимального значений. Обозначим:

max{ ( ): }M fx a x b= ≤≤

min{ ( ): }m fx a x b= ≤≤

Глава 1

Определенный интеграл

Вейерштрасс

Для любого

[,]x ab∈

имеет место неравенство

()m fx M≤≤

. Тогда

из следствия теоремы 12 получаем:

()

bb b

aa a

mdx f x dx M dx

≤≤

∫∫ ∫

() () ()

mba fxdxMba−≤ ≤ −

∫

Деля все части выписанных неравенств на положительное чис-

ло

ba−

, получаем неравенство:

()

m f x dx M

≤≤

−

∫

По теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существует

точка

[,]ab

∈

, для которой выполняется равенство

( ) ( ),

f x dx f

−

∫

или

( ) ( ) ( ).

f x dx b a f

= −

∫

Теорема доказана.

Прежде, чем формулировать следствие теоремы, напомним следую-

щее определение. Пусть

b∈

. Будем говорить, что число

x∈

лежит

между

, если

axb≤≤

при

ab≤

axb≤≤

при

ba≤

. Если

ab≠

Глава 1

Определенный интеграл

будем говорить, что число

x∈

лежит строго между

, если

axb<<

при

ab<

bxa<<

при

ba<

ЛЕДСТВИЕ. Предположим, что функция

определена и непрерывна

на промежутке

. Тогда для любых точек

этого промежутка суще-

ствует точка

, лежащая между

, такая, что

( ) ( ) ( ).

f x dx b a f

= −

∫

Случай

ab<

рассмотрен в теореме. Допустим, что

ab>

. Применим

теорему к функции

, непрерывной на отрезке

[,]ba

: для некоторой точ-

ки

, лежащей между

, выполняется равенство

( ) ( ) ( ).

f x dx a b f

= −

∫

Умножая обе части последнего соотношения на

1−

, получаем тре-

буемое соотношение. В случае

ab=

полагаем

, и требуемое соотно-

шение будет выполняться.

Дадим геометрическую интерпретацию теоремы о среднем. Предпо-

ложим, что функция

определена и непрерывна на отрезке

[,]ab

и при-

нимает на этом отрезке неотрицательные значения. Левая часть равенства

( ) ( ) ( ),

f x dx b a f

= −

∫

как было сказано выше, есть площадь криволинейной трапеции, опреде-

ляемой неравенствами

axb≤≤

0 ()y fx≤≤

. Правая часть — это площадь

Глава 1

Определенный интеграл

прямоугольника с тем же основанием, что и криволинейная трапеция, и

высотой

()f

. Теорема утверждает, что существует точка

, для которой

площади этих двух фигур равны.

9. Формула Ньютона-Лейбница

В этом разделе мы выведем так называемую основную формулу ин-

тегрального исчисления.

Докажем сначала следующее утверждение.

ЕОРЕМА 14. Предположим, что функция

определена и непрерыв-

на на промежутке

. Тогда функция

, определяемая на этом проме-

жутке формулой

( ) ()

F x f t dt=

∫

, где

cI∈

— любая фиксированная точка,

дифференцируема в каждой точке

xI∈

и имеет место равенство

() ()Fx fx

′

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем произвольную точку

xI∈

и выберем ве-

личину

0x∆≠

, такую, что

x xI+∆ ∈

. Тогда

( ) ( ) () () () .

xx x xx

ccx

F x x F x f t dt f t dt f t dt

+∆ +∆

+∆ − = − =

∫∫∫

Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получаем:

( ) () () ,Fx x Fx f x

+∆ − = ∆

где точка

лежит между точкам

xx+∆

Глава 1

Определенный интеграл

Лейбниц

Ньютон

Тогда

( ) ()

( ).

