Пилиди В.С. лекции по высшей математике

Подождите немного. Документ загружается.

Приоритетный национальный проект «Образование»

Южный федеральный университет

Факультет математики, механики и компьютерных наук

В.С. Пилиди

Электронное учебное пособие

Математический анализ

Определенный интеграл

Числовые ряды

Несобственные интегралы

Ростов-на-Дону

2009

Управляющие клавиши

Результат

Действие

Включить/выключить оглавление

Вся страница

Ctrl+L

Предыдущий экран

PgUp

Следующий экран

PgDn

Первая страница

Home

Последняя страница

End

Следующая страница

→

Предыдущая страница

←

Следующий вид

Alt +

→

Предыдущий вид

Alt +

←

Увеличить

Ctrl + «знак равенства»

Уменьшить

Ctrl + «дефис»

Глава 1. Определенный интеграл

1. Предварительные соображения

Предположим, что функция

определена и непрерывна на отрез-

ке

[,]ab

и принимает на этом отрезке неотрицательные значения. Рассмот-

рим фигуру, ограниченную осью

, прямыми

xa=

xb=

и линией

()y fx=

axb≤≤

. Эта фигура называется криволинейной трапецией (см.

рисунок ниже).

Рассмотрим набор точек

{}

, удовлетворяющих условиям:

ax x x b=<<< =

На каждом из отрезков

[, ]

0i =

, 1, …,

1k −

выберем произвольную

точку

и рассмотрим прямоугольник с основанием

[, ]

и высо-

той

()

(прямоугольник, выделенный красным цветом на рисунке).

Площадь этого прямоугольника равна

( )( )

ii i

f xx

−

. Беря объединение

таких прямоугольников, мы получим «ступенчатую» фигуру, площадь ко-

торой равна сумме площадей составляющих ее прямоугольников, то есть

величине

( )( )

ii i

f xx

−

∑

. (∗)

АМЕЧАНИЕ. Мы не нумеруем формулы. В случае необходимости они

отмечаются знаком (∗) и (∗∗). Ссылки на такие формулы всегда относятся

к текущей или предыдущей странице.

Если все более «измельчать» деление отрезка

[,]ab

на составляющие

его малые отрезки, то получающаяся ступенчатая фигура будет все лучше

приближать криволинейную трапецию. В качестве меры, определяющей

мелкость такого деления, естественно взять наибольшую из длин отрезков

[, ]

. Если суммы вида (∗) стремятся к некоторой величине

при ус-

ловии, что точки

выбираются произвольным образом и «мелкость» де-

ления отрезка

[,]ab

стремится к нулю, то величину

естественно считать

площадью рассматриваемой криволинейной трапеции. Суммы вида (∗) ле-

жат в основе обсуждаемого ниже понятия определенного интеграла.

2. Определение интеграла Римана

Пусть

[,]ab

— произвольный отрезок на вещественной прямой. Раз-

биением

отрезка

[,]ab

называется произвольная конечная система его

точек

{}

()kk

, такая, что

01 k

ax x x b=<<< =

. Каждый из

Глава 1

Определенный интеграл

Риман

отрезков

[, ]

0i =

1k −

называется отрезком разбиения

. Введем

следующее обозначение для длин отрезков разбиения:

, 0, 1, , 1.

ii i

xx xi k

∆= − = −

Наибольшая из длин отрезков разбиения то есть величина

| | max

≤≤

= ∆

, на-

зывается мелкостью (или диаметром) разбиения

. Множество всех раз-

биений отрезка

[,]ab

будем обозначать через

([ , ])abΛ

Пусть

{ } ([ , ])

x ab

= ∈Λ

. На каждом из отрезков

[, ]

0,i =

1,…,

1k −

выберем произвольную точку

. Обозначим:

{}

ξξ

−

. Будем

говорить, что набор точек

подчинен разбиению

и записывать наличие

такого соотношения так:

ξλ

Пусть

— некоторая функция, определенная на отрезке

[,]ab

. Вы-

берем произвольное разбиение

{ } ([ , ])

x ab

= ∈Λ

и произвольный набор

точек

ξλ

. Сумма

(;,) ()

Sf f x

λξ ξ

−

= ∆

∑

называется интегральной сум-

мой Римана функции

на отрезке

[,]ab

. Сам этот отрезок будем считать

фиксированным, и поэтому зависимость интегральных сумм от этого от-

резка отмечать не будем.

ПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что интегральные суммы

(;,)Sf

λξ

сходятся к числу

при условии

|| 0

→

, если по любому числу

най-

дется такое

, что для любого разбиения

()I

∈Λ

, удовлетворяющего

условию

λδ

, и для любого набора точек

ξλ

выполняется неравен-

ство

Глава 1

Определенный интеграл

|(;,) |Sf I

λξ ε

−<

. (∗)

АМЕЧАНИЕ. Приведенное определение близко к определению схо-

димости последовательности. Отличие состоит в том, что вместо нату-

рального числа

, значения

(;,)Sf

λξ

зависят от разбиений

, которые

должны «все больше и больше измельчаться», и величина

(;,)Sf

λξ

зави-

сит еще от одного параметра, набора точек, подчиненного разбиению

Кроме условия

ξλ

, на набор точек

не налагается никаких других огра-

ничений. В этом случае говорят, что неравенство (∗) выполняется равно-

мерно по всем наборам точек

, удовлетворяющим условию

ξλ

Как и в случае сходимости последовательности, легко доказать, что

если интегральные суммы

(;,)Sf

λξ

сходятся к некоторому числу

при

условии

|| 0

→

, то это число находится однозначно. Число

будем назы-

вать пределом интегральных сумм при условии

|| 0

→

и обозначать сле-

дующим образом:

| | 0, |

lim ( ; , )Sf

λ ξλ

λξ

→

Если предел

| | 0, |

lim ( ; , )Sf

λ ξλ

λξ

→

существует, то он называется опреде-

ленным интегралом Римана функции

по отрезку

[,]ab

и обозначается

следующим образом:

( )

f x dx

∫

. Функцию

при этом называют интегри-

руемой по Риману на отрезке

[,]ab

. В дальнейшем определенный интеграл

Римана будем называть просто определенным интегралом, а функцию, ин-

тегрируемую по Риману — интегрируемой (на данном отрезке) функцией.

В тех случаях, когда рассматривается фиксированная функция

, вместо

(;,)Sf

λξ

будем писать

(,)S

λξ

Глава 1

Определенный интеграл

Приведем пример вычисления определенного интеграла, исходя

только из его определения.

Покажем, что для любого отрезка

[,]ab

выполняется равенство

dx b a= −

∫

Подынтегральная функция

() 1fx≡

[,]x ab∈

. Рассмотрим произ-

вольное разбиение

([ , ])ab

∈Λ

{}

, выберем произвольный набор

точек

ξλ

и найдем соответствующую интегральную сумму:

(,) () .

ii i

S f x x ba

λξ ξ

−−

= =

= ∆= ∆=−

∑∑

Здесь учтено, что функция

тождественно равна единице и, что сумма

длин всех отрезков разбиения равна длине всего отрезка

[,]ab

, то есть ве-

личине

ba−

. Отсюда следует, что и предел частичных сумм при

|| 0

→

равен

ba−

Справедливо следующее утверждение.

ЕОРЕМА 1. Если функция

интегрируема на отрезке

[,]ab

, то она

ограничена на этом отрезке.

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что

| | 0, |

lim ( , )SI

λ ξλ

λξ

→

. Выберем та-

кое

, чтобы для любого разбиения

([ , ])ab

∈Λ

, удовлетворяющего

условию

λδ

, и любого набора точек

ξλ

выполнялось неравенство

|(,) |1SI

λξ

−<

, или

Глава 1

Определенный интеграл

1 ( , ) 1.IS I

λξ

−< < +

(∗)

Зафиксируем произвольное разбиение

{ } ([ , ])

x ab

= ∈Λ

, удовлетво-

ряющее условию

λδ

. Покажем, что функция

ограничена на каждом

из отрезков разбиения

[, ]

0i =

, 1, …,

1k −

. Отсюда будет следовать,

что эта функция ограничена на всем отрезке

[,]ab

Рассмотрим, например, отрезок

[,]xx

. Для каждого из отрезков раз-

биения, кроме выделенного, то есть отрезков

[, ]

1i =

, 2, …,

1k −

вы-

берем и зафиксируем принадлежащую ему точку

. Пусть

— произ-

вольная точка выделенного отрезка

[,]xx

. Запишем в явном виде инте-

гральную сумму в (∗) с данным набором точек

{}

ξξ

−

и выделим сла-

гаемое, отвечающее отрезку

[,]xx

1 ( ) ( ) 1.

