Пилиди В.С. лекции по высшей математике

Подождите немного. Документ загружается.

Будем предполагать, что функция

постоянной не является. Обо-

значим:

sup ( )

M fx

∈

inf ( )

m fx

∈

. Тогда

(,)fI M m

= −

. Кроме того, в

силу свойства 1°,

0Mm−>

. Покажем, что правая часть доказываемого ра-

венства тоже равна

Mm−

Для любых

′

′′

∈

выполняются неравенства

() , () .m fx M m fx M

′ ′′

≤≤ ≤≤

Отсюда получаем:

() () , () () .

Mm mM

fx fx M m fx fx m M

≤ ≥ ≥≤

′ ′′ ′ ′′

−≤− −≥−

(Под оцениваемыми слагаемыми указаны и выделены красным цве-

том используемые неравенства).

Объединяем полученные неравенства:

() () ,m M fx fx M m

′ ′′

−≤ − ≤−

то есть,

| ( ) ( )| .fx fx M m

′ ′′

− ≤−

(∗)

Выберем произвольное число

, удовлетворяющее условию

−

и найдем такие точки

′

′′

∈

, что

() , () .fx M fx m

εε

′ ′′

> − <+

Тогда

() () ( ) 2.fx fx M m M m

εε ε

′ ′′

− > −− + = − −

Учитывая неравенство

Глава 1

Определенный интеграл

20Mm

−− >

отсюда находим, что

() ()0fx fx

′ ′′

−>

, и из полученного соотношения

следует, что

|() ()| 2.fx fx M m

′ ′′

− > −−

(∗∗)

В силу произвольности

(ограничение

−

здесь несущественно,

важно, что число

можно взять сколь угодно близким к нулю), из соот-

ношений (∗) и (∗∗) получаем, что

sup{| ( ) ( )|: , } .fx fx xx I M m

′ ′′ ′ ′′

− ∈= −

Свойство доказано.

3°. Имеет место неравенство

(| |,) (,)f I fI

ωω

≤

Напомним, что для любых

b∈

имеет выполняется неравенство

||||| |a b ab− ≤−

Применяя это неравенство, для произвольных

′

′′

∈

находим:

| ( )| | ( )| | ( ) ( )|.fx fx fx fx

′ ′′ ′ ′′

− ≤−

Отсюда следует, что

{ }

(| |, ) sup | ( )| | ( )|: ,f I fx fx xx I

′ ′′ ′ ′′

= − ∈≤

{ }

sup | ( ) ( )|: , ( , ).fx fx xx I fI

′ ′′ ′ ′′

≤ − ∈=

Свойство доказано.

Глава 1

Определенный интеграл

Для функции

, определенной и ограниченной на отрезке

[,]ab

, и

разбиения

{ } ([ , ])

x ab

= ∈Λ

положим

( , ) ( ;[ , ])

i ii

f fx x

ω λω

−

1i =

, 2, …,

Введем следующее обозначение:

(,) () .

Sf fx

λω

−

= ∆

∑

Как и выше,

будем сокращать это обозначение до

()S

, считая функцию

фиксиро-

ванной. Аналогично вместо

(,)

ωλ

будем писать

. Из равенств

i ii

= −

0i =

, 1, …,

1k −

получаем что имеет место равенство

() () ()SSS

λλλ

∗

= −

Теперь критерий интегрируемости функции может быть переформу-

лирован следующим образом.

ЕОРЕМА 4. Для функции

, определенной и ограниченной на отрез-

ке

[,]ab

, следующие условия равносильны:

1) функция

интегрируема на отрезке

[,]ab

;

2) для любого

найдется такое

, что для любого разбиения

([ , ])ab

∈Λ

, удовлетворяющего условию

λδ

, выполняется неравенст-

во

()S

λε

АМЕЧАНИЕ. Условие 2) теоремы может быть переписано следующим

образом:

|| 0

lim ( ) 0S

→

Глава 1

Определенный интеграл

5. Свойства интегрируемых функций

Перейдем теперь к анализу некоторых свойств интегрируемых функ-

ций.

ЕОРЕМА 5. Если функция

интегрируема на отрезке

[,]ab

, то

функция

||f

также интегрируема на этом отрезке и имеет место оцен-

ка

() | ()| .

f x dx f x dx≤

∫∫

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем произвольное разбиение

([ , ]),ab

∈Λ

{}

−

. Введем следующие обозначения:

( ,[ , ]), (| |,[ , ]), 0,1, , 1.

i ii i ii

f xx f xx i k

ωω ωω

= = = −

В силу свойства 3º колебания функции, для любого

из указанного диапа-

зона имеет место оценка

ωω

≤

. Тогда для интегральных сумм получаем

следующие неравенства:

0 (| |; ) ( ; ).