Fx x Fx

+∆ −

∆

(∗)

Точка

зависит от

x∆

(точка

считается фиксированной, поэтому зави-

симость

от

мы не рассматриваем). При

0x∆→

точки

()x

ξξ

= ∆

, нахо-

дящиеся между точкам

xx+∆

, стремятся к

. В силу непрерывности

функции

, из (∗) получаем, что

( ) ()

lim ( ).

Fx x Fx

∆→

+∆ −

∆

Теорема доказана.

АМЕЧАНИЕ. Определенный интеграл вида

()

f t dt

∫

xI∈

называется

интегралом с переменным верхним пределом.

ЛЕДСТВИЕ 1. Предположим, что функция

определена и непре-

рывна на промежутке

. Тогда она имеет первообразную на этом про-

межутке.

Действительно, возьмем произвольную точку

cI∈

. Тогда первооб-

разной, в силу теоремы, будет функция

()

f t dt

∫

xI∈

ЛЕДСТВИЕ 2. Предположим, что функция

непрерывна на отрез-

ке

[,]ab

— первообразная этой функции на этом отрезке. Тогда спра-

ведлива формула

() () ()

fxdxFb Fa= −

∫

Глава 1

Определенный интеграл

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу теоремы, функция

( ) ()

x f t dtΦ=

∫

[,]x ab∈

является первообразной функции

. Первообразная функции находится с

точностью до произвольного постоянного слагаемого. Поэтому имеет ме-

сто равенство

() ()x Fx CΦ= +

[,]x ab∈

с некоторой постоянной

, или,

более подробно,

() () , [,].

f t dt F x C x a b

=+∈

∫

(∗)

Подставляя в последнее соотношение

xa=

, получаем:

() 0Fa C+=

или

()C Fa= −

. Тогда соотношение (∗) может быть переписано так:

( ) ( ) ( ), [ , ].

f t dt F x F a x a b

=−∈

∫

Подставляя в последнее соотношение

xb=

, получаем доказываемое

равенство.

Формула

() () ()

fxdxFb Fa= −

∫

носит название формулы Ньютона-

Лейбница. Обычно используется обозначение

() () ()

Fb Fa Fx−=

(или бо-

лее точное

() () ()

Fb Fa Fx

−=

), и формула Ньютона-Лейбница приобре-

тает вид

() ()

f x dx F x=

∫

. Еще более выразительной является следующая

запись этой формулы, в которой подчеркивается связь между определен-

ным и неопределенным интегралами:

Глава 1

Определенный интеграл

( )

() () .

f x dx f x dx=

∫∫

АМЕЧАНИЕ. Формула Ньютона-Лейбница остается в силе и без пред-

положения, что

ab<

. Действительно, допустим, что

ab>

. Тогда для

функции, интегрируемой на отрезке с концами

имеем:

() () ( () ()) () () ().

fxdx f xdx Fa Fb Fb Fa Fx−− = == −= −

∫∫

Здесь равенство, выделенное красным цветом, имеет место по опре-

делению интеграла в случае, когда нижний предел больше верхнего, ра-

венство, выделенное синим цветом, имеет место по формуле Ньютона-

Лейбница.

Случай

ab=

тривиален.

10. Методы вычисления определенных интегралов

Перейдем к некоторым методам вычисления определенных интегра-

лов. В случае неопределенных интегралов рассматривались метод замены

переменной и метод интегрирования по частям. Эти же методы рассматри-

ваются и в данном случае.

ЕОРЕМА 15. Предположим, что функция

определена и непрерыв-

на на отрезке

[,]ab

, функция

определена и непрерывно дифференцируе-

ма на отрезке с концами

, все значения функции

принадлежат

отрезку

[,]ab

и выполняются соотношения

()Aa

()Bb

. Тогда име-

ет место равенство

Глава 1

Определенный интеграл

( ) ( ()) () .

f x dx f t t dt

ϕϕ

′

∫∫

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что

AB<

, то есть функция

оп-

ределена и непрерывно дифференцируема на отрезке

[,]AB

. Воспользуем-

ся формулой Ньютона-Лейбница. Возьмем произвольную первообраз-

ную

функции

на отрезке

[,]ab

. Тогда имеет место равенство

( ) ( ) ( ).

