Пилиди В.С. лекции по высшей математике

Подождите немного. Документ загружается.

Учитывая произвольность числа

, из критерия интегрируемости выво-

дим, что функция

является интегрируемой.

Теорема доказана.

ЛЕДСТВИЕ. Предположим, что функция

определена на отрез-

ке

[,]ab

, непрерывна во всех точках интервала

(,)ab

и имеет односто-

ронние пределы в концах отрезка

[,]ab

. Тогда функция

интегрируема на

отрезке

[,]ab

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Определим функцию

на отрезке

[,]ab

условия-

ми:

() ()gx fx=

, если

axb<<

( ) lim ( )

ga f x

→+

( ) lim ( )

gb f x

→−

. Тогда

функция

непрерывна на отрезке

[,]ab

. Действительно, во всех внутрен-

них точках этого отрезка она непрерывна, в силу непрерывности функ-

ции

. Из соотношения

( ) lim ( ) lim ( ),

xa xa

ga f x gx

→+ →+

= =

следует непрерыв-

ность слева функции

в точке

. Аналогично получаем ее непрерывность

справа в точке

. По доказанной теореме функция

интегрируема на от-

резке

[,]ab

. Остается заметить, что значения функций

могут отли-

чаться не более, чем в двух точках. В силу теоремы 2, функция

интегри-

руема на отрезке

[,]ab

Следствие доказано.

РИМЕР. Рассмотрим на произвольном отрезке

[,]ab

функцию

()fx x=

. Эта функция непрерывна на указанном отрезке и, следовательно,

интегрируема на нем. Покажем, что

xdx

−

∫

Глава 1

Определенный интеграл

Для доказательства мы будем рассматривать интегральные суммы

специального вида и найдем их предел при

|| 0

→

Выберем произвольное разбиение

{}

отрезка

[,]ab

. Для каж-

дого

0i =

, 1, …,

1k −

положим

(то есть возьмем в качестве

середину отрезка разбиения

[, ]

). В силу неравенства

, 0,1, , 1,

x xi k

< <= −

набор точек

{}

ξξ

−

подчинен разбиению

. Найдем соответствующую

интегральную сумму:

1 11

0 00

(,) () ( )

k kk

i i ii i i

i ii

S f x x xx

λξ ξ ξ

− −−

= = =

= ∆= ∆= ⋅ − =

∑ ∑∑

2 2 2222 22

1 1 021 1

( )( )

i i kk

x x xxxx xx

−

+−

= − = −+−++− =

∑



() .

−

= −=

Предел рассматриваемых интегральных сумм (то есть интегральных сумм

с набором точек

специального вида) при

|| 0

→

равен

ba−

. Отсюда

вытекает доказываемое соотношение.

ПРАЖНЕНИЕ 1. Пользуясь приемом предыдущего примера, доказать,

что при

0 ab≤<

имеет место равенство

Глава 1

Определенный интеграл

x dx

−

∫

КАЗАНИЕ. Положить

i ii i

x xx x

доказать, что

1iii

≤≤

ПРАЖНЕНИЕ 2. Доказать, что при

0 ab≤<

для любого

n∈

имеет

место равенство

x dx

−

∫

7. Свойства определенного интеграла как функции

промежутка интегрирования

ТЕОРЕМА 10. Предположим, что

c∈

abc<<

. Тогда сле-

дующие условия равносильны:

1) функция

интегрируема на отрезке

[,]ac

;

2) функция

интегрируема на каждом из отрезков

[,]ab

[,]bc

При выполнении этих условий выполняется равенство

() () () .

cbc

aab

f x dx f x dx f x dx= +

∫∫∫

Глава 1

Определенный интеграл

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) ⇒ 2). Выберем произвольное

и найдем та-

кое

, что из условий

([ , ])ac

∈Λ

λδ

вытекает неравенство

( ,[ , ])S ac

λε

. Пусть

— разбиение отрезка

[,]ab

, удовлетворяющее

условию

λε

. Добавим к набору точек разбиения

точки отрезка

[,]bc

так, чтобы при этом получилось разбиение

отрезка

[,]ac

, удовле-

творяющее условию

λδ

. Допустим, что

{}

. Как и

выше, вводим колебания функции

не отрезках разбиения

(отрезка

[,]ac

( ,[ , ])

i ii

f xx

ωω

0i =

, 1, …,

1l −

. Тогда имеем:

( ,[ , ]) ( ,[ , ]) .

ii ii

S ab x x S ac

ωω

λ ωω λε

−−

= =

= ∆≤ ∆= <

∑∑

Из оценки

( ,[ , ])S ab

λε

по критерию интегрируемости функции выво-

дим, что функция

является интегрируемой на отрезке

[,]ab

. Аналогично

рассматривается отрезок

[,]bc

2) ⇒ 1) Предположим, что функция

интегрируема на каждом из

отрезков

[,]ab

[,]bc

. Тогда она ограничена на каждом из этих отрезков, а,

следовательно, и на всем отрезке

[,]ac

. Выберем такую константу

, что

для любого

[,]x ac∈

выполняется неравенство

| ( )|fx M≤

Выберем произвольное

и найдем такое

, чтобы выполня-

лись следующие условия:

 для любого

([ , ])ab

∈Λ

, такого, что

λδ

выполняется неравенст-

во

( ,[ , ])S ab

λε

;

 для любого

([ , ])bc

∈Λ

, такого, что

λδ

выполняется неравен-

ство

( ,[ , ])S bc

λε

Глава 1

Определенный интеграл

Уменьшая в случае необходимости число

, будем считать, что выполня-

ется неравенство

δε

≤

. Возьмем любое разбиение

([ , ])ac

∈Λ

, удовле-

творяющее условию

λδ

. Найдем оценки для величины

( ,[ , ])S ac

. Эти

оценки будут разными, в зависимости от того, находится или нет проме-

жуточная точка

среди точек разбиения

ЛУЧАЙ 1. Точка

находится среди точек разбиения

Обозначим через

(

) множество всех точек разбиения

, попа-

дающих в отрезок

[,]ab

(соответственно, в отрезок

[,]bc

). Тогда

(

)

будет разбиением соответствующего отрезка. Очевидно, что выполняется

оценка

| || |

λλ

≤

(потому, что каждый из отрезков разбиения

является в

то же время и отрезком разбиения

). Поэтому выполняется оценка

λδ

. Из аналогичных соображений получаем, что

λδ

. Допустим,

что

{}

, .

{}

iil

Обращаем внимание читателя, что имеет место равенство

xb=

, и

эта точка является последней точкой разбиения

и первой точкой раз-

биения

. Далее имеем,

111

( ,[ , ])

klk

ii ii ii

i i il

S ac x x x

λ ωωω

−− −

= = =

= ∆= ∆+ ∆=

∑∑∑

( ,[ , ]) ( ,[ , ]).S ab S bc

ωω

λλ

= +

Из оценок

λδ

следует, что

( ,[ , ])S ab

λε

( ,[ , ])S bc

λε

и, следовательно,

( ,[ , ]) 2S ac

λε

Глава 1

Определенный интеграл

СЛУЧАЙ 2. Точка

не является одной из точек разбиения

Рассмотрим множество всех точек разбиения

, попадающих в отре-

зок

[,]ab

. Добавляя к этому множеству точку

, мы получим разбиение

отрезка

[,]ab

, которое обозначим через

. Отметим, что выполняется не-

равенство

λδ

. Действительно, все отрезки разбиения

, кроме по-

следнего, совпадают с одним из отрезков разбиения

. Поэтому длины

этих отрезков меньше, чем

. Последний отрезок разбиения

является

частью отрезка разбиения

. Следовательно, длина этого последнего от-

резка также меньше, чем

. Аналогично, добавляя к точкам разбиения

попадающим в отрезок

[,]bc

, точку

, получим разбиение отрезка

[,]bc

которое обозначим через

. По аналогии с предыдущим случаем доказы-

вается, что

λδ

Рассмотрим отрезок

разбиения

, внутри которого находится точ-

ка

. Этот отрезок делится точкой

на два отрезка, которые мы обозна-

чим через

′

′′

(см. рисунок ниже).

Рассмотрим сумму

( ,[ , ])S ac

и сравним ее с суммой

( ,[ , ]) ( ,[ , ])S ab S bc

ωω

λλ

Для перехода от одного выражения к другому нужно в сумме

( ,[ , ])S ac

удалить слагаемое, отвечающее отрезку

разбиения

, заменив его двумя

слагаемыми, отвечающими отрезкам

′

′′

разбиений

соответст-

Глава 1

Определенный интеграл

венно. Обозначим через

′

′′

колебания функции

на отрезках

′

′′

соответственно. Как обычно, через

||I

обозначается длина отрезка

Тогда, в силу сказанного, имеет место соотношение

( ,[ , ]) ( ,[ , ]) ( ,[ ,|| || ]|| ).S ac SI bI SI ab c

ω ωω

λ λλω ωω

′′ ′′′

−+ +⋅ +

′

⋅⋅ =

Красным цветом в формуле показано удаляемое слагаемое, а зеленым цве-

том — два добавляемых слагаемых. Отсюда получаем:

( ,[ , ]) ( ,[ , ]) ( ,[ , ]) ||| | ||S ac S ab Ib IS cI

ωω ω

ωω ωλλ λ

≥≥

= + +⋅ − − ≤

′ ′ ′′ ′′

⋅⋅

   