ii ii

S f x xSf

ωω

λω ω λ

−−

= =

≤ = ∆≤ ∆=

∑∑

(∗)

Воспользуемся критерием интегрируемости функции. Выберем произ-

вольное

и найдем такое

, что для всех разбиений

([ , ]),ab

∈Λ

удовлетворяющих условию

λδ

, выполняется неравенство

(;) .Sf

λε

Отсюда и из соотношения (∗) для тех же разбиений

получаем неравен-

ство

(| |; )Sf

λε

. В силу произвольности числа

, из критерия интегри-

Глава 1

Определенный интеграл

руемости функции выводим, что функция

||f

интегрируема на отрез-

ке

[ , ].ab

Для произвольного разбиения

([ , ])ab

∈Λ

{}

−

и набора то-

чек

ξλ

имеем:

( ; , ) ( ) | ( )| (| |; , ).

ii i i

Sf f x f x S f

λξ ξ ξ λξ

−−

= =

= ∆ ≤ ∆=

∑∑

Переходя в неравенстве

(;,) (| |;,)Sf S f

λξ λξ

≤

к пределу при

|| 0

→

, получаем искомое соотношение для интегралов.

Теорема доказана.

ЕОРЕМА 6. Если функции

интегрируемы на отрезке

[,]ab

, то

для любых

∈

функция

αβ

также интегрируема на этом от-

резке, и имеет место равенство

( () ()) () () .

b bb

a aa

f x g x dx f x dx g x dx

αβ α β

+= +

∫ ∫∫

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим:

() () ()hx f x gx

αβ

= +

[,]x ab∈

. Выбе-

рем произвольное разбиение

([ , ])ab

∈Λ

{}

и рассмотрим произ-

вольный набор точек

ξλ

. Преобразуем интегральную сумму для функ-

ции

(;,) () ( () ())

ii i i i

Sh h x f g x

λξ ξ α ξ β ξ

−−

= =

= ∆= + ∆=

∑∑

Глава 1

Определенный интеграл

() () (;,) (;,).

ii ii

f x g x Sf Sg

α ξ β ξ α λξ β λξ

−−

= =

= ∆+ ∆= +

∑∑

Из полученного равенства

(;,) (;,) (;,)Sh S f Sg

λξ α λξ β λξ

= +

и существования пределов

| | 0, |

lim ( ; , )Sf

λ ξλ

λξ

→

| | 0, |

lim ( ; , )Sg

λ ξλ

λξ

→

следует су-

ществование предела

| | 0, |

lim ( ; , )Sh

λ ξλ

λξ

→

и равенство

| | 0, | | | 0, | | | 0, |

lim ( ; , ) lim ( ; , ) lim ( ; , ),Sh S f Sg

λ ξλ λ ξλ λ ξλ

λξ α λξ β λξ

→→ →

= +

то есть указанное в формулировке равенство интегралов.

Теорема доказана.

АМЕЧАНИЕ. Обычно используются следующие частные случаи дока-

занного соотношения:

( () ()) () ()

b bb

a aa

f x g x dx f x dx g x dx±= ±

∫ ∫∫

() () .

f x dx f x dx

αα

∫∫

ЕОРЕМА 7. Если функции

интегрируемы на отрезке

[,]ab

, то

функция

также интегрируема на этом отрезке.

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Введем следующие обозначения:

[,]I ab=

() ()()hx f xgx=

xI∈

Глава 1

Определенный интеграл

Из интегрируемости функций

следует их ограниченность. Выберем

такую константу

, что для всех

xI∈

выполняются оценки

| ( )| ,fx C≤

| ( )| .gx C≤

Для произвольных точек

′

′′

∈

имеем:

() () ()() ()()hx hx f x gx f x gx

′ ′′ ′ ′ ′′ ′′

−= − =

( ( ) ( )) ( ) ( )( ( ) ( )).fx fx gx fx gx gx

′ ′′ ′ ′′ ′ ′′

=−+−

Отсюда следует, что

| ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( )| | ( )| | ( ) ( )|hx hx fx fx gx fx gx gx

′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′

−≤− ⋅ + ⋅ −≤

| ( ) ( )| | ( ) ( )|C fx fx C gx gx

′ ′′ ′ ′′

≤ ⋅ − +⋅ − ≤

( ( , ) ( , )).C fI gI

ωω

≤⋅ +

Из полученного соотношения

|() ( )| ((,) (,))hx hx C f I gI

ωω

′ ′′

− ≤⋅ +

и свой-

ства 2º колебания функции вытекает оценка

(,) ((,) (,))hI C f I gI

ω ωω

≤⋅ +

. (∗)

Выберем произвольное разбиение

([ , ])ab

∈Λ

{}

. Введем обозна-

чения:

( ,[ , ]), ( ,[ , ]),

i ii i ii

hxx f xx

ωω ωω

′

= =

( ,[ , ]), 0,1, , 1.

