Пилиди В.С. лекции по высшей математике

Подождите немного. Документ загружается.

Введем на плоскости следующие фигуры:

()F

— объединение

всех прямоугольников с основанием

[, ]

и высотой

()

()F

−

—

объединение всех прямоугольников с основанием

[, ]

и высотой

( ).

Тогда для любого разбиения

введенные фигуры и рассматривае-

мая криволинейная трапеция

связаны соотношением

() ()F FF

λλ

−+

⊂⊂

Площадь фигуры

()F

равна сумме площадей всех составляющих ее пря-

моугольников, то есть величине

()

−

∆

∑

. Отметим, что это интеграль-

ная сумма

(;,)Sf

λα

. Аналогично получаем, что площадь фигуры

()F

−

равна

()

−

∆

∑

, то есть интегральной сумме

(;,)Sf

λβ

Функция

, непрерывная на отрезке

[,]ab

, интегрируема на этом от-

резке. Обозначим:

()

I f x dx=

∫

. В силу непрерывности функции

, вы-

полняются соотношения

Глава 1

Определенный интеграл

|| 0 || 0

lim ( ; , ) , lim ( ; , ) ,Sf I Sf I

λλ

λα λβ

→→

= =

то есть при

|| 0

→

площади фигур

()F

−

()F

стремятся к одной и той

же величине.

ПРЕДЕЛЕНИЕ. Общий предел значений

(;,)Sf

λα

(;,)Sf

λβ

при

|| 0

→

называется площадью криволинейной трапеции

В силу сказанного выше, площадь рассматриваемой криволинейной

трапеции равна

()

f x dx

∫

АМЕЧАНИЕ. При более строгом подходе вводятся понятия квадри-

руемой фигуры на плоскости и ее площади. Приведем схему одного из ва-

риантов такого подхода. Будем предполагать, что нам известно понятие

площади многоугольника, то есть фигуры, ограниченной замкнутой лома-

ной линией. Площадь многоугольника

будем обозначать через

( ).SF

Произвольная фигура

на плоскости называется квадрируемой, если су-

ществуют последовательности

{}

− +∞

{}

+ +∞

многоугольников, обла-

дающие следующими свойствами: для любого

n∈

выполняются вложе-

ния

0nn

F FF

−+

⊂⊂

и имеет место равенство

lim ( ) lim ( )

SF SF

−+

→+∞ →+∞

. По-

следнее значение считается площадью квадрируемой фигуры

. Отметим,

что это определение нуждается в обосновании: нужно показать, что ука-

занный предел не зависит от выбора последовательностей

{}

− +∞

{}

+ +∞

, обладающих приведенными свойствами.

Вернемся к введенному выше понятию площади криволинейной тра-

пеции. При любом разбиении

отрезка

[,]ab

фигуры

()F

−

()F

яв-

Глава 1

Определенный интеграл

ляются многоугольниками, связанными с рассматриваемой криволинейной

трапецией соотношением

() ()F FF

λλ

−+

⊂⊂

. Одинаковые пределы пло-

щадей этих многоугольников при

|| 0

→

мы и назвали площадью этой

криволинейной трапеции. При этом не анализировались другие способы

приближения криволинейной трапеции многоугольниками «снаружи» и

«изнутри».

Остановимся теперь совсем кратко на других вариантах вычислений

площадей плоских фигур.

Предположим, что даны две функции

, которые определена и

непрерывны на отрезке

[,]ab

, причем для любого

[,]x ab∈

выполняется

неравенство

() ()gx fx≤

. Рассмотрим фигуру, ограниченную осью

прямыми

xa=

xb=

и линиями

()y fx=

()y gx=

axb≤≤

. На приво-

димом ниже рисунке эта фигура ограничена линиями синего цвета.

Площадь данной фигуры является разностью площадей криволиней-

ных трапеций

ABFE

ABDC

, то есть разности

Глава 1

Определенный интеграл

() () ( () ()) .

bbb

aaa

f x dx g x dx f x g x dx

−=−

∫∫∫

АМЕЧАНИЕ. Полученная формула найдена в предположении, что обе

функции

принимают на отрезке

[,]ab

неотрицательные значения

(поскольку была использована формула для нахождения площади криво-

линейной трапеции, выведенная именно при таком предположении). Одна-

ко формула для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя линия-

ми, остается в силе и без предположения о том, что функции

при-

нимают неотрицательные значения. Действительно, в последнем случае

найдется такая положительная константа

, что функции

fc+

gc+

принимают на отрезке

[,]ab

положительные значения. При этом анализи-

руемая фигура сдвинется на

единиц параллельно оси ординат (см. рису-

нок ниже). Площади фигуры сохраняется при параллельном переносе.

Применяя к фигуре, полученной после сдвига (и имеющей ту же площадь,

что и исходная фигура), приведенную выше формулу, находим, что эта

площадь равна

Глава 1

Определенный интеграл

( () ) (() ) ( () ()) ,

bbb

aaa

f x c dx g x c dx f x g x dx+− += −

∫∫∫

то есть формула для нахождения площади остается верной и в рассматри-

ваемом случае.

Перейдем теперь к вопросу о площади криволинейного сектора. Вы-

берем на плоскости полярную систему координат и введем кривую, задан-

ную в этой системе координат уравнением

()rf

αϕβ

≤≤

где

αβ π

≤<≤

— функция, определенная и непрерывная на отрезке

[,]

αβ

и принимающая всюду на этом отрезке неотрицательные значения.