I f x f xI

ξξ

−

−< ∆ + ∆ < +

∑

Обозначая

()

Jfx

−

= ∆

∑

, из последних неравенств получаем:

1 () 1I f x JI

−< ∆ + < +

Отсюда следует, что выполняется неравенство

( 1) ( ) ( 1)IJ f IJ

−−< < −+

∆∆

В силу произвольности точки

0 01

[,]xx

∈

, мы доказали, что функция

ог-

раничена на отрезке

[,]xx

. Аналогично доказывается, что она ограничена

Глава 1

Определенный интеграл

на произвольном отрезке разбиения и, следовательно, на всем отрез-

ке

[,]ab

Теорема доказана.

АМЕЧАНИЕ. Условие ограниченности функции, будучи необходи-

мым для интегрируемости функции, не является достаточным. Действи-

тельно, рассмотрим на отрезке

[0,1]

функцию Дирихле:

( )

1, если число рациональное,

0,если число иррационально.







Возьмем произвольное разбиение

([0,1])

∈Λ

. Выберем набор точек

ξλ

состоящий из рациональных чисел. Тогда для всех значений

выполняет-

ся равенство

()1

и, следовательно,

( )

; , ( ) 1.

ii i

SD D x x

λξ ξ

−−

= =

= ∆= ∆=

∑∑

Беря все числа

иррациональными, получим, что

(;,) 0SD

λξ

. Это озна-

чает, что

| | 0, |

lim ( ; , )SD

λ ξλ

λξ

→

не существует, то есть функция

()Dx

не являет-

ся интегрируемой на отрезке

[0,1]

Свойство интегрируемости функции на некотором отрезке сохраня-

ется, если изменить произвольным образом значения функции в конечном

числе точек этого отрезка. Более точно, справедливо следующее утвер-

ждение.

ЕОРЕМА 2. Предположим, что функции

определены на про-

межутке

[,]ab

и для всех

[,]x ab∈

, кроме, возможно, конечного числа то-

Глава 1

Определенный интеграл

Дирихле

чек, выполняется равенство

() ()fx gx=

. Функция

интегрируема на от-

резке

[,]ab

тогда и только тогда, когда на этом отрезке интегрируема

функция

. При выполнении этих условий имеет место равенство

() () .

f x dx g x dx=

∫∫

ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно ограничиться случаем, когда значения

функций

совпадают для всех

[,]x ab∈

, кроме точки

xc=

для неко-

торого

[,]c ab∈

. Очевидно, теорема будет доказана, если мы покажем, что

из интегрируемости функции

следует интегрируемость функции

имеет место равенство интегралов.

Выберем произвольное разбиение

([ , ])ab

∈Λ

и рассмотрим набор

точек

ξλ

. Если при этом

∉

, то выполняется равенство

(;,) (;,)Sf Sg

λξ λξ

Допустим, что

∈

. Тогда совпадают все слагаемые интегральных

сумм

(;,)Sf

λξ

(;,)Sg

λξ

, кроме слагаемых, соответствующих отрезку

разбиения, содержащему точку

. Обозначим длину этого отрезка через

.∆

Тогда получаем:

( ; ,) (; , ) () () ( () ()) .S f Sg fc gc fc gc

λξ λξ

− = ⋅∆− ⋅∆= − ⋅∆

(∗)

Имеет место неравенство

∆≤

, поскольку

∆

— длина одного из отрез-

ков разбиения

, а

— наибольшая из длин всех отрезков разбиения

Тогда из соотношения (∗) следует, что

|(;,) (;,)| | |,Sf Sg K

λξ λξ λ

− ≤⋅

Глава 1

Определенный интеграл