( ,[ , ]) ( ,[ , ]) | |.S ab S bc I

ωω

λ λω

≤ + +⋅

Неравенство возникает после отбрасывания двух выделенных красным

цветом слагаемых. Остается заметить, что, как и в предыдущем случае, вы-

полняется неравенство

( ,[ , ]) ( ,[ , ])S ab S bc

ωω

λ λε

+ <2

. Кроме того, имеют

место неравенства

≤

|| 2I

δε

<≤

. Окончательно получаем оценку

( ,[ , ]) 2 4S ac M

λ εε

Итак, в любом из двух случаев выполняется оценка

( ,[ , ]) 2 4S ac M

λ εε

В силу произвольности

, из критерия интегрируемости функции следует,

что функция

интегрируема на отрезке

[,]ac

Перейдем теперь к соотношениям, связывающим интегралы. Выбе-

рем произвольное разбиение

([ , ])ac

∈Λ

, удовлетворяющее дополнитель-

ному условию

∈

. Выберем набор точек

, подчиненный разбиению

Глава 1

Определенный интеграл

Рассмотрим интегральную сумму

()

−

∆

∑

. Разбивая сумму в правой

части на две суммы, соответствующие каждому из двух отрезков

[,]ab

[,]bc

, получаем:

1 11

() () () .

lkl

ii ii ii

i i ik

fx fx fx

ξξξ

− −−

= = =

∆= ∆+ ∆

∑∑∑

В правой части находятся интегральные суммы для функции

на

отрезках

[,]ab

[,]bc

соответственно. Переходя к пределу при условиях

|| 0

→

∈

, получаем искомое соотношение для интегралов.

Теорема полностью доказана.

Выше мы рассматривали определенный интеграл

()

f x dx

∫

в предпо-

ложении, что

ab<

. Понятие определенного интеграла может быть расши-

рено на случай других соотношений между верхним и нижним пределами.

Предположим, что функция

определена и интегрируема на неко-

тором отрезке

. Для

bI∈

ab>

полагаем по определению

() () , () 0.

b aa

a ba

f x dx f x dx f x dx

=−=

∫ ∫∫

Тогда утверждение теоремы может быть обобщено на такой случай.

ЛЕДСТВИЕ ТЕОРЕМЫ 10. Предположим, что функция

интегрируе-

ма на некотором отрезке

. Тогда для любых

cI∈

выполняется ра-

венство

Глава 1

Определенный интеграл

() () () .

cbc

aab

f x dx f x dx f x dx= +

∫∫∫

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Случай

abc<<

рассмотрен в самой теореме. Рас-

смотрим случай, когда

acb<<

. Применяя теорему, получаем:

() () () .

bcb

aac

f x dx f x dx f x dx= +

∫∫∫

Меняя местами пределы интегрирования во втором интеграле в правой

части, получаем:

() () ()

bcc

aab

f x dx f x dx f x dx= −

∫∫∫

Перенося второй интеграл в правой части равенства в левую часть, полу-

чим требуемое утверждение. Остальные случаи рассматриваются анало-

гично.

Теорема 10 позволяет найти еще один расширить класс интегрируе-

мых функций. Приведем сначала следующее определение.

ПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция, определенная на отрезке

, называется ку-

сочно-непрерывной на этом промежутке, если она непрерывна всюду на

кроме конечного числа точек, в которых имеет разрывы первого рода.

ЕОРЕМА 11. Функция, кусочно-непрерывная на отрезке, интегрируе-

ма на этом отрезке.

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ограничимся предположением, что функция

определена на отрезке

[,]ab

и непрерывна всюду, кроме одной точки

Глава 1

Определенный интеграл

acb<<

. Рассмотрим сужение функции

на отрезок

[,]ac

. Эта функция

непрерывна во всех точках

axc≤<

и существует предел

lim ( )

→−

. В

силу следствия теоремы 9, функция

интегрируема на отрезке

[ , ].ac

Ана-

логично получаем, что она интегрируема на отрезке

[,]cb

. Из теоремы 10

выводим, что функция

интегрируема на отрезке

[,]ab

Теорема доказана.

8. Теорема о среднем для определенного интеграла

Рассмотрим сначала некоторые неравенства для определенных инте-

гралов.

ЕОРЕМА 12. Предположим, что функция

определена и интегри-

руема на отрезке

[,]ab

и для всех

[,]x ab∈

выполняется неравенст-

во

() 0fx≥

. Тогда

() 0

f x dx ≥

∫

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем произвольное разбиение

отрезка

[ , ],ab

возьмем произвольный набор точек

ξλ

и рассмотрим соответствую-

щую интегральную сумму

()

−

∆

∑

. Все слагаемые под знаком суммы

являются неотрицательными. Поэтому

() 0

−

∆≥

∑

. Переходя к пределу

при

|| 0

→

получаем требуемое неравенство для определенного интегра-

ла.

Глава 1

Определенный интеграл