Рассмотрим на плоскости фигуру, ограниченную данной линией и

лучами

ϕα

ϕβ

. Эта фигура называется криволинейным сектором

(см. рисунок ниже). Обозначим рассматриваемый криволинейный сектор

через

В случае криволинейной трапеции рассматриваемая фигура приближалась

объединением прямоугольников. Криволинейный сектор мы будем при-

Глава 1

Определенный интеграл

ближать объединением круговых секторов. Напомним, что площадь круго-

вого сектора радиуса

с центральным углом

(как всегда, измеряемым в

радианах) равна

Пусть

{}

λϕ

— произвольное разбиение отрезка

[,]

αβ

. Предпо-

ложим, что сужение функции

на отрезок разбиения

[, ]

ϕϕ

0i =

, 1, …,

1k −

принимает свое наибольшее значение на этом отрезке в точке

[ , ]

i ii

α ϕϕ

∈

, а в точке

[, ]

i ii

β ϕϕ

∈

принимает свое наименьшее значение.

Обозначим

()

. Введем наборы точек

{} ,

αα

−

{}

ββ

−

. Тогда выполняются соотношения

αλ

βλ

Для каждого

0i =

, 1, …,

1k −

рассмотрим круговой сектор радиу-

са

, ограниченный лучами

ϕϕ

. Площадь такого сектора

равна

∆

, где

1ii i

ϕϕ ϕ

∆= −

. Обозначим через

()F

объединение

всех таких секторов. Тогда площадь фигуры

()F

равна сумме состав-

ляющих ее круговых секторов, то есть равна

()

ii i i

ϕ αϕ

−−

= =

∆= ∆

∑∑

Это интегральная сумма

λα







. Аналогично для каждого

0i =

, 1, …,

1k −

рассматриваем круговые секторы радиуса

, ограничен-

ные лучами

ϕϕ

. Площадь такого сектора равна

∆

Пусть через

()F

−

— объединение всех таких секторов. Тогда площадь

фигуры

()F

−

равна

Глава 1

Определенный интеграл

11 1

( ) ;, .

22 2

ii i i

m f Sf

ϕ β ϕ λβ

−−

= =



∆= ∆=





∑∑

Остается заметить, что для любого разбиения

отрезка

[,]

αβ

вы-

полняется соотношение

() ()F FF

λλ

−+

⊂⊂

и, кроме того, для площадей

фигур

()F

−

()F

выполняется соотношение

2 22

|| 0 || 0

1 11

lim ; , lim ; , ( ) .

2 22

Sf Sf f d

λλ

λα λβ ϕ ϕ

→→

  

= =

  

  

∫

ПРЕДЕЛЕНИЕ. Общий предел значений

λα







λβ







при

|| 0

→

называется площадью криволинейного сектора

В силу сказанного, площадь рассматриваемого криволинейного сек-

тора равна

() .

ϕϕ

∫

Перейдем к примерам.

РИМЕР. Найти площадь, ограниченную эллипсом, задаваемым ка-

ноническим уравнением

ЕШЕНИЕ. В силу симметричности эллипса относительно осей коор-

динат, достаточно вычислить площади фигуры, ограниченной эллипсом и

находящейся в первой координатной четверти.

Глава 1

Определенный интеграл

Уравнение части эллипса, находящейся в первой четверти, имеет вид:

1 ,0 ,

y xa

= − ≤≤

и площадь указанной части эллипса находим как площадь криволинейной

трапеции:

22 22

a x dx a x dx

−=⋅−

∫∫

В последнем интеграле выполним замену переменной:

sinxa t=

≤≤

Тогда

2 2 2 22 2

00 0

sin ( sin ) cos

a x dx a a t d a t a tdt

ππ

−= − = =

∫∫ ∫

1 cos2

( sin2 ) .

22 4

ta a

a dt t t

= =+=

∫

Глава 1

Определенный интеграл

Окончательно находим формулу для нахождения площади

рассматри-

ваемого эллипса:

S ab

=⋅⋅ =

РИМЕР. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

yx=

3yx= +

ЕШЕНИЕ. Найдем точки пересечений указанных линий. Для этого

рассматриваем систему уравнений







= +





Исключаем неизвестную

2xx= +

20xx−−=

. Отсюда находим

абсциссы точек пересечения:

1x = −

2x =

. При

12x−< <

выполняется

неравенство

2xx+>

, то есть точки прямой находятся выше точек пара-

болы с теми же абсциссами (см. рисунок ниже).

Глава 1

Определенный интеграл

Теперь находим искомую площадь:

(2 ) 2 .

2 32

S x x dx x x

−



= +− = + − =





∫

РИМЕР. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

cos3 , 0 2 .r

ϕ ϕπ

= ≤≤

ЕШЕНИЕ. Точки кривой соответствуют тем и только тем значениям

полярного угла

, для которых выполняется неравенство

sin3 0

≥

, то

есть значениям

, принадлежащим промежуткам

[0, 3]

[2 3, ]

ππ

[4 3,5 3]

ππ

. При этом площади всех трех «лепестков» рассматриваемой

фигуры совпадают (см. рисунок ниже).

Глава 1

Определенный интеграл