fxdxFb Fa= −

∫

В силу условий, наложенных на функцию

, функция

( ()) ()ft t

ϕϕ

′

опреде-

лена и непрерывна на отрезке

[,]AB

. По теореме о производной сложной

функции выполняется равенство

( ()) ( ()) ()Ft ft t

ϕ ϕϕ

′′

[,]t AB∈

, то есть

функция

является первообразной функции

( ()) ()ft t

ϕϕ

′

на указанном

отрезке. Поэтому выполняется равенство

( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ).

f t t dt F t F B F A F b F a

ϕϕ ϕ ϕ ϕ

′

= =−=−

∫

Мы доказали требуемое соотношение.

Случай

AB>

рассматривается аналогично. Единственное изменение

здесь — вместо отрезка

[,]AB

рассматривается отрезок

[,]BA

Теорема доказана.

АМЕЧАНИЕ. В отличие от случая замены переменной в неопределен-

ном интеграле, здесь не предполагается монотонность функции

, по-

Глава 1

Определенный интеграл

скольку обратное преобразование, то есть переход к исходной переменной,

не требуется.

ЕОРЕМА 16. Предположим, что функции

определены и непре-

рывно дифференцируемы на отрезке

[,]ab

. Тогда имеет место равенство

()() ()() ()() .

uxv xdx uxvx u xvxdx

′′

= −

∫∫

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся равенством

(()()) ()() ()(), [,].uxvx u xvx uxv x x ab

′′ ′

=+∈

Оно означает, что функция

является первообразной функции

u v uv

′′

на указанном отрезке. Отсюда, применяя формулу Ньютона-Лейбница, по-

лучаем:

( ()() ()()) (()()),

u xvx uxv x dx uxvx

′′

∫

()() (()()( )( .))

ux uxv xdx uxvxv x dx

′ ′

∫ ∫

Перенося интеграл, выделенный красным, в правую часть равенства, полу-

чаем искомое соотношение.

Теорема доказана.

Глава 1

Определенный интеграл

11. Приложения определенного интеграла

В этом разделе будут рассмотрены некоторые приложения получен-

ных выше результатов к задачам о вычислении площади плоской фигуры и

длины дуги.

Предположим, что функция

определена и непрерывна на отрез-

ке

[,]ab

и принимает на этом отрезке неотрицательные значения. Рассмот-

рим соответствующую криволинейную трапецию, то есть фигуру, ограни-

ченную осью

, прямыми

xa=

xb=

и линией

()y fx=

axb≤≤

. Обо-

значим эту фигуру через

Пусть

{}

— произвольное разбиение отрезка

[,]ab

. Сужение

функции

на произвольный отрезок разбиения

[, ]

0i =

, 1, …,

1k −

является непрерывной функцией и, в силу теоремы Вейерштрасса, в неко-

торой точке

[ , ]

i ii

∈

принимает свое наибольшее значение на этом от-

резке, а в некоторой точке

[, ]

i ii

∈

— свое наименьшее значение. Вве-

дем наборы точек

{}

αα

−

{}

ββ

−

. Тогда выполняются соотноше-

ния

αλ

βλ

Для каждого

0i =

, 1, …,

1k −

рассмотрим прямоугольник с основа-

нием

[, ]

и высотой

()

и прямоугольник с тем же основанием и

высотой

()

. Площади этих прямоугольников равны соответственно

()

∆

()

∆

, где

1ii i

xx x

∆= −

. На следующем рисунке приведены

фрагмент рассматриваемой криволинейной трапеции и эти прямоугольни-

ки. Верхняя сторона прямоугольника с высотой

()

выделена красным

цветом, прямоугольника с высотой

()

— зеленым цветом.

Глава 1

Определенный интеграл