i ii

gxx i k

ωω

′′

= = −

Из неравенства (∗) вытекает оценка

()

i ii

ω ωω

′ ′′

≤⋅ +

0i =

, 1, …,

1k −

. От-

сюда получаем:

Глава 1

Определенный интеграл

1 11

0 00

(,)

k kk

ii ii ii

i ii

Sh x C x x

λω ω ω

− −−

= = =



′ ′′

= ∆≤ ⋅ ∆+ ∆ =





∑ ∑∑

( ( , ) ( , )).CSf Sg

ωω

λλ

=⋅+

Из оценки

0 (,) ( (,) (,))Sh CS f Sg

ω ωω

λ λλ

≤ ≤⋅ +

и равенств

|| 0

lim ( , ) 0Sf

→

|| 0

lim ( , ) 0Sg

→

следует, что

|| 0

lim ( , ) 0.Sh

→

В силу критерия интегрируемости функции, функция

интегрируема на

отрезке

[,]ab

Теорема доказана.

Если функция

интегрируема на некотором отрезке, то функ-

ция

1 f

может оказаться неограниченной и, следовательно, неинтегрируе-

мой на этом отрезке. В качестве примера можно указать функцию

()fx x=

на отрезке

[0,1]

ПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что если функция

интегрируема на отрез-

ке

, а функция

1gf=

определена и ограничена на этом отрезке, то

функция

интегрируема на отрезке

КАЗАНИЕ. Доказать, что для любого разбиения

отрезка

выпол-

няются оценки вида

() ()

ωω

≤

АМЕЧАНИЕ. Обратите внимание, что в обозначениях предыдущего

упражнения ограниченность функции

равносильна следующему усло-

Глава 1

Определенный интеграл

вию: существует такая положительная константа

, что для всех

xI∈

выполняется неравенство

| ( )|fx

≥

6. Достаточные условия интегрируемости функции

Из критерия интегрируемости функции получим некоторые доста-

точные условия интегрируемости.

ЕОРЕМА 8. Функция, монотонная на отрезке, интегрируема на

этом отрезке.

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что функция

возрастает на от-

резке

[ ]

,ab

. Исключая тривиальный случай, будем считать, что эта функ-

ция не является постоянной. Пусть

([ , ])ab

∈Λ

{}

. В силу возрас-

тания функции

, имеют место соотношения

( ), ( ), 0,1, , 1.

ii ii

M fx m fx i k

= = = −

Отсюда получаем, что для тех же значений индекса

выполняются

равенства

( ) ()

ii i

fx fx

= −

. Учитывая, что

≥

x∆>

0i =

, 1, …,

1k −

, получаем:

11 1

00 0

() (( ) () | | (( ) ())

kk k

ii iii ii

ii i

S x fx fx x fx fx

λω λ

−− −

= = =

= ∆= − ∆≤ ⋅ − =

∑∑ ∑

1021 1

||(()()()() ()())

fx fx fx fx fx fx

−

= − + − ++ − =

| | ( ( ) ( )) | |( ( ) ( ))

fx fx fb fa

λλ

= −= −

Глава 1

Определенный интеграл

и окончательно,

( ) | |( ( ) ( )).S fb fa

λλ

≤−

(∗)

Выберем произвольное

. Положим

() ()fb fa

−

. Тогда для любого

разбиения

([ , ])ab

∈Λ

, удовлетворяющего условию

λδ

, из (∗) получа-

ем, что

()S

λε

. В силу произвольности

, функция

интегрируема на

отрезке

[,]ab

Теорема доказана.

ЕОРЕМА 9. Функция, непрерывная на отрезке, интегрируема на

этом отрезке.

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что функция

непрерывна на от-

резке

[ ]

,ab

. В силу теоремы Кантора, эта функция равномерно непрерывна

на данном отрезке. Выберем произвольное

и найдем такое

чтобы для любых точек

′

[,]x ab

′′

∈

, удовлетворяющих неравенству

||xx

′ ′′

−<

, выполнялось неравенство

| ( ) ( )|fx fx

′ ′′

−<

. Тогда для любого

разбиения

отрезка

[,]ab

, удовлетворяющего условию

λδ

, имеем:

()

ωε

≤

0i =

, 1, …,

1k −

. Действительно, для любых точек

′

[, ]

x xx

′′

∈

выполняется неравенство

| || || |

xx x x

λδ

′ ′′

−≤ −≤<

и, следо-

вательно,

| ( ) ( )|fx fx

′ ′′

−<

. В силу свойства 2° колебания функции, имеет

место оценка

()

ωω ε

= ≤

. Тогда для тех же разбиений

получаем:

()

ii i

x x ba

ωε ε

−

= =

∆≤ ∆= −

∑∑

Глава 1

Определенный